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2026 届高三年级上学期中调研考试
数 学
本试卷共19题，满分150分。考试用时120分钟。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
z
1.若 =1+3i,则z=
3− i
A.8i B.6+8i
C.10i D.6+10i
2.已知集合A={x|10)图象的对称中心都是函数g(x) =sin2x+ tanx图象的对称中心,则ω的值可能是
A.3 B.4
1 4
C. D.
4 3
x+1
6.若函数 f(x)= 的图象关于直线y=x对称，且f(x)与g(x)的图象关于点(1，0)对称，则g(-2)=
x+m
5 5 5 5
A. B.− C. D.−
3 3 4 4
7.从 1，2，3，4，5，6 中任取 2 个不同的数字，分别作为角 α，β 的弧度数，则满足
sinα cosβ
+ =0的不同取法种数为
∣sinα∣ ∣cosβ∣
A.13 B.14
C.15 D.16
8.已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，平面α过点A，C，且与棱A₁B₁交于点E，若平面α将该
正方体分成体积之比为1：3的两部分，则点E 到平面AB₁C 的距离为
√3 √3
A. B.
12 9
3− √3
C.6−3 √3 D.
6
二、选择题：本题共3 小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选
对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知2019—2024年中国台球相关企业年注册量(单位:万家)依次为0.64,0.87,2.01,3.16,4.15,5.54，则
学科网（北京）股份有限公司下列结论正确的是
A.这6个数据的极差为5.09
B.这6个数据的中位数为2.585
C.这6个数据的平均数大于2
D.从2020年开始，每年与上一年相比，年注册量增长率最大的是2024年
a+1
10.已知关于x的不等式 x2 − ∣x∣+1<0的解集为A，则
√a
A.当A=∅时,a=1
B.当2∈A时,a>4
C.当a>1时,A⊆(-∞,-1)∪(1,+∞)可能成立
1 1
D.当A∩Z中有4个元素时，a的取值范围是[ , )∪(4,9]
9 4
11.已知点 P 是抛物线 C :y2=4x上与原点 O 不重合的任意一点，直线 l 是 C 在点 P 处的切线，
OQ⊥l，Q为垂足，点Q 的轨迹为曲线E，则
A.当l的斜率为2时，点 P 到y轴的距离为1
B.若l与x,y轴分别交于点A,B,则B为PA 的中点
C.曲线 E 与直线x=-2没有公共点
D.曲线E上的点到点 G(-1，0)距离的平方的最小值为 2√3−3
三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分。
12.写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)= 。
①f'(x) =2x;②f(x)恰有两个零点;③f(2)≥0。
13.已知等差数列{an}的公差d≠0,前n项和为 Sn,若 a =1,S =5(a +a +a ),且 S ≤S ,则d的取值范围
1 15 3 6 k n k
为 。
ln(2x)+2x+a
14.若 ≤1对任意的x∈(0，+∞)恒成立，则a的取值范围是 。
xe2x
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)
某公司想了解员工对薪资的满意度情况，对该公司的 100名员工进行薪资满意度调查，调查结果如表
所示：
对薪资满意度情况
入职年限 合计
满意 不满意
入职年限不少于2
20 20 40
年
入职年限少于2年 40 20 60
合计 60 40 100
(1)根据小概率值α=0.1的独立性检验，分析该公司员工对薪资的满意度是否与入职年限有关；
(2)从样本中对薪资满意的员工中随机抽取2人，求这2人的入职年限都少于2年的概率。
附 :χ2=
n(ad−bc) 2
,n=a+b+c+d。
(a+b)(c+d(a+c)(b+d)
α 0.1 0.05 0.01
xα 2.706 3.841 6.635
学科网（北京）股份有限公司16.(15分)
b2
已知 △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 +c=2bcosA+acosB。
c
(1)求C;
(2)若C的平分线与AB 交于点 D,且(CD=2,求a+4b的最小值。
17.(15分)
已知函数f(x)= ln(ax)。
(1)当a=1时,求方程. f(x)=ex−1 −1的解；
xb+a−2
(2)若(a∈(1,+∞),b∈(0,1),i证明： f(x)< 。
b
学科网（北京）股份有限公司18.(17分)
x2 y2
已知椭圆 C + =1(a⟩b>0),直线 2x-3y+6=0 与 C 交于点 M，N，且线段 MN 的中点为
a2 b2
3
A(
−
,1)。
2
(1)求C 的离心率。
(2)若点M在x轴上,点 P,Q(点Q在点 P的右上方)在C上,且直线 PQ 与直线MN平行。
(i)求直线 PQ 与直线MN之间距离的取值范围；
(ii)求证：直线MP，NQ 的交点在定直线上。
19.(17分)
如图，在三棱柱 ABC−A B C 中，AB=AC,点 A 在平面ABC上的射影为BC的中点O。
1 1 1 1
(1)求证：四边形. BCC B 是矩形；
1 1
(2)若. AB⟂AC,BC=BB =2,求二面角 B−AB −C的正弦值；
1 1
(3)记三棱柱 ABC−A B C 的体积为V，线段 CC (n∈N∗)的中点为 C ,三棱锥 C −AB C的
1 1 1 n n+1 n 1
(n+2)V 2V
体积为 V ,若 T = n,求证： T +T +⋯+T < 。
n n n(n+1) 1 2 n 3
学科网（北京）股份有限公司
