第203期【试题研修】2026年河北中考数学第16题

这是一道排列组合+最优方案选择的实际应用题，属于数学建模类的基础题型。

核心考点：

1. 排列计数：3个地点（B、C、D）的全排列，共有3x2x1= 6种游览顺序，考察学生有序列举的能力。

2. 最优决策：通过计算每条路线的交通费用，选出最小值，考察学生的计算能力与比较分析能力。

3. 数形结合：能从图中提取线段上的费用数据，转化为计算所需的数值信息。

解题关键：

按顺序列出所有可能的路线，逐条计算总费用，再对比得出最小值，避免重复或遗漏路线。

方法一：

游客路线：A→依次走完B、C、D三地→ A。

B、C、D 三个目的地的排列一共有 3x2x1 = 6 种顺序：

1.先整理所有路段费用（单位：百元）：

AB=3，AC=4，AD=6，BC=5，BD=8，CD=7

2. 逐条计算总费用

① A→B→C→D→A：3+5+7+6=21

② A→B→D→C→A：3+8+7+4=22

③ A→C→B→D→A：4+5+8+6=23

④ A→C→D→B→A：4+7+8+3=22

⑤ A→D→B→C→A：6+8+5+4=23

⑥ A→D→C→B→A：6+7+5+3=21

3. 结论

最低费用是21百元。

方法二：利用图形进行分析，实际上是求四条线段和的最小值。

分为3种情况：

上面的①⑥、②④、③⑤分别为同一个四边形。

方法三：结合方法二，将求四条线段和的最小值，转化为求另外两条线段和的最大值。

教材来源：冀教版九年级下册《用列举法求简单事件的概率》

经典例题再现：

最短路线列举（排列+最优选择）

从起点出发，游览3个景点，每个景点只走一次，最后返回起点，一共有多少条游览路线？如果每条路线有路费，求最低花费。

核心方法：

1. 先算出所有排列顺序（有序列举）；

2. 逐条计算总开销；

3. 对比选出最小值。

课堂原题：

从甲地出发，依次去乙、丙、丁三地再返回甲地，三地的游览顺序共有几种？若各段路费已知，求最低路费。

模型口诀：多地环游，先排顺序，逐条算账，择优选择。

课堂教学反思：

1. 强化有序枚举训练：

这类问题的基础是排列计数，课堂上可以先让学生用树状图列出所有排列顺序，再进行费用计算，培养“不重不漏”的枚举习惯。

2. 模型化教学：

把这类“多地点环游+求最低费用”的问题固化为解题步骤：

第一步：列出所有可能的路线顺序；

第二步：逐条计算总费用；

第三步：对比选出最小值。

3. 数形结合专项练习：

增加从图形中提取数据的练习，让学生能快速将图中线段的数值转化为计算所需的信息。

4. 计算能力强化：

要求学生分步列式计算，减少口算失误，养成验算的习惯。

同样，方法二和方法三，我们可以理解成这道题考查的是四边形的定义，来源于冀教版八下第21章第一节，是根据凸多边形进行的延伸。

【课堂例题】

游客从 P 出发，游览 X、Y、Z 三地后回到 P。路段费用：PX=2，PY=5，PZ=3，XY=4，YZ=6，XZ=7。

1. 一共有多少条游览路线？

2. 求最低交通费用。

解：共6条路线，计算得最低费用为 2+4+6+3=15。

【当堂练习题】

1. 从A出发，游玩M、N两个地方再返回A，一共有几条出行顺序？

2. 拓展：4个目的地的环游路线，一共有多少种排列顺序？

3. 变式应用题：快递员从仓库出发，依次派送3个小区，再回到仓库，有序列出全部派送顺序，并计算最短里程。