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初中数学学霸秘籍4:一条割线定理牵着两个圆
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【261004】割线定理 ＋ 旋转手拉手 ＋ 隐藏圆
【题目】已知 P(−3, 1)，A(3, 3)，C(0, −3)，⊙P 过原点 O，点 Q 是 ⊙P 上的动点。作 △AQB（逆时针排列），∠A = 60°，且 AQ·AB = 30，求 CB 的最大值和最小值。
动点 Q 在圆上，B 被"AQ·AB = 30"牵着走——先读懂这个乘积
这题的题眼是那个怪条件 AQ·AB = 30：两条动线段的乘积是定值，在圆的背景下，它几乎是明示——割线定理。全题就四步：读圆 → 认出割线定理 → 旋转手拉手锁定 B → 隐圆收口。
1先把 ⊙P 摸清楚：半径、AP、两个交点
⊙P 过原点，所以半径就是 OP：
r = OP = √(3² ＋ 1²) = √10
连结 AP 并延长，设它与 ⊙P 依次交于 D、T 两点。由两点距离公式，AP = √(6² ＋ 2²) = 2√10，于是
AD = AP − r = √10，AT = AP ＋ r = 3√10
顺手用中点公式一验：D = ((3−3)/2, (3+1)/2) = (0, 2)，恰是 AP 的中点（因为 AD = AP/2）；T 落在 (−6, 0)，正好在 x 轴上。两个交点都是定点——这一步是后面一切的根基。
2题眼现形：AQ·AB = 30 是割线定理
设直线 AQ 与 ⊙P 的另一个交点为 I（Q、I 是同一条割线的两个交点）。从 A 出发的两条割线 A–Q–I 与 A–D–T，由割线定理：
AI·AQ = AD·AT = √10 × 3√10 = 30
而题目给的正是 AQ·AB = 30。两个式子一对照：
AQ·AB = AI·AQ ⟹ AB = AI
乘积条件水落石出：AB 始终等于 AI。也就是说，B 是 I 的"等长替身"——I 在 ⊙P 上怎么动，B 就跟着怎么动。剩下的问题只有一个：I 和 B 之间是什么变换？
图 2 从 A 出发的两条割线：乘积 30 把 B 和 I 绑在一起
3旋转手拉手：B 原来是 I 转 60° 的像
B 与 I 的位置关系由"∠QAB = 60°（逆时针）"给出：射线 AB 恰是射线 AI 绕 A 逆时针旋转 60° 的像，加上 AB = AI，所以
B = 点 I 绕 A 逆时针旋转 60° 的对应点
既然如此，把 AP 也照样旋转：将 AP 绕 A 逆时针旋转 60° 得到 AE（A、E 都是定点）。旋转是全等变换，△AIP 转过去就是 △AEB——这就是手拉手全等 ：
△AIP ≌ △AEB，于是对应边
BE = IP = √10（定长！）
I 到圆心 P 的距离恒为半径 √10，旋转不改变距离，所以 B 到定点 E 的距离恒为 √10——第二个隐藏圆现身：B 在以 E 为圆心、√10 为半径的 ⊙E 上运动。动点完成"换乘"：Q 在 ⊙P 上跑，B 就在 ⊙E 上跑（瓜豆原理）。
图 3 旋转 60° 牵出定点 E，B 被锁进红色虚线圆
4把 E 的坐标定出来（一个"三六九"三角形）
显然 △APE为等边三角形，因为D为AP中点，所以△AED为“369”三角形，DE=√3AD=√30。
E 的坐标不用硬旋转求：过 A、E 分别向 y 轴作垂线，垂足为 H、K。AH = 3，DH = 1；由 “三垂直”可知：得 △ADH ∽ △DEK（相似比 1 : √3），于是 EK = √3·DH = √3，DK = √3·AH = 3√3。结合方位（E 在 D 的右下方）：
E = (0 ＋ √3, 2 − 3√3) = (√3, 2 − 3√3)
5收口：定点 C 到定圆 ⊙E 的最近与最远
问题已化归为：定点 C 到 ⊙E 上的动点 B 的距离最值。先算 CE：
CE = √( (√3−0)² ＋ (2−3√3＋3)² ) = √(55 − 30√3) ≈ 1.74
CE ≈ 1.74 < √10 ≈ 3.16，C 在 ⊙E 内部。所以 CB 的最小、最大值，就是直线 CE 与 ⊙E 两个交点 F、G 处的 CF 与 CG：
√10 − √(55−30√3) ≤ CB ≤ √(55−30√3) ＋ √10
即约 1.42 ≤ CB ≤ 4.91。
图 4 C 在圆内：沿 CE 方向的两个交点 F、G 给出最小与最大
负责任的检查：①反过来，任取 ⊙E 上一点 B，把射线 BA 顺时针转 60° 得射线 AI，由割线定理 AI·AQ = 30 = AI·AB 自动成立——每个 B 都对应合法的 Q，最值都能取到；②代特例 Q = O（原点在 ⊙P 上）：由 y = x 与 ⊙P 联立得 I = (−2, −2)，AB = 5√2，旋转后 B ≈ (4.83, −3.83)，CB ≈ 4.90，几乎就是最大值 4.91——因为此时的 B 恰好落在 G 附近。两条检验都通过。
三句话带走
·圆背景下的"动线段积 = 定值"，先想割线定理 —— AI·AQ = AD·AT，乘积条件立刻变成"两条线段相等"。
·"等长 ＋ 定角"就是旋转 —— AB = AI 夹 60°，把整条 AP 一起转，手拉手全等送出 BE = 半径（定长）。
·动点换乘：Q 在 ⊙P 上 ⟹ B 在 ⊙E 上 —— 定点 C 到定圆，圆内取差、圆外取和，最近最远都在连心线上。
· 照例双向检验：每个 B 都能反演出 Q，特例 Q = O 代回去也对得上。
— END —
答案：CB 的最小值 √10 − √(55−30√3)，最大值 √(55−30√3) ＋ √10。哪一步卡住了，留言说一声。
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