2026第42届全国高中数学联赛试题、难度点评

今日上午，2026年第42届全国高中数学联赛一试和二试（江苏赛区）在江苏省邗江中学举行。
一试以基础与巧算起步，在计数、空间相切和数列构造处拉开差距；加试覆盖数论、几何、不等式与组合，突出结构识别、严密证明和极值构造。整体重思维转化而非机械计算，既考基础熟练度，也考临场取舍。
一试
1．平面向量 数量积取等直接锁定向量同向共线，属于看出关系便能迅速得分的基础题。
2．等差数列 将两组等差条件统一为首项、公差后即可消元，难度不高，但要避免系数与下标混淆。
3．三角函数 利用三角形内角关系进行整体变形，比逐一求出角度更简洁，考查公式运用的灵活性。
4．集合与平方数 关键是辨清平方数进入并集的时点及重复情况，稍不留神就会因重复计数误判奇偶。
5．双曲线与平行线 识别焦点位于两平行线的中间线上，便能大幅简化计算，是几何观察优于机械设式的典型。
6．复数与模长 嵌套模长增加了表面复杂度，先比较虚部再处理实部是突破口，后续须守住非负与符号约束。
7．取整与最值 将小数部分按整数商分段，再结合整数范围寻找最优边界，比盲目枚举更考验分析能力。
8．正方体染棱概率 各面的染色情况相互牵连，从反面分类值得优先考虑，真正的难点在于计数不重不漏。
9．指数、对数方程 消去对数项后即可转化为基本不等式求最值，是解答题中适合优先拿稳的一题。
10．圆柱内球体相切 将空间相切转化为球心所在圆上的排布，兼考空间降维与最大数量的严格判定。
11．“有趣数列” 单位步长与十项等比子列相互制约，还要求最短长度及完整计数，是一试的核心区分题。
加试
一．约数与等差数列 抓住“1与最大真约数”这一特殊配对，就能显著压缩约数结构，看似繁复，实则突破口集中。
二．几何相切证明 识别 N 的九点圆圆心身份，并将倍角条件转化为切线判据，是贯通全题几何关系的关键。
三．有序数列不等式 难点不在单次放缩，而在把带下标限制的局部条件组织成整体估计，并妥善处理首项。
四．方格表与S形 既要从局部覆盖约束推出全局下界，又要给出达到下界的填法，综合考查计数与极值构造能力。