【高考真题2026】-大题11

解答

1．在如图所示的竖直平面内，固定在水平地面上的光滑轨道由两倾角均为的足够长轨道与一水平轨道平滑连接而成，连接点分别为、。质量为的小物块甲放置在左侧倾斜轨道上高处、质量为的小物块乙静止在水平轨道上，乙到、两点的距离均为。现静止释放甲，所有碰撞均为弹性正碰，重力加速度大小为，不计空气阻力。

(1)求甲第一次到达点时的速度大小。

(2)求两物块第一次碰撞过程中，乙所受合外力的冲量大小。

(3)若两物块在水平轨道上发生第二次碰撞，且第二次碰撞前只有一个物块滑上倾斜轨道，求满足的关系式（不求具体数值）。

【详解】（1）甲下滑过程轨道光滑，由动能定理

解得

（2）第一次碰撞为弹性正碰，设碰后甲速度为，乙速度为，取向右为正方向，由动量守恒和机械能守恒

解得乙弹性碰撞后速度

对乙由动量定理，合外力冲量等于乙动量变化

代入得

（3）碰后甲的速度，乙的速度；要使第二次碰撞前只有一个物块滑上倾斜轨道，需对k的取值进行分情况讨论：

①当0＜k≤1时，碰后甲、乙均向右运动且v₂＞v₁≥0，乙先滑上右侧斜面，往返后在水平轨道与甲相遇，设从碰后到相遇经过的总时间为t，根据位移关系有

解得

需满足在甲到达B点前相遇，即，代入速度化简得k³+3k²+35k﹣31＞0

②当k＞1时，碰后甲向左、乙向右运动；若1＜k＜3，则v₂＞|v₁|，乙先滑上右侧斜面往返后向左追上甲，设从碰后到追及经过的总时间为t，根据位移关系有

解得

需满足在甲到达A点前追及，即，化简得3k³+k²+25k﹣37＜0

若k＞3，则|v₁|＞v₂，甲先滑上左侧斜面往返后向右追上乙，设从碰后到追及经过的总时间为t，根据位移关系有

解得

需满足在乙到达B点前追及，即，化简得k³﹣21k²+19k﹣23＞0

综上所述，k满足的关系式为

当0＜k≤1时，k³+3k²+35k﹣31＞0

当1＜k＜3时，3k³+k²+25k﹣37＜0

当k＞3时，k³﹣21k²+19k﹣23＞0