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!"#$!"%&’!() !" ( !"#$!"%&’!() !" ! !"#$!"%&’!() !" ) !８．如图，Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝９０°，将△ＡＢＣ沿 ＢＣ的方向平移得到△ＤＥＦ，其中 Ａ，Ｂ，Ｃ的对应点分别是点 三、解答题（本大题共８个小题，共７５分）
!
Ｄ，Ｅ，Ｆ．若点 Ｅ是 ＢＣ的中点，ＡＢ＝４，ＡＣ＝８，则点 Ａ与点 Ｄ之间的距离为 （Ｂ） １６．（本题共２个小题，每小题５分，共１０分）
太原市 ２０２５年初中学业水平模拟考试（二）
１ １ １ １ ｍ
Ａ．２槡３ Ｂ．２槡５ Ｃ．４槡５ Ｄ．４ （１）计算：１８×（－ ）－（２－５）＋（ ）－３； （２）化简：（ ＋ ）÷ ．
３ ２ ｍ－２ｍ＋２ ｍ＋２
数 学 （１）原式＝（－６）－（－３）＋８ （３分）
＝－６＋３＋８ （４分）
（满分１２０分，考试时间１２０分钟） ＝５． （５分）
ｍ＋２＋ｍ－２ ｍ＋２
（２）原式＝ · （２分）
第Ⅰ卷 选择题（共 ３０分）
（ｍ＋２）（ｍ－２） ｍ
２ｍ １
一、选择题（本大题共１０个小题，每小题３分，共３０分） （第８题） （第１０题） ＝ · （４分）
ｍ－２ ｍ
１．通达桥位于汾河之上，主桥面中心标志高于基准面 ７８７．５米，主墩桩基础低于基准面 ９． !"# )%*+ 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中记载了这样一个题目：今有木，不 ２
＝ ． （５分）
５２米．若高于基准面７８７．５米记作＋７８７．５米，则低于基准面５２米记作 （Ｂ） 知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，问木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长 ｍ－２
Ａ．＋５２米 Ｂ．－５２米 Ｃ．＋７８７．５米 Ｄ．－７８７．５米 木，绳子还剩余４．５尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余 １尺，问长木长多少尺？这个问题可用方程 ｘ－ １７．（本题７分）如图（１），是一张矩形纸片ＡＢＣＤ，沿过点Ａ的直线折叠该纸片，使点Ｂ的对应点落在ＡＤ
２．我国青少年科普已从“知识普及”向“创新能力培养”转型．下面有关科普的图标，其文字上方的图案 边上的点 Ｆ处，展开后折痕交边 ＢＣ于点 Ｅ，连接 ＥＦ．
１
４．５－ ｘ＝１来解决，则方程中的 ｘ表示 （Ｃ）
既是轴对称图形又是中心对称图形的是 （Ａ） ２ （１）判断四边形 ＡＢＥＦ的形状，并证明你的结论；
Ａ．长木的长 Ｂ．长木一半的长 Ｃ．绳子的长 Ｄ．绳子对折后的长 （２）在图（１）中，作∠ＡＥＣ的平分线交 ＡＤ于点 Ｇ，得到图（２），若 ＡＢ＝３，ＢＣ＝５，则线段 ＤＧ的长
１０．如图，线段 ＡＢ是⊙Ｏ的直径，点 Ｃ是⊙Ｏ上一点，连接 ＡＣ，ＢＣ，以点 Ｃ为圆心，线段 ＡＣ长为半径所作的 为 ５－３槡２ ．
弧恰好经过点 Ｂ．若⊙Ｏ的半径为２，则图中阴影部分的周长为 （Ｄ）
槡２
Ａ．２π＋８ Ｂ．２π＋４ Ｃ．２π＋ π Ｄ．２π＋ 槡２π
２
３．下列运算正确的是 （Ｃ）
Ａ．槡２＋ 槡８＝ 槡１０ Ｂ．槡１２－ 槡３＝３ Ｃ．槡２×２槡２＝４ Ｄ．槡６÷ 槡３＝２
第Ⅱ卷 非选择题（共 ９０分）
图（１） 图（２）
４．２０２５年以来，水利部聚焦国家水网建设，第一季度新开工的重大项目，总投资规模达 ４３７．３亿元．数 （１）四边形ＡＢＥＦ是正方形． （１分）
二、填空题（本大题共５个小题，每小题３分，共１５分）
证明：∵四边形ＡＢＣＤ是矩形，
据４３７．３亿用科学记数法可表示为 （Ｄ）
１１．计算（ａ＋３）（ａ－３）的结果是 ａ２－９ ．
Ａ．４３７．３×１０８ Ｂ．４３．７３×１０１０ Ｃ．４．３７３×１０１１ Ｄ．４．３７３×１０１０ ∴∠Ｂ＝９０°，ＡＤ∥ＢＣ， （２分）
１２．如图，在平面直角坐标系中，若 Ｂ，Ｃ两点的坐标分别为（－３，－１），（１，－２），则点 Ａ的坐标为 （３，０） ．
∴∠ＤＡＥ＝∠ＡＥＢ．
５．２０２５年１月１５日，中国邮政发行《中国核工业创建七十周年》纪念邮票１套３枚，邮票图案名称分别为
∵将矩形纸片ＡＢＣＤ沿ＡＥ折叠，点Ｂ的对应点为点Ｆ，
“核铸利器”“核能先锋”“核惠民生”．将３枚邮票背面朝上放置桌面（邮票背面完全相同），从中随机抽
∴ＡＢ＝ＡＦ，ＥＢ＝ＥＦ，∠ＤＡＥ＝∠ＢＡＥ，
取１枚，不放回，再随机抽取１枚，则两次抽到的邮票中恰好有１枚是“核铸利器”的概率为 （Ａ）
∴∠ＡＥＢ＝∠ＢＡＥ，
∴ＡＢ＝ＢＥ， （３分）
∴ＡＢ＝ＡＦ＝ＢＥ＝ＦＥ，
∴四边形ＡＢＥＦ是菱形． （４分）
２ １ ５ １ 图（１） 图（２） ∵∠Ｂ＝９０°，
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
３ ３ ６ ６ （第１２题） （第１３题） （第１４题） （第１５题） ∴菱形ＡＢＥＦ是正方形． （５分）
６． !"# $%&’( 如图是一块太阳能电池板，其表层是用于减少反 １３．中国宴席中的摆盘艺术体现传统美学原则．将六个全等的正五边形陶瓷盘按照如图（１）的方式摆放，正五边形 （２）５－３槡２ （７分）
射的光伏玻璃．太阳光线 ＡＢ射向光伏玻璃，在玻璃表面点 Ｂ处发生反射和 的五个顶点代表“五福”，具有美好的寓意．若将其抽象成如图（２）的图形，则∠１的度数为 ３６ °． 解法提示：由（１）得ＢＥ＝ＡＢ＝３，△ＡＢＥ是等腰直角三角形，∴ＡＥ＝３槡２．
折射现象，反射光线为 ＢＣ，折射光线 ＢＤ在太阳能电池板表面的点 Ｄ处发生 １４．如图，在平面直角坐标系中，Ｒｔ△ＡＢＣ的斜边 ＡＢ经过原点 Ｏ，ＡＣ平行于 ｘ轴，点 Ｄ是 ＡＢ的中点，反比例 ∵四边形ＡＢＣＤ是矩形，
反射现象，反射光线从玻璃表面的点 Ｅ处射出，形成光线 ＥＦ．已知 ＢＣ∥ＥＦ， ｋ ∴ＡＤ∥ＢＣ，ＡＤ＝ＢＣ＝５，∴∠ＡＧＥ＝∠ＧＥＣ．
函数 ｙ＝ （ｋ≠０）的图象经过点 Ａ和点 Ｄ．若点 Ａ的坐标为（３，－２），则△ＡＢＣ的面积为 ４８ ．
ＭＮ∥ＰＱ．若∠ＦＥＮ＝６１°，∠ＢＤＰ＝７２°，则∠ＣＢＤ的度数为 （Ｄ） ｘ ∵ＥＧ平分∠ＡＥＣ，
Ａ．７２° Ｂ．１０８° Ｃ．１１９° Ｄ．１３３° １５．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝１０，ＢＣ＝１２，点Ｄ为ＢＣ边上一点且ＣＤ＝２ＢＤ，连接ＡＤ，作ＡＤ的垂直平分线，
∴∠ＡＥＧ＝∠ＧＥＣ，∴∠ＡＥＧ＝∠ＡＧＥ，
７．若关于 ｘ的一元二次方程 ｘ２－４ｘ＋ｍ＝０有两个相等的实数根，则实数 ｍ的值为 （Ｃ） １６槡１７ ∴Ａ Ｇ ＝Ａ Ｅ＝ ３ 槡２!"#$%&’(＋&)*+,-%./，
分别交线段 ＡＢ，ＡＤ，ＡＣ于点 Ｅ，Ｆ，Ｇ，则线段 ＦＧ的长为 ．
Ａ．－１６ Ｂ．－４ Ｃ．４ Ｄ．１６ １３ ∴ＤＧ＝ＡＤ－ＡＧ＝５－３槡２．
山西中考４５套汇编·数学 ９— １ 山西中考４５套汇编·数学 ９— ２ 山西中考４５套汇编·数学 ９— ３
书书书１８．（本题９分）２０２５年４月１５日是第十个全民国家安全教育日，学校组织 {ｘ＋ｙ＝２００，
由题意，得 （３分） ∵⊙Ｏ为点Ｂ和直线ｌ关于点Ａ的等距圆，
“国家安全·青春挺膺”主题演讲比赛，引导青年学生提升国家安全意 ２９ｘ＋９９ｙ＝９３００．
∴⊙Ｏ与直线ｌ相切于点Ａ，
识和素养，维护国家主权、安全、发展利益．比赛设初赛和决赛两个阶 {ｘ＝１５０， ∴① ，
解得 （４分）
段，初赛有２０名选手参加，组委会对两个阶段的选手成绩进行整理，得
ｙ＝５０．
∴点Ｏ在过点Ａ且与直线ｌ垂直的直线上．
答：购买“延丹１号”山丹丹１５０盆，购买“太空玫瑰”５０盆． （５分）
到如下信息． ∵⊙Ｏ与直线ｌ相切于点Ａ，且经过点Ｂ，
信息１：２０名选手初赛成绩的频数直方图如图（数据分成 ５组：７０≤ｘ＜ （２）设购买“太空玫瑰”ｍ盆，则购买“延丹１号”山丹丹（２００－ｍ）盆． （６分） ∴ＯＡ＝ＯＢ，
由题意，得９９ｍ＋２９（２００－ｍ）≤８０００（012$34567386）． （７分） ∴点Ｏ在线段ＡＢ的垂直平分线上．（依据：② ）
７５，７５≤ｘ＜８０，８０≤ｘ＜８５，８５≤ｘ＜９０，９０≤ｘ＜９５）． 图（１） 图（２）
２２０
信息２：初赛成绩在第三组（８０≤ｘ＜８５）的选手成绩如下． 解得ｍ≤ ． （８分）
７
任务：
８３，８０，８１，８１，８４，８１，８１，８１．
因为ｍ为正整数，所以ｍ的最大值为３１．
（１）分析论证：补全上述分析过程中空缺的部分：① ＯＡ⊥ｌ ，② 到一条线段两个端点距离相等的
信息３：决赛过程中，由 ５位教师评委给每位选手打分（百分制），总分排名前 ３名选手的成绩如
答：最多可购买“太空玫瑰”３１盆． （９分）
点，在这条线段的垂直平分线上 ．
下表．
２０．（本题７分）综合与实践
（２）问题解决：如图（３），已知直线 ｍ上一点 Ｃ和直线 ｍ外一点 Ｄ，求作：点 Ｄ和直线 ｍ关于点 Ｃ的
得分 随着学校对高效、智能、绿色的教学环境构建需求的日益增长，ＬＥＤ显示屏逐渐以其独特的优势点亮校
选手 平均数 方差 等距圆⊙Ｏ（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
评委１ 评委２ 评委３ 评委４ 评委５ 园的多个角落．在学校改造升级工程中，运动场新安装了一块大型 ＬＥＤ显示屏．如图，线段 ＡＢ的长表示
（３）联系拓广：如图（４），已知直线 ｌ和直线 ｌ外一点 Ｅ，ＥＦ⊥ｌ于点 Ｆ，ＥＦ＝ｄ．
甲 ９３ ９０ ９２ ９３ ９２ ９２ ＬＥＤ显示屏的宽，ＭＮ表示水平地面，ＡＢ⊥ＭＮ于点 Ｃ，兴趣小组的同学利用所学知识测量显示屏的宽
①求作⊙Ｐ和直线 ｌ上一点 Ｍ，使⊙Ｐ是点 Ｅ和直线 ｌ
乙 ９１ ９２ ９２ ９２ ９２ ９１．８ ０．１６ ＡＢ，测量方案及相关数据如下．
关于点 Ｍ的等距圆，点 Ｍ在点 Ｆ左侧，且⊙Ｐ的半径
丙 ９０ ９４ ９０ ９４ ９２ ３．２ 第一步：在操场地面上的点 Ｄ处，用测角仪测得 ＬＥＤ显示屏的底部点 Ｂ的仰角∠ＢＤＣ＝２４°；
为 ｄ．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
根据上述信息回答下列问题： 第二步：沿 ＤＣ方向走到点 Ｅ处，用测角仪测得显示屏的顶部点 Ａ的仰角∠ＡＥＣ＝５８°；
②若⊙Ｑ是点 Ｅ和直线 ｌ关于直线 ｌ上另一点 Ｎ的等
（１）初赛２０名选手成绩的中位数为 ８１ 分． 第三步：用皮尺测得 ＤＥ＝２米，点 Ｅ到 ＡＢ正下方点 Ｃ之间
距圆，点 Ｎ在点 Ｆ右侧，且⊙Ｑ的半径为 ３ｄ，则 Ｍ，Ｎ 图（３） 图（４）
（２）组委会规定初赛选手中成绩靠前的一半选手进入决赛，若选手成绩并列且不能确定其是否进入 的距离即 ＣＥ＝４．２米．（图中各点均在同一竖直平面内）
两点之间的距离用含 ｄ的式子表示为 （槡５＋１）ｄ ．
决赛时，组委会对其加试一题，加试前，小文的成绩为８１分，小颖的成绩为 ８５分，直接写出他们 根据上述测量方案和数据计算 ＬＥＤ显示屏的宽 ＡＢ（结果精
（１）①ＯＡ⊥ｌ （１分）
两人是否能进入决赛． 确到 ０．１米．参考数据：ｓｉｎ２４°≈０．４１，ｃｏｓ２４°≈０．９１，
②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 （２分）
（３）决赛的排名规则是：计算５位教师评委评分的平均数和方差，平均数较大的选手排名靠前；若平 ｔａｎ２４°≈０．４５，ｓｉｎ５８°≈０．８５，ｃｏｓ５８°≈０．５３，ｔａｎ５８°≈１．６０）．
（２）如图（１），⊙Ｏ即为所求． （４分）
均数相同，则方差较小的选手排名靠前．请补全上表中空缺的数据，给甲、乙、丙三位选手排出名 由题意，得ＣＥ＝４．２米，ＤＥ＝２米，ＡＢ⊥ＭＮ，
次，并说明理由． ∴ＣＤ＝ＤＥ＋ＥＣ＝２＋４．２＝６．２（米）．
（１）８１ （２分） 在Ｒｔ△ＡＣＥ中，∠ＡＣＥ＝９０°，∠ＡＥＣ＝５８°，
（２）小文不一定进入决赛，小颖一定能进入决赛． （４分） ＡＣ
∵ｔａｎ∠ＡＥＣ＝ ，
解法提示：因为初赛２０名选手成绩的中位数为８１分，组委会对选手加试一题，加试前，小文的成绩为８１分， ＣＥ
而８１分的同学有５名，则小文不一定进入决赛．小颖的成绩为 ８５分，大于中位数，则一定能进入决赛，所以 ＡＣ
∴ ＝ｔａｎ５８°≈１．６０， （２分）
４．２
小文不一定进入决赛，小颖一定能进入决赛．
（３）甲的方差为１．２，丙的平均数为９２． （６分）
∴ＡＣ≈４．２×１．６０＝６．７２（米）． （３分）
第一名为甲，第二名为丙，第三名为乙． （７分）
在Ｒｔ△ＢＣＤ中，∠ＢＣＤ＝９０°，∠ＢＤＣ＝２４°，
ＢＣ
理由如下：因为乙成绩的平均数 ９１．８分低于甲、丙两位选手成绩的平均数 ９２分，所以甲、丙的排名在乙之
∵ｔａｎ∠ＢＤＣ＝ ， 图（１）
ＣＤ
前，乙应排名第三．因为甲、丙成绩的平均数相同，但甲成绩的方差１２小于丙成绩的方差３．２，所以甲的排名
（３）①如图（２），⊙Ｐ及点Ｍ即为所求． （６分）
ＢＣ
应在丙之前．因此第一名为甲，第二名为丙，第三名为乙． （９分） ∴ ＝ｔａｎ２４°≈０．４５， （４分） 方法一 方法二
６．２
１９．（本题９分） !,- ./0123“太空育种”是种子被宇航员带入
∴ＢＣ≈６．２×０．４５＝２．７９（米）， （５分）
太空，经历一段太空环境后，再返回地球进行培育的育种方法，是将辐射、
∴ＡＢ＝ＡＣ－ＢＣ＝６．７２－２．７９＝３．９３≈３．９（米）． （６分）
宇航、育种和遗传等学科综合的高新技术．经太空育种后的鲜花花期更
