2022年山大附中联赛模拟加试试卷参考解答(4)_2.2025数学总复习_数学高考模拟题_2023年模拟题_老高考_山西大学附属中学校2022年全国高中数学联赛加试考前最后一卷

2022cìŒN¥ém(cid:28)[\Á（最后一卷）ë(cid:127))‰ (cid:80) 1. (cid:23)n´Œu2(cid:27)‰½(cid:27)(cid:20)(cid:18)ê,…1 ≤ a < a < ··· < a ´(cid:18)ê,÷v ξ a ´Ø 1 2 n ξi∈{0,1} i i Ó(cid:27)(cid:18)ê,¦y n (cid:88) 1 < 2 a i i=1 {{{1:e¡y²(cid:141)r(cid:27): n n (cid:88) 1 (cid:88) 1 ≤ (1) a 2i−1 i i=1 i=1 (cid:23)A = {a ,a ,··· ,a } ⊆ {a ,a ,··· ,a },duA ´(cid:27)š˜f8k2k − 1‡.dK(cid:23) k 1 2 k 1 2 n k (cid:127):ù(cid:10)f8(cid:27)(cid:3)ƒƒÚp؃Ó.(cid:25) a +a +···+a ≥ 2k −1,1 ≤ k ≤ n 1 2 k @ok k (cid:88) S = (a −2i−1) ≥ 0 k i i=1 (1)ª(cid:31)d (cid:88) n (cid:18) 1 1 (cid:19) (cid:88) n a −2i−1 i − ≥ 0,⇐⇒ ≥ 0 2i−1 a 2i−1a i i i=1 i=1 n−1 (cid:18) (cid:19) S −S (cid:88) 1 1 S i i−1 n ⇐⇒ ≥ 0 ⇐⇒ S − + ≥ 0 (2) 2i−1a i 2i−1a 2ia 2n−1a i i i+1 n i=1 du 1 1 a < a =⇒ > ,i = 1,2,··· ,n−1 i i+1 2i−1a 2ia i i+1 (ÜS ≥ 0,i = 1,2,··· ,n,(cid:25)(2)ª¤á! i {{{2::Ó{1(cid:26): a +a +···+a ≥ 2k −1,k = 1,2,··· ,n 1 2 k ÚÚÚnnn:(cid:23)0 < k < a ≤ b,Kk 1 1 1 1 + ≤ + a b a−k b+k y. ⇐⇒ (a−k)(b+k) ≤ ab ⇐⇒ k2 +k(b−a) ≥ 0 w,¤á. 1 1 1 £(cid:20)(cid:6)¯K:Pf(a ,a ,··· ,a ) = + +···+ ,dÚn(cid:26) 1 2 n a a a 1 2 n f(a ,a ,··· ,a ) ≤ f(1,a +a −1,a ,··· ,a ) ≤ f(1,2,a +a +a −(1+2),··· ,a ) 1 2 n 2 1 3 n 1 2 3 n 18B(cid:26) f(a ,a ,··· ,a ) ≤ f(1,2,22,··· ,2n−2,a +a +···+a −(1+2+22 +···+2n−2)) 1 2 n 1 2 n ≤ f(1,2,22,··· ,2n−1) 1 = 2− 2n−1 {{{3:Ó{1(cid:26): k (cid:88) a ≥ 2k −1,k = 1,2,··· ,n i i=1 @ok 1 (cid:8)E¼êf(x) = ,(x > 0),@o x 1 2 f(cid:48)(x) = − < 0,f(cid:48)(cid:48)(x) = > 0 x2 x3 |^k.