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九年级数学教材全解
第二十一章 ~ 第二十五章
一元二次方程 | 二次函数 | 旋转 | 圆 | 概率初步
目录
▶第二十一章 一元二次方程
本章内容要点
• 一元二次方程的概念、一般形式及解法（配方法、公式法、因式分解法）
• 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
• 用一元二次方程解决实际问题（利润、面积、动态几何）
▶ 第二十一章 一元二次方程(1)
本章内容要点(1)
21.1 一元二次方程(1)
21.2 解一元二次方程(7)
21.3 实际问题与一元二次方程(23)
本章大归纳(36)
▶ 第二十二章 二次函数(42)
本章内容要点(42)
22.1 二次函数的图象和性质(42)
22.2 二次函数与一元二次方程(65)
22.3 实际问题与二次函数(75)
本章大归纳(89)
▶ 第二十三章 旋转(100)
本章内容要点(100)
23.1 图形的旋转(100)
23.2 中心对称(110)
23.3 课题学习 图案设计(118)
本章大归纳(123)
▶ 第二十四章 圆(128)
本章内容要点(128)
24.1 圆的有关性质(128)
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系(142)
24.3 正多边形和圆(160)
24.4 弧长和扇形面积(167)
本章大归纳(179)
▶ 第二十五章 概率初步(188)
本章内容要点(188)
25.1 随机事件与概率(188)
25.2 用列举法求概率(195)
25.3 用频率估计概率(203)
本章大归纳(208)
全书大归纳(213)
参考答案(226)
▶第二十一章
21.2 解一元二次方程 …(7)
知识点微课：
• 配方法解一元二次方程 /8
• 公式法解一元二次方程 /10
• 因式分解法解一元二次方程 /11
• 一元二次方程的根与系数的关系 /12
题型微课：
• 用适当的方法解一元二次方程 /13
• 一元二次方程根的判别式的应用 /14
• 一元二次方程根与系数的关系的应用 /16
21.3 实际问题与一元二次方程 (23)
题型微课：
• 用一元二次方程解利润问题 /27
• 用一元二次方程解面积问题 /28
• 用一元二次方程解动态几何问题 /29
本章大归纳：… …(36)
▶第二十二章 二次函数 /42
本章内容要点(42)
22.1 二次函数的图象和性质 …(42)
知识点微课：
• 二次函数 /42
• 二次函数 y = ax²，y = ax² + k 的图象和性质 /43
• 二次函数 y = a(x − h)² 的图象和性质 /48
• 二次函数 y = ax² + bx + c 的图象和性质 /50
• 用待定系数法求二次函数的解析式 /50
• 二次函数与一元二次方程的关系 /50
题型微课：
• 利用函数图象比较函数值的大小 /51
• 利用二次函数的图象和性质求最大（小）值 /54
• 二次函数图象的特征与系数的关系 /55
• 利用待定系数法求二次函数的解析式 /56
• 以二次函数为载体的探究性问题 /58
22.2 二次函数与一元二次方程 … …………(65)
• 知识点微课：二次函数与一元二次方程的关系 /65
• 题型微课：利用图象与方程关系求交点坐标 /69
22.3 实际问题与二次函数 ……………(75)
• 题型微课：利用二次函数解最大利润问题 /78
• 题型微课：利用二次函数解拱桥通车问题 /79
本章大归纳：… …(89)
▶第二十三章 旋转 /100
本章内容要点(100)
23.1 图形的旋转 … (100)
• 知识点微课：旋转 /100
• 题型微课：利用旋转解以特殊图形为背景的题目 /105
23.2 中心对称 … …(110)
• 知识点微课：中心对称 /110
• 知识点微课：中心对称图形 /112
• 题型微课：中心对称的性质的应用 /114
23.3 课题学习 图案设计 ……(118)
本章大归纳：………(123)
▶第二十四章 圆 /128
本章内容要点(128)
24.1 圆的有关性质 …(128)
知识点微课：
• 垂直于弦的直径 /130
• 弧、弦、圆心角的关系 /131
• 圆周角 /134
题型微课：
• 垂径定理的应用 /136
• 圆心角定理及其应用 /137
• 圆内接四边形性质的应用 /137
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 …(142)
知识点微课：
• 点和圆的位置关系 /143
• 圆的确定 /144
• 直线和圆的位置关系 /146
• 切线的判定定理和性质定理 /147
• 切线长定理 /148
• 三角形的内切圆 /149
题型微课：
• 直线与圆的位置关系应用 /150
• 切线长定理的应用 /152
• 切线判定和性质的综合应用 /153
24.3 正多边形和圆 …(160)
• 题型微课：正多边形的有关计算 /163
24.4 弧长和扇形面积 …(167)