答：ＬＥＤ显示屏的宽ＡＢ约为３．９米． （７分）
长、花朵更鲜艳、价格也较高．我国培育成功的太空育种鲜花“延丹 １号”
２１．（本题７分） !45 6789:!;<=> 阅读与思考
山丹丹价格为２９元／盆，“太空玫瑰”价格为９９元／盆．
请仔细阅读下面的材料并完成相应的任务． 图（２）
（１）为美化环境，公园计划购买这两种太空育种鲜花共２００盆，若购买这两种鲜花的总价为９３００元，
点和直线的等距圆 ②（槡５＋１）ｄ （７分）
请计算购买“延丹１号”山丹丹和“太空玫瑰”的盆数；
在学习了圆的有关知识后，老师给出了“等距圆”的定义：经过已知直线外一点且和这条直线相切的圆称为该点 解法提示：画出符合题意的示意图如图（３），⊙Ｑ是点 Ｅ和直线 ｌ关于直线
（２）若公园购买这两种太空育种鲜花的预算资金只有８０００元，所需购买两种鲜花的总数仍为２００盆，
和这条直线关于切点的等距圆． ｌ上另一点 Ｎ的等距圆，点 Ｎ在点 Ｆ右侧，且⊙Ｑ的半径为３ｄ．
则最多可购买“太空玫瑰”多少盆？
概念理解：如图（１），已知点Ｂ是直线ｌ外一点，⊙Ｏ经过点Ｂ，且与直线 ｌ相切于点 Ａ，则⊙Ｏ为点 Ｂ和直线 ｌ关 连接 ＰＥ，ＰＭ，易证四边形 ＰＥＦＭ是正方形，则 ＭＦ＝ＥＦ＝ｄ．
（１）设购买“延丹１号”山丹丹ｘ盆，购买“太空玫瑰”ｙ盆． （１分）
于点Ａ的等距圆．对等距圆圆心的位置分析如下：在图（１）的基础上连接ＯＡ，ＯＢ，ＡＢ，得到图（２）． 连接 ＱＮ，则 ＱＮ⊥ＭＮ． 图（３）
山西中考４５套汇编·数学 ９— ４ 山西中考４５套汇编·数学 ９— ５ 山西中考４５套汇编·数学 ９— ６延长 ＰＥ交 ＱＮ于点 Ｇ，则∠ＧＥＦ＝∠ＥＦＮ＝∠ＦＮＧ＝９０°， 把（１，７０），（２，８０）代入， ∴∠ＥＣＦ＝６０°，ＥＣ＝ＦＣ． （３分）
∴四边形 ＥＦＮＧ为矩形， {７０＝ｋ′＋ｂ， {ｋ′＝１０， ∴∠ＢＣＤ＝∠ＥＣＦ．
得 解得
∴ＧＮ＝ＥＦ＝ｄ，∠ＥＧＮ＝９０°，∴∠ＱＧＥ＝９０°． ８０＝２ｋ′＋ｂ， ｂ＝６０， ∴∠ＢＣＤ－∠ＥＣＤ＝∠ＥＣＦ－∠ＥＣＤ，
∵ＱＥ＝ＱＮ＝３ｄ，∴ＱＧ＝ＱＮ－ＧＮ＝２ｄ， 所以ｍ＝１０ｘ＋６０． 即∠ＢＣＥ＝∠ＤＣＦ． （４分）
由题意可知ｚ＝ｍ（３２－２ｘ－２）＝（１０ｘ＋６０）（３０－２ｘ）＝－２０ｘ２＋１８０ｘ＋１８００． ∴△ＢＣＥ≌△ＤＣＦ（"#3：9:96;<）．
∴ＦＮ＝ＥＧ＝槡ＱＥ２－ＱＧ２＝槡（３ｄ）２－（２ｄ）２＝ 槡５ｄ，
（３）①设Ａ，Ｂ两种小吊瓜第ｘ天的销售总利润为ｗ元． ∴ＢＥ＝ＤＦ． （５分）
∴ＭＮ＝ＭＦ＋ＦＮ＝（槡５＋１）ｄ．
由题意，得ｗ＝ｙ＋ｚ＝（－１０ｘ２＋２４０ｘ＋１２００）＋（－２０ｘ２＋１８０ｘ＋１８００） （８分） （２）①ＡＤ＝ＡＥ＋ＦＧ．
２２．（本题１３分）综合与实践 ＝－３０ｘ２＋４２０ｘ＋３０００ 证明如下：∵四边形ＡＢＣＤ是菱形，
问题背景：小吊瓜又叫礼品瓜，采用“吊挂”“嫁接”等技术，瓜蔓向上生长，结出的瓜都吊在空中，因 ＝－３０（ｘ－７）２＋４４７０． （９分） ∴∠Ａ＝∠ＢＣＤ＝６０°，ＡＢ∥ＣＤ．
其玲珑的外观，甜美的口感成为水果市场新宠．研学小组的同学走进某种植基地，对同时上市的 Ａ， 因为－３０＜０，１≤ｘ≤１５，且ｘ为整数， ∴∠ＣＤＧ＝∠Ａ＝６０°．
Ｂ两个品种小吊瓜前１５天的销售情况进行调查． 所以当ｘ＝７时，ｗ ＝４４７０． （１０分） ∵ＦＧ∥ＡＢ，
最大
数据收集： 答：上市第７天时，Ａ，Ｂ两种小吊瓜当天销售总利润最大，最大利润是４４７０元． （１１分） ∴∠Ｇ＝∠Ａ＝６０°． （６分）
信息１：Ａ品种小吊瓜第 ｘ天的销售利润 ｙ（元）与 ｘ的函数关系可近似地用如下坐标系中的抛物线 ②１≤ｘ≤４且ｘ为整数． （１３分） 由（１）得，△ＢＣＥ≌△ＤＣＦ．
刻画，该抛物线经过点（４，２０００），且顶点坐标为（１２，２６４０），其中１≤ｘ≤１５且 ｘ为整数． 解法提示：因为ｙ＝－１０（ｘ－１２）２＋２６４０， ∴∠ＣＤＦ＝∠ＣＢＥ＝１２０°．
所以对称轴为直线ｘ＝１２， ∴∠ＧＤＦ＝∠ＣＤＦ－∠ＣＤＧ＝１２０°－６０°＝６０°．
所以当１≤ｘ≤１２且ｘ为整数时，ｙ随ｘ的增大而增大． ∴∠Ｇ＝∠ＧＤＦ．
因为ｚ＝－２０ｘ２＋１８０ｘ＋１８００＝－２０（ｘ－４．５）２＋２２０５， ∴ＤＦ＝ＧＦ!01"/． （７分）
所以对称轴为直线ｘ＝４．５， 由（１）得，ＢＥ＝ＤＦ，
所以当１≤ｘ≤４且ｘ为整数时，ｚ随ｘ的增大而增大． ∴ＢＥ＝ＧＦ． （８分）
综上所述，１≤ｘ≤４且ｘ为整数． ∵四边形ＡＢＣＤ是菱形，
２３．（本题１３分）综合与探究 ∴ＡＤ＝ＡＢ＝ＡＥ＋ＢＥ＝ＡＥ＋ＦＧ． （９分）
问题情境：综合探究活动中，老师以菱形为基本图形，添加若干条件后，请同学们就几何元素之间的关系 ②槡１３－１或槡１３＋１． （１３分）
提出问题并解决问题．如图（１），已知四边形 ＡＢＣＤ是菱形，∠ＡＢＣ＝１２０°，ＡＢ＝６，点 Ｅ是射线 ＢＡ上的一 解法提示：过点Ｃ作ＣＭ⊥ＡＧ于点Ｍ．
信息２：Ｂ品种小吊瓜每千克的销售成本为２元．
个动点，连接 ＣＥ，以 ＣＥ为边作等边三角形 ＣＥＦ（点 Ｆ在 ＡＤ的右侧），连接 ＤＦ． ∵ＣＤ＝ＡＢ＝６，∠ＣＤＭ＝６０°，
信息３：Ｂ品种小吊瓜的销售单价及销售量与上市时间的关系如下表：
数学思考： １ 槡３
上市时间 第１天 第２天 第３天 第４天 第５天 … 第ｘ天 （１）“敏学小组”提出问题：猜想图（１）中 ＢＥ与 ＤＦ之间的数量关系，并说明理由．
∴ＤＭ＝ＣＤ·ｃｏｓ６０°＝６×
２
＝３，ＣＭ＝ＣＤ·ｓｉｎ６０°＝６×
２
＝３槡３．
销售价格（元／千克） ３０ ２８ ２６ ２４ ２２ … ３２－２ｘ 深入探究： 由①易得△ＤＦＧ是等边三角形．
销售量（千克） ７０ ８０ ９０ １００ １１０ … （２）老师在图（１）的基础上过点Ｆ作ＡＢ的平行线与ＡＤ的延长线交于点Ｇ，请你解决同学们提出的新问题． 如图（１），当点Ｅ在线段ＡＢ上时，
设ＡＥ＝ｘ，则ＤＧ＝ＤＦ＝ＢＥ＝ＡＢ－ＡＥ＝６－ｘ，ＣＧ＝２ＡＥ＝２ｘ，
（注：其中１≤ｘ≤１５且ｘ为整数） ①“善思小组”提出问题：如图（２），若点 Ｅ在线段 ＡＢ上，判断线段 ＡＤ，ＡＥ与 ＦＧ之间的数量关系，并
∴ＭＧ＝ＤＧ－ＤＭ＝６－ｘ－３＝３－ｘ．
建立模型： 证明你的结论；
在Ｒｔ△ＣＭＧ中，由勾股定理得ＣＭ２＋ＭＧ２＝ＣＧ２，
（１）求 Ａ品种小吊瓜第 ｘ天的销售利润 ｙ（元）与 ｘ之间的函数关系式． ②“创新小组”提出问题：若点 Ｅ在射线 ＢＡ上运动，连接 ＣＧ，当 ＣＧ＝２ＡＥ时，请直接写出线段 ＡＥ
（２）按照信息３表格呈现的规律，Ｂ品种小吊瓜第 ｘ天的销售量用含 ｘ的代数式表示为 （１０ｘ＋６０） 的长． 即（３槡３）２＋（３－ｘ）２＝（２ｘ）２，
千克；Ｂ品种小吊瓜第ｘ天的销售利润ｚ（元）与ｘ之间的函数关系式为 ｚ＝－２０ｘ２＋１８０ｘ＋１８００ ． 解得ｘ＝ 槡１３－１或ｘ＝－ 槡１３－１（舍去），即ＡＥ＝ 槡１３－１．
问题解决：
（３）①求上市第几天时，Ａ，Ｂ两种小吊瓜当天的销售总利润最大？最大利润是多少？
②当 Ａ，Ｂ两种小吊瓜日销售利润都随天数 ｘ的增大而增大时，请直接写出相应的上市时间（第
ｘ天）的范围．
（１）设ｙ与ｘ之间的函数关系式为ｙ＝ａ（ｘ－ｈ）２＋ｋ． （１分）
因为该抛物线的顶点坐标为（１２，２６４０），
所以ｙ＝ａ（ｘ－１２）２＋２６４０． （２分）
因为抛物线经过点（４，２０００），
图（１） 图（２）
所以２０００＝ａ（４－１２）２＋２６４０， 图（１） 图（２） 备用图
如图（２），当点Ｅ在线段ＢＡ的延长线上时，
解得ａ＝－１０． （３分） （１）ＢＥ＝ＤＦ． （１分）
设ＡＥ＝ｘ，则ＤＧ＝ＤＦ＝ＢＥ＝ＡＢ＋ＡＥ＝６＋ｘ，ＣＧ＝２ＡＥ＝２ｘ，
所以ｙ＝－１０（ｘ－１２）２＋２６４０＝－１０ｘ２＋２４０ｘ＋１２００． 理由如下：∵四边形ＡＢＣＤ是菱形，
∴ＭＧ＝ＤＧ－ＤＭ＝６＋ｘ－３＝３＋ｘ．
所以ｙ与ｘ之间的函数关系式为ｙ＝－１０ｘ２＋２４０ｘ＋１２００． （４分） ∴ＢＣ＝ＣＤ，ＡＢ∥ＣＤ．
在Ｒｔ△ＣＭＧ中，由勾股定理得ＣＭ２＋ＭＧ２＝ＣＧ２，
【评分说明：写出顶点式ｙ＝－１０（ｘ－１２）２＋２６４０也可】 ∴∠ＡＢＣ＋∠ＢＣＤ＝１８０°． （２分）
（２）（１０ｘ＋６０） （５分） ∵∠ＡＢＣ＝１２０°，
即（３槡３）２＋（３＋ｘ）２＝（２ｘ）２，
ｚ＝－２０ｘ２＋１８０ｘ＋１８００ （７分） ∴∠ＢＣＤ＝１８０°－∠ＡＢＣ＝６０°． 解得ｘ＝ 槡１３＋１或ｘ＝－ 槡１３＋１（舍去），即ＡＥ＝ 槡１３＋１．
解法提示：设Ｂ品种小吊瓜第ｘ天的销售量为ｍ＝ｋ′ｘ＋ｂ， ∵△ＣＥＦ是等边三角形， 综上所述，线段ＡＥ的长为槡１３－１或槡１３＋１．
山西中考４５套汇编·数学 ９— ７ 山西中考４５套汇编·数学 ９— ８ 山西中考４５套汇编·数学 ９— ９{３－ｘ＞０，
!" ７．不等式组 的解集在数轴上表示正确的是 （Ａ）
运城市 ２０２４—２０２５学年第二学期
ｘ＋２≥１
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
九年级学业质量监测
８．共享经济已经进入人们的生活．如图，小明收集了自己感兴趣的四个共享经济领域的图标，即共享出行、共
享服务、共享物品、共享知识，并将其制成编号为 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相
数 学
同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好，小明从中随机抽取两张卡片，则小明抽到的两张卡片恰好是
“共享出行”和“共享知识”的概率是 （Ｄ）
（满分１２０分，考试时间１２０分钟）
１ １ １ １
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
第Ⅰ卷 选择题（共 ３０分） ２ ３ ４ ６
一、选择题（本大题共１０个小题，每小题３分，共３０分）
１．－３的相反数是 （Ａ）
１ １
Ａ．３ Ｂ．－３ Ｃ．－ Ｄ．
３ ３ （第８题） （第９题） （第１０题）
２．下列四个图案中，是中心对称图形的是 （Ｄ） ９． !"# /%01 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺
（即图中的 ＡＢＣ）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点 Ａ，Ｂ，Ｑ在同一水平
线上，∠ＡＢＣ和∠ＡＱＰ均为直角，ＡＰ与 ＢＣ相交于点 Ｄ．测得 ＡＢ＝４０ｃｍ，ＢＤ＝２０ｃｍ，ＢＱ＝１１．６ｍ，则树高
ＰＱ为 （Ｂ）
Ａ．５．８ｍ Ｂ．６ｍ Ｃ．６．８ｍ Ｄ．２５．８ｍ
３．下列计算正确的是 （Ｃ）
１０．如图，在扇形 ＡＯＢ中，ＯＡ＝２，∠ＡＯＢ＝９０°，点 Ｃ为 ＡＢ
Ａ．４ａ－５ａ＝－１ Ｂ．ａ２·ａ３＝ａ６
Ｃ．（－ａｂ２）３＝－ａ３ｂ６ Ｄ．（ａ－２ｂ）２＝ａ２－４ｂ２
４．已知一个几何体如图所示，则该几何体的俯视图是 （Ｂ）
５． !"# $%&’( 如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折
射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且∠１＝１１０°，则∠２的度数为 （Ｂ）
Ａ．６０° Ｂ．７０°
Ｃ．８０° Ｄ．１００°
６． !)* +,-. 脚印信息往往对应着一个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了
大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高 ｙ（ｃｍ）和脚长 ｘ（ｃｍ）之间近
似存在一个函数关系，部分数据如下表：
脚长ｘ／ｃｍ … ２３ ２４ ２５ ２６ ２７ ２８ …
身高ｙ／ｃｍ … １５６ １６３ １７０ １７７ １８４ １９１ …
则 ｙ与 ｘ之间的函数关系式为 （Ｃ）
Ａ．ｙ＝７ｘ Ｂ．ｙ＝７ｘ＋５ Ｃ．ｙ＝７ｘ－５ Ｄ．ｙ＝７ｘ＋７
山西中考４５套汇编·数学 １０— １ 山西中考４５套汇编·数学 １０— ２ 山西中考４５套汇编·数学 １０— ３
书书书
)
三、解答题（本大题共８个小题，共７５分）
１６．（本题共２个小题，每小题５分，共１０分）
１
（１）计算：（－ ）－１－２４÷ ６＋（π－２０２５）０－－２７．
３
原式＝－３－２＋１＋３ （４分）
＝－１． （５分）
（２）解方程：ｘ（ｘ－４）＝２．
原方程可化为ｘ２－４ｘ＝２． （１分）
配方，得（ｘ－２）２＝６， （２分）
开方，得ｘ－２＝±槡６， （３分）
∴ｘ＝２＋ 槡６，ｘ＝２－ 槡６． （５分）
１ ２
１７．（本题７分）清明节期间，某学校组织七年级全体师生前往刘胡兰纪念馆参观．活动当天，大家在学
校集合，１号车先出发，０．５ｈ后，２号车沿同样路线前往，结果两辆车同时到达目的地．已知学校到
刘胡兰纪念馆的路程是１２０ｋｍ，２号车的平均速度是 １号车平均速度的 １．２倍．求 １号车从学校到
目的地所用的时间．
设１号车的平均速度为ｘｋｍ／ｈ，则２号车的平均速度为１．２ｘｋｍ／ｈ． （１分）
１２０ １２０
根据题意，得 ＝ ＋０．５， （４分）
ｘ １．２ｘ
解得ｘ＝４０． （５分）
经检验，ｘ＝４０是原方程的根，且符合题意， （６分）
的三等分点，连接 ＯＣ，过点 Ｂ作 ＢＤ⊥ＯＣ交 ＯＡ于
１２０
∴ ＝３（ｈ）．
点 Ｄ，连接 ＣＤ，则阴影部分的面积为 （Ａ） ４０
２ 槡３ １ 槡３ ２ 槡３ １ 槡３ 答：１号车从学校到目的地所用的时间为３ｈ． （７分）
Ａ． π－ Ｂ． π＋ Ｃ． π＋ Ｄ． π－
３ ３ ３ ６ ３ ３ ３ ６
１８．（本题 ７分） !"# 234’( 第四届全民阅读大
会于２０２５年４月２３日至２５日在太原举办．大会主题是“培
第Ⅱ卷 非选择题（共 ９０分）