êAØ(cid:31)ªíØ(cid:127) n n (cid:88) 1 (cid:88) 1 1 ≤ = 2− < 2 a 2i−1 2n−1 i i=1 i=1 {{{4:(cid:8)E1¼ê P = (1+xa1)(1+xa2)···(1+xa k) = 1+xa1+xa2+···+xa1+a2+···+a k < 1+x+x2+··· @o k k (cid:89) 1 (cid:88) P = (1+xai) < =⇒ ln(1+xai) < −ln(1−x)(0 ≤ x < 1) 1−x i=1 i=1 =k (cid:88) k (cid:18) x2ai x3ai (cid:19) x2 x3 xai − + −··· < x+ + +··· 2 3 2 3 i=1 ü>رx(cid:26) (cid:88) k (cid:18) x2ai−1 x3ai−1 (cid:19) x x2 xai−1 − + −··· < 1+ + +··· 2 3 2 3 i=1 ü>3(0,1)þÈ©(cid:26) n (cid:18) (cid:19) (cid:88) 1 1 1 1 1 1− + −··· < 1+ + +···+ a 22 32 22 32 i i=1 2=k (cid:32) (cid:33) π2 (cid:88) n 1 π2 < 12 a 6 i i=1 (cid:25)k 1 1 1 + +···+ < 2 a a a 1 2 n :::µµµ:(cid:29)K´˜(cid:23)²;¯K:(cid:129)@´5gErdos,¦31975crd¯Ku3(cid:10)\<ŒCMB, “þŠ(cid:143)problem 220,1994cþ°½¿m,1999cRomanian Mathematical Olympiad)þ(cid:127) (cid:9)(cid:10)d¯K;(cid:29)Ky35w(cid:29)Ÿ´k.êAØ(cid:31)ª,Š(cid:143)ém·@(cid:143)(cid:129)Ð^{1C(cid:19) (cid:16)C†Ã{Ú{2 (cid:27)ÛÜ8B{'(cid:22)T(cid:8).{4´|^(cid:10)²;(cid:27)ζ ¼êŠ=ζ(2) = 1 π2 (cid:80)+∞ = , ‡<@(cid:143)´˜(cid:23)Ík¿g(cid:27)'(cid:22){ü(cid:27)‘k:|Ü›(cid:27)“êØ(cid:31)ª¯ n=1 n2 6 K,(cid:143)´ÁgdK(cid:27)(cid:6)Ï! 2. ¦¤k(cid:20)(cid:18)êk > 1,¦(cid:26)(cid:127)3áõ‡(cid:20)(cid:18)ꌱL«ü‡(cid:20)(cid:18)ê(cid:27)k g˜(cid:27)(cid:11),(cid:2)´ Ã{L«ü‡(cid:20)(cid:18)ê(cid:27)k g˜(cid:27)Ú ):¤¦(cid:27)(cid:20)(cid:18)êk ´Œu1(cid:27)¤k(cid:20)(cid:18)ê. ndXe: (cid:127)Ä(cid:20)(cid:18)ê 2nk(2k −1) = (2n+1)k −2nk e¡y²:(cid:144)§(2k −1)2nk = uk +vk Ã(cid:20)(cid:18)ê)(u,v). (1):(cid:8)n = 0ž. Kk2k −1 = uk +vk ,@o uk < 2k −1 < 2k =⇒ u < 2 @ou = 1.Ón(cid:26)v = 1,džw,Ã). (2):(cid:8)n ∈ N+ ž (cid:23)n´÷v(cid:144)§uk +vk = (2n+1)k −(2n)k (cid:27)(cid:129)(cid:2)(cid:27)(cid:20)(cid:18)ên,Kk 2|uk +vk =⇒ u ≡ v (mod 2) (I):eu ≡ v ≡ 0 (mod 2),(cid:23)u = 2u ,v = 2v ,Kk 1 1 2(n−1)k(2k −1) = (u )k +(v )k 1 1 †n(cid:129)(cid:2)5ØÎ. (II):eu ≡ v ≡ 1 (mod 2) a):e2|k ,Kuk +vk ≡ 2 (mod 4),(cid:13)2nk(2k −1) ≡ 0 (mod 4)gñ. 3uk +vk b):e2 (cid:45) k ,du = uk−1−uk−2v+···+vk−1 ≡ k ≡ 1 (mod 2),(cid:25)v (uk +vk) = 2 u+v uk +vk v (u+v),(Üuk +vk = 2nk(2k −1),@o |2k −1,@o 2 u+v uk +vk u+v ≥ 2nk > 2k > 2k −1 ≥ u+v = (u+v)2 > uk +vk Ø”(cid:23)u ≥ v ,eu ≥ 3,Kk uk +vk ≥ 3uk−1 +vk = uk−1 +2uk−1 +vk ≥ u2 +2uv +v2 = (u+v)2 (cid:25)u = 1,@ov = 1gñ. nþ:¤¦(cid:27)k ´Œu1(cid:28)N(cid:20)(cid:18)ê {{{2:(cid:8)2|k ž. (cid:127)ăêp ≡ 3 (mod 4),(p,k) = 1.(cid:23)p = 4t+3,(cid:18)a = 2t+2,b = 2t+1,K p = 4t+3 = (2t+2)2 −(2t+1)2 = a2 −b2 dLTEÚn(cid:26) k v (ak −bk) = v (a2 −b2)+v ( ) = 1 p p p 2 y3b(cid:23)ak−bk = ck+dk ,Kp|ck+dk ,5¿k ´óê,…p ≡ 3 (mod 4),Kv (ak−bk) = p v (ck +dk)(cid:143)óê,gñ! p (2):ek ≡ 1 (mod 2). d)|ŽX½n,(cid:127)3áõ‡ƒêp ≡ 2 (mod k),…2pk > (p+1)k ,(cid:18)a = p+1,b = 1.Kp|ak −bk b(cid:23)ak −bk = ck +dk ,Kck ≡ (−d)k (mod p). ep|d,Kp|c,Kkpk|ck,pk|dk ,@o ak −bk = ck +dk ≥ 2pk > (p+1)k gñ ¤±p (cid:45) d,dp ≡ 2 (mod k),(cid:23)p−2 = kq ,d p|ak −bk = ck +dk =⇒ (c·(−d)−1)k ≡ 1 (mod p) =⇒ (c·(d−1))kq ≡ 1 (mod p) =⇒ (c·(d−1))p−2 ≡ 1 (mod p) K p|c+d 4(I):ec+d = p,Kk ck +dk = ck +(p−c)k < pk < (p+1)k −1 gñ (II):ec+d ≥ 2p,d (cid:18) c+d (cid:19)k ck +dk ≥ 2 > 2pk 2 gñ. nþ:k ≥ 2(cid:18)êþ÷v^‡. :::µµµ:dK5gu(250 Problems in elementary number theory)(1971cч),ù(cid:29)SK8 (cid:27)KÑš~k¿g,éõÑ´5g˜(cid:10)Œ[(cid:27)¯KÚ)‰,Š(cid:26)˜Ö.-|(cid:0)5kÆ)J Ñ2019c(cid:157)Ž(cid:28)(cid:12)(cid:143)(cid:127)LdK.ù´·vk5¿(cid:20)(cid:27)! 3. (cid:23)b(cid:14)n(cid:14)/ABC ¥÷v|AB| < |AC|,Ù(cid:9)(cid:26)(cid:11)(cid:143)Γ,(cid:23)I ´S%,:D,E ©O´ (cid:11)Γþü‡ØÓ(cid:27):,…E 3`lBAC þ,÷v AD ⊥ DI, |EB|·tan∠B = |EC|·tan∠C :F ´÷v†‚DF ƒu(cid:11)Γ,…|BF| = |CF|,¦y:A,E,F n:(cid:1)‚. {{{1: Xã:ŠAH ⊥ BC uH ,O (cid:143)(cid:11)(ABC)(cid:27)(cid:11)%,K BH ccos∠B tan∠C EB = = = CH bcos∠C tan∠B EC KEH ²©∠BEC (cid:23)M ´lBC (cid:27)¥:,N ´lBAC (cid:27)¥:,KE,H,M ;A,I,M;M,O,N n:þ©O (cid:1)‚. 