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题目

设是的个非向量. 若

• 证明:存在向量使得对任何都有.
• 证明:,且等号可能成立.

证明

第一问

由覆盖定理, 我们有

即

第二问

我们对归纳. 当, 设

即

于是.

假设对要证成立, 当时. 由的结果, 至多包含两个, 所以我们把正交投影到得到至少个非向量. 我们来证明这个向量两两内积非正.

对自然数, 直接计算就有

由归纳假设得, 即. 等号由取得.

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完整试题(来自小红书-zeta得非平凡零点)

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