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今天来做习题1-7，无穷小的比较。一共6道题，涵盖了高阶无穷小的判断、同阶与等价的区分、等价关系的证明，以及等价无穷小替换求极限。我们逐题来吧！
先看第1题：当埃克斯趋于0时，2埃克斯减埃克斯的平方与埃克斯的平方减埃克斯3次方相比，哪一个是高阶无穷小？
判断高阶无穷小，就是看它们的比的极限。如果比的极限等于0，分子就是分母的高阶无穷小。
对，我们算埃克斯的平方减埃克斯3次方除以2埃克斯减埃克斯的平方的极限。分子分母同时除以埃克斯，得到埃克斯减埃克斯的平方除以2减埃克斯。当埃克斯趋于0时，分子趋于0，分母趋于2，所以极限等于0。
所以埃克斯的平方减埃克斯3次方是比2埃克斯减埃克斯的平方高阶的无穷小。直观上看也对——2埃克斯减埃克斯的平方主要是1次方量级，而埃克斯的平方减埃克斯3次方是2次方量级，2次方当然比1次方趋于0更快。
第2题：当埃克斯趋于0时，1减阔斯埃克斯的平方与正弦埃克斯的平方相比，哪一个是高阶无穷小？
同样算比值极限。1减阔斯埃克斯的平方除以正弦埃克斯的平方。
用等价无穷小来算。当埃克斯趋于0时，1减阔斯埃克斯等价于2分之1埃克斯的平方，所以1减阔斯埃克斯的平方等价于4分之1埃克斯4次方。而正弦埃克斯的平方等价于埃克斯的平方。
所以极限等于埃克斯的平方分之4分之1埃克斯4次方，等于4分之1埃克斯的平方，趋于0。
对，所以1减阔斯埃克斯的平方是比正弦埃克斯的平方高阶的无穷小。因为1减阔斯埃克斯本身是2次方量级，再平方就变成4次方量级，而正弦埃克斯的平方是2次方量级，4次方当然趋于0更快。
第3题不一样了，是当埃克斯趋于1时的无穷小比较。1减埃克斯分别与1减埃克斯3次方、2分之1乘以1减埃克斯的平方比较，判断是否同阶、是否等价。
先看第一小问：1减埃克斯与1减埃克斯3次方。注意1减埃克斯3次方可以分解为1减埃克斯乘以1加埃克斯加埃克斯的平方。所以1减埃克斯除以1减埃克斯3次方，等于1加埃克斯加埃克斯的平方分之1。当埃克斯趋于1时，这个值趋于3分之1。
极限是3分之1，不是0也不是无穷大，所以它们是同阶无穷小。但极限不等于1，所以不等价。
没错。再看第二小问：1减埃克斯与2分之1乘以1减埃克斯的平方。1减埃克斯的平方分解为1减埃克斯乘以1加埃克斯。所以1减埃克斯除以2分之1乘以1减埃克斯乘以1加埃克斯，等于2分之1加埃克斯分之1，约掉1减埃克斯后等于1加埃克斯分之2。当埃克斯趋于1时，这个值趋于2分之2等于1。
极限等于1，所以它们不仅同阶，而且等价！同一道题的两个小问，一个同阶不等价，一个同阶且等价，正好对比了这两个概念的区别。
第4题要证明两个等价关系。第一小问：证明当埃克斯趋于0时，反正切埃克斯等价于埃克斯。
怎么证呢？
关键是做变量替换。令埃克斯等于坦特替，则替等于反正切埃克斯。当埃克斯趋于0时，替也趋于0。那么埃克斯趋于0时反正切埃克斯除以埃克斯的极限，就等于替趋于0时替除以坦特替的极限。而替除以坦特替的极限等于1，这是已知的重要极限。所以反正切埃克斯等价于埃克斯。
巧妙！通过换元把反正切变成了正切的倒数。第二小问呢？
证明正割埃克斯减1等价于2分之1埃克斯的平方。正割埃克斯减1等于阔斯埃克斯分之1减阔斯埃克斯，等于阔斯埃克斯分之1减阔斯埃克斯。而1减阔斯埃克斯等于2乘以正弦2分之1埃克斯的平方，所以正割埃克斯减1除以2分之1埃克斯的平方，等于2分之1埃克斯的平方分之阔斯埃克斯分之2正弦2分之1埃克斯的平方。
化简一下？
等于2分之1埃克斯的平方分之2乘以正弦2分之1埃克斯的平方再除以阔斯埃克斯。把2分之1埃克斯的平方写成2分之埃克斯的平方，就等于4分之埃克斯的平方分之2正弦2分之1埃克斯的平方除以阔斯埃克斯。也就是阔斯埃克斯分之正弦2分之1埃克斯除以2分之1埃克斯的平方的比值。我们换一种写法：正弦2分之1埃克斯除以2分之1埃克斯的平方，等于正弦2分之1埃克斯除以2分之1埃克斯，再除以2分之1埃克斯。当埃克斯趋于0时，正弦2分之1埃克斯除以2分之1埃克斯趋于1，阔斯埃克斯也趋于1，所以整体极限趋于1。得证。
第5题是利用等价无穷小求极限，4个小问。先看第1小问：埃克斯趋于0时，坦特3埃克斯除以2埃克斯的极限。