5(cid:18)A(cid:48) (cid:143)A(cid:27)é»:,KDIA(cid:48) (cid:1)‚.(cid:23)F(cid:48) = EA∩MN ,d∆F(cid:48)ME ∼ ∆F(cid:48)AN ,∆F(cid:48)MA ∼ ∆F(cid:48)EN ,Kk F(cid:48)N AN F(cid:48)E EN = , = F(cid:48)E EM F(cid:48)M AM @ok F(cid:48)N AN ·EN = F(cid:48)M AM ·EM ,(cid:9)˜(cid:144)¡:d ∠ADI = ∠MDN = 90◦,∠DAI = ∠DNM =⇒ ∆DMN ∼ ∆DIA Kk FN DN2 DA2 MA(cid:48)2 AN2 AN AN = = = = = · FM DM2 DI2 IM2 IM2 EM MH q AN ·AM = 2S = 2S = HM ·EN ∆ANM ∆HNM @o FN AN EN F(cid:48)N = · = FM EM AM F(cid:48)M (cid:25) F = F(cid:48) ¤±A,E,F (cid:1)‚ {{{2:Xã::::(cid:27)(cid:27)(cid:27)000(cid:11)(cid:11)(cid:11):(cid:23)H,N,L´A,I,J 3BC þ(cid:27)ÝK,G´D 'uFM (cid:27)é¡:,S,T ´I 3AB,AC þ 6(cid:27)ÝK,J ´∆ABC (cid:27)(cid:11)%. Ó{1(cid:127):E,H,M n:(cid:1)‚,d π ∠ADI = ∠ASI = ∠ATI = 2 (cid:127)A,D,S,I,T (cid:1)(cid:11)§q ∠DSA = ∠DTA,∠DBA = ∠DCA =⇒ ∆DSB ∼ ∆DTC @o DB BS BN = = DC CT CN =⇒ DN ²©∠BDC ,KD,N,M (cid:1)‚. du AB +BC −AC BN = = CL 2 (cid:127)M,L,Gn:(cid:1)‚. dFD ´ƒ‚,D,G'uFM é¡,KFG†(cid:11)Γƒƒ. ‡y²:E,A,F n:(cid:1)‚,@o(cid:144)Iy²EDAG´NÚo>/,=(cid:144)I÷v MK,MH,MN,ML´NÚ‚å,duH,N,K,L´Rv,@o(cid:144)I`² A,K,I,J ´NÚ:(cid:15),ù´·‚Ù(cid:127)(cid:27)! {{{3:Xã:ë(cid:26)DM (cid:2)BC u:U ,LI ‰IV ⊥ BC uV :,A(cid:48) ´A:(cid:27)é»:,(cid:23)EA† 7L:D (cid:27)ƒ‚(cid:2)uF(cid:48) .ë(cid:26)F(cid:48)M . Ó{1(cid:127):M,H,E n:(cid:1)‚,dî.½n(cid:26) IV AI 2Rr = R2 −OI2 = AI ·IM =⇒ IV ·AA(cid:48) = AI ·IM =⇒ = IM AA(cid:48) q∠VIM = ∠AMO = ∠A(cid:48)AI ,(Üþ¡(cid:127): ∆IVM ∼ ∆AIA(cid:48) =⇒ ∠IMV = ∠AA(cid:48)I = ∠AMD (cid:25)D,V,M,U o:(cid:1)‚. du∠UAI = ∠OAI = ∠UDI ,(cid:127)D,A,U,I (cid:1)(cid:11).