育读书风尚 建设文化强国”，通过全民阅读构筑共有精神
二、填空题（本大题共５个小题，每小题３分，共１５分）
家园，提升社会文明程度，为以中国式现代化全面推进强国建设、民族复兴伟业提供文化滋养和精
１１．计算槡２×（槡６－１）的结果是 ２槡３－ 槡２ ．
神力量．某校数学综合实践小组为了解全校２０００名学生最喜欢阅读的一种图书类型进行了抽样调
１２．２０２４年国庆期间，太原主要景区街区接待市民、游客约１０１１万人次，同比增长 ９１％，门票（营业）收入近
查，调查的图书类型包括“Ａ．人文社科类”“Ｂ．文学艺术类”“Ｃ．科普生活类”“Ｄ．少儿类”和“Ｅ．其
１．２亿元，同比增长２３％．数据１．２亿用科学记数法可表示为 １．２×１０８ ．
他”，并将调查情况绘制成如下两幅尚不完整的统计图．
１３．蓄电池的电压为定值，使用此电源时，用电器的电流 Ｉ（单位：Ａ）与电阻 Ｒ（单位：Ω）之间的函数关系如图
被调查学生最喜欢的图书类型条形统计图 被调查学生最喜欢的图书类型扇形统计图
所示．若以该蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过１０Ａ，则用电器的可变电阻至少为 ２．４ Ω．
（第１３题） （第１４题） （第１５题） 根据调查信息，回答下列问题：
１４．如图，正五边形ＡＢＣＤＥ内接于⊙Ｏ，过点Ｄ作⊙Ｏ的切线交ＡＥ的延长线于点Ｆ，则∠Ｆ的度数为 ７２ °． （１）本次调查共抽查了 ５０ 名学生，ｍ的值为 ３０ ；
１５．如图，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝３，ＢＣ＝４，ＡＤ是 ＢＣ边的中线，点 Ｅ是 ＡＢ上的一点，且∠ＡＤＥ＝ （２）补全条形统计图；
槡７３ （３）估计该校最喜欢“文学艺术类”图书的学生有多少名；
２∠ＣＡＤ，连接 ＣＥ，则 ＣＥ的长为 ．
３ （４）假如你是小组成员，请你向该校提一条合理建议．（１）５０ ３０ （２分） 如图，延长ＤＥ交ＡＢ于点Ｆ（!"：#$%&’&(）， （１分）
③连接ＢＭ，ＤＮ．
（２）补全的条形统计图如图所示． （４分） 结论：四边形ＢＭＤＮ是菱形．
被调查学生最喜欢的图书类型条形统计图 善思小组的证明：
由作图痕迹可知直线ＧＨ垂直平分ＢＤ．
∴ＢＭ＝ＭＤ，ＢＮ＝ＮＤ．（依据２）
……
则四边形ＢＣＤＦ是矩形，
任务一：请补充上面证明过程中的“依据１”“依据２”．
∴∠ＡＦＥ＝∠ＢＦＥ＝９０°． （２分）
（１）依据１： 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ；
依题意，得ＤＥ＝７０． （３分）
１０
（３）２０００× ＝４００（名）． （５分） 依据２： 线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等 ．
５０ 设ＦＥ＝ｘｍ．
任务二：
答：估计该校最喜欢“文学艺术类”图书的学生有４００名． （６分） 在Ｒｔ△ＡＦＥ中，∠ＡＥＦ＝６０°，ＦＥ＝ｘ，
（２）请将善思小组的证明过程补充完整．
（４）答案不唯一，例如：因为喜欢“科普生活类”和“少儿类”图书的学生较多，建议学校多购置“科普生活类” 则ＡＦ＝ＦＥ·ｔａｎ∠ＡＥＦ＝ 槡３ｘ． （４分）
任务三：
和“少儿类”图书． （７分） 在Ｒｔ△ＡＦＤ中，∠ＡＤＦ＝３０°，ＡＦ＝ 槡３ｘ，
（３）在图（４）中用不同于材料中的方法作一个满足要求的菱形．（尺规作图，
１９．（本题７分）某影城为进一步吸引观众观影，提升票房，购进了玩偶杯 １５０个、手办盲盒 ２５０个，已知 ＡＦ
则ＤＦ＝ ＝３ｘ． （５分） 标明字母，保留作图痕迹，不写作法） 图（４）
每个玩偶杯和每个手办盲盒的进价分别为３０元和５０元．要使每个手办盲盒的售价比每个玩偶杯的 ｔａｎ∠ＡＤＦ
∵ＥＦ＋ＤＥ＝ＤＦ， （１）依据１：有一组邻边相等的平行四边形是菱形 （１分）
售价多３０元，且保证全部售完后利润不低于４９００元，则每个玩偶杯的售价至少为多少元？
∴ｘ＋７０＝３ｘ，解得ｘ＝３５， （７分） 依据２：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等 （２分）
设每个玩偶杯的售价为ｘ元，则每个手办盲盒的售价为（ｘ＋３０）元． （１分）
在Ｒｔ△ＢＦＥ中，∠ＢＥＦ＝３８°，ＦＥ＝ｘ， （２）证明过程补充如下：
根据题意，得
１５０（ｘ－３０）＋２５０（ｘ＋３０－５０）≥４９００， （４分）
则ＢＦ＝ＦＥ·ｔａｎ∠ＢＥＦ≈０．７８ｘ． （８分）
又∵ＭＯ⊥ＢＤ，∴∠ＢＭＯ＝∠ＤＭＯ． （３分）
∴ＡＢ＝ＡＦ＋ＢＦ≈３５×１．７３＋３５×０．７８≈８８． （９分）
解得ｘ≥３６． （５分） ∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，∴ＡＤ∥ＢＣ．
答：晋阳湖之眼摩天轮ＡＢ的高度约为８８ｍ． （１０分）
故ｘ的最小值为３６． （６分） ∴∠ＤＭＮ＝∠ＢＮＭ，∴∠ＢＭＮ＝∠ＢＮＭ， （４分）
２１．（本题９分）阅读与思考
答：每个玩偶杯的售价至少为３６元． （７分） ∴ＢＭ＝ＢＮ，∴ＭＤ＝ＢＮ． （５分）
下面是欣欣同学的数学课堂学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务．
２０．（本题１０分）太原市晋阳湖之眼摩天轮已正式试灯营业，该摩天轮位于晋阳湖北岸，配备 ３６台球形 又∵ＭＤ∥ＢＮ，
利用尺规在平行四边形内作菱形
吊舱，兼具安全性与科技感．图（１）是太原市晋阳湖之眼摩天轮，图（２）是测量晋阳湖之眼摩天轮高 ∴四边形ＢＭＤＮ是平行四边形． （６分）
今天的数学课上，老师给出了如下的一个问题：
度示意图．才思数学兴趣小组利用所学知识开展“测量晋阳湖之眼摩天轮高度”的综合实践活动，并 ∵ＢＭ＝ＭＤ，
如图（１），已知四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，ＡＢ＜ＡＤ，请利用尺规在平行四边形内作一个菱
写出如下报告，请完成任务．
∴平行四边形ＢＭＤＮ是菱形． （７分）
形，使得菱形的四个顶点均在平行四边形的边上．
课题 测量晋阳湖之眼摩天轮!度 同学们以小组为单位展开了讨论． （３）答案不唯一，例如：
测量工具 无人机、测角仪、秒表等 勤学小组的作法：如图（２），
图（１）
①分别以点Ａ，Ｂ为圆心，ＡＢ的长为半径画弧，分别交ＡＤ，ＢＣ于点Ｅ，Ｆ．
②连接ＥＦ．
结论：四边形ＡＢＦＥ是菱形．
测量示意图 勤学小组的证明： 结论：四边形ＡＢＥＦ是菱形． （９分）
∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， ２２．（本题１２分）综合与实践
∴ＡＤ∥ＢＣ，即ＡＥ∥ＢＦ．
果树压枝是一种果树管理技术，主要目的是通过改变枝条的生长方向和角度，来调整果树的生长趋
图（１） 图（２）
图（２）
由作图痕迹可知ＡＢ＝ＡＥ＝ＢＦ．
势、促进花芽分化、增加果实产量和改善果实品质．如图，一棵枝条 ＡＢ近似呈直线生长，Ａ端在树干
如图（２），测量小组使用无人机在点 Ｃ处竖直上升至点 Ｄ处，在点 Ｄ处测得摩天轮 ＡＢ顶部 Ａ的 ∴四边形ＡＢＦＥ是平行四边形．
ＤＥ上，与地面的距离 ＡＥ为１ｍ，枝条 ＡＢ经过压枝后的形状近似看成抛物线的一部分，该抛物线最
测量过程 仰角为３０°，然后以１０ｍ／ｓ的速度沿水平方向向左飞行７ｓ至点 Ｅ处，在点 Ｅ处测得摩天轮 ＡＢ ∵ＡＢ＝ＡＥ，
低点 Ｐ距离地面０．８ｍ，且点 Ｐ与树干 ＤＥ的距离为１．５ｍ．
顶部Ａ的仰角为６０°，底部Ｂ的俯角为３８°． ∴平行四边形ＡＢＦＥ是菱形．（依据１）
（１）请你在图中建立适当的平面直角坐标系，并求该抛物线的函数表达式．
善思小组的作法：如图（３），
点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ均在同一竖直平面内，且点Ｂ，Ｃ在同一水平线上．
说明 １ （２）经过压枝，树枝生长一段时间后依然满足（１）中的抛物线，且测得树枝端点 Ｃ处距离地面
（参考数据：ｓｉｎ３８°≈０．６２，ｃｏｓ３８°≈０．７９，ｔａｎ３８°≈０．７８，槡３≈１．７３） ①连接ＢＤ，分别以点Ｂ，Ｄ为圆心，大于 ＢＤ的长为半径画弧，交点分别为Ｇ，Ｈ．
２ １．６ｍ．为了使果树间不相互影响，要求树枝的最外端距离树干 ＤＥ不得超过 ４．２ｍ，试通过计算
任务 求晋阳湖之眼摩天轮ＡＢ的高度．（结果精确到１ｍ） ②作直线ＧＨ，分别交ＡＤ，ＢＤ，ＢＣ于点Ｍ，Ｏ，Ｎ． 图（３） 判断此树枝是否需要修剪．
山西中考４５套汇编·数学 １０— ４ 山西中考４５套汇编·数学 １０— ５ 山西中考４５套汇编·数学 １０— ６拓展延伸 ∴∠ＭＨＮ＝∠ＡＤＣ，
（３）如图（３），在△ＡＢＣ中，ＡＣ＝５，ＢＣ＝１０，∠Ｃ＝９０°，点 Ｄ是 ＡＢ的中点，过点 Ｄ作 ＤＱ⊥ＢＣ于点 Ｑ，将 ∴∠ＭＨＮ＋∠ＮＨＦ′＝∠ＡＤＣ＋∠ＡＤＦ′，
△ＢＤＱ绕点 Ｄ顺时针旋转一周，在旋转的过程中，当△ＣＢＱ是以 ＢＱ为底边的等腰三角形时，请直接 即∠ＭＨＦ′＝∠Ｆ′ＤＣ． （１０分）
写出所有满足条件的 ＣＱ的值． ∴△ＭＨＦ′≌△Ｆ′ＤＣ，
∴Ｆ′Ｍ＝Ｆ′Ｃ． （１１分）
（１）如图，以Ｅ为原点，以ＥＦ所在的直线为ｘ轴，ＤＥ所在的直线为ｙ轴建立平面直角坐标系． （１分）
第一步：提炼信息
５槡１０ ５槡２
（３）ＣＱ的值为 或 ． （１３分）
２ ２
)*+,-./012345．
解法提示：
旋转前，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＡＣ＝５，ＢＣ＝１０，则ＡＢ＝５槡５．
图（１） 图（２） ＡＢ ５槡５
∵点Ｄ为ＡＢ的中点，连接ＣＤ，∴ＣＤ＝ ＝ ．
２ ２
由ＤＱ⊥ＢＣ，易知ＤＱ是△ＡＢＣ的中位线，
第二步：设表达式 １ ５ １ １ ５槡５
∴ＤＱ＝ ＡＣ＝ ，ＢＱ＝ ＢＣ＝５，ＣＤ＝ＢＤ＝ ＡＢ＝ ．
依题意，可设该抛物线的函数表达式为ｙ＝ａ（ｘ－１．５）２＋０．８． （２分） ２ ２ ２ ２ ２
由题意知Ａ（０，１）． （３分） 旋转后点Ｂ对应的初始位置为点Ｂ′．
图（３） 备用图
把Ａ（０，１）代入ｙ＝ａ（ｘ－１．５）２＋０．８， ５
过点Ｃ作ＱＢ的垂线，垂足为Ｍ，则ＢＭ＝ＱＭ＝ （67：89’&(:’;<=>）．
（１）ＤＧ＝ＣＦ （２分） ２
得１＝ａ（０－１．５）２＋０．８， （４分）
（２）①四边形ＢＤＦ′Ｈ是平行四边形．理由如下： （３分） 过点Ｃ作ＣＮ⊥ＱＤ，垂足为Ｎ，则∠ＣＭＱ＝∠ＭＱＮ＝∠ＱＮＣ＝９０°，
４
解得ａ＝ ． （５分）
∵点Ｆ′，Ｈ分别是线段ＡＮ，ＢＮ的中点， ∴四边形ＣＮＱＭ是矩形，
４５
∴Ｆ′Ｈ是△ＡＢＮ的中位线， ５
第三步：求表达式 ∴ＣＮ＝ＱＭ＝ ，∴ＤＮ＝槡ＣＤ２－ＣＮ２＝５．
∴Ｆ′Ｈ∥ＡＢ，即Ｆ′Ｈ∥ＢＤ． （４分） ２
４
故该抛物线的函数表达式为ｙ＝ （ｘ－１．５）２＋０．８． （６分）
４５ 同理，Ｆ′Ｄ∥ＢＨ， １５ ５槡１０
ａ．当点Ｎ在ＱＤ的延长线上时，如图（１），ＱＮ＝ＤＮ＋ＱＤ＝ ，则ＣＱ＝槡ＱＮ２＋ＣＮ２＝ ．
（２）此树枝需要修剪． （７分） ∴四边形ＢＤＦ′Ｈ是平行四边形． （５分） ２ ２
理由如下： ②证明：连接ＭＨ，ＣＤ． （６分）
４
∵在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，点Ｄ为ＡＢ的中点，
把ｙ＝１．６代入ｙ＝ （ｘ－１．５）２＋０．８，
４５ １
∴ＣＤ＝ＢＤ＝ ＡＢ．
４ ２
得１．６＝ （ｘ－１．５）２＋０．８， （８分）
４５ ∵在Ｒｔ△ＢＭＮ中，∠ＢＭＮ＝９０°，点Ｈ为ＢＮ的中点，
解得ｘ＝４．５，ｘ＝－１．５（舍去）． （１０分） １
１ ２ ∴ＭＨ＝ＢＨ＝ ＢＮ．
２
∵４．５＞４．２，∴此树枝需要修剪． （１２分）
２３．（本题１３分）综合与探究 ∵四边形ＢＤＦ′Ｈ是平行四边形， 图（１）
∴ＢＨ＝ＤＦ′，∴ＭＨ＝ＤＦ′． （７分）
问题背景 ５ ５槡２
ｂ．当点Ｎ在ＤＱ的延长线上时，如图（２），ＱＮ＝ＤＮ－ＱＤ＝ ，则ＣＱ＝槡ＱＮ２＋ＣＮ２＝ ．
∵Ｆ′Ｈ是△ＡＢＮ的中位线， ２ ２
数学课上，同学们以“直角三角形的旋转”为主题展开数学活动．如图（１），在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝
１
９０°，ＡＣ＜ＢＣ，点 Ｄ是 ＡＢ的中点，过点 Ｄ作 ＤＥ⊥ＡＢ交 ＢＣ于点 Ｅ，连接 ＡＥ，点 Ｆ是 ＡＥ的中点，点 Ｇ ∴Ｆ′Ｈ＝ ＡＢ，∠ＮＨＦ′＝∠ＮＢＤ．
２
是 ＢＥ的中点，连接 ＤＦ，ＤＧ，ＣＦ．
∴ＣＤ＝Ｆ′Ｈ．
初步探究
∵Ｆ′Ｄ∥ＢＨ，∴∠ＡＤＦ′＝∠ＮＢＤ，
（１）ＤＧ与 ＣＦ的数量关系为 ＤＧ＝ＣＦ ．
∴∠ＡＤＦ′＝∠ＮＨＦ′． （８分）
深入探究
∵ＭＨ＝ＢＨ，ＣＤ＝ＢＤ，
（２）如图（２），将△ＢＤＥ绕点 Ｂ逆时针旋转得到△ＢＭＮ，点 Ｄ的对应点是点 Ｍ，点 Ｅ的对应点是点
∴∠ＨＢＭ＝∠ＨＭＢ，∠ＤＢＣ＝∠ＤＣＢ．
图（２）
Ｎ，连接 ＡＮ，点 Ｆ′是 ＡＮ的中点，点 Ｈ是 ＢＮ的中点，连接 Ｆ′Ｄ，Ｆ′Ｈ，Ｆ′Ｍ和 Ｆ′Ｃ． 由旋转知∠ＨＢＭ＝∠ＤＢＣ，
５槡１０ ５槡２
①试判断四边形 ＢＤＦ′Ｈ的形状，并说明理由； ∴∠ＨＢＭ＝∠ＨＭＢ＝∠ＤＢＣ＝∠ＤＣＢ． （９分） 综上，当△ＣＢＱ是以ＢＱ为底边的等腰三角形时，ＣＱ的值为 或 ．
２ ２
②求证：Ｆ′Ｍ＝Ｆ′Ｃ． 又∵∠ＭＨＮ＝∠ＨＢＭ＋∠ＨＭＢ，∠ＡＤＣ＝∠ＤＢＣ＋∠ＤＣＢ，
山西中考４５套汇编·数学 １０— ７ 山西中考４５套汇编·数学 １０— ８ 山西中考４５套汇编·数学 １０— ９三、解答题（本大题共８个小题，共７５分）
８． !./ 01234 在物理实验课上，小明在进行温度与金属导体电阻之间的关系实验中发现，某
!!