知识点微课：
• 弧长公式 /167
• 扇形的面积公式 /167
• 圆锥的侧面积和全面积 /168
题型微课：
• 利用圆的侧面展开图求最短距离 /171
• 不规则图形面积的初步 /172
本章大归纳：… …(179)
▶第二十五章 概率初步 /188
本章内容要点(188)
25.1 随机事件与概率 …(188)
• 知识点微课：必然事件、不可能事件、随机事件 /188
25.2 用列举法求概率 …(195)
• 知识点微课：用列举法求事件的概率 /196
• 题型微课：运用列举法求概率 /197
• 题型微课：概率与方程（或函数）的综合应用 /198
25.3 用频率估计概率 ……(203)
• 知识点微课：用频率估计概率 /203
• 题型微课：用频率估计概率 /204
本章大归纳： ……(208)
全书大归纳& 参考答案
全书大归纳： ……(213)
参考答案： …(226)
21.1 一元二次方程
关键词 • 一元二次方程的概念 • 一元二次方程的一般形式 • 一元二次方程的根 |
学习目标导航
◆ 理解一元二次方程的概念，能够判断一个方程是不是一元二次方程。
◆ 掌握一元二次方程的一般形式和各项的名称，会将一元二次方程化为一般形式。
◆ 了解一元二次方程的根的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的根。
◆ 在经历由实际问题中抽象出一元二次方程概念的过程中，体会一元二次方程是刻画现实世界数量关系的又一有效模型，增强对一元二次方程的感性认识。
一元二次方程的概念
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
一元二次方程必须同时满足的条件
1. 是整式方程；
2. 只含有一个未知数；
3. 未知数的最高次数是 2。
例：
1/2y² − y = 8、3x² + x − 1 = 0 都是一元二次方程；
而xy − x² = 0（不满足"只含有一个未知数"）、4x² − 4x = 0（不满足"未知数的最高次数是 2"）都不是一元二次方程。
例1
下列式子中：
① 2x² − x − 3
② (x+2)/(5x) = 2
③ t² − m = 1 − 4t − mt
④ (x+1)² = 2(x+1)
⑤ ax² + bx + c = 0
⑥ x² + 2x = x² − 1
⑦ (a²+1)x² = 0
⑧ √(x+1) = x − 1
其中一定是一元二次方程的有______。（把所有正确选项的序号都填上）
解析：
①2x² − x − 3 是代数式，不是方程；
②(x+2)/(5x) = 2 不是整式方程；
③t² − m = 1 − 4t − mt 是二元一次方程（含两个未知数）；
④(x+1)² = 2(x+1) 整理为 x² + 2x + 1 = 2x + 2，即 x² − 1 = 0，是一元二次方程；
⑤ax² + bx + c = 0 当 a = 0 时不是一元二次方程；
⑥x² + 2x = x² − 1 整理为 2x + 1 = 0，是一元一次方程；
⑦(a²+1)x² = 0 中 a²+1 ≠ 0，是一元二次方程；
⑧√(x+1) = x − 1 不是整式方程。
答案：④⑦
知识点二一元二次方程的一般形式
一元二次方程的一般形式是：
ax² + bx + c = 0(a ≠ 0)
• ax² 是二次项，a 是二次项系数；
• bx 是一次项，b 是一次项系数；
• c 是常数项。
说明：
1. 一元二次方程一般形式的特点是方程右边为 0，左边是关于 x 的二次整式。
2. "a ≠ 0" 是一元二次方程一般形式的重要组成部分，也是考查定义的重点，但 b、c 可以为 0。
3. 要将方程化为一般形式，需先确定二次项系数、一次项系数、常数项（注意符号）。如：4x² − 3x − 2 = 0 的二次项系数是 4，一次项系数是 −3，常数项是 −2。
4. 通常情况，方程整理为一般形式时，将二次项系数化为正数。
例2
将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项。
(1)3x² = 2x
(2)x(x − 4) = 4x² − 3x
解析：
(1)移项得 3x² − 2x = 0，
二次项系数：3，一次项系数：−2，常数项：0。
(2)展开得 x² − 4x = 4x² − 3x，
移项整理得−3x² − x = 0（或化为 3x² + x = 0），
二次项系数：3（或−3），一次项系数：1（或 −1），常数项：0。
方法技巧判断一元二次方程的方法
先看方程两边是不是整式，再看能否通过移项、合并同类项转化为一般形式ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)。最后观察其是否同时具备"只含一个未知数""未知数最高次数为 2"这两个特征，若同时具备，则是；否则不是。
注意
如果去括号后方程ax² + bx + c = 0 化简为 3x² − 2x = 0，仍是一元二次方程。
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