(cid:25)∠AUI = ∠IDA = 90◦ ,¤±UHVI ´ Ý/. ÚÚÚnnn: F(cid:48)A MH = F(cid:48)E ME y²:Ï(cid:143) F(cid:48)A F(cid:48)A F(cid:48)D AD2 ∆F(cid:48)DA ∼ ∆F(cid:48)ED =⇒ = · = F(cid:48)E F(cid:48)D F(cid:48)E ED2 qd/9(cid:28).k MH MH2 MH ·ME = MB2 = MI2 =⇒ = ME MI2 @o(cid:144)Iy² MH AD sin∠VMI = = MI ED sin∠VMH ⇐⇒ MH ·sin∠UMH = MI ·sin∠IMV duo>/UHVI ´Ý/(cid:127):þªw,(cid:27)! £(cid:20)(cid:6)¯K:dÚn(cid:127):F(cid:48)M//AH ,KF(cid:48)M ⊥ BC ,(cid:25)F(cid:48) = F 555:dKÄ(cid:29)g´´1(cid:19)‡^‡=zE,H,M (cid:1)‚,){1̇|^Ó˜{(܃ q'~(cid:26)(cid:20)(cid:1)‚,{2̇|^A‡²;(cid:1)‚(cid:28)./ÏNÚ:(cid:15)y²(cid:1)‚,{3| ©(cid:27)(cid:8)E(cid:10)˜‡Ý/(ÜÓ˜{=Œ,(cid:8),(cid:29)K(cid:143)Œ±|^‡ü(cid:26)(cid:20)y²((cid:2)Ø ´'…,(cid:29)ŸÚc¡(cid:144){aq),dK5(cid:13)´IMO 2021 Malaysian Training Camp :http- s://artofproblemsolving.com/community/c6h2395519p19654491 4. (cid:23)p,q ´Œu1‰½(cid:27)(cid:20)(cid:18)ê,…(p,q) = 1.(cid:23)(cid:20)(cid:18)êP,Q÷vP ≥ q −1,Q ≥ p−1,· ‚¡8ÜA = {a ,a ,··· ,a }(a < a < ··· < a )´²ï(cid:27),´(cid:141)a ,a ,··· ,a ´ 0 1 P+Q 0 1 P+Q 0 1 P |¤ú(cid:11)(cid:143)p (cid:27)(cid:31)(cid:11)ê(cid:15),(cid:13)a ,a ,··· ,a ´|¤ú(cid:11)(cid:143)q (cid:27)(cid:31)(cid:11)ê(cid:15),¦ØÓ² P P+1 P+Q ï8‡ê(cid:27)(cid:129)ŒŠ,¦(cid:26)Ù?¿ü‡(cid:27)(cid:2)8þ(cid:143)š˜. 8‰‰‰YYY:ØØØÓÓÓ²²²ïïï888‡‡‡êêêPPP(cid:143)(cid:143)(cid:143)n,KKK  P P +Q+(cid:98) (cid:99)(p−q)+1 p ≥ q   q   n = max   Q   P +Q+(q −p)(cid:98) (cid:99)+1 p < q p ½Â:·‚P²ï8A ´±Ä‘(cid:143)b(cid:27)8Ü.Ø”(cid:23)p > q b ÚÚÚnnn:(cid:23)8ÜA †A (b < c)´k(cid:2)8(cid:27)¿‡^‡´(cid:127)3(cid:18)êx,y ¦(cid:26) b c c−b = xp+yq, 0 ≤ x ≤ P,0 ≤ y ≤ Q 777‡‡‡555:ec−b = xp+yq(0 ≤ x ≤ P,0 ≤ y ≤ Q),Kk c+(P −x)p = b+Pp+yq ˜>3A ¥,˜>3A ¥,=A (cid:84) A (cid:54)= ∅ b c b c ¿¿¿©©©555:eA (cid:84) A (cid:54)= ∅ b c dc > b,K˜½(cid:127)3o‡(cid:18)ê:k ,k ,l ,l ,÷vP ≥ k ≥ k ≥ 0,Q ≥ l ≥ l ≥ 0, ¦ 1 2 1 2 1 2 1 2 (cid:26) b+k p+l q = c+k p+l q =⇒ c−b = (k −k )p+(l −l )q = xp+yq 1 1 2 2 1 2 1 2 Ù¥x = k −k ∈ [0,P],y = l −l ∈ [0,Q] y.! 1 2 1 2 £££(cid:20)(cid:20)(cid:20)(cid:6)(cid:6)(cid:6)¯¯¯KKK: y3(cid:23)A ,A ,··· ,A ´n‡÷v^‡(cid:27)²ï8(=?