１６．（本题共２个小题，每小题５分，共１０分）
２０２５年大同市中考适应性测试 种金属导体的电阻Ｒ（单位：Ω）与温度ｔ（单位：℃）之间存在一次函数关系，于是对不同温度下该导体的电
１
阻进行了记录，如下表： （１）计算：２ｓｉｎ４５°＋（π－３．１４）０－｜１－ ２｜＋（ ）－１；
２
ｔ／℃ ０ １０ ２０ ３０ ４０
数 学 槡２
Ｒ／Ω ５ ５．０８ ５．１６ ５．２４ ５．３２ 原式＝２× ＋１－（槡２－１）＋２ （４分）
２
（满分１２０分，考试时间１２０分钟） 则 Ｒ与 ｔ之间的关系式为 （Ｂ） ＝ 槡２＋１－ 槡２＋１＋２
Ａ．Ｒ＝０．０８ｔ＋５ Ｂ．Ｒ＝０．００８ｔ＋５ Ｃ．Ｒ＝１０ｔ＋５ Ｄ．Ｒ＝０．０８ｔ－５ ＝４． （５分）
第Ⅰ卷 选择题（共 ３０分）
９．如图是小强散步过程中所走的路程 ｓ（单位：ｍ）与步行时间 ｔ（单位：ｍｉｎ）的函数图象．其中有一时间段小 ｘ＋１ｘ－２
（２）解不等式： － ≤１．
强是匀速步行的，则这一时间段小强的步行速度为 （Ｄ） ５ ３
一、选择题（本大题共１０个小题，每小题３分，共３０分）
２００ ｘ＋１ｘ－２
１．下列各数中比－１小的数是 （Ｄ） Ａ．５０ｍ／ｍｉｎ Ｂ．４０ｍ／ｍｉｎ Ｃ． ｍ／ｍｉｎ Ｄ．２０ｍ／ｍｉｎ － ≤１，
７ ５ ３
１ １
Ａ．０ Ｂ． Ｃ．－ Ｄ．－ 槡２
去分母，得３（ｘ＋１）－５（ｘ－２）≤１５， （２分）
３ ３
去括号，得３ｘ＋３－５ｘ＋１０≤１５， （３分）
２．下列数学经典图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是 （Ｂ） 移项、合并同类项，得－２ｘ≤２， （４分）
系数化为１，得ｘ≥－１． （５分）
１７．（本题８分）如图，四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，ＡＣ是对角线．
（１）尺规作图：作 ＡＣ的垂直平分线，垂足为点 Ｏ，分别交 ＣＤ于点 Ｅ，ＡＢ于点
（第９题） （第１０题）
Ｆ，连接 ＡＥ，ＣＦ（要求：不写作法，保留作图痕迹并标明字母）．
１０．如图，对折矩形 ＡＢＣＤ，使 ＡＤ与 ＢＣ重合，得到折痕 ＥＦ，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点 Ａ落在 ＥＦ上
（２）判断四边形 ＡＥＣＦ的形状，并说明理由．
的点 Ｎ处，并使折痕经过点 Ｂ，得到折痕 ＢＭ，同时得到线段 ＢＮ，ＭＮ．若 ＡＥ＝１，则 ＭＮ的长为 （Ｃ）
３．下列运算正确的是 （Ｂ）
（１）如图，ＥＦ，ＡＥ，ＣＦ即为所求． （２分）
Ａ．ａ２·ａ３＝ａ６ Ｂ．（－２ａ）２＝４ａ２ 槡３ ２槡３
Ａ． Ｂ．１ Ｃ． Ｄ．２
３ ３
Ｃ．ａ６÷ａ２＝ａ３ Ｄ．ａｂ２－ａｂ＝ｂ
４．如图是由５个完全相同的小正方体摆成的几何体，则这个几何体的主视图是 （Ｃ） 第Ⅱ卷 非选择题（共 ９０分）
二、填空题（本大题共５个小题，每小题３分，共１５分）
１１．分解因式：ｘ３－４ｘ＝ ｘ（ｘ＋２）（ｘ－２） ． 评分说明：作图正确并保留作图痕迹得１分，字母标注正确得１分．
１２．某商品的进价为每件 １００元，若按标价打八折售出后，每件可获利 ２０元，则该商品的标价为每件 （２）四边形ＡＥＣＦ是菱形． （３分）
５．２０２５年铁路春运由 １月 １４日开始至 ２月 ２２日结束，全国铁路运送旅客约有 ５．１３亿人次．数字 １５０ 元． 理由如下：
∵ＥＦ垂直平分ＡＣ，
５．１３亿用科学记数法可表示为 （Ｃ） １３．如图，已知⊙Ｏ的直径 ＡＥ＝１０ｃｍ，∠Ｂ＝∠ＥＡＣ，则 ＡＣ的长为 ５槡２ ｃｍ．
∴ＯＡ＝ＯＣ，ＡＥ＝ＣＥ． （４分）
Ａ．５１．３×１０７ Ｂ．０．５１３×１０９ Ｃ．５．１３×１０８ Ｄ．５．１３×１０９
∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，
６． !"# $%&’()*+,- 如图，任意将图中的某一白色方块涂黑后，能使所有黑色方块 ∴ＣＤ∥ＡＢ．
构成的图形是轴对称图形的概率是 （Ａ） ∴∠ＥＣＡ＝∠ＦＡＣ，∠ＣＥＯ＝∠ＡＦＯ． （５分）
２ １ １ １
∴△ＯＣＥ≌△ＯＡＦ（ＡＡＳ）． （６分）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
∴ＯＥ＝ＯＦ．
３ ２ ３ ６
又∵ＯＡ＝ＯＣ，
（第１３题） （第１４题） （第１５题） ∴四边形ＡＥＣＦ是平行四边形． （７分）
１ 又∵ＡＥ＝ＣＥ，∴ＡＥＣＦ为菱形． （８分）
１４．如图，△ＡＯＢ是等腰直角三角形，直角顶点与坐标原点重合，若点 Ｂ在反比例函数 ｙ＝ （ｘ＞０）的图象上，
ｘ １８．（本题７分）为积极响应国家科技创新驱动发展战略，检验高校计算机专业在人工智能方向的学科
１ 建设成效，加速培养适应新兴科技领域学术专业人才，某省从甲、乙两所重点高校各抽取 ５０名计算
则图象经过点 Ａ的反比例函数的表达式为 ｙ＝－ ．
（第６题） （第７题）
ｘ 机专业学生，进行人工智能算法应用能力测试，满分为 ５０分．根据测试成绩，规定测试成绩不低于
７．如图，射线 ＡＢ与⊙Ｏ相切于点Ｂ，经过圆心Ｏ的射线ＡＣ与⊙Ｏ相交于点Ｄ，Ｃ，连接ＢＣ，若∠Ａ＝４０°， １５．如图，正方形 ＡＢＣＤ的边长为６，点 Ｅ，Ｆ分别是边 ＢＣ，ＣＤ上的点，且 ＢＥ＝ＣＦ＝２，连接 ＡＥ，ＡＦ．ＡＥ的垂直 ３５分为达标．
则∠ＡＣＢ的度数为 （Ｃ） ７槡１０ 数据整理：
平分线分别交 ＡＢ，ＡＥ，ＡＦ，ＣＤ于点 Ｇ，Ｍ，Ｎ，Ｈ，则 ＭＮ的长为 ．
Ａ．１５° Ｂ．２０° Ｃ．２５° Ｄ．３０° ９ ①甲校学生成绩的频数分布表如下：
山西中考４５套汇编·数学 １１— １ 山西中考４５套汇编·数学 １１— ２ 山西中考４５套汇编·数学 １１— ３
书书书组别 成绩ｘ／分 频数（人数）
第一组 ５≤ｘ＜１５ ３
第二组 １５≤ｘ＜２５ ４
第三组 ２５≤ｘ＜３５ ａ
第四组 ３５≤ｘ＜４５ １３
图（１） 图（２）
第五组 ４５≤ｘ＜５５ ２０ 任务：
如图，过点Ｂ作ＢＥ⊥ＡＤ于点Ｅ，延长ＡＤ与ＮＱ交于点Ｐ，连接ＭＤ． （１分）
（１）根据勾股四边形的定义，下列特殊四边形中，一定是勾股四边形的是 ＡＣ （从下列选项中选出
②甲校抽取学生的成绩在３５≤ｘ＜４５这一组的具体数据
根据题意，得四边形ＭＮＰＤ是矩形，
两个即可）；
是３５，３５，３６，３７，３８，３９，３９，３９，４０，４０，４１，４２，４３．
∴ＭＮ＝ＤＰ． （２分）
Ａ．矩形 Ｂ．等腰梯形 Ｃ．直角梯形 Ｄ．平行四边形
③乙校学生成绩频数分布直方图如图． ∵ＡＤ平分∠ＢＡＣ，∠ＢＡＣ＝１３２°，
（２）请你阅读上述报告，补全一般研究中的探究过程；
数据分析：对甲、乙两校学生的成绩进行如下分析： １
∴∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ＝ ∠ＢＡＣ＝６６°． （３）如图（３），在四边形 ＡＢＤＣ中，ＡＤ，ＢＣ为对角线，ＡＢ＝ＢＣ，∠ＢＡＣ＝∠ＢＤＣ＝４５°，请直接写出线段
２
平均数／分 中位数／分 众数／分 方差 达标率 ＢＤ，ＣＤ，ＡＤ之间的关系．
又∵ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ＝ＡＤ，
甲校 ３９．６ ｂ ３９ ７０．２ ６６％
∴△ＡＤＢ≌△ＡＤＣ． （３分）
乙校 ３９．６ ３８ ３９ ６７．３ ｃ ∴∠ＢＤＡ＝∠ＣＤＡ．
又∵∠ＢＤＣ＝９０°，∴∠ＢＤＡ＝４５°．∴∠ＤＢＥ＝４５°．
请认真阅读上述信息，回答下列问题：
∴ＢＥ＝ＤＥ． （４分）
（１）填空：ａ＝ １０ ，ｂ＝ ３９．５ ，ｃ＝ ６４％ ；
在Ｒｔ△ＡＢＥ中，∠ＡＥＢ＝９０°，∠ＢＡＥ＝６６°，
（２）小明认为甲、乙两校成绩的平均数相等，因此两校成绩一样好，小夏认为小明的观点比较片面，
∴ＡＥ＝ＡＢ·ｃｏｓ∠ＢＡＥ≈６０×０．４０７＝２４．４２（ｃｍ）， （５分）
请结合上表中的信息帮小夏说明理由（写出两条即可）．
ＢＥ＝ＡＢ·ｓｉｎ∠ＢＡＥ≈６０×０．９１４＝５４．８４（ｃｍ）． （６分）
（１）１０ ３９．５ ６４％ （３分）
∴ＤＥ＝５４．８４ｃｍ．
（２）答案不唯一，例如：①甲校成绩的达标率为６６％，高于乙校成绩的达标率６４％，所以从达标率的角度看， ∴ＡＤ＝ＡＥ＋ＤＥ＝２４．４２＋５４．８４＝７９．２６（ｃｍ）． （７分） 图（３）
甲校成绩比乙校好；②虽然甲、乙两校成绩的平均数相等，但甲校成绩的方差为 ７０．２，高于乙校成绩的方差 ＡＤ ２ （１）ＡＣ （２分）
∵ ＝ ，
６７．３，所以从方差的角度看，乙校成绩更整齐；③甲校成绩的中位数为３９．５分，高于乙校成绩的中位数３８分，所以 ＭＮ ５ （２）∴ＤＥ＝ＣＤ＝ＣＥ，∠ＣＤＥ＝∠ＤＣＥ＝６０°． （３分）
从中位数的角度看，甲校成绩比乙校好．因此不能仅从平均数的角度说明两组成绩一样好，可见小明的观点 ５ ５
∵ＡＢ＝ＢＣ＝ＡＣ，
∴ＭＮ＝ ＡＤ＝ ×７９．２６＝１９８．１５（ｃｍ）．
２ ２ ∴△ＡＢＣ是等边三角形．
比较片面． （７分）
∴ＤＰ＝ＭＮ＝１９８．１５ｃｍ． （８分） ∴∠ＡＣＢ＝６０°．∴∠ＡＣＢ＝∠ＤＣＥ．
评分说明：写出一条合理的理由得２分．
∴ＡＰ＝ＡＤ＋ＤＰ＝７９．２６＋１９８．１５＝２７７．４１≈２７７（ｃｍ）． ∴∠ＡＣＢ＋∠ＡＣＤ＝∠ＤＣＥ＋∠ＡＣＤ，即∠ＢＣＤ＝∠ＡＣＥ． （４分）
１９．（本题７分）随着农业数字化转型加速推进，某乡村振兴示范县积极发展特色农产品电商产业．当地
答：伞顶Ａ到地面ＮＱ的高度约是２７７ｃｍ． （９分）
∴△ＢＣＤ≌△ＡＣＥ（!"#：$%$&’(）．
一家农产品电商店铺计划购进两种以本地特色花卉为原料的加工产品，已知购进一个 Ａ产品比购 ∴ＢＤ＝ＡＥ． （５分）
２１．（本题９分）阅读与思考
进一个 Ｂ产品多５元，且用１６００元购进 Ｂ产品的数量与用 １８００元购进 Ａ产品的数量相等．购进 ∵∠ＡＤＣ＝３０°，∴∠ＡＤＥ＝∠ＡＤＣ＋∠ＣＤＥ＝９０°．
下面是善思小组研究性学习的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务．
一个 Ａ产品、一个 Ｂ产品各需要多少元？ 在Ｒｔ△ＡＤＥ中，ＡＤ２＋ＤＥ２＝ＡＥ２． （６分）
设购进一个Ｂ产品需要ｘ元，则购进一个Ａ产品需要（ｘ＋５）元． （１分） 关于“勾股四边形”的研究报告 又∵ＤＥ＝ＣＤ，ＢＤ＝ＡＥ，
∴ＡＤ２＋ＣＤ２＝ＢＤ２．
１６００ １８００ 善思小组
根据题意，得 ＝ ， （３分）
∴四边形ＡＢＣＤ为勾股四边形． （７分）
ｘ ｘ＋５ 研究对象：勾股四边形．
（３）ＣＤ２＋２ＢＤ２＝ＡＤ２． （９分）
解得ｘ＝４０， （４分） 研究思路：分类讨论，由特殊到一般进行研究．
解法提示：如图，过点 Ｂ作 ＢＥ⊥ＢＤ，使 ＢＥ＝ＢＤ，连接 ＣＥ，ＤＥ，则∠ＢＤＥ＝
经检验，ｘ＝４０是原方程的解，且符合题意． （５分） 定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．
【特例研究】如图（１），根据勾股四边形的定义证明正方形ＡＢＣＤ是勾股四边形．
４５°，ＤＥ＝ 槡２ＢＤ．
所以ｘ＋５＝４５． （６分）
证明：如图（１）所示，连接 ＡＣ，由四边形 ＡＢＣＤ是正方形可知∠Ｂ＝９０°，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中根据勾股定理可得 ＡＢ２＋
∵∠ＢＤＣ＝４５°，∴∠ＣＤＥ＝９０°，
答：购进一个Ａ产品需要４５元，购进一个Ｂ产品需要４０元． （７分）
∴ＣＤ２＋ＥＤ２＝ＣＥ２．
ＢＣ２＝ＡＣ２，所以正方形ＡＢＣＤ是勾股四边形．
２０．（本题９分）为了更好地服务游客，某景区在游客排队区放置了遮阳伞．已知遮阳伞中截面是如图所 同理（２）可证△ＡＢＤ≌△ＣＢＥ（ＳＡＳ），
【一般研究】如图（２），四边形ＡＢＣＤ中，ＡＣ，ＢＤ为对角线，ＡＢ＝ＢＣ＝ＡＣ且∠ＡＤＣ＝３０°．
ＡＤ ２ ∴ＡＤ＝ＣＥ，∴ＣＤ２＋２ＢＤ２＝ＡＤ２．
