【习题研讨】123. 老题但是解法被学生改进了一点! f 是正整数集到正整数集的函数,且对任意 m,n 都有 n+f(m) 整除 f(n)+nf(m), 求 f.

 是正整数集到正整数集的函数，且对任意  都有  整除 , 求 .

LCY 和 FHX 同学改进了我发布的标准答案的解法，充分利用了任取正整数  这个条件. 我将他们的解法转述：

首先，我们先做线性组合，把被整除的式子进行简化.  注意到：

因此我们有 .  又注意到

因此我们有 .  结合，可知

我们分类讨论如下：

如果  无界，则对任意给定的正整数 ，都存在正整数  使得 ，再由 , 我们知道只能有  成立.  由  的任意性可得 , 检验可知它符合题意.

如果  有上界，记它的一个上界为 . 先取 , 易得 ;  取 , 易得  或 . 

（i）若 , 在  中取 , 可得  对任意正整数  成立，故  , 检验可知合题意；

（ii）若 , 在  中取 , 可得 ; 再取  , 可得 . 注意这两个整除关系对任意给定的正整数  都成立.  因此取足够大的 ，此时我们必有  且  这是一个矛盾.

综上，.