2023年全国高中数学联合竞赛加试（A）卷_全国高考模拟卷_2024强基奥赛试卷（独家整理）_2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨全国高中数学联合竞赛一试及加试（AB)

2023 年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）
暨 2023 年全国高中数学联合竞赛
加试（A卷）
说明：
1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．
2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可
参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次．
一．（本题满分 40分）如图，是以AB为直径的固定的半圆弧，是经过
点A及上另一个定点T 的定圆，且的圆心位于ABT 内．设P是的弧T  B
（不含端点）上的动点，C,D是上的两个动点，满足：C在线段AP上，C,D
位于直线AB的异侧，且CD AB．记CDP的外心为K．证明：
(1) 点K在TDP的外接圆上；
(2) K为定点．
P
T C
Ω
A B
ω
D
1
{#{QQABCYSUggAoQBAAABhCAQGSCAGQkBECCIgOQBAAIAABSBFABAA=}#}二．（本题满分 40分）正整数n称为“好数”，如果对任意不同于n的正整
 2n   2m  
数m，均有  ，这里， x 表示实数x的小数部分．
n2 m2
证明：存在无穷多个两两互素的合数均为好数．
三．（本题满分 50分） 求具有下述性质的最小正整数k：若将1,2,,k 中
的每个数任意染为红色或者蓝色，则或者存在 9 个互不相同的红色的数
x , x ,, x 满足 x  x x  x ，或者存在10 个互不相同的蓝色的数
1 2 9 1 2 8 9
y , y ,, y 满足 y  y y  y ．
1 2 10 1 2 9 10
2
{#{QQABCYSUggAoQBAAABhCAQGSCAGQkBECCIgOQBAAIAABSBFABAA=}#}四．（本题满分 50 分）设a 1104．在20232023的方格表的每个小方
格中填入区间[1,a]中的一个实数．设第i行的总和为x ，第i列的总和为 y ，
i i
y y y
1i2023．求 1 2 2023 的最大值（答案用含a的式子表示）．
x x x
1 2 2023
3
{#{QQABCYSUggAoQBAAABhCAQGSCAGQkBECCIgOQBAAIAABSBFABAA=}#}