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今天我们来做习题1杠6，极限存在准则两个重要极限的第1到第3题。
第1题和第2题都是计算极限，分别用到第一个和第二个重要极限，第3题是证明准则一撇。我们开始吧！
第1题：计算下列极限，共6个小题。这些题都用第一个重要极限——埃克斯趋于0时埃克斯分之sin埃克斯等于1。
对的。第（1）小题：求埃克斯趋于0时埃克斯分之sin欧米伽埃克斯的极限。
欧米伽不等于0时怎么做？
把分子分母凑成第一个重要极限的形式。埃克斯分之sin欧米伽埃克斯等于欧米伽乘以欧米伽埃克斯分之sin欧米伽埃克斯。当埃克斯趋于0时，欧米伽埃克斯也趋于0，所以欧米伽埃克斯分之sin欧米伽埃克斯的极限等于1，整个极限等于欧米伽。
那欧米伽等于0呢？
sin0等于0，所以极限等于0，也等于欧米伽。因此，不论欧米伽为何值，极限都等于欧米伽。
第（2）小题：求埃克斯趋于0时埃克斯分之tan3埃克斯的极限。同样凑重要极限：埃克斯分之tan3埃克斯等于3乘以3埃克斯分之tan3埃克斯。3埃克斯分之tan3埃克斯等于3埃克斯分之sin3埃克斯乘以cos3埃克斯分之1，极限等于1乘1等于1。所以整个极限等于3。
第（3）小题：求埃克斯趋于0时sin5埃克斯分之sin2埃克斯的极限。
这道题要凑两次重要极限。sin5埃克斯分之sin2埃克斯等于2埃克斯分之sin2埃克斯乘以sin5埃克斯分之5埃克斯乘以5分之2。当埃克斯趋于0时，2埃克斯分之sin2埃克斯趋于1，sin5埃克斯分之5埃克斯的倒数也趋于1，所以极限等于5分之2。
第（4）小题：求埃克斯趋于0时埃克斯乘cot埃克斯的极限。
cot埃克斯等于sin埃克斯分之cos埃克斯，所以埃克斯乘cot埃克斯等于sin埃克斯分之埃克斯乘以cos埃克斯。埃克斯趋于0时，sin埃克斯分之埃克斯的极限等于1，cos埃克斯趋于1，所以极限等于1。
第（5）小题：求埃克斯趋于0时埃克斯sin埃克斯分之1减cos2埃克斯的极限。
1减cos2埃克斯等于2乘sin平方埃克斯，所以原式等于埃克斯sin埃克斯分之2sin平方埃克斯，等于2乘埃克斯分之sin埃克斯。由第一个重要极限，极限等于2。
第（6）小题有点特别：求恩趋于无穷大时2的恩次方乘sin 2的恩次方分之埃克斯的极限，其中埃克斯是不等于0的常数。
这道题关键在于凑出重要极限的形式。2的恩次方乘sin 2的恩次方分之埃克斯，等于2的恩次方分之埃克斯分之sin 2的恩次方分之埃克斯，再乘以埃克斯。当恩趋于无穷大时，2的恩次方分之埃克斯趋于0，所以2的恩次方分之埃克斯分之sin 2的恩次方分之埃克斯趋于1，整个极限等于埃克斯。
总结第1题：所有小题的核心都是凑出"什么分之sin什么"的形式，利用第一个重要极限。
第2题：计算下列极限，共4个小题。这些题都用第二个重要极限。
第（1）小题：求埃克斯趋于0时1减埃克斯的埃克斯分之1次方的极限。
怎么凑？
1减埃克斯等于1加负埃克斯，所以1减埃克斯的埃克斯分之1次方等于1加负埃克斯的负埃克斯分之1乘负1次方。1加负埃克斯的负埃克斯分之1次方的极限等于伊，所以整个极限等于伊的负1次方，即伊分之1。
