第197期【试题研修】2026年河北中考数学第9题

解析：

1.基础：平行四边形判定

∵AD∥BC，AE∥DC

∴四边形AECD是平行四边形

∴AD=EC

已知BC = 3AD，设AD = x，则BC = 3x，EC = x，

∴ BE = BC - EC = 3x - x = 2x。 

△ABE沿AE翻折得到△ AB'E，

∴ B'E = BE = 2x，∠B' = ∠B，

S△AB'E = S△ ABE，

∠AEB =∠ AEB'

2. 母题：角分线+平行线得等腰三角形

∵AE∥DC

∴∠AEB=∠C,

  ∠ AEB'=∠EHC

∴∠EHC =∠C

∴EN=EC

∴EN=EC=x

∴B'N=B'E-EN=2x-x=x

3. 基础：证明相似

∵ AE ∥ DC，

∴∠B'NM=∠B'EA

又∠ B' =∠B' ，

∴△ B'NM ∽△ B'EA。

4. 基础：求相似比

∴ B'N：B'E = x：2x = 1：2。

5. 应用：求面积比。相似三角形面积比等于相似比的平方：

S△B'NM：S△B'EA=（B'N：B'E）²=（1:2）²=1:4

又∵S△ AB'E = S△ABE，

∴S△MB'N：S△ABE= 1:4。

最终答案：选C

平行四边形判定与相似证明

教材来源：人教版八年级下册 《平行四边形》最经典的例题集中在课本之中，它完美展示了判定定理的应用：

典型题目：如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点。求证：四边形EBFD是平行四边形。

解题思路：利用“一组对边平行且相等”的判定定理。因为ABCD是平行四边形，所以AB∥CD且AB=CD。又因E、F是中点，可得EB=FD，加上EB∥FD，即可得证。

更多练习：在课后习题及配套的《平行四边形的判定》专题课件中，还有很多关于“两组对边分别平行”“一组对边平行且相等”、“对角线互相平分”等判定方法的变式题。

总结归纳教材中，相似的判定方法：

两角分别相等；两边成比例且夹角相等（注意夹角是前提）；三边成比例：需分别计算三边比值是否相等。常出现在网格图中，如判断格点三角形是否与△ABC相似，需通过勾股定理算边长比。

拓展经典模型练习：

平行线法：“A”“X”型：公共角+已知角相等

母子直角三角形：利用同角的余角相等

折叠问题：折叠后，对应角相等来证相似。

角平分线+平行线得等腰三角形

教材来源：人教版八年级上册（角平分线与等腰三角形）、八年级下册（平行四边形）这个模型的核心是“知二推一”：角平分线、平行线、等腰三角形这三个条件，只要知道其中任意两个，就能推出第三个。

课本母题：该模型的原型出现在八年级上册练习题。已知AD∥BC，BD平分∠ABC，求证AB=AD。这其实就是利用平行线得到内错角相等，再结合角平分线推出等角，从而得到等腰三角形。

典型应用：上述课本母题中，如果延长DE和CB交于一点，就可能需要用到这个模型来证明新的等腰三角形，帮助解题。

相似三角形面积比与对应边比关系

教材来源：人教版九年级下册《相似》

这个知识点是相似三角形性质的核心，定理直接来自课本。

核心定理：相似三角形面积的比等于相似比的平方。

典型例题：课本例题是经典应用。在△ABC和△DEF中，已知AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D，且△ABC的周长是24，面积是48，求△DEF的周长和面积。

解题思路：通过两边对应成比例且夹角相等，先证明两三角形相似且相似比为2:1。然后根据“周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方”即可算出答案。

一、题目考点

这道题综合考查了：

1. 平行四边形的判定与性质（AD∥ BC、AE∥ DC 推出 AECD 是平行四边形）

2. 翻折（轴对称）的性质（翻折前后对应边相等、对应角相等，面积相等）

3. 相似三角形的判定与性质（AA判定相似，面积比等于相似比的平方）

4. 线段比例分析（利用 BC=3AD 推导线段长度关系）

二、解题关键步骤

1. 构造平行四边形：由 AD∥ BC、AE∥ DC，得 AECD 是平行四边形，因此 AD=EC。

2. 线段比例推导：设 AD=x，则 BC=3x，EC=x，故 BE=2x，翻折后 B'E=2x。

3. 相似三角形判定：由 AE∥ DC，得 ∠AEB=∠ MNE，结合∠ B'=∠ B，可证△MB'N∽△ AB'E。

4. 相似比与面积比：推得 B'N:B'E=1:2，因此面积比为（1∶2）²=1∶4。

三、常见错误分析

1. 平行四边形性质应用失误：误判 EC 与 AD 的等量关系，导致线段比例计算错误。

2. 翻折性质理解不透彻：忽略翻折前后对应边、对应角相等，无法建立 △ AB'E 与△ ABE 的面积关系。

3. 相似三角形判定错误：无法找到两组对应角相等，无法证明△ MB'N 与 △ AB'E 相似。

4. 面积比公式混淆：误将相似比直接作为面积比，忘记面积比是相似比的平方。

四、教学/学习建议

1. 强化平行四边形+翻折组合图形的性质梳理，明确翻折前后的等量关系。

2. 专项训练相似三角形的判定方法，尤其是平行线带来的同位角、内错角相等。

3. 牢记相似三角形面积比等于相似比的平方这一核心结论，避免概念混淆。

4. 多做此类“比例推导+相似”的综合题，提升线段分析和图形转化能力。