示的伞骨结构： ＝ ，伞顶杆 ＡＤ始终平分∠ＢＡＣ，ＡＢ＝ＡＣ＝６０ｃｍ，当∠ＢＡＣ＝１３２°时，伞完全打 求证：四边形ＡＢＣＤ为勾股四边形．
ＭＮ ５ ２２．（本题１２分） !./ 56718 综合与实践
证明：以ＣＤ为边作等边三角形ＣＤＥ，连接ＡＥ．
开，Ｍ与 Ｄ在同一高度，此时∠ＢＤＣ＝９０°．请问伞顶 Ａ到地面 ＮＱ的高度是多少．（结果保留整数，参 问题情境：
……
考数据：ｓｉｎ６６°≈０．９１４，ｃｏｓ６６°≈０．４０７，ｔａｎ６６°≈２．２４６） 如图（１），物理活动课上，同学们做了一个小球弹射实验．小球从斜坡点 Ｏ处以一定的方向弹出，小
山西中考４５套汇编·数学 １１— ４ 山西中考４５套汇编·数学 １１— ５ 山西中考４５套汇编·数学 １１— ６球的飞行路线近似地看作是抛物线的一部分，小球刚好落到斜坡上的点 Ａ处． ９ ∵ＤＥ＝ＤＦ，∴∠ＤＥＦ＝∠ＤＦＥ，
答：小球在飞行过程中距坡面的最大铅垂高度ＭＮ是 米． （９分）
建模分析： ８ ∴∠Ｂ＝∠ＤＦＥ． （５分）
如图（２），以过点Ｏ的水平直线为ｘ轴，过点 Ｏ的铅垂直线为 ｙ轴，建立平面直角坐标系．分析图象得 ２７ 在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，ＥＦ′⊥ＢＣ，
（３） 平方米． （１２分）
１６ １ １
出，小球飞行的水平距离 ｘ（米）与小球飞行的竖直高度 ｙ（米）的几组对应值如下表，且点 Ａ的坐标
∴ＢＧ＝ ＢＣ＝ ×６＝３，∠ＡＧＢ＝９０°．
１ １ ３ ２ ２
为（３，１．５）． 解法提示：如图，过点Ｐ作ＰＨ∥ｙ轴交ＯＡ于点Ｈ，则Ｓ ＝Ｓ ＋Ｓ ＝ ＰＨ·ｘ＋ ＰＨ·（３－ｘ）＝ ＰＨ，
△ＯＡＰ △ＯＰＨ △ＡＰＨ ２ Ｐ ２ Ｐ ２ 在Ｒｔ△ＡＢＧ中，ＡＧ＝槡ＡＢ２－ＢＧ２＝槡５２－３２＝４． （６分）
ｘ／米 ０ ０．５ １ １．５ ２ ２．５ ３
∴当ＰＨ的长取最大值时，Ｓ 最大． ∵△Ｄ′ＥＦ′是由△ＤＥＦ绕点Ａ旋转得到的，
ｙ／米 ０ ０．８７５ １．５ １．８７５ ２ １．８７５ １．５
△ＯＡＰ
９ ∴ＡＦ′＝ＥＦ′＝ＥＦ＝６，∠Ｆ′＝∠ＤＦＥ，
由（２）可知ＰＨ的最大值为 米，
问题解决：
８ ∴Ｆ′Ｇ＝ＡＦ′－ＡＧ＝６－４＝２，∠Ｆ′＝∠Ｂ． （７分）
（１）求小球的飞行高度 ｙ（米）与水平距离 ｘ（米）的函数表达式；
２７ 又∵∠ＡＧＢ＝∠ＨＧＦ′，
∴Ｓ 的最大值为 平方米．
（２）求小球在飞行过程中距坡面的最大铅垂高度 ＭＮ； △ＯＡＰ １６ ∴△ＡＢＧ∽△ＨＦ′Ｇ， （８分）
（３）如图（３），将小球在飞行过程中记为动点 Ｐ（Ｐ不与 Ｏ，Ａ重合），连接 ＯＰ，ＡＰ，直接写出△ＯＡＰ面 ＢＧ ＡＧ ３ ４
∴ ＝ ，即 ＝ ，
积的最大值． Ｆ′Ｇ ＨＧ ２ ＨＧ
８
∴ＧＨ＝ ． （９分）
３
４ ４４
② 或 ． （１３分）
５ ５
解法提示：过点Ｄ′作Ｄ′Ｍ⊥ＡＦ′于点Ｍ，则ＡＭ＝ＭＦ′＝３，
２３．（本题１３分）综合与探究
由勾股定理可知Ｄ′Ｍ＝４．
问题情境：
由题意可得四边形ＡＢＣＦ是平行四边形．
图（１） 图（２） 图（３） 如图（１），两块全等的三角形纸片 ＡＢＣ，ＤＥＦ叠放在一起，ＡＢ＝ＡＣ＝ＤＥ＝ＤＦ＝５，ＢＣ＝ＥＦ＝６．
过点Ａ作ＡＮ⊥ＣＦ于点Ｎ，则Ｓ ＝ＢＣ×４＝ＣＦ×ＡＮ，
（１）根据题意可知所求抛物线经过点（０，０）， ＡＢＣＦ
初步探究：
２４
设抛物线的函数表达式为ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ（ａ≠０）． （１分） ∴ＡＮ＝ ．
（１）如图（２），将△ＤＥＦ沿 ＢＡ方向平移，当点 Ｅ与点 Ａ重合时，连接 ＣＦ．试判断四边形 ＡＣＦＤ的形状，并 ５
将（２，２），（１，１．５）分别代入ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ（!"：)*+,-），
说明理由． 当ＥＦ′∥ＣＦ时，分点Ｆ′在线段ＡＢ的反向延长线上和线段ＡＢ的延长线上两种情况讨论．
{４ａ＋２ｂ＝２，
得 深入探究： ２４ ４
ａ＋ｂ＝１．５， 当点Ｆ′在线段ＡＢ的延长线上时，如图（１），点Ｄ′到直线ＣＦ的距离为ＡＮ－Ｄ′Ｍ＝ －４＝ ．
（２）将图（２）位置的△ＤＥＦ绕点 Ａ顺时针旋转得到△Ｄ′ＥＦ′．Ｄ，Ｆ的对应点分别是 Ｄ′，Ｆ′． ５ ５
{ １
ａ＝－ ，
解得 ２ （３分） ①如图（３），当 ＥＦ′⊥ＢＣ时，垂足为 Ｇ，Ｄ′Ｆ′与 ＢＣ交于点 Ｈ，求线段 ＧＨ的长；
ｂ＝２， ②当 ＥＦ′∥ＣＦ时，请直接写出点 Ｄ′到直线 ＣＦ的距离．
１
∴小球的飞行高度ｙ（米）与水平距离ｘ（米）的函数表达式为ｙ＝－ ｘ２＋２ｘ（０≤ｘ≤３）． （４分）
２
评分说明：未写出自变量的取值范围不扣分．
（２）根据题意可知直线ＯＡ经过点（０，０）．
设直线ＯＡ的函数表达式为ｙ＝ｋｘ（ｋ≠０）． （５分）
１
把Ａ（３，１．５）代入ｙ＝ｋｘ，得３ｋ＝１．５，解得ｋ＝ ，
２ 图（１）
１
２４ ４４
∴直线ＯＡ的函数表达式为ｙ＝ ｘ． （６分） 当点Ｆ′在线段ＡＢ的反向延长线上时，如图（２），点Ｄ′到直线ＣＦ的距离为Ｄ′Ｍ＋ＡＮ＝４＋ ＝ ．
２
５ ５
１ １
设Ｍ（ｍ，－ ｍ２＋２ｍ），则Ｎ（ｍ， ｍ）（./!：0123,45678!Ｍ，Ｎ49:），
２ ２ 图（１） 图（２） 图（３） 备用图
１ １
∴ＭＮ＝－ ｍ２＋２ｍ－ ｍ （１）四边形ＡＣＦＤ是菱形． （１分）
２ ２
理由如下：
１ ３
＝－ ｍ２＋ ｍ． （７分） ∵题图（２）中的△ＤＥＦ是由△ＡＢＣ平移得到的，
２ ２
∴ＡＣ＝ＦＤ，ＡＣ∥ＦＤ．
１
∵－ ＜０， ∴四边形ＡＣＦＤ是平行四边形． （２分）
２
又∵ＡＣ＝ＤＥ，即ＡＣ＝ＤＡ，
３
２ ３ １ ３ ３ ３ ９ ∴ＡＣＦＤ是菱形． （４分） 图（２）
∴当ｍ＝－ ＝ 时，ＭＮ最大，此时ＭＮ＝－ ×（ ）２＋ × ＝ ．
１ ２ ２ ２ ２ ２ ８ （２）①∵△ＤＥＦ是由△ＡＢＣ平移得到的， ４ ４４
２×（－ ） 综上所述，点Ｄ′到直线ＣＦ的距离为 或 ．
２ ∴∠ＤＥＦ＝∠Ｂ． ５ ５
山西中考４５套汇编·数学 １１— ７ 山西中考４５套汇编·数学 １１— ８ 山西中考４５套汇编·数学 １１— ９８．如图，点 Ｃ，Ｄ在以 ＡＢ为直径的⊙Ｏ上，且∠ＡＣＤ＝１２４°，则∠ＢＡＤ的度数为 （Ｂ）
!"
Ａ．３０° Ｂ．３４° Ｃ．３６° Ｄ．５６°
晋中市榆次区 ２０２５年九年级第二次模拟测试
数 学
（满分１２０分，考试时间１２０分钟）
（第８题） （第９题） （第１０题）
第Ⅰ卷 选择题（共 ３０分） ９． !-. 30456 在物理实验课上，同学们分小组进行探究电流 Ｉ（Ａ）与电阻 Ｒ（Ω）关系的实验，
实验要求每个小组需保持电阻两端电压恒定．依据实验所得数据，在给定的坐标系中，甲、乙、丙三个小组
一、选择题（本大题共１０个小题，每小题３分，共３０分）
分别绘制出了相应的图象（如图）．根据图象及物理学知识 Ｕ＝ＩＲ，可判断甲、乙、丙三个小组所控制的电阻
１．某地一天早晨的气温是－３℃，中午气温上升了８℃，则中午的气温是 （Ｂ）
两端电压的大小关系为 （Ａ）
Ａ．－３℃ Ｂ．５℃ Ｃ．８℃ Ｄ．１１℃
Ａ．Ｕ ＜Ｕ ＜Ｕ Ｂ．Ｕ ＞Ｕ ＞Ｕ
２．中国传统纹样承载着对称美学的精髓，同时也体现了古代工匠对几何对称的深刻认知．下列传统纹 甲 乙 丙 甲 乙 丙
Ｃ．Ｕ ＝Ｕ ＝Ｕ Ｄ．Ｕ ＜Ｕ ＜Ｕ
样中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 （Ｄ） 甲 乙 丙 乙 甲 丙
１０．如图，某公园计划修建一条以点 Ｏ为圆心，半径 ＯＡ＝ＯＢ＝３０米，圆心角为 １２０°的弧形观景步道即 ＡＢ
Ａ．寿字纹 Ｂ．万字纹 Ｃ．冰裂纹 Ｄ．柿蒂纹
３．下列运算正确的是 （Ｄ）
Ａ．２ｘ－ｘ＝２ Ｂ．ｘ６÷ｘ３＝ｘ２ Ｃ．（ａ－ｂ）２＝ａ２－ｂ２ Ｄ．（２ｘ２）３＝８ｘ６
４． !"# $%& 月壤砖是一种未来可能用于月球盖房子的建筑材料，呈榫卯结构．２０２４年
１１月１３日，我国设计的“月壤砖”搭乘“天舟八号”货用飞船飞往天宫空间站开展太空暴露试验．如
图是一块月壤砖的示意图，则它的左视图为 （Ｃ）
５．图（１）是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图（２）是其示意图，其中 ＡＥ∥ＢＦ，ＢＣ∥ＤＧ，若
∠ＡＢＥ＝６０°，∠ＧＦＢ＝１１０°，则∠ＥＡＢ的度数为 （Ａ）
图（１） 图（２）
Ａ．５０° Ｂ．６０° Ｃ．７０° Ｄ．８０°
６． !’( )*+, 人在运动时的心跳速率通常和人的年龄有关．正常情况下，一个人在运动时
所能承受的每分钟心跳的最高次数 ｙ（次）与其年龄 ｘ（岁）的关系为 ｙ＝０．８（２２０－ｘ）．由此可知，正常
情况下，随着一个人年龄的增加，这个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数的变化情况是
（Ａ）
Ａ．逐渐下降 Ｂ．逐渐提高 Ｃ．不变 Ｄ．无法确定
７． !-. /012 隔沟算羊：“甲、乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之
上．乙说得甲九只，两家之数相当．”其大意如下：甲、乙两人隔一条沟放牧，二人心里暗中合计，甲对
乙说：“我若得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍．”乙对甲说：“我若得到你的九只羊，咱们两家的
羊就一样多．”设甲有 ｘ只羊，乙有 ｙ只羊，则下面所列方程组正确的是 （Ｃ）
{２（ｘ＋９）＝ｙ－９， {ｘ＋９＝２ｙ， {ｘ＋９＝２（ｙ－９）， {ｘ－９＝２（ｙ＋９），
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
ｘ－９＝ｙ＋９ ｘ－９＝ｙ ｘ－９＝ｙ＋９ ｘ＋９＝ｙ－９
山西中考４５套汇编·数学 １２— １ 山西中考４５套汇编·数学 １２— ２ 山西中考４５套汇编·数学 １２— ３
书书书
)
１５．如图，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝６，ＡＤ＝４，点Ｅ是边ＤＣ的中点，点Ｆ在线段ＡＥ上，且ｔａｎ∠ＢＣＦ＝３，则线
５
段 ＥＦ的长度为 ．
３
三、解答题（本大题共８个小题，共７５分）
１６．（本题共２个小题，每小题５分，共１０分）
１
（１）计算：（－９＋４）－（ ）－２÷２＋（－３）０；
３
原式＝－５－９÷２＋１ （３分）
９
＝－５－ ＋１ （４分）
２
１７
＝－ （或－８．５）． （５分）
２
２ １ ｘ＋１
（２）先化简，再求值：（ － ）÷ ，其中 ｘ＝１．
ｘ－２ｘ＋２ ｘ２－４
２ １ ｘ＋１
方法一：（ － ）÷
．施 ｘ－２ｘ＋２ ｘ２－４
工过程中，因场地条件限制，需在保持圆心 Ｏ和半径长度不变的前提下，将弧形步道的弧长减少 ３π米， ２（ｘ＋２） ｘ－２ ｘ＋１
＝［ － ］÷ （６分）
则调整后该弧形观景步道的圆心角度数为 （Ｃ） （ｘ－２）（ｘ＋２）（ｘ－２）（ｘ＋２） ｘ２－４
Ａ．２１° Ｂ．９９° Ｃ．１０２° Ｄ．１３８° ２ｘ＋４－ｘ＋２ ｘ＋１
＝ ÷ （７分）
（ｘ－２）（ｘ＋２）ｘ２－４
第Ⅱ卷 非选择题（共 ９０分）
ｘ＋６ （ｘ＋２）（ｘ－２）
＝ · （８分）
二、填空题（本大题共５个小题，每小题３分，共１５分） （ｘ－２）（ｘ＋２） ｘ＋１
ｘ＋６
１１．计算：槡２７－ 槡３＝ ２槡３ ． ＝ ． （９分）
ｘ＋１
１２．如图，将△ＡＢＣ沿射线 ＡＢ平移３ｃｍ得到△ＤＥＦ，连接 ＣＦ．若△ＡＢＣ的周长为 １５ｃｍ，则四边形 ＡＥＦＣ的
１＋６ ７
周长为 ２１ ｃｍ． 当ｘ＝１时，原式＝ ＝ ． （１０分）
１＋１ ２
２ １ ｘ＋１
方法二：（ － ）÷
ｘ－２ｘ＋２ ｘ２－４
２ １ （ｘ＋２）（ｘ－２）
＝（ － ）·
ｘ－２ｘ＋２ ｘ＋１