第（2）小题：求埃克斯趋于0时1加2埃克斯的埃克斯分之1次方的极限。
1加2埃克斯的埃克斯分之1次方等于1加2埃克斯的2埃克斯分之1的2次方，也就是中括号1加2埃克斯的2埃克斯分之1次方中括号的平方。当埃克斯趋于0时，2埃克斯也趋于0，所以1加2埃克斯的2埃克斯分之1次方的极限等于伊，整个极限等于伊的平方。
第（3）小题：求埃克斯趋于无穷大时埃克斯分之1加埃克斯的2埃克斯次方的极限。
埃克斯分之1加埃克斯等于1加埃克斯分之1，所以原式等于中括号1加埃克斯分之1的埃克斯次方中括号的平方。当埃克斯趋于无穷大时，1加埃克斯分之1的埃克斯次方趋于伊，所以极限等于伊的平方。
第（4）小题：求埃克斯趋于无穷大时1减埃克斯分之1的k埃克斯次方的极限，其中k为正整数。
1减埃克斯分之1等于1加负埃克斯分之1，所以原式等于1加负埃克斯分之1的负埃克斯乘负k次方，等于中括号1加负埃克斯分之1的负埃克斯次方中括号的负k次方。当埃克斯趋于无穷大时，负埃克斯趋于负无穷大，1加负埃克斯分之1的负埃克斯次方的极限也等于伊，所以极限等于伊的负k次方。
总结第2题：所有小题的核心都是凑出"1加什么分之什么的什么次方"的形式，利用第二个重要极限。
第3题：根据函数极限的定义，证明极限存在的准则一撇。
也就是要严格证明：如果吉埃克斯小于等于埃夫埃克斯小于等于阿奇埃克斯在埃克斯零的去心邻域内成立，且埃克斯趋于埃克斯零时吉埃克斯和阿奇埃克斯的极限都等于大诶，那么埃夫埃克斯的极限也存在且等于大诶。
怎么用极限定义来证？
对任意艾普西隆大于0，因为吉埃克斯的极限等于大诶，所以存在德尔塔1大于0，当0小于埃克斯减埃克斯零的绝对值小于德尔塔1时，吉埃克斯减大诶的绝对值小于艾普西隆，即大诶减艾普西隆小于吉埃克斯小于大诶加艾普西隆。
阿奇埃克斯呢？
又因阿奇埃克斯的极限也等于大诶，对同一个艾普西隆大于0，存在德尔塔2大于0，当0小于埃克斯减埃克斯零的绝对值小于德尔塔2时，大诶减艾普西隆小于阿奇埃克斯小于大诶加艾普西隆。
然后取德尔塔等于德尔塔1、德尔塔2和小阿尔中的最小者？
对！取德尔塔等于德尔塔1、德尔塔2和小阿尔中的最小者，则当0小于埃克斯减埃克斯零的绝对值小于德尔塔时，条件吉埃克斯小于等于埃夫埃克斯小于等于阿奇埃克斯以及两个不等式大诶减艾普西隆小于吉埃克斯和大诶减艾普西隆小于阿奇埃克斯同时成立。从而大诶减艾普西隆小于吉埃克斯小于等于埃夫埃克斯小于等于阿奇埃克斯小于大诶加艾普西隆，即埃夫埃克斯减大诶的绝对值小于艾普西隆。
这就证明了埃夫埃克斯的极限等于大诶。准则一撇证毕！
注记中还指出，对于埃克斯趋于无穷大的情形，利用极限的定义和假设条件，可以类似地证明。
好，3道题全部讲完了。来总结一下。
第一，利用第一个重要极限计算极限时，核心技巧是"凑"——把表达式凑成"什么分之sin什么"的形式，其中"什么"要趋于0。第二，利用第二个重要极限计算极限时，核心技巧也是"凑"——把表达式凑成"1加什么分之什么的什么次方"的形式。
第三，证明准则一撇的关键步骤是：对同一个艾普西隆，分别由两个极限的条件得到两个德尔塔，取较小的德尔塔，使得所有条件同时成立，再用夹逼得到埃夫埃克斯减大诶的绝对值小于艾普西隆。
这些方法和技巧在后续的极限计算中会反复使用，一定要熟练掌握。我们下次再见！
再见！
