题目：

设  在  上具有二阶导，且 ，且 。

(1)证明：存在 ，使得 ；

(2)证明：存在 ，使得 .

本题很套路化，即使出现一个二阶导看着不是一阶的构造。

如果你观察能力比较强

即为证明：

即为说明

构造  即可以 第二问同理

更套路的解决本题

如果你观察能力很弱，但也可以套路性处理

虽然这题为二阶的中值，但明显可以降阶为一阶

设 

本题要你证明的即为：

(1)证明：存在 ，使得 ；

(2)证明：存在 ，使得 。

到这里直接用一阶中值的微分方程构造法就是

(1)

问题一对于的微分方程为：

可解得

反解常数 

前面写草稿纸就行

所以构造  即可

所以有

且 ，只要找到  另一零点就是。

由于 

利用罗尔定理有 

所以有 

再利用罗尔就证明本题。

(2)

第二问对于微分方程为：

即为

所以有

所以 

前面写草稿纸就行

构造  即可

所以有

且 ，

若有 

利用拉格朗日说明有

若 

则可说明 

即有：

说明  只要说明有  就可。

由于 ，所以不妨在  处取所以有 

所以利用拉格朗日有

证毕！