２ （ｘ＋２）（ｘ－２） １ （ｘ＋２）（ｘ－２）
＝ · － · （６分）
ｘ－２ ｘ＋１ ｘ＋２ ｘ＋１
２（ｘ＋２）ｘ－２
＝ － （８分）
（第１２题） （第１３题） ｘ＋１ ｘ＋１
１３．博物馆是保护和传承人类文明的重要殿堂．小华了解到晋中市区内有晋中市博物馆、晋之源壁画艺术博
２（ｘ＋２）－（ｘ－２）
＝
物馆、山西省中医药博物馆、山西流金岁月传媒博物馆，他想从这四所博物馆中任选两所去感受历史温
ｘ＋１
ｘ＋６
１ ＝ ． （９分）
度，领略晋中文化，则他选去晋中市博物馆和晋之源壁画艺术博物馆的概率是 ． ｘ＋１
６
１＋６ ７
１４． !-. 30456 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑 当ｘ＝１时，原式＝ ＝ ． （１０分）
１＋１ ２
剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷……癸烷（当碳原子数
１７．（本题６分）暑假期间，两位老师计划带领若干名学生去旅游，他们联系了报价均为每人 ５００元的两
目超过１０个时即用汉字数字表示，如十一烷、十二烷……）等．其分子结构模型如图所示，其中黑球代表 家旅行社．经协商，甲旅行社的优惠条件是两位老师全额收费，学生都按七折收费；乙旅行社的优惠
碳原子，白球代表氢原子，甲烷有４个氢原子，乙烷有６个氢原子，丙烷有８个氢原子……以此规律，十三 条件是老师、学生都按八折收费．两位老师带领多少名学生时，选择甲旅行社比较合算？
烷的分子结构模型中氢原子的个数是 ２８ ． 设两位老师带领ｘ名学生． （１分）
根据题意，得５００×０．７ｘ＋５００×２＜５００×０．８（ｘ＋２）． （４分）
解得ｘ＞４． （５分）
答：带领多于４名学生时，选择甲旅行社比较合算． （６分）
１８．（本题１０分）某学校为了更好地推动教育数字化，提高学生使用数字化资源学习的技能，开展了信息
素养兴趣课．课程结束后，进行了结课考试，其中测试成绩分为Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四个等级，相应等级的得分依
（第１４题） （第１５题） 次记为１０分、９分、８分、７分．为了解八、九年级学生的情况，对所有测试成绩进行了统计分析，整理并绘制成如下统计图（不完整）．已知两个年级参加考试人数相同，且九年级有１１人获得Ａ等级． 任务：（补充完整上述探究报告）
八年级测试成绩条形统计图 九年级测试成绩扇形统计图 （１）填空：报告中的“依据”是指 三角形中位线定理 ．
（２）在图（２）的正方形网格中用无刻度直尺作出△ＡＢＣ；
（３）在图（３）中用尽可能少的步骤，尺规作出△ＡＢＣ（保留作图痕迹，不写作法）．
·······
（１）三角形中位线定理 （２分）
（２）如图，△ＡＢＣ即为所求． （４分）
图（１） 图（２）
如图，分别延长ＡＤ和ＢＣ，交于点Ｅ． （１分）
由ＢＣ为铅垂线，ＡＤ为水平线，可得∠Ｅ＝９０°．
在Ｒｔ△ＡＢＥ中，∠Ｅ＝９０°，∠ＥＡＢ＝１０°，
ＢＥ ＡＥ
请根据以上提供的信息，解答下列问题： ∴ｓｉｎ∠ＥＡＢ＝ ，ｃｏｓ∠ＥＡＢ＝ ，
ＡＢ ＡＢ
（１）补全条形统计图； （３）如图，△ＡＢＣ即为所求． （７分）
∴ＢＥ＝ＡＢｓｉｎ∠ＥＡＢ≈５６×０．１７＝９．５２（米）， （３分）
（２）补全下面表格中的数据：ａ＝ ９ ，ｂ＝ ８．７６ ，ｃ＝ １０ ；
ＡＥ＝ＡＢｃｏｓ∠ＥＡＢ≈５６×０．９８＝５４．８８（米）． （５分）
年级 平均数／分 中位数／分 众数／分 方差 ＥＣ
在Ｒｔ△ＡＥＣ中，∠Ｅ＝９０°，∠ＥＡＣ＝６°，∴ｔａｎ∠ＥＡＣ＝ ，
ＥＡ
八年级 ８．７６ ａ ９ １．０６２４
∴ＥＣ＝ＥＡｔａｎ∠ＥＡＣ≈５４．８８×０．１１≈６．０４（米）， （７分）
九年级 ｂ ８ ｃ １．３８２４
∴ＢＣ＝ＢＥ－ＣＥ≈９．５２－６．０４＝３．４８≈３．５（米）． （８分）
（３）请你选择两种统计量对本次信息素养兴趣课测试中八、九年级的测试成绩做出评价． 答：该地下车库进出口的高度ＢＣ的长约为３．５米． （９分） ２２．（本题１２分）综合与实践
（１）补全条形统计图如图． （２分） 问题情境：王老板的流动早餐摊位由于生意火爆，计划扩大规模并
解法提示：八、九年级参加考试的人数均为 １１÷４４％＝２５，八年级成绩等级 改善顾客的就餐环境，新建如图（１）所示的钢结构早餐棚．
为Ｃ的人数为２５－６－１２－５＝２．
方案设计：如图（２）是该早餐棚的横截面图，可以近似看成由抛物线
（２）９ ８．７６ １０ （８分） 的一部分和矩形ＡＢＣＤ构成的封闭图形．已知矩形的宽ＡＢ＝２米，长
解法提示：由（１）得每个年级均有２５人参加考试，中位数为把测试成绩按
２１．（本题７分）阅读与思考 ＢＣ＝６米，抛物线最高点 Ｅ到地面 ＢＣ的距离为３米．
照从高到低的顺序排列后的第１３个数据，由八年级统计图可得第１３个数
下面是善思小组的数学探究报告，请认真阅读，并完成相应任务． 方案实施： 图（１）
据为９分，所以ａ＝９；ｂ＝１０×４４％＋９×４％＋８×３６％＋７×１６％＝８．７６；由九年级
（１）在图（２）中以 ＡＤ所在直线为 ｘ轴，过点 Ｅ作 ＡＤ的垂线为 ｙ轴，垂足 Ｏ为原点，建立平面直角坐
测试成绩扇形统计图中，Ａ级对应的占比最大，故众数为１０，即ｃ＝１０．
关于中点三角形的探究 标系．请在图（２）中画出平面直角坐标系，并求抛物线的函数表达式．
（３）答案不唯一，选择两个统计量说明理由即可，如：
善思小组 （２）为了加固餐棚，如图（２），计划在餐棚内安装三根支撑杆 ＰＱ，ＭＮ，ＰＭ，其中点 Ｐ，Ｍ在抛物线上，
①从平均数看，八年级和九年级成绩一样；
我们查阅资料得知：把一个三角形的三边中点顺次连接所得的三角形叫做中点三角形．如图（１），点 Ｄ，Ｅ，Ｆ是 点 Ｑ，Ｎ在地面 ＢＣ上．
②从中位数来看，八年级中位数９分高于九年级中位数８分，所以八年级成绩较好；
△ＡＢＣ三边的中点，则△ＤＥＦ叫做△ＡＢＣ的中点三角形． ①若四边形 ＰＭＮＱ恰好是正方形，请你帮王老板求出支撑杆 ＰＭ的长度；
③从众数看，八年级众数９分低于九年级众数１０分，所以九年级成绩较好；
发现问题并提出问题：根据中点三角形的定义，可以作出已知三角形的中点三角形，反之，如果已知中点三角形
②如图（３），王老板还想在餐棚顶部设计如图所示的等腰三角形 ＧＦＨ展板，点 Ｇ，Ｈ，Ａ，Ｄ在同一
④从方差来看，八年级方差１．０６２４低于九年级方差１．３８２４，所以八年级成绩较稳定． （１０分）
ＤＥＦ，如何作出原三角形ＡＢＣ呢？
１９．（本题８分）４月２３日至２５日，以“培育读书风尚，建设文化强国”为主题的第四届全民阅读大会成
条直线上．为了美观，要求 ＦＧ∥ＥＡ，ＦＨ∥ＥＤ，且 ＦＧ，ＦＨ与抛物线分别只有一个交点．请你直接写
分析问题：需要知道中点三角形与原三角形的关系．探索如下：
功在我省太原举办，将全民阅读推上了新高潮．某社区老年活动中心为方便老年人阅读，准备购进
出展板△ＧＦＨ的面积．
１
∵点Ｄ，Ｅ分别是边ＡＢ，ＢＣ的中点，∴ＤＥ∥ＡＣ，ＤＥ＝ ＡＣ（依据）．
Ａ，Ｂ两种老年大字书供大家借阅．据了解，用 ６００元购买 Ａ书籍的数量比购买 Ｂ书籍的数量多 ２
５本，且 Ｂ书籍的单价是 Ａ书籍单价的１．２倍，求 Ａ，Ｂ两种书籍的单价． １ １
同理，ＤＦ∥ＢＣ，ＤＦ＝ ＢＣ，ＥＦ∥ＢＡ，ＥＦ＝ ＢＡ，
设Ａ书籍的单价为ｘ元，则Ｂ书籍的单价为１．２ｘ元． （１分） ２ ２
６００ ６００ ＤＥ ＤＦ ＥＦ １
根据题意，得 － ＝５． （４分） ∴ ＝ ＝ ＝ ，∴△ＤＥＦ∽△ＣＡＢ．
ｘ １．２ｘ ＡＣ ＢＣ ＢＡ ２
图（２） 图（３）
解得ｘ＝２０． （５分） １
通过探究发现：中点三角形与原三角形相似，相似比为 ，且对应边平行；还发现图（１）中有其他许多结论：如四 （１）建立平面直角坐标系如图． （１分）
经检验ｘ＝２０是原分式方程的根，且符合题意． （６分） ２
根据题意，得Ｄ（３，０），Ｅ（０，１）． （３分）
１．２×２０＝２４（元）． （７分） 边形ＡＤＥＦ是平行四边形，△ＡＤＦ≌△ＥＦＤ……
设抛物线的函数表达式为ｙ＝ａｘ２＋ｂ（ａ≠０）． （４分）
解决问题：根据探究所得，可以用网格或尺规作出中点三角形 ＤＥＦ的原三角形 ＡＢＣ．（点 Ｄ，Ｅ，Ｆ分别是边 ＡＢ，
答：Ａ书籍的单价为２０元，Ｂ书籍的单价为２４元． （８分）
{ １
２０．（本题９分）如图（１），某小区准备为地下车库进出口处安装感应式防风卷帘门，现需要知道该进出 ＢＣ，ＡＣ的中点） {９ａ＋ｂ＝０， ａ＝－ ，
∴ 解得 ９
ｂ＝１，
口的高度，但由于工具有限无法直接测量，于是设计了如下测量方案：如图（２），先测得地下车库进
ｂ＝１．
出口的坡道 ＡＢ长５６ｍ，与水平面的夹角∠ＤＡＢ＝１０°，又在坡道顶端 Ａ处测得进出口处顶端 Ｃ的俯 １
∴抛物线的函数表达式为ｙ＝－ ｘ２＋１（－３≤ｘ≤３）． （５分）
角∠ＤＡＣ＝６°．图中所有点均在同一竖直平面内，Ｂ，Ｃ两点在同一条铅垂线上．请你根据以上测量数 ９
据求出该地下车库进出口的高度 ＢＣ的长． （评分说明：未写自变量取值范围的不扣分）
（结果精确到０．１ｍ，参考数据：ｔａｎ６°≈０．１１，ｓｉｎ６°≈０．１０，ｃｏｓ６°≈０．９９，ｔａｎ１０°≈０．１８，ｓｉｎ１０°≈ 图（１） 图（２） 图（３） １
（２）①∵点Ｍ在抛物线ｙ＝－ ｘ２＋１上，
０．１７，ｃｏｓ１０°≈０．９８） ９
山西中考４５套汇编·数学 １２— ４ 山西中考４５套汇编·数学 １２— ５ 山西中考４５套汇编·数学 １２— ６１ （１）四边形ＤＥＢＦ是菱形． （１分） ∴△ＤＥＰ为等边三角形（!"：#$%&’６０°()*+&,-).+&,）， （８分）
∴设点Ｍ的坐标为（ｍ，－ ｍ２＋１）， （６分）
９ 理由如下： ∴∠ＥＤＰ＝６０°，
１ １ 方法一：如图（１），连接ＢＤ交ＡＣ于点Ｏ． ∴∠ＥＤＰ－∠３＝∠ＡＤＣ－∠３，即∠ＰＤＡ＝∠ＥＤＣ．
∴ＭＮ＝－ ｍ２＋１＋２＝－ ｍ２＋３．
９ ９ ∵等边三角形ＡＢＣ翻折得到△ＡＤＣ， 又∵ＡＤ＝ＤＣ，∠１＝∠ＤＣＡ，
根据题意，得正方形ＰＭＮＱ关于ｙ轴对称，∴ＰＭ＝２ｍ． （７分） ∴ＡＢ＝ＢＣ，ＡＢ＝ＡＤ，ＢＣ＝ＣＤ． ∴△ＰＤＡ≌△ＥＤＣ（/01：232456）， （９分）
１ ∴ＡＢ＝ＡＤ＝ＣＤ＝ＢＣ，∴四边形ＡＢＣＤ为菱形， ∴ＡＰ＝ＣＥ． （１０分）
∵四边形ＰＭＮＱ是正方形，∴ＰＭ＝ＭＮ，∴２ｍ＝－ ｍ２＋３， （８分）
９ ∴ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ，ＡＣ⊥ＢＤ． （２分） （方法三思路：在线段ＡＢ上截取ＡＮ＝ＡＥ，连接 ＮＥ．证△ＡＮＥ为等边三角形得１分；证得 ＥＣ＝ＮＢ得１分；证
∴ｍ＝－９＋６槡３，ｍ＝－９－６槡３（不合题意，舍去）， （９分） 又∵ＡＥ＝ＣＦ， 图（１） △ＰＥＡ≌△ＢＥＮ得ＡＰ＝ＮＢ得１分；证得ＡＰ＝ＣＥ得１分）
１ ２
∴ＰＭ＝（－９＋６槡３）×２＝（－１８＋１２槡３）（米）． ∴ＯＡ－ＡＥ＝ＯＣ－ＣＦ，即ＯＥ＝ＯＦ． （３分） （３）线段ＰＡ的长度为槡３或３槡３． （１３分）
答：支撑杆ＰＭ的长度为（－１８＋１２槡３）米． （１０分）
又∵ＯＢ＝ＯＤ，
解法提示：
７５ ∴四边形ＤＥＢＦ为平行四边形． （４分） 如图（４），以点Ｅ为圆心，ＤＥ的长为半径画圆，圆与直线ＡＢ的交点即为点Ｐ．故分两种情况讨论．
②展板△ＧＦＨ的面积为 平方米． （１２分） 又∵ＢＤ⊥ＡＣ，
１６
∴四边形ＤＥＢＦ为菱形． （５分）
解法提示：根据题意，得Ｅ（０，１），Ｄ（３，０）．
方法二：∵等边三角形ＡＢＣ翻折得到△ＡＤＣ，
１
易得直线ＥＤ的函数表达式为ｙ＝－ ｘ＋１． ∴ＡＢ＝ＢＣ，ＡＢ＝ＡＤ，ＢＣ＝ＣＤ，∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＣ＝∠ＢＣＡ＝∠ＤＣＡ＝６０°．
３
又∵ＡＥ＝ＡＥ，∴△ＢＡＥ≌△ＤＡＥ（ＳＡＳ），∴ＢＥ＝ＤＥ． （２分）
１