当埃克斯趋于0时，坦特3埃克斯等价于3埃克斯，所以极限等于2埃克斯分之3埃克斯等于2分之3。
直截了当。第2小问呢：埃克斯趋于0时，正弦埃克斯恩次方除以正弦埃克斯艾姆次方的极限，恩和艾姆为正整数。
正弦埃克斯恩次方等价于埃克斯恩次方，正弦埃克斯艾姆次方等价于埃克斯艾姆次方。所以极限等于埃克斯艾姆次方分之埃克斯恩次方，等于埃克斯的恩减艾姆次方。当埃克斯趋于0时，如果恩大于艾姆，极限等于0；如果恩等于艾姆，极限等于1；如果恩小于艾姆，极限等于无穷大。
三种情况分得清清楚楚。第3小问：埃克斯趋于0时，坦特埃克斯减正弦埃克斯除以正弦埃克斯3次方的极限。
这道题要特别注意！分子是坦特埃克斯减正弦埃克斯，是一个差的形式。我们不能把坦特埃克斯替换成埃克斯、正弦埃克斯也替换成埃克斯，那分子就变成0了，这是错误的！
对，等价替换不能对加减法中的某一项单独替换。那正确做法呢？
先把分子变形：坦特埃克斯减正弦埃克斯等于正弦埃克斯除以阔斯埃克斯减正弦埃克斯，等于正弦埃克斯乘以阔斯埃克斯分之1减阔斯埃克斯，等于正弦埃克斯乘以阔斯埃克斯分之正割埃克斯减1。而正割埃克斯减1等价于2分之1埃克斯的平方，正弦埃克斯3次方等价于埃克斯3次方。但更直接的做法是：分子等于正弦埃克斯乘以阔斯埃克斯分之1减阔斯埃克斯，也就是正弦埃克斯乘以阔斯埃克斯分之1减阔斯埃克斯。而1减阔斯埃克斯等价于2分之1埃克斯的平方，所以正割埃克斯减1也等价于2分之1埃克斯的平方。因此极限等于正弦埃克斯3次方分之正弦埃克斯乘以2分之1埃克斯的平方。正弦埃克斯3次方等价于埃克斯3次方，正弦埃克斯等价于埃克斯，所以约简后等于埃克斯3次方分之2分之1埃克斯3次方等于2分之1。
这道题的重要教训就是：等价替换不能对加减法中的项单独替换，必须先对表达式做整体变形，把加减法变成乘除法，再对乘除因子进行替换。
完全正确。最后看第4小问：埃克斯趋于0时，正弦埃克斯减坦特埃克斯除以括号1加埃克斯的平方的3次方根减1乘以1加正弦埃克斯的平方根减1的极限。
分子分母都挺复杂的。
一步一步来。先看分子：正弦埃克斯减坦特埃克斯等于正弦埃克斯乘以1减正割埃克斯，等于负的正弦埃克斯乘以正割埃克斯减1。正割埃克斯减1等价于2分之1埃克斯的平方，正弦埃克斯等价于埃克斯，所以分子等价于负的2分之1埃克斯3次方。
分母呢？
分母是两个因子的乘积。第一个因子：1加埃克斯的平方的3次方根减1，等价于3分之1埃克斯的平方，用的是1加尤的恩次方根减1等价于恩分之1尤这个公式。第二个因子：1加正弦埃克斯的平方根减1，等价于2分之1正弦埃克斯，等价于2分之1埃克斯，同样用那个公式，这里恩等于2，尤等于正弦埃克斯。
所以分母等价于3分之1埃克斯的平方乘以2分之1埃克斯，等于6分之1埃克斯3次方。
对，极限等于6分之1埃克斯3次方分之负的2分之1埃克斯3次方，等于负的2分之1除以6分之1等于负3。
最后一题，第6题：证明无穷小的等价关系具有自反性、对称性和传递性。这其实是验证等价关系的三条公理。
第一条自反性：阿尔法等价于阿尔法。因为阿尔法除以阿尔法等于1，极限当然是1，所以阿尔法等价于阿尔法。
第二条对称性：若阿尔法等价于贝塔，则贝塔等价于阿尔法。
阿尔法等价于贝塔意味着阿尔法除以贝塔的极限等于1，那么贝塔除以阿尔法就是阿尔法除以贝塔的倒数，极限也等于1，所以贝塔等价于阿尔法。
第三条传递性：若阿尔法等价于贝塔，贝塔等价于伽马，则阿尔法等价于伽马。
阿尔法除以伽马等于阿尔法除以贝塔乘以贝塔除以伽马，两个因子各自的极限都是1，乘积的极限也是1，所以阿尔法等价于伽马。
三条性质证完了。这说明等价关系确实是一种"等价关系"，满足数学上等价关系的所有要求。有了传递性，等价替换才能链式使用——阿尔法等价于贝塔，贝塔等价于贝塔波浪号，所以阿尔法等价于贝塔波浪号，这就是定理2的理论基础。
说得好！6道题全部讲完了。总结一下：第1、2题是高阶无穷小判断，关键是算比值的极限；第3题区分了同阶和等价——同阶是比值的极限为非零常数，等价是比值的极限为1；第4题用换元和变形证明了两个新的等价关系；第5题是等价替换求极限的实战，最重要的教训是不能对加减法中的项单独替换；第6题验证了等价关系的三个基本性质。下次见！
