高中数学的底层规律到底是什么?

为什么知识点全都记得，碰到题目还是没有思路？数学解题真的只能靠天赋和灵感吗？当然不是。数学和这个世界上的其他事物一样，都有它自己的一套运行规律，这套最底层的运行规律，就是学好数学的关键之所在。

那什么是数学学习的底层规律呢？我们在讲这个问题前，我希望大家能回忆一下，我们是怎么样学习数学的？关于这个问题想必大家的答案应该都差不多，无非是先听老师讲知识点，再去做例题，错了之后听老师再讲解例题，最后再让同学们做作业，作业批改完之后再去讲错题，订正好后再给老师检查，这样子一个学习过程就结束了。我们会发现在上面所讲的这个过程当中，最常出现的两个词就是：做题和讲题，如果换两个词来表达就是输出和输入。所以数学学习的底层规律其实就是输入和输出的相互转化：我们做题本质上就是在将我们先前学到的知识进行输出运用，而听课或者看解析本质上就是在进行输入，输入和输出的相互配合、相互转化，就是我们数学学习的底层规律。

既然大家学习数学的底层规律都是一样的，那为什么有些人考的高有些人考的低呢？那是因为输入和输出的相互转化他并不是简单的重复，而是不断上升的，前一次的输入所获得的新知识、新技巧、新思路会指导下一次的输出，也就是练习做题，在每一次循环过程中所习得的知识或者技巧，会因为个人的天赋或者学习习惯而有所不同，这种不同主要体现在所吸收知识的数量和质量上，而这种差距在长此以往的积累下就会反应到同学们之间成绩上的差异。所以大家在成绩上的差异本质上是大家所获得的知识和技巧在数量和质量上的差异。

那看到这里大家又会有疑问，什么叫做知识的数量？什么又叫做知识的质量？在我看来数量指的就是知识或者技巧的多少，而在此基础上又两个衡量维度，分别是广度和深度。比如说同样一道不等式题目的题，有的同学学会了基本不等式的运用，而有的同学可以举一反三的得出基本不等式一的代换这种技巧，这种举一反三所得出来的知识点与知识点之间的联系就是知识的广度；有些同学不仅学会了基本不等式的运用，还发现其实这种题目本质上，都是在现有公式基础上尽可能凑出相乘为定值的情况，在这种从特殊题目解法扩展到这类题型一般的解法，就是我们上面所指的深度。而这两个维度共同组成了我们学习到的知识的数量。

那什么叫做知识的质量？在这里可以将输入的知识分为四类分别是：基本正确、部分正确、部分不正确和基本不正确，比如说你通过一道题目得出基本不等式题目基本上上就是想尽办法创造一个相乘起来为定值的形式，那么这个就是部分正确的结论，因为最小值我们也可以通过放缩或者函数最小值的形式获得，这个叫做部分正确；但是如果你说如果你想要用基本不等式就要满足一正二定三相等那这个结论就是基本正确的，因为这个是基本不等式使用的第一前提。所以，知识的质量主要反映的就是所得知识点是否是正确的？使用这个方法是否会有部分前置条件？等等等等

所以，我们前面讲了那么多，我们不断输入和输出的最终目的，其实就是获得大量有深度的基本正确的知识和技巧。那有了这些基本概念后我们还是不知道怎么样才能够学好数学，怎么样才能让我们看到题目就会立马联想到解题思路呢？关键就在于明白数学知识和技巧本质上不是一条线而是一张网，而这张数学思维网，就是我们学习的关键。数学做题主要分为三个步骤，阅读题目、思考方法和解答题目，其中最重要的就是阅读题目和思考方法。

阅读题目是为了能够从题目当中获得条件，条件获得的是否充足，是你能不能解出题目的关键。比如说在这道题目中，我们已经知道了a分之一加b分之一等于3，以及最后要求的是这个式子的最小值，这些就是我们通过题目阅读出来的条件，当然这个题目很简单，所以提取条件并不是很难，但是在后续的函数题目当中，会经常出现类似于函数过定点，或者立体几何中线面垂直等隐性条件，对于这种条件的提取能力就是我们需要在做题目和看解析这个输入输出循环中需要学习的第一个能力。

想要正确写出一道题目，就需要在有充足条件的情况下使用正确的解法，所以输入和输出循环的第二个关键就是学习解题方法和解题技巧，什么叫解题方法？比如说在计算最值的题目中，可以使用一的代换或者使用函数法求最值，这种通过某个公式得出结果的方法，就是解题方法；那什么是解题技巧？解题技巧就是指，通过题目得出的条件得出可以选择的解题方法的技巧。

在上面这道题目当中，我们看到求最小值的题目，我们会想到可以用基本不等式、函数最小值或等效替代的方法来做，这些基于我们以前经验所归纳出的方法，就是我们的学习方法；但是我们看题目，发现题目当中现有的条件并不能支持我们用函数的方法或者等效替代的方法解出来，所以这道题目最合适的方法其实是用一的代换来做，这种从众多可能方法中找到正确方法的能力就是我们所说的做题技巧

翻译能力、做题技巧和做题方法这三个能力是我们数学学习最底层也最核心的能力，我们需要在做题过程中不断总结不断思考，最后得出一个基本正确的普适的技巧和结论，这就是我们做题的最终目的。