2023年全国高中数学联合竞赛一试（A）卷_全国高考模拟卷_2024强基奥赛试卷（独家整理）_2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨全国高中数学联合竞赛一试及加试（AB)

2023 年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛） 暨 2023 年全国高中数学联合竞赛 一试（A 卷） 说明： 1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设 8分和 0分两档；其他各 题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷 时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第 9小题 4分为一个档次，第 10、11小题 5分为一个档次，不得增加其他中间档次． 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分． 1. 设复数z910i（i为虚数单位），若正整数n满足 zn 2023，则n的 最大值为 ． 2. 若正实数a,b满足algb 2，algablgb 5，则(ab)lgab的值为 ． 3. 将一枚均匀的骰子独立投掷三次，所得的点数依次记为x, y, z，则事件 “Cx Cy Cz”发生的概率为 ． 7 7 7             4. 若平面上非零向量,, 满足 ，2||，3||，则||的 最小值为 ． 1 {#{QQABCYSUggAoQBAAABhCAQGSCAGQkBECCIgOQBAAIAABSBFABAA=}#}5. 方程sinxcos2x的最小的20个正实数解之和为 ． 6. 设a,b,c为正数，ab．若a,b为一元二次方程ax2bxc0的两个根， 且a,b,c是一个三角形的三边长，则abc的取值范围是 ． 7. 平面直角坐标系 xOy中，已知圆与 x轴、 y 轴均相切，圆心在椭圆 x2 y2 :  1(ab0) 内，且 与  有唯一的公共点 (8,9) ．则  的焦距 a2 b2 为 ． 2 {#{QQABCYSUggAoQBAAABhCAQGSCAGQkBECCIgOQBAAIAABSBFABAA=}#}8. 八张标有A,B,C,D,E,F,G,H 的正方形卡片构成下图．现逐一取走这些 卡片，要求每次取走一张卡片时，该卡片与剩下的卡片中至多一张有公共边（例 如可按D, A,B,E,C,F,G,H 的次序取走卡片，但不可按D,B, A,E,C,F,G,H 的 次序取走卡片），则取走这八张卡片的不同次序的数目为 ． A B C D E F G H 二、解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分．解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤． 9. （本题满分 16分）平面直角坐标系xOy中，抛物线:y2 4x，F 为的 焦点，A,B为上的两个不重合的动点，使得线段AB的一个三等分点P位于线 段OF 上（含端点），记Q为线段AB的另一个三等分点．求点Q的轨迹方程． 3 {#{QQABCYSUggAoQBAAABhCAQGSCAGQkBECCIgOQBAAIAABSBFABAA=}#}10.（本题满分 20 分）已知三棱柱:ABCABC 的9条棱长均相等．记底 1 1 1 面ABC所在平面为．若的另外四个面（即面ABC , ABB A, ACC A,BCC B ） 1 1 1 1 1 1 1 1 1 在上投影的面积从小到大重排后依次为2 3,3 3,4 3,5 3，求的体积． 11.（本题满分 20 分）求出所有满足下面要求的不小于1的实数t：对任意 a,b[1,t]，总存在c,d [1,t]，使得(ac)(bd)1． 4 {#{QQABCYSUggAoQBAAABhCAQGSCAGQkBECCIgOQBAAIAABSBFABAA=}#}5 {#{QQABCYSUggAoQBAAABhCAQGSCAGQkBECCIgOQBAAIAABSBFABAA=}#}