∵ＦＨ∥ＥＤ，∴可设直线ＦＨ的函数表达式为ｙ＝－ ｘ＋ｎ． 同理，ＢＦ＝ＤＦ． （３分）
３
∵ＢＡ＝ＢＣ，∠ＢＡＣ＝∠ＢＣＡ，ＡＥ＝ＣＦ，
１ １ １
联立ｙ＝－ ｘ２＋１，得－ ｘ２＋１＝－ ｘ＋ｎ， ∴△ＢＡＥ≌△ＢＣＦ（ＳＡＳ），∴ＢＥ＝ＢＦ， （４分）
９ ９ ３
∴ＢＥ＝ＤＥ＝ＤＦ＝ＢＦ，
整理，得ｘ２－３ｘ＋９ｎ－９＝０．
图（４）
∴四边形ＤＥＢＦ为菱形． （５分）
∵ＦＨ与抛物线只有一个交点，
（２）ＣＥ＝ＡＰ．理由如下： （６分）
当点Ｐ与点Ｂ重合时，ＰＡ＝３槡３．
５
∴Δ＝（－３）２－４×（９ｎ－９）＝０，解得ｎ＝ ，
方法一：如图（２），过点Ｅ作ＥＮ∥ＢＣ交ＡＢ于点Ｎ．
方法一：当点Ｐ在ＢＡ延长线上时，设ＰＥ交ＡＤ于点Ｍ，如图（５）．
４
由对称可知∠ＡＤＥ＝∠ＡＢＥ，ＥＤ＝ＥＢ．
∵等边三角形ＡＢＣ翻折得到△ＡＤＣ，
１ ５
∴直线ＦＨ的函数表达式为ｙ＝－ ｘ＋ ． ∴ＡＤ＝ＡＣ，∠１＝∠ＡＣＢ＝∠ＡＢＣ＝６０°． 又∵ＥＰ＝ＥＤ，∴ＥＰ＝ＥＢ，
３ ４
∴∠ＥＰＢ＝∠ＥＢＰ，∴∠ＭＰＡ＝∠ＭＤＥ．
∵ＥＮ∥ＢＣ，
１ ５ ５ １５
对于ｙ＝－ ｘ＋ ，当ｘ＝０时，ｙ＝ ，当ｙ＝０时，ｘ＝ ， ∴∠２＝∠ＡＣＢ＝６０°，∠３＝∠ＡＢＣ＝６０°， 又∵∠ＰＭＡ＝∠ＤＭＥ，∴∠ＤＥＭ＝∠ＭＡＰ＝９０°，
３ ４ ４ ４
ＤＰ
５ １５ １５
∴∠１＝∠２＝∠３，
图（２） ∴△ＥＤＰ是等腰直角三角形，∴ ＝ 槡２，∠ＰＤＥ＝４５°．
∴ＯＦ＝ ，ＧＨ＝２× ＝ ， ＤＥ
∴△ＡＮＥ为等边三角形， （７分）
４ ４ ２
∴ＡＥ＝ＥＮ＝ＡＮ． （８分） ＤＡ ＤＰ ＤＡ
１ １５ ５ ７５ 易得 ＝ 槡２，∠ＡＤＯ＝４５°，∴∠ＰＤＡ＝∠ＥＤＯ， ＝ ， 图（５）
∴Ｓ
△ＧＦＨ
＝
２
×
２
×
４
＝
１６
． ∵四边形ＤＥＢＦ为菱形，∴ＤＥ＝ＢＥ． ＤＯ ＤＥ ＤＯ
又∵ＰＥ＝ＤＥ，∴ＰＥ＝ＢＥ，∴∠Ｐ＝∠ＥＢＡ． ＡＰ
２３．（本题１３分）综合与探究 ∴△ＤＰＡ∽△ＤＥＯ（/01：232456），∴ ＝ 槡２，
又∵∠１＝∠３，ＥＡ＝ＥＮ， ＯＥ
问题情境：如图（１），将等边三角形 ＡＢＣ沿边 ＡＣ翻折得到△ＡＤＣ，点 Ｅ，Ｆ是边 ＡＣ上的两点，且
ＡＥ＝ＣＦ，分别连接 ＤＥ，ＢＥ，ＤＦ，ＢＦ．
∴△ＰＥＮ≌△ＢＥＡ（ＡＡＳ），
∴ＡＰ＝ 槡２ＯＥ＝ 槡２（ＯＡ－ＡＥ）＝ 槡２（
槡２
ＡＢ－
１
ＡＣ）＝ 槡２（
槡２
ＡＢ－
槡２
ＡＢ）＝ＡＢ－
２
ＡＢ＝
１
ＡＢ＝ 槡３．
∴ＰＮ＝ＡＢ，∴ＰＮ＝ＡＣ， （９分） ２ ３ ２ ３ ３ ３
猜想证明：
∴ＰＮ－ＡＮ＝ＡＣ－ＡＥ， 方法二：当点Ｐ在ＢＡ延长线上时，如图（６），过点Ｅ作ＥＦ⊥ＡＤ于点Ｆ，ＥＧ⊥ＡＢ于点Ｇ，
（１）判断四边形 ＤＥＢＦ的形状，并说明理由；
即ＡＰ＝ＣＥ． （１０分） 则ＥＦ＝ＥＧ，∠ＥＦＡ＝∠ＦＡＧ＝∠ＡＧＥ＝９０°，ＥＦ∥ＣＤ，
深入探究：
方法二：如图（３），连接ＤＰ． ＡＦ ＡＥ １
（２）将图（１）中的线段 ＤＥ绕点 Ｅ逆时针方向旋转得到线段 ＥＰ，ＥＰ交直线 ＡＤ于点 Ｍ．如图（２），当 ∴四边形ＥＦＡＧ是正方形， ＝ ＝ ，
∵等边三角形ＡＢＣ翻折得到△ＡＤＣ， ＡＤ ＡＣ ３
点 Ｐ落在线段 ＢＡ的延长线上时，猜想线段 ＣＥ与 ＡＰ的数量关系，并说明理由；
∴∠ＤＡＣ＝∠ＢＡＣ＝∠ＢＣＡ＝∠ＤＣＡ＝６０°，
∴ＡＦ＝ＡＧ＝ＥＦ＝ 槡３，ＤＦ＝ＡＤ－ＡＦ＝２槡３．
迁移探究：
ＡＢ＝ＢＣ，ＡＢ＝ＡＤ，ＢＣ＝ＣＤ，
∵∠ＤＦＥ＝∠ＰＧＥ＝９０°，ＥＦ＝ＥＧ，ＥＤ＝ＥＰ，
（３）如图（３），若△ＡＢＣ变为等腰直角三角形，∠Ｂ＝９０°，ＡＢ＝３ ３，将△ＡＢＣ沿边 ＡＣ翻折得到 ∴ＡＤ＝ＤＣ，ＡＤ∥ＢＣ，
△ＡＤＣ，点 Ｅ为边 ＡＣ上一点，且 ＡＥ＝ １ ＡＣ，将线段 ＤＥ绕点 Ｅ逆时针方向旋转得到线段 ＥＰ．当 ∠１＝１８０°－∠ＤＡＣ－∠ＢＡＣ＝６０°， （７分） 图（３）
∴Ｒｔ△ＥＦＤ≌Ｒｔ△ＥＧＰ（ＨＬ），∴ＰＧ＝ＤＦ＝２槡３，
３ ∴∠１＝∠ＤＣＡ．
∴ＰＡ＝ＰＧ－ＡＧ＝ 槡３．
点 Ｐ落在直线 ＡＢ上时，请直接写出线段 ＰＡ的长度． ∵四边形ＤＥＢＦ为菱形，∴ＤＥ＝ＢＥ．
又∵ＡＤ＝ＡＢ，ＡＥ＝ＡＥ，
∴△ＤＡＥ≌△ＢＡＥ（ＳＳＳ），∴∠２＝∠３．
∵ＰＥ＝ＤＥ，ＤＥ＝ＢＥ，∴ＰＥ＝ＢＥ，∴∠２＝∠４，
∴∠３＝∠４．
又∵∠５＝∠６，
∴１８０°－∠３－∠５＝１８０°－∠４－∠６，即∠７＝∠１＝６０°． 图（６）
图（１） 图（２） 图（３） 又∵ＤＥ＝ＥＰ，
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２０２６年山西省中考命题信息原创卷（一）
数 学
（满分１２０分，考试时间１２０分钟）
第Ⅰ卷 选择题（共 ３０分）
一、选择题（本大题共１０个小题，每小题３分，共３０分）
１．与－２的和为０的数是 （Ｃ）
１ １
Ａ． Ｂ．－ Ｃ．２ Ｄ．－２
２ ２
２． !"# $%&’ 下列是山西馆藏高古陶瓷的部分精品，其中主视图不是轴对称图形的是（忽
略陶瓷上的花纹） （Ｃ）
孔雀蓝釉黑花长颈瓶 白瓷印花奔鹿纹碗 绿釉彩绘甲骑具装俑 黑釉划花经瓶
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
３．用配方法解一元二次方程 ｘ２－８ｘ－７＝０，配方后得到的方程是 （Ｄ）
Ａ．（ｘ＋４）２＝７ Ｂ．（ｘ＋４）２＝２３ Ｃ．（ｘ－４）２＝７ Ｄ．（ｘ－４）２＝２３
４．据统计，临汾市２０２５年１～４月份，第一产业用电量９０００万千瓦时，同比增长９．５％；第二产业用电量
５７．２亿千瓦时，同比增长１２．１％，则这期间第一、二产业用电量一共为（用科学记数法） （Ｂ）
Ａ．５８．１×１０８千瓦时 Ｂ．５．８１×１０９千瓦时 Ｃ．６．６２×１０９千瓦时 Ｄ．５８１０００亿千瓦时
{ｘ＋２＞０，
５．不等式组 的解集为 （Ｃ）
５－ｘ≤２
Ａ．ｘ＞－２ Ｂ．ｘ＞－３ Ｃ．ｘ≥３ Ｄ．－２＜ｘ≤３
６． !() *+,-. 如图（１），ＯＭ，ＯＮ是两块平面镜，由点 Ａ发射出的光线经平面镜 ＯＮ，ＯＭ
反射后恰好经过点 Ａ．若∠ＭＯＮ＝５８°，则∠ＢＡＣ的度数为 （Ｃ）
小贴士
平面镜反射：如图（２），反射光线与入射光
线、法线在同一平面内；法线垂直于平面镜；
反射角等于入射角．
图（１）
图（２）
Ａ．５２° Ｂ．５８° Ｃ．６４° Ｄ．６８°
７．下列计算结果等于 ａ１０的是 （Ｂ）
Ａ．ａ＋ａ＋…＋ａ
山西中考４５套汇编·数学 １６— １ 山西中考４５套汇编·数学 １６— ２ 山西中考４５套汇编·数学 １６— ３
书书书
Ｂ．ａ·ａ·…·ａ
１０个ａ
Ｃ．ａ２０÷ａ２ Ｄ．ａ２＋ａ２＋…＋ａ２
１０个ａ
＝－２１． （５分）
实验时间ｘ／天 … ２ ３ ４ …
ａ＋２－３ ａ－１
菌落数ｙ／（ＣＦＵ／ｍＬ） … １８ ２１ ２４ … （２）原式＝ ÷ （２分）
ａ＋２ （ａ＋２）（ａ－２）
Ａ．ｙ＝３ｘ＋１２ Ｂ．ｙ＝－３ｘ＋１２ Ｃ．ｙ＝３ｘ＋１８ Ｄ．ｙ＝５ｘ＋１２ ａ－１ （ａ＋２）（ａ－２）
＝ · （４分）
９．如图，在ＡＢＣＤ中，ＡＢ＞ＢＣ，将△ＡＣＤ沿直线 ＡＣ平移，得到△ＥＧＦ，连接 ＡＦ，ＢＧ，若添 ａ＋２ ａ－１
加一个条件可使四边形 ＡＦＧＢ是菱形，则这个条件可以是 （Ｂ） ＝ａ－２． （５分）
Ａ．ＡＦ＝ＢＧ Ｂ．∠ＡＧＦ＝∠ＡＧＢ １７．（本题７分） !"# BCDE“洛书”（图（１））是世界上最早的“幻方”．“九宫格”来源于“洛
Ｃ．ＢＦ＝ＡＧ Ｄ．∠ＡＦＧ＝９０° 书”，将不重复的９个数依次填入３×３方格中，使其任意一行、任意一列及两条对角线上的数之和都
１０．如图，正方形 ＡＢＣＤ的边长为１０，分别以 ＡＤ，ＡＢ为直径画半圆，过点 Ａ的直线分别交两
相等，这样便构成了一个“九宫格”．如图（２）、图（３）都是只能看到部分数值的“九宫格”．
半圆于点 Ｅ，Ｆ．已知 ＡＦ∶ＡＥ＝４∶３，则阴影部分的面积为 （Ｂ）
（１）写出图（２）中 ａ和 ｂ之间的数量关系；
２５ ２５ ２５ ２５
（２）求出图（３）中 ｘ和 ｙ的值． Ａ． π－８槡７ Ｂ． π－２４ Ｃ． π－１０槡７ Ｄ． π－３０
２ ２ ２ ２
第Ⅱ卷 非选择题（共 ９０分）
二、填空题（本大题共５个小题，每小题３分，共１５分）
槡５－１
１１．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶到肚脐的长度与肚脐到足底的长度的比值是 ，著名的雕塑断
２
图（１） 图（２） 图（３）
槡５－１ １
臂的维纳斯便是如此．比较大小： ＞ ．（填“＞”或“＜”）
２ ２
（１）依题意得８＋ａ＋２＝ｂ＋７＋２，∴ａ＝ｂ－１． （３分）
１２． !"# ;< 投壶是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏，是把箭投向壶里．一次传统文化体验课上， （２）设ｘ右边的数为ｍ，１３右边的数为ｎ，
甲、乙两名同学在体验投壶游戏，每人各投５次，每次连续投８支箭．将甲、乙两名同学投进壶的支数绘制成 则ｘ＋ｍ＋２＝ｍ＋ｙ＋１３，ｘ＋ｙ＋ｎ＝２＋１９＋ｎ，
如图所示的统计图．设甲、乙两名同学投进支数的方差分别为ｓ２，ｓ２，则ｓ２与ｓ２的大小关系是 ｓ２＜ｓ２ ． {ｘ＋２＝ｙ＋１３， 甲 乙 甲 乙 甲 乙 即
ｘ＋ｙ＝２＋１９，
{ｘ＝１６，
解得 （７分）
ｙ＝５．
１８．（本题８分）２０２５年５月２５日，山西第四届大书法双年展在太原启动征稿，面向全国广泛征集书法
工作者、爱好者作品，７月３１日截稿．某校为了解全校有学习书法意向的学生对各类书法字体的喜
爱情况，该校校团委准备抽取部分学生进行问卷调查，形成了如下调查报告（不完整）．
调查主题 学生对书法字体类型的喜爱情况
（第１２题） （第１３题） （第１４题） （第１５题） 调查对象 全校有学习书法意向的学生
１３． !/0 =>?@A 如图，一博物馆由圆形主馆 Ａ和三个圆形副馆 Ｂ，Ｃ，Ｄ组成．一游客从主馆进 方案一：从七年级有学习书法意向的学生中随机抽取合适人数的学生；
调查方案
入，准备参观主馆和一个副馆后离开，已知他随机从副馆四个出口中的一个离开，则他从中间出口（即出 方案二：从全校有学习书法意向的学生中随机抽取合适人数的学生；
选取
方案三：从全校有学习书法意向的女生中随机抽取合适人数的学生．
２
口 ｅ，ｆ）离开的概率是 ．
３
你最喜爱的书法字体类型是（每人必选，且只选一项，在其后的括号内打“√”）
调查问卷
１４．如图，在平面直角坐标系中，边长为２的正六边形 ＡＢＣＤＥＦ的顶点 Ｂ在 ｙ轴上，边 ＣＤ在 ｘ轴上，Ｈ为 ＥＦ Ａ．篆书（ ） Ｂ．草书（ ） Ｃ．楷书（ ） Ｄ．行书（ ） Ｅ．隶书（ ）
１３
的中点，连接 ＣＨ并延长，交 ＡＦ的延长线于点 Ｍ，则点 Ｍ的横坐标为 ． 按最具有代表性和广泛性的方案调查后，把所有问卷全部收回，并根据调查结果绘制出如下两幅
３
不完整的统计图．
１５．如图，已知△ＡＣＭ，Ｂ是边 ＡＣ上一点，且 ＢＣ＝２ＡＢ＝６，Ｄ是边 ＡＭ上一动点，当∠ＢＤＣ最大时（此时过点
Ｂ，Ｃ，Ｄ的圆与 ＡＭ相切），ＡＤ的长为 ３槡３ ． 数据整理
三、解答题（本大题共８个小题，共７５分）
１６．（本题共２个小题，每小题５分，共１０分）
５个ａ２
８． !/0 123456789/: 数学兴趣小组在探究“桶装水在常温下的最佳饮用时间” ３ ａ－１
（１）计算：－２２× 槡２５－（１－ｔａｎ４８°）０； （２）化简：（１－ ）÷ ．
时，发现桶装水中菌落数 ｙ（ＣＦＵ／ｍＬ）关于实验时间 ｘ（天）成一次函数关系，该小组的部分实验数据 ａ＋２ ａ２－４ 请根据以上调查报告，解答下列问题．
如下表，则 ｙ与 ｘ之间的函数表达式为 （Ａ） （１）原式＝－４×５－１ （３分） （１）这次调查是 抽样 调查（填“全面”或“抽样”）．（２）上述调查方案中，最具有代表性和广泛性的是方案 二 ；本次抽样调查了 １００ 名学生． 【步骤二】准备测量工具 ＢＣ ＢＣ
∴ｓｉｎＤ＝ ＝ ，
