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2006年浙江省数学竞赛试题及答案(部分)
一、计算题
计算
【解】 令 ，当 时，。原极限化为：
利用等价无穷小与皮亚诺余项的麦克劳林公式，对幂指函数进行展开：
将其进一步展开：
代回原极限式中：
计算
【解】 被积函数的分子和分母同乘 ，得：
令 ，则 ，积分化为：
利用部分分式分解法，设：
解得 。将其代入并逐项积分：
求
【解】 将原积分拆分为两部分 。
对于 ，交换积分次序，积分区域变为 ：
对于 ，直接对 积分：
由定积分的性质知 。代入原式合并：
计算此积分：
求过 且与曲面 的所有切平面皆垂直的平面方程。
【解】 令曲面方程为 。
曲面上任意一点处的法向量为 。
设所求平面法向量为 。由题意，该平面与所有切平面垂直，故 恒成立：
整理得：
为使上式对曲面上的点恒成立，必须有：
取 ，得法向量 。
由点法式方程，所求平面为：
二、设 ，问 有几个实根？并说明理由。
【解】 方程 有 个实根。
求导得：， 。
令 ，则 。易知 时 取得全局极小值（即最小值），。
因此，对任意实数 ，恒有 ，故 在 上单调递增。
又因 且 ，由零点存在定理可知，存在唯一的 ，使得 。
由此可知 为 的全局最小值点。由 得到 。
将其代入 求最小值：
因 ，显然 且 ，故 。
由于 的全局最小值严格大于 ，函数图像恒在 轴上方，故方程 无实根。
三、求级数 中 的系数。
【解】 利用等比级数求和公式，原式可化为：
求该展开式中 的系数，等价于求 展开式中 的系数。
根据广义二项式定理 ，令 。
所求系数为：
四、计算 ，其中 是球面 与平面 的交线。
【解】 曲线 的方程组关于 具有轮换对称性，故：
由平面方程 展开得：
代入球面方程 ，解得曲线上恒有 。
又因 是原点处平面截取球面所得的大圆，其弧长 。
故原积分为：
五、求最小的实数 ，使得满足 的连续函数都有 。
【解】在目标积分中令 ，则 ，积分变为：
根据绝对值积分不等式及 时的放缩 ，有：
代入条件 ，得到 。故 。
为证明 是最小实数，构造函数序列 。
易验证连续函数 满足
将其代入目标积分计算：
当 时，。
由此可知，目标积分可以无限逼近 ，故不存在小于 的上界。
综上所述，最小的实数 。