暑期最强试卷,北大学弟匠心之作!

近期，北大学弟Santa进行了神算杯的考试。整份试卷命题比较考究，解析十分详尽，质量也非常不错。我们挑选部分高质量试题来进行解析点评。

需要表扬的是：这份试题大多由人类命题，AI痕迹较少。尽管目前AI命题水平不错，可以命出普通学生看着不错的问题，但往往是漂亮的包装下本质陈旧或平凡的题。因此，尽管AI命题大量出现在各类考试中，我仍推崇人类为主导的命题方式。

第八题不难，正推反推都容易。坑点在于：乙必须把kS0+1这一项也纳入进来，否则保证不了a1＝S1-S0也满足推出的通项。

11题非常不错。本题实际上可以不用算直接秒选——A选项右侧是至少一个为“是”的概率，B选项其实是一个常见概率递推问题(对实力强的人，五局三胜比三局两胜的胜率更大，三局两胜比一局一胜胜率更大)，当然直接求出表达式因式分解也没毛病。

C选项明显有对称性：将所有pi换成1-pi，说明随机森林最终判定为否的概率＝最终判定为是的概率。

D比较取巧。C提示对称性后，只要注意到：当p1+p2+p3+p4+p5＝5/2时，P不是恒等于1/2即可。如果大了，由连续性已经OK; 如果小了，pi改成1-pi取反面即可。

14题也非常不错。这么简洁的命题竟然没人出过吗?很多同学容易猜成正六边形，然后写个2上去，哈哈哈。

18题不太符合我的审美。虽然硬算也不难，但二级结论做起来太快了。

第三问直接用倾斜角互补结论，得到BC斜率是A切线斜率相反数，然后用两个中点弦，OS和BC斜率乘积＝OA和A切斜率乘积，就得到OA，OS斜率是相反数，就做完了。

19题命题风格比较朴素。难度不大，仔细推理即可完成。

给一个第三问思路：令an中的数构成集合A。通过平移缩放，不妨A中最小为0，最大为1，那么1/2∈A。

把＜1/2的项b1……bk分别和1配对，会得到他们和1的平均数∈A; 把＞1/2的项c1……ck与0配对，会得到他们与0的平均数∈A。所以前者得到的就是c1……ck，后者得到的就是b1……bk，即bi＝ci/2，ci＝(1+bi)/2，得到只能bi＝1/3，ci＝2/3。

所以要么A＝{0，1/2，1}，要么A＝{0，1/3，1/2，2/3，1}。

试卷与详解