（３）已知该校共有８００名有学习书法意向的学生，为使得这些学生能够学习自己所喜爱的字体，该 １．自制测角仪． ＢＤ ２Ｒ
校计划设立若干个书法班（每班只学习一种书法，且每班最多容纳 ４０名学生），试估计学习“隶 把一根细线固定在半圆形量角器的中心处，细线的另一端系一个小重 ＢＣ
∴ ＝２Ｒ．
书”的书法班要设立几个． 物，制成一个简单的测角仪（如图（３）），利用它可以测量仰角或俯角． ｓｉｎＡ
２．准备皮尺． ……
（１）抽样 （２分）
任务：（１）依据１应填 同弧所对的圆周角相等 ；
（２）二 １００ （６分） 图（３）
依据２应填 直径所对的圆周角是直角 ．
９
（３）１００－１０－１８－２５－３８＝９（名），８００× ＝７２（名）， 【步骤三】实地测量并记录数据 （２）如图（３），在△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝４５°，Ｄ是边 ＢＣ上一动点（不与点 Ｂ，Ｃ重合），ＤＥ⊥
１００
１．在点Ｃ处将这个测角仪用手托起，使视线沿着测角仪的直
ＡＢ于点 Ｅ，ＤＦ⊥ＡＣ于点 Ｆ，连接 ＥＦ．
７２÷４０＝１．８． 径刚好看到文峰塔的最高点，测得塔顶部Ｂ的仰角为α（对应
①请写出 ＡＤ，ＥＦ之间的数量关系，并说明理由．
答：估计学习“隶书”的书法班要设立２个． （８分） 的测角仪读数如图（４）），同样的方法在Ｅ处测得塔顶部Ｂ的
仰角β＝４５°． ②若 ＡＣ＝３槡２，ＡＢ＝４，请直接写出 ＥＦ的最小值． 图（３）
１９．（本题 ７分） !FG HIJKLMN5OP 已知反比例函数
２．用皮尺测得两次测量点之间的距离ＣＥ＝２７．５米，眼睛到地 （１）同弧所对的圆周角相等 直径所对的圆周角是直角 （２分）
ｋ
Ｃ：ｙ＝ （ｘ＜０）的图象如图所示，将其绕原点 Ｏ顺时针旋转 ４５°得到曲 面的距离ＣＤ＝ＥＦ＝１．６米． 槡２
１ ｘ （２）①ＥＦ＝ ＡＤ． （３分）
２
线 Ｃ，曲线 Ｃ 交 ｙ轴于点 Ａ，且 ＯＡ＝ ６． 图（４）
理由如下：
２ ２
（１）求 ｋ的值； ３ ４ 如图（１），设点Ｏ是ＡＤ的中点，连接ＯＥ，ＯＦ．
【步骤四】求文峰塔 ＡＢ的高度．（结果精确到 １米．参考数据：ｓｉｎ３７°≈ ，ｃｏｓ３７°≈ ，
（２）点 Ｎ是曲线 Ｃ 上的一点，点 Ｍ在直线 ｙ＝－ｘ上，若 ＭＮ＝ＯＮ，求 ５ ５
２
△ＭＯＮ的面积． ３
ｔａｎ３７°≈ ）
４
（１）设点Ａ对应旋转前反比例函数Ｃ图象上的点Ｂ，
１
根据表中内容完成下列任务．
连接ＯＢ，
任务一：请结合图（２）、图（４）和相关数据，写出 α的度数并完成【步骤四】．
则ＯＢ＝ＯＡ＝ 槡６，∠ＡＯＢ＝４５°．
任务二：在 Ｃ处用测角仪测量仰角时，发现测角仪发生损坏，无法使用．小明说可以用一块含 ３０°角的直
过点Ｂ作ＢＣ⊥ｙ轴于点Ｃ，
角三角板代替测角仪测量仰角，但是需要调整测量位置，请问如何测量才能用该三角板测出３０°的仰角？
图（１） 图（２）
则ＢＣ＝ＯＣ＝
槡２
ＯＢ＝ 槡３， 任务一：α＝３７°． （１分） ∵ＤＥ⊥ＡＢ，ＤＦ⊥ＡＣ，
２
如图，延长ＤＦ交ＡＢ于点Ｇ，则ＤＧ⊥ＡＢ， ∴∠ＡＥＤ＝∠ＡＦＤ＝９０°，
∴Ｂ（－ 槡３，槡３）， （３分） ∴四边形ＤＣＥＦ，四边形ＤＣＡＧ均为矩形， １
∴ＯＥ＝ＯＡ＝ＯＤ＝ＯＦ＝ ＡＤ!;<$=(’()>?@65+%A>?6-B/，
∴ｋ＝－ 槡３× 槡３＝－３． （４分） ∴ＡＧ＝ＥＦ＝ＣＤ＝１．６，ＤＦ＝ＣＥ＝２７．５． ２
（２）如图，将△ＭＯＮ绕点Ｏ逆时针旋转４５°， ＢＧ ３ ∴点Ａ，Ｅ，Ｄ，Ｆ在以点Ｏ为圆心，ＯＡ的长为半径的圆上．
在Ｒｔ△ＢＤＧ中，ｔａｎ∠ＢＤＧ＝ｔａｎ３７°＝ ≈ ，
则点Ｍ的对应点 Ｍ′落在 ｘ轴上，点 Ｎ的对应点 Ｎ′落在曲线 Ｃ 上，Ｍ′Ｎ′＝
ＤＧ ４ ∵∠ＥＡＦ＝４５°，∴∠ＥＯＦ＝９０°．
１
ＭＮ＝ＯＮ＝ＯＮ′，Ｓ ＝Ｓ ． （５分） ∴ＤＧ＝ ４ＢＧ ． （３分） 又∵ＯＥ＝ＯＦ，∴ＥＦ＝槡ＯＥ２＋ＯＦ２＝ 槡２ＯＥ．
△Ｍ′ＯＮ′ △ＭＯＮ
３
过点Ｎ′作Ｎ′Ｅ⊥ｘ轴于点Ｅ，则Ｍ′Ｅ＝ＯＥ!"#$%&’()*’+,-./．
又∵ＯＥ＝
１
ＡＤ，
在Ｒｔ△ＢＦＧ中，∠ＢＦＧ＝４５°，∴ＦＧ＝ＢＧ． （４分） ２
１ ３
易知Ｓ ＝ ×｜－３｜＝ !"#$012345｜ｋ｜6789:/， （６分） ∵ＤＦ＝２７．５，
△ＥＯＮ′ ２ ２ 槡２
∴ＥＦ＝ ＡＤ． （７分）
４ＢＧ
３ ∴ＤＧ－ＦＧ＝ －ＢＧ＝２７．５， ２
∴Ｓ ＝Ｓ ＝２Ｓ ＝２× ＝３． （７分） ３
△ＭＯＮ △Ｍ′ＯＮ′ △ＥＯＮ′ ２ ６槡５
解得ＢＧ＝８２．５， ②ＥＦ的最小值为 ． （９分）
２０．（本题８分）如图（１）所示的文峰塔位于山西省吕梁市汾阳市文峰街道建昌社区． ５
∴ＡＢ＝ＢＧ＋ＡＧ＝８２．５＋１．６≈８４（米）．
某校数学实践小组要测量文峰塔的高度，该小组制定了测量方案，在实地测量后撰 槡２
答：文峰塔ＡＢ的高度约为８４米． （６分） 解法提示：由①知，ＥＦ＝ ＡＤ，ＡＤ的值最小时，ＥＦ的值最小，即当 ＡＤ⊥ＢＣ时，ＥＦ的值最小!CD$E+F
２
写活动报告，报告部分内容如下表：
任务二：测量者可以沿ＡＣ方向前进，使视线沿着该直角三角板的斜边刚好看到文峰塔的最高点，且３０°角的另一
GH/，如图（２）所示，过点Ｃ作ＣＨ⊥ＡＢ于点Ｈ，
活动任务：测量文峰塔的高度 图（１） 边与水平地面平行，此时测出的仰角刚好为３０°． （８分）
槡２
活动过程 ２１．（本题９分）王老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助学生们用整体的、联系的、发展的眼光看问 则ＡＨ＝ＨＣ＝ ＡＣ＝３，∴ＢＨ＝ＡＢ－ＡＨ＝４－３＝１，
２
题，形成科学的思维习惯．下面是王老师在“圆”主题下设计的问题，请你解答．
【步骤一】设计测量方案
∴ＢＣ＝槡ＢＨ２＋ＣＨ２＝槡１２＋３２＝ 槡１０．
画测量示意图，如图（２）． 【问题展示】
ＣＨ ＡＤ ３ ＡＤ
（注：点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ均在同一竖直平面内，且点 Ａ，Ｃ，Ｅ在同一条 如图（１），锐角三角形ＡＢＣ内接于半径为Ｒ的⊙Ｏ，△ＡＢＣ的边、角之间满 ∵ｓｉｎＢ＝ ＝ ，∴ ＝ ，
足怎样的关系呢？
ＢＣ ＡＢ 槡１０ ４
直线上）
【发现规律】 ６槡１０ 槡２ ６槡１０ ６槡５
∴ＡＤ＝ ，∴ＥＦ＝ × ＝ ，
王老师提示：如图（２），连接ＢＯ并延长，交⊙Ｏ于点Ｄ，连接ＣＤ， ５ ２ ５ ５
图（２）
∴∠Ｄ＝∠Ａ，（ ）（依据１） 图（１） 图（２） ６槡５
∴ＥＦ的最小值为 ．
∠ＢＣＤ＝９０°，（ ）（依据２） ５
山西中考４５套汇编·数学 １６— ４ 山西中考４５套汇编·数学 １６— ５ 山西中考４５套汇编·数学 １６— ６２２．（本题１３分）嘉嘉为了研究过山车项目中的数学知识，用电脑软件模拟了某游乐场过山车滑道的一 １
令－ ｄ２＋６ｄ－２０－（－２ｄ＋１８）＝２，解得ｄ＝１２－２槡６（不合题意的值已舍去）．
部分，如图，线段 ＡＢ，ＦＧ是两段互相平行的直滑道，建立平面直角坐标系（一个单位长度代表 １米 ３
１ １３
长），使点 Ａ在 ｙ轴上，点 Ｇ在 ｘ轴上．已知滑道 Ｂ—Ｃ—Ｄ是抛物线 ｙ＝ ｘ２＋ｂｘ＋ｃ的一部分，滑道 分析可知，符合题意的ｄ的取值范围为 ＜ｄ≤１２－２槡６． （１３分）
２ ２
Ｄ—Ｅ—Ｆ是抛物线 ｙ＝ａｘ２＋６ｘ＋ｎ的一部分，点 Ｂ，Ｄ，Ｆ到 ｘ轴的距离均为 ４米，滑道 Ｂ—Ｃ—Ｄ的最 ２３．（本题１３分） !/0 QR5STUVWX 综合与实践
低点 Ｃ到 ｘ轴的距离为 ２米，点 Ｇ到 ｙ轴的距离为 １４米，滑道 ＡＢ所在直线的函数表达式为 ｙ＝
学习了平行四边形的相关知识之后，李老师带领同学们上了一节“平行四边形纸片的折叠”实践探究课
－２ｘ＋８．
程，同学们分三个小组进行探究活动．
（１）求滑道 Ｂ—Ｃ—Ｄ所在抛物线的函数表达式，并直接写出
点 Ｄ的坐标．
（２）若点 Ｇ距离水平地面的高度为 ２米，求车厢在滑道 Ｄ—
Ｅ—Ｆ上运行时车厢底部能达到的最大高度．
（３）已知 Ｅ是滑道 Ｄ—Ｅ—Ｆ的最高点．若在滑道 Ｄ—Ｅ上的
点 Ｍ和滑道 Ｅ—Ｆ—Ｇ上的点 Ｎ下方各竖直安装一根支
架，使 Ｍ，Ｎ的水平距离为 ５米，点 Ｍ在点 Ｎ上方，且点
Ｍ，Ｎ的高度差不超过 ２米，求点 Ｍ与点 Ａ的水平距离 ｄ
（单位：米）的取值范围．
（１）对于ｙ＝－２ｘ＋８，当ｙ＝４时，ｘ＝２，∴Ｂ（２，４）． （１分）
１
设滑道Ｂ—Ｃ—Ｄ所在抛物线的函数表达式为ｙ＝ （ｘ－ｈ）２＋２!"#：IJ9KLM"Ｃ6NOP，QRM"S/，
２
１ 将Ｂ（２，４）代入，得４＝ （２－ｈ）２＋２，解得ｈ＝４（不合题意的值已舍去），
２
１
∴滑道Ｂ—Ｃ—Ｄ所在抛物线的函数表达式为ｙ＝ （ｘ－４）２＋２． （４分）
２
点Ｄ的坐标为（６，４）． （５分）
（２）由题意知点Ｇ的坐标为（１４，０）．
∵ＡＢ∥ＦＧ，
∴设直线ＦＧ的函数表达式为ｙ＝－２ｘ＋ｂ′，将Ｇ（１４，０）代入，可求得ｂ′＝２８，
∴直线ＦＧ的函数表达式为ｙ＝－２ｘ＋２８． （６分）
对于ｙ＝－２ｘ＋２８，当ｙ＝４时，ｘ＝１２，∴Ｆ（１２，４），
６＋１２
∴滑道Ｄ—Ｅ—Ｆ所在抛物线的对称轴是直线ｘ＝ ＝９，
２
６ １
∴－ ＝９，∴ａ＝－ ． （７分） ２ａ ３
１
将Ｄ（６，４）代入ｙ＝－ ｘ２＋６ｘ＋ｎ，可求得ｎ＝－２０． （８分）
３
１
对于ｙ＝－ ｘ２＋６ｘ－２０，当ｘ＝９时，ｙ＝７．
３
７＋２＝９，
故车厢在滑道Ｄ—Ｅ—Ｆ上运行时车厢底部能达到的最大高度是９米． （９分）
１
（３）由题意知点Ｍ的坐标为（ｄ，－ ｄ２＋６ｄ－２０），点Ｎ的横坐标为ｄ＋５．
３
５ １３
由题意知，当点Ｍ，Ｎ的高度相同时!TUVW１/，点Ｎ在点Ｆ上方，ｄ＝９－ ＝ ． （１１分）
２ ２
当点Ｎ与点Ｆ重合时，ｄ＋５＝１２，解得ｄ＝７．
１７
当ｄ＝７时，点Ｍ的纵坐标为 ，
３
１７ ５
∴点Ｍ，Ｎ的高度差为 －４＝ ＜２，
３ ３
∴当点Ｍ，Ｎ的高度差为２时!TUVW２/，点Ｎ在点Ｆ下方．
对于ｙ＝－２ｘ＋２８，当ｘ＝ｄ＋５时，ｙ＝－２ｄ＋１８．
山西中考４５套汇编·数学 １６— ７ 山西中考４５套汇编·数学 １６— ８ 山西中考４５套汇编·数学 １６— ９
勤学小组的探究：我们将如图（１）所示的平行四边形纸片 ＡＢＣＤ沿过点 Ｂ的直
线折叠，折痕交 ＡＤ于点 Ｅ，点 Ａ的对应点为 Ｆ，延长 ＥＦ交 ＢＣ于点 Ｇ．
图（１）
（１）任务１：初步探究．
求证：ＧＢ＝ＧＥ．
创新小组的探究：我们将如图（２）所示的平行四边形纸片 ＡＢＣＤ沿过点 Ｂ的
直线折叠，折痕交 ＡＤ于点 Ｅ，点 Ａ的对应点恰好落在 ＢＤ的中点 Ｏ处．
图（２）
（２）任务２：①在图（２）中作出折痕 ＢＥ及点 Ｏ．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；标出字母 Ｏ，
Ｅ）
②猜想 ＡＥ，ＤＥ之间的数量关系，并加以证明．
∴ＤＥ＝ＨＥ＝２ＯＥ．
由折叠可知，ＡＥ＝ＯＥ，
∴ＤＥ＝２ＡＥ． （１０分）
ＥＭ ２０ ４
（３） 的值为 或 ． （１３分）
ＢＮ １１ ３５ 图（２）
解法提示：在Ｒｔ△ＡＢＰ中，∠Ａ＝６０°，ＡＢ＝６，
∴ＡＰ＝３，ＢＰ＝３槡３．
根据点Ｅ在点Ｐ的左、右侧，分两种情况讨论．
①当点Ｅ在点Ｐ右侧，且ＥＰ＝２时，如图（３）．
由折叠可得，ＥＦ＝ＡＥ＝ＡＰ＋ＥＰ＝５．
同（１）可得ＮＥ＝ＮＢ．
过点Ｅ作ＥＫ⊥ＢＣ于点Ｋ，则ＢＫ＝ＰＥ＝２，ＥＫ＝ＰＢ＝３槡３．
设ＮＥ＝ＮＢ＝ａ，则ＫＮ＝ａ－２．
由勾股定理，得ＥＫ２＋ＫＮ２＝ＥＮ２，
图（３）
∴（３槡３）２＋（ａ－２）２＝ａ２，
３１ ３１
解得ａ＝ ，∴ＮＥ＝ＮＢ＝ ，
４ ４
３１ １１
∴ＦＮ＝ＮＥ－ＥＦ＝ －５＝ ．
４ ４
∵ＡＤ∥ＢＣ，∴△ＦＥＭ∽△ＦＮＢ!]^XY$*Ｘ.Y/，
ＥＭ ＦＥ ５ ２０
∴ ＝ ＝ ＝ ．
ＢＮ ＦＮ １１ １１
４
②当点Ｅ在点Ｐ左侧，且ＥＰ＝２时，如图（４）．
由折叠可得，ＢＦ＝ＡＢ＝６，