Excel 双因素方差分析

上一篇用单因素方差分析比较了几种审核流程。这次再加一个条件：订单有标准订单，也有复杂订单。

我们想知道，新流程是否更快；还想知道，它对两类订单的改善幅度，是否一样。 后一个问题，就需要把两个因素放在一起分析。

两个因素，三个问题

用一组虚构的订单审核数据演示，耗时单位为分钟。每种“流程 × 订单类型”组合各有 3 笔不同订单，共 12 笔。

这里的因素是用来分类的条件：审核流程、订单类型。每个因素下面的具体类别，叫水平：旧流程和新流程是两个水平，标准和复杂也是两个水平。

“双因素”指两个分类因素，不是指只有两组数据。本例有 2×2＝4 种组合；一个因素也可以有三个或更多水平。

先算各组合的平均耗时：

本例各组合的订单数相同，所以边上的总体均值，可以直接由两个组合均值平均得到。

这张表对应三个不同的问题。

**流程的主效应：**把两类订单合起来看，旧流程均值 15 分钟，新流程 10 分钟，相差 5 分钟。

**订单类型的主效应：**把两种流程合起来看，标准订单均值 9 分钟，复杂订单 16 分钟，相差 7 分钟。

**流程与订单类型的交互作用：**换成新流程后，标准订单从 10 降到 8，少了 2 分钟；复杂订单从 20 降到 12，少了 8 分钟。流程之间的差距，随订单类型而变。

我会先看这两个具体差值，再回头看“平均节省 5 分钟”。后者概括了整体，却把两类订单的不同反应合在了一起。

交互作用，不一定要两条线交叉

把四个组合均值连成线，会更容易看出这个问题。

如果两类订单都恰好少 2 分钟，两条均值线就是平行的。本例一类少 2 分钟，另一类少 8 分钟，两条线不平行。

交互作用关注的是一个因素的作用是否依赖另一个因素的水平。 两条线即使没有交叉，也可能存在交互作用。

不过，样本均值会受随机波动影响。画出不平行的线，只能提示值得检查；差异是否有统计证据，还要将它与同一组合内部的波动比较。

“有重复”到底重复了什么

Excel 的数据分析里，有“可重复双因素分析”和“无重复双因素分析”两个入口。

区分依据是：每种因素组合里，有几个观测值。

本例“旧流程 × 标准订单”有 9、10、11 三个值，其他组合也各有三个，属于有重复的平衡设计。这里重复的是相同条件下的独立观测，不是把同一笔订单测三遍，也不是复制三行数据。

“无重复”不等于两个因素互不影响。每格只有一个数时，缺少同一组合内的波动信息；通常要在无交互的加性模型假设下检验两个主效应，不能再拿结果证明“没有交互”。

也不要先把本例每格的三个数平均成一个数，再去选“无重复”。这样会丢掉原本能够估计误差的组内信息。

方差分析怎样判断这些差别

上一篇把总变动分成组间差异和组内波动。现在有两个因素，还允许交互作用，就需要分得更细：

总平方和 ＝ 流程平方和 ＋ 订单类型平方和 ＋ 交互平方和 ＋ 误差平方和

用公式表示：

平方和记作 SS。它将偏离程度平方后相加，避免正负抵消。下面的公式适用于本例这种两个固定因素完全交叉、每种组合都有相同重复数的平衡设计。

先把符号与这张表对应起来

因素 A 是审核流程，因素 B 是订单类型。设 A 有  个水平，B 有  个水平，每种组合有  个独立观测，总观测数为 。本例中，、、，所以 。

字母上方的横线表示平均值，下标中的点表示沿那个因素的全部水平取平均。求和符号  表示“把指定范围内的各项加起来”；、、 分别遍历  到 、 到 、 到 。

1. 误差平方和：同一组合内部有多大波动

每个观测减去它所在组合的均值，平方后对全部观测求和：

代入本例，先看“旧流程 × 标准订单”：均值为 10，三个观测对它的偏离为 −1、0、1，这一格贡献的平方和是：

其余三个组合也各贡献 2，因此：

它描述的是同一流程、同一订单类型之内，订单耗时仍然存在的波动。

2. 主效应平方和：边际均值偏离总均值多少

因素 A 的平方和公式是：

前面的  是 A 每个水平包含的观测数。本例每种流程有 2 类订单，每类 3 笔，所以 。代入两个流程均值：

因素 B 的计算方式相同，只是改为比较 B 的各水平：

本例每类订单都包含两种流程下的共 6 笔观测，所以：

3. 交互平方和：两个主效应相加，还差了多少

如果只保留两个主效应，按加性模型拟合的第  格均值为：

上标  表示加性模型。用实际格均值减去这个拟合值，记为交互偏差 ：

将各格交互偏差平方，乘上每格的观测数  后相加：

合在一起写，就是交互平方和的通用公式：

拿“旧流程 × 标准订单”来说，加性模型拟合的均值为：

实际格均值是 10，所以交互偏差为 。按“旧流程 × 标准、旧流程 × 复杂、新流程 × 标准、新流程 × 复杂”的顺序，四格的交互偏差依次为 −1.5、1.5、1.5、−1.5。代入 ：