¿ü‡(cid:2)8š b1 b2 bn ˜),…Ø”(cid:23)b < b < ··· < b ,dÚn(cid:26):(cid:127)3šK(cid:18)êα ,β (i = 1,2,··· ,n−1),¦ 1 2 n i i (cid:26) b −b = α p+β q, α +β ≥ 1 i+1 i i i i i (cid:23) n−1 n−1 (cid:88) (cid:88) α = α , β = β ,i = 1,2,··· ,n−1 i i i=1 i=1 @o n−1 (cid:88) α+β = (α +β ) ≥ n−1 i i i=1 ,(cid:9)5¿(cid:20) b −b = xp+yq,0 ≤ x ≤ P,0 ≤ y ≤ Q n 1 … n−1 n−1 (cid:88) (cid:88) Pp+Qq ≥ b −b = (b −b ) = (α p+β q) = αp+βq = xp+yq n 1 i+1 i i i i=1 i=1 9P ÚÚÚnnn2µµµ(cid:23)k = (cid:98) (cid:99),r = P −kq ,Kk q β ≤ Q+kp yyy.duxp+yq = αp+βq ,·‚k (β −y)q = (x−α)p =⇒ q|(x−α) qx−α ≤ x ≤ P ,@o x−α ≤ kq ¤± p β −y = (x−α)· ≤ kp q (cid:25) β ≤ y +kp ≤ Q+kp ¤± (αp+βq)+β(p−q) Pp+Qq +(p−q)(Q+kp) n−1 ≤ α+β = ≤ = P +Q+k(p−q) p p (cid:25)k P n ≤ P +Q+(p−q)(cid:98) (cid:99) q (cid:26) (cid:27) Q ,(cid:9)(cid:18)(α ,β ) = (1,0),i = 1,2,3,··· ,p ,(α ,β ) = (0,1)´u(cid:8)÷v(cid:18)(cid:31)^ i i else else p ‡. Ónép < q Œ±(cid:26)(cid:20)aq(J. nþ(cid:26) (cid:18) (cid:19) P Q n = P +Q+1+max (p−q)(cid:98) (cid:99),(q −p)(cid:98) (cid:99) max q p 555:dK̇(cid:127)Ä?¿ü‡8ÜØ(cid:2)Œ±(cid:21)¤xp + yq /ª,2(ÜÙ(cid:129)Œ†(cid:129)(cid:2)(cid:27)å l5éX8Ün(cid:27)Œ(cid:2),Œ±|^AÛ¿Â5©Û(cid:0)¡(cid:27)(cid:129)Œ(cid:18)Šœ¹,dK´'(cid:22)J (cid:27),L§Ø(cid:20)N´Ö(cid:21)˜Ù.ù3(cid:127)cÓÆ‚˜½õ5¿ù˜:.(cid:8)P = q,Q = pž´Û êZæ˜(cid:23)¿mK,3ÆêƘ@(cid:28)[òþÁg(cid:10)dK. 555:ùùù´´´˜˜˜@@@ééémmm\\\ÁÁÁ(cid:28)(cid:28)(cid:28)[[[òòò,JJJÝÝÝÄÄÄ(cid:29)(cid:29)(cid:29)ÚÚÚCCCèèècccééémmm±±±²²²FFF"""éé錌Œ[[[kkk˜˜˜(cid:10)(cid:10)(cid:10)(cid:144)(cid:144)(cid:144)ÏÏÏ!666 ŒŒŒ[[[ééémmm¤¤¤õõõ! 10