夜雨聆风本张试卷中档以上的题目非常多，有思考深度、题量还大，难度确实名不虚传。
7.设，，，则（ ）
A.
B.
C.
D.
解：，。设，，。
；
，，；
，，；
，。
，，因此猜测最小；
，因此猜测。下面证明：
（1）当，，，因此，，。
（2）当，，，因此，，，。
综上，C选项正确。
11.已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交于两点，则（ ）
A. 的准线为
B. 直线与相切
C.
D.
解：代点坐标到的方程中，得，知A选项错误。
B选项：在处的切线为，即，过点，因此B选项正确。
C, D选项：设直线与交于两点，由B选项知。联立直线和抛物线的方程，得。从而
，；又，，
C选项正确；
D选项正确。
12.已知函数及其导函数得定义域均为，记。若，均为偶函数，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【评论】还是结论题。
是偶函数说明是的对称轴；是偶函数说明是的对称轴，是的对称中心。
考虑，则对于：是对称中心，是对称轴，是对称中心，是对称轴，是对称中心......同理可得是对称中心。
A选项：只能确定，但不能确定函数值是否为，错误。
B选项：在对称轴处的导数为，正确。
C选项：，正确。
D选项：反例：设，，。
14.写出圆和都相切的一条直线方程____________。
如果把两个圆画出来，就很容易看出来是一条切线。
下面介绍一般的方法：
【圆的切线方程】过圆上一点的切线为。
设为圆上一点，则第一个圆过的切线方程为，点到该直线的距离为，则，接下来需要求出满足条件的。
记满足，则，得或 。
第一种情况：，，，公切线为。
第二种情况：或，
(i)，，，公切线为；
(ii)，公切线为。
15.若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是____________。
，曲线在处的切线方程为。
令，得截距，其中可取到全体实数，因此二次函数存在两个零点，因此，或。
16.已知椭圆，的上顶点为，两个焦点为，离心率为，过且垂直于的直线与交于两点，，则的周长是____________。
不妨设，，。易见三角形为等边三角形，因此点关于直线对称，因此的周长等于的周长等于，接下来只需要列方程求出。
不妨设，，，，。由于，直线的方程为，与椭圆方程联立，得，
，
，
，
解得，因此周长为。
18.记的内角的对边分别为，已知 。
（1）若，求；
（2）求的最小值。
（1）由知。由二倍角公式，
得。
由此知必须为钝角。
代入得，因此。
（2）由（1）知，因此。再由，得的取值范围是。
，。
由正弦定理，
当且仅当时取等号（此时），因此的最小值为。
19.如图，直三棱柱的体积为，的面积为。
（1）求到平面的距离；
（2）设为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值。
这题比较常规，本人不打算详细展开，但（2）问的突破口值得一提。需要证明平面，已知，还需要找另一条与垂直的线，这里不太容易看出来。
利用，可以知道是正方形，因此对角线垂直，即。
又因为是平面和平面的交线，因此平面。从而。
至此，可以以为原点建系了。
【注】即使本题没有给出和之间的比例关系，平面仍是成立的，这是一个二级结论：若有平面，，，则的交线也垂直于。
21.已知点在双曲线上，直线交于两点，直线的斜率之和为。
（1）求的斜率；
（2）若，求的面积。
（1）【评论】才第一小问就上比较大的计算量了。
代点的坐标到双曲线的方程中解得。设，，直线的斜率为，则直线的方程为，与双曲线方程联立得
，由于方程必有两个解，因此 。
得，即。
用替换，可得直线的方程为，。从而的斜率为
（2）【评论】本题计算量相比于常规的圆锥曲线大题（2）问不算太大，但关键在于如何把表示出来，由于题干给了斜率，因此联想到两角差的正切公式。
设直线的倾斜角为，则；或。由两角差的正切公式，或，解得或（舍去）。
不妨取，由（1）知，则。
用替换，，。
。则的面积为
。
22.已知函数和有相同的最小值。
（1）求；
（2）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列。
（1）【评论】还是，第（1）问上来量就这么大。
解：若，则在上单调增，没有最小值，因此。
单调增，，因此当，，递减；当，，递增。
的最小值为。
单调增，，因此当，，递减；当，，递增。
的最小值为。
从而，即。
设，易见。又因为
，因此在单调增，零点唯一。因此。
（2）【评论】经典的“同构”题目。
证明：由（1）的结果，在递减，在递增，最小值为。且当，；，。
在递减，在递增，最小值为。且当，；，。
因此当时，直线分别与，都有2个交点。下面观察什么时候交点会重合：
考虑，。
，当，；当，。因此在上单调增，又因为当，；。因此在上有唯一零点。
于是直线与两条曲线和共有三个不同交点。
设使得，使得，下面证：
因为
而，因此；
而，因此。
由得，因此，从而成等差数列。