4. 总平方和：对全部变动做一次核对

总平方和比较的是每个观测与总均值的差：

将本例十二个观测分别减去 12.5，再平方相加，得到 257。也可以核对四部分之和：

从平方和走到 F 和 P

平方和还要除以各自的自由度 df，得到均方 MS，再将效应均方除以误差均方。

先列出自由度的通用公式，再代入本例的 、、：

四部分自由度也能相加核对：。均方的计算公式是：

具体到本例的四个部分：

因此，、、，共同的误差均方为 。

三个效应都与同一个误差均方比较，F 统计量的公式分别为：

代入本例：

• 流程：。
• 订单类型：。
• 交互作用：。

这三个检验都在问：对应效应的变动，相对于同一组合内部的随机波动，有多大。

在各自原假设成立、模型条件满足时，用相应的 F 分布求右尾概率：

其中， 是算出的 F 值， 是所检验效应的自由度， 是误差自由度。本例三个检验都使用  分布，交互作用这一项代入后为：

这里的三个原假设分别是：两个流程的总体边际均值相等、两类订单的总体边际均值相等、没有交互作用。P 值不是“原假设为真的概率”。

这一套普通双因素模型要求观测相互独立，各组合的误差方差相同，误差服从正态分布。本例只是便于跟算的演示数据，每格 3 个值，不能靠这几个点充分验证分布假设。同一批对象反复测量、重复数不等或有缺失组合时，也不能直接套用本例的 Excel 设置。

在 Excel 中计算

1. 按工具要求排列数据

我们在工作表中输入以下内容。A 列按流程分块，B、C 列分别放两类订单，每个流程块占三行。数值单元格只填数字，统一以分钟计。

本表同一行的两个数字属于不同订单，没有配对关系。A3、A4、A6、A7 留空只是流程块标签的排列方式，B2:C7 的十二个观测值都要保留。

2. 选择分析工具并填参数

点击 “数据 → 数据分析”，选择 “方差分析：可重复双因素分析”。

如果没有“数据分析”按钮，在 Windows 版 Excel 中进入“文件 → 选项 → 加载项”，底部“管理”选择“Excel 加载项”，点击“转到”，勾选“分析工具库”。

在分析对话框中填写：

• 输入区域：$A$1:$C$7，包含表头和流程标签。
• 每一样本的行数：3，表示每个流程块有三行观测，不填总行数 6 或订单总数 12。
• α：0.05。
• **输出选项：**选择“新工作表组”，名称可以留空。

3. 看方差分析结果

点击“确定”，Excel 会生成摘要统计和方差分析表。

按本例的排法，输出中的**“样本”对应审核流程，“列”对应订单类型，“交互”对应二者的交互作用**。不要只看英文或中文标签，要先与输入表的方向对应。

将关键结果整理出来：

Excel 可能用科学记数法显示较小的 P 值，例如 2.45684E-05，意思是 2.45684×10⁻⁵，约为 0.00002457，并不是零。

在 α＝0.05 下，本例三个效应都达到显著性阈值。它们的分子自由度都是 1、分母自由度都是 8，F 临界值同为约 5.3177。三个 F 都大于临界值，与三个 P 都小于 0.05，是同一套判断。

