夜雨聆风
2024年东南大学高数竞赛
暨江苏省第二十一届高数竞赛选拔赛试卷
考试日期: 2024.3考试时间长度: 180 分钟
一、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分）
极限 ______.
曲线 的拐点的个数为 ______ 个.
______.
设 ，则 ______.
极限 ______.
设函数 满足 ，且 ，则 ______.
反常积分 ______.
设 连续，，，则 ______.
二、（本题8分）
(1) 证明：.
(2) 求极限 .
三、（本题10分）
设曲线 与直线 以及 轴所围成的区域为 ，求 绕 轴旋转一周所得旋转体的体积。
四、（本题10分）
设函数 在 上有二阶导数，，且满足 ，求证 。
五、（本题10分）
设 在 上二阶可导，且 ，又 ，证明存在 ，使得 。
六、（本题10分）
设函数 在闭区间 上二阶导函数连续，且 ，证明
七、（本题10分）
设函数 是 上取正值的连续函数，，且当 时，有
求 。
八、（本题10分）
(1) 求极限 .
(2) 设 在区间 上连续，，求极限 .
