第一章 习题（2）

我们继续！

分析：这道题本质上是要证明“三点共线”。利用同一法的思想，就是去证明  与  的交点  是  的中点，这比直接证明“三点共线”更容易。

那么接下来要思考如何刻画“ 是  中点”这个结论。由于条件中都是平行和圆，考虑导角而不是计算长度，所以考虑连接 ，去证明 。而我们又发现  和  都是直角，所以即证  五点共圆。而我们已经有了 ，所以就可以从里面挑三个点，去证明它们和  四点共圆即可。也就是说，可以丢掉一个不好用的点，并往平行的条件上靠。于是我们发现可以考虑  来利用平行，所以即证  或者  都可以。

证明：记  为  与  的交点，注意到

所以

而

所以

于是

所以

故由 垂径定理， 为  的中点。

注：这道题目更深刻的背景是 “调和点列”：

“易知四边形  为 调和四边形，所以  构成 调和线束，而 ，所以  是  中点。”

这样证明更加简洁。

当然这道题也可以利用消点法，把  转化为证明 ，本质和上面的方法一样，此处不赘述。

证明：显然  的外接圆即为以  为直径的圆，记为 。

易知  垂直于过  且与  平行的直线，所以这条平行线与  相切。

由对称性，只需证明  与  相切即可。

而

所以

所以  与  相切，同理  也与  相切。

分析：这题是证明“三线共点”，依然使用“同一法”，也就是选两条线的交点，证明它在第三条直线上。

通过观察结论，如果 ，那么一定会有  五点共圆，所以需要证明一个与  相关的共圆。

接下来分析点  的刻画，思考它应该看作哪两条直线的交点。这个选取必须有利于导角和导共圆。如果选 ，那么无论是  还是 ，都和导共圆没有关系，它们都不是圆周角。所以只能将点  视作  和  的交点，最后证明它在  上。这还有一个好处：因为  是中位线，所以其实延长  与  相交，证明分比是  即可。

最后只需思考怎么计算 ，而这有多种方法。

证明：

【法一】：易知

所以

而

所以

又易知

所以

于是

延长  与  交于 ，易得

所以

因此

所以  共线。

【法二】：因为

所以

后同 【法一】。

分析：这道题和之前不同，没法直截了当地把图画出来，所以要思考如何画出这个图，在研究过程中自然会找到入手点。

关键是如何确定点 。

由于  平行且等于 ，一个自然的想法就是把  平移过去，这样就会有一组四点共圆。所以画图的时候，先画出共圆的四点，再把一个三角形移回去，创造出一个平行四边形，即先确定点 ，再确定平行四边形。

因此在画图过程中我们发现，这组共圆非常重要，一定要用上这个条件，从而就能做出这道题。

证明：把  平移到 ，则有

四点共圆。同时四边形  和  也都是平行四边形。

所以

证明：显然

所以

所以

即点  为鸡爪圆  上的任意一点。

因此显然 ，当且仅当  为  与鸡爪圆圆心  的连线与鸡爪圆的交点，也就是内心 。

此即 ，当且仅当 .