在 Minitab 中计算

同一组数据也可以在 Minitab 中完成分析。这里用“一般线性模型”，把流程、订单类型和二者的交互作用一起放进模型。

1. 整理成每行一笔订单

在空白工作表中，将 C1、C2、C3 的列名分别设为 “流程”“订单类型”“耗时”。列名填在列号下面的名称行，十二笔订单从第 1 行开始录入，耗时仍以分钟计。

与前面的 Excel 排法不同，这里每一行都要写全流程和订单类型，不要沿用流程块中留空的方式。C1、C2 中存放文本类别，C3 中只放数值。

2. 设置响应和因子

依次进入 “统计 → 方差分析 → 一般线性模型 → 拟合一般线性模型”。

在“响应”中放入 耗时，在“因子”中放入 流程、订单类型，“协变量”留空。响应是要分析的数值结果，两个分类条件则属于因子；本例将这两项作为固定因子。

可以先点击相应输入框，再双击左侧列名，将它加入框中。

3. 把交互作用加入模型

点击 “模型”。左上方的“因子和协变量”列表中，同时选中“流程”和“订单类型”；“按变量顺序添加交互项”右侧保留 2，再点击旁边的“添加”。

检查下方“模型中的项”，应包含三项：流程、订单类型、流程*订单类型。其中星号表示模型中的交互项。

这一步不能省略。仅在主对话框中填入两个因子，默认模型只包含它们的主效应；要检验本例关注的交互作用，需要明确加入交互项。

点击“确定”返回主对话框，再点击“确定”运行。其余设置保留默认即可复现本例。

4. 对照方差分析表

Minitab 的实际输出如下。因子信息中，流程和订单类型各有两个水平，类型均为“固定”。

重点看“方差分析”部分：流程、订单类型、交互项的 F 值分别为 75.00、147.00、27.00；误差自由度为 8，误差均方为 1，与 Excel 的结果一致。

输出中的 Adj SS 和 Adj MS 分别是调整平方和与调整均方。本例是每格重复数相同、包含完整交互项的平衡设计，这几项数值与前面手算的平方和、均方一致；不能把这种数值对应不加条件地推广到所有数据结构。

本次输出将 P 值保留三位小数，所以两个主效应显示为 0.000，交互作用显示为 0.001。这是显示时的舍入：交互作用更精确的值约为 0.000826，两个主效应的 P 值也都大于零。写报告时，可将显示为 0.000 的结果写作 P＜0.001，不要写成 P＝0。

这里仍按前面设定的 α＝0.05 判断，三个效应都达到显著性阈值。接下来要结合交互作用和四个组合均值解释业务含义。

有交互时，结论怎样写

我会优先解释交互这一行：流程之间的耗时差异，与订单类型有关。 然后再结合各组合均值说明方向。

本例可以写成：

在这组演示数据中，每种“流程 × 订单类型”组合有 3 笔独立订单。双因素方差分析得到交互作用 F(1,8)＝27，P≈0.000826。在模型条件满足的前提下，有证据认为流程差异随订单类型而变。样本中，标准订单从旧流程的平均 10 分钟降至新流程的 8 分钟，复杂订单从 20 分钟降至 12 分钟，分别减少 2 分钟和 8 分钟。

“平均节省 5 分钟”仍是本例两个流程的边际均值差，但它对应标准和复杂订单各占一半的结构；换一批订单，两类占比不同，这个整体平均差也可能变。

交互检验也没有自动完成“标准订单内部新旧流程比较”和“复杂订单内部新旧流程比较”。如果还要分别声称两类订单中的改善都达到显著性阈值，需要进一步做简单效应或预先规定的对比，并根据比较范围处理多重检验。

真实业务里，还要检查分组与分配方式。只把不同团队、不同时段的历史记录放在一起，耗时差异可能同时受人员熟练程度等因素影响，不能全部归因于流程。

若某一行 P 大于 0.05，应写“当前证据不足以认为该效应存在”，不能写成“这个因素没有影响”或“两组完全相同”。

用「知数」小程序算同一组数据

在“计算”页点击 “切换方法”，搜索“方差分析”，选择 “双因素方差分析（含交互）”。进入后，确认设计类型是 “双因素含交互”。

这里改用每行一笔订单的排列方式：第一项是因素 A，即流程；第二项是因素 B，即订单类型；第三项是耗时。把以下十二行粘贴到“双因素数据”输入框，内容之间用空格分隔，不加表头。

旧流程 标准 9旧流程 标准 10旧流程 标准 11旧流程 复杂 19旧流程 复杂 20旧流程 复杂 21新流程 标准 7新流程 标准 8新流程 标准 9新流程 复杂 11新流程 复杂 12新流程 复杂 13

α 保留 0.05，点击“计算”，再点“查看结果”。本例实际显示的交互作用 P 值为 0.000826；因素 A、因素 B 的 P 值分别约为 2.46×10⁻⁵、1.98×10⁻⁶。

方差分析表中的 F 分别为 75、147、27，与 Excel、Minitab 一致。三个工具的输入与显示形式不同，分析的仍是同样的十二笔订单。

小程序当前这个入口要求各组合都有数据、重复数相同且至少为 2。每格只有一个值的“无重复”数据，不能放到这里检验交互作用。