1659期 最简单导数题型！一定要有手就行（整数解恒成立，必要性探路）

该篇整理一下常考的一类导数题型——整数参数恒成立问题，这种题型很简单，可以利用分离参数再结合隐零点代换估计出参数的范围，不过这样做计算量可能比较大，所以在做这样的题之前一定先想必要性探路，先估计出参数范围，再证明充分性！下面选择几道典型的模考题归纳一下

• 一、整数参数恒成立问题典例
• 1、湖北圆创26届高三一联T19
• 2、浙江Z20 26届高三一联T19
• 3、江苏盐城25届高二下期末T19
• 二、必要性探路思想
• 三、更多模考中的整数恒成立问题

一、整数参数恒成立问题典例

1、湖北圆创26届高三一联T19

【湖北圆创26届高三一联T19】（关注：Hi数学派）已知函数 ，，其中 ，曲线  在点  处的切线方程为 （1） 求  的值；（2） 求  的最小值；（3） 设 ，若  对  恒成立，求  的最大值.

解析：

（1）

由题意得

解得 

（2）

，使得 

 在  单调递增，在  单调递减，又因为

 时，

 在  单调递增，所以

故  的最小值为 

（3） 取  代入题设不等式可得

由 （2） 可知，当  时，

所以

又 ，则  的最大值可能为  ，下证  时，题设不等式成立

设 

其中，第一个 ，仅在  时取得，而 ，故应改为 ；后面两个  都在  时取得

注： 有关放缩不等式可以参看小派之前的推文《1632期 27复习系列01 | 导数篇 | 放缩技巧全归纳》

2、浙江Z20 26届高三一联T19

【浙江Z20名校联盟26届高三一联T19】（关注：Hi数学派）已知函数 ，.（1） 若 ，求  在  处的切线  的方程；（2） 判断  是否是函数  的极值点，并说明理由；（3） 若不等式  对任意的 ， 恒成立，求正整数  的最大值.（参考数据: ，，）

解析：

（1） 时，

 在  处的切线  的方程为

化简得

（2）

若  是函数  的极值点，则有 ，解得 

当  时， 不是函数  的极值点

当  时，

 在  上单调递减，在  上单调递增

即  在  上单调递增，不合题意.

综上所述  不是函数  的极值点.

（3） 由题意

对任意  恒成立

以  为主元，令 

 在  上单调递增

故

即证

对任意  恒成立

取 ，则

由于 ，所以 ，故 

下证  时，原不等式恒成立，即证  对任意  恒成立

设 

故  在  上单调递减，在  上单调递增

即  成立

故正整数  的最大值为 

注： 该题中还用到了主元法，可以参看小派之前的推文《1658期 导数主元技巧（主元法、变换主元思想）》

3、江苏盐城25届高二下期末T19

【盐城25届高二下期末T19】（关注：Hi数学派）已知函数  .（1） 当  时，求  的单调区间；（2） 当  时,求证：  ；（3） 若关于  的不等式  恒成立，求整数  的最小值.

解析：

（1） 当  时，

由  得 

当  时， ；当  时，

 在  上单调递减；在  上单调递增.

（2） 由 （），因 

所以由  得 

 在  上单调递减；在  上单调递增

令

只需证  即可.

令 ，则 

只需证  即可.

于是 ，类似可得  在  上单调递减；在  上单调递增

所以 ，因此  成立.

（2） 不等式  恒成立，即  恒成立

所以  成立，即 

因为  为整数，所以  .

当  时，令 

所以 （）

由  得 

类似可得  ，所以 

又令 （）

所以 ，即  在  上单调递增

所以 ，所以  .

因此当  时， 恒成立

所以整数  的最小值 

二、必要性探路思想

导数压轴中我们经常遇到恒成立问题，含有参数的不等式恒成立求参数的取值范围问题，是热点和重点题型，方法灵活多样，常见的方法有：①分离参数（全分离或半分离）＋函数最值；②直接（或移项转化）求导＋分类讨论。

但以上两种方法都有缺陷。（关注：Hi数学派）首先对于方法①，可能会出现参数分离困难或是无法分离，抑或函数最值点无法取到，即无定义，这时就需要用到超纲的方法：洛必达法则。其次，对于方法②，直接分类讨论可能会出现在某些区间无法讨论下去，或是无法排除原问题在该区间是否恒成立，即讨论界点不明。

基于以上两点，我们今天这讲就来解决这两个不足之处，基本对策就是先必要后充分的思想。该思想就是当参变分离较为困难、带参讨论界点不明时，含参不等式问题还可以采用先必要、后充分的做法，即先抓住一些关键点（区间端点，可使不等式部分等于零的特殊值等），将关键点代入不等式解出参数的范围，获得结论成立的必要条件，再论证充分性，从而解决问题。

端点效应其实也是基于此思想延伸出的，可以参考小派之前的推文《1657期 | 27复习系列17 | 导数篇 | 导数端点效应与失效分析技巧（历年高考导数端点效应应用）》

三、更多模考中的整数恒成立问题

【典例 1】（2026·福建宁德·二模） 已知函数 .（1） 若  在  处取得极值，求  的值，并指出它是极大值还是极小值；（2） 当  时，证明：；（3） 当  时，若 ，，求整数  的最小值.

答案：（1）（2）（3）；详解群内分享

【典例 2】（关注：Hi 数学派）已知函数 ，，对 ，，不等式  恒成立，求整数  的最大值.

答案：；详解群内分享

【典例 3】（关注：Hi 数学派） 对一切的  恒成立，试求出整数  的最大值.

答案：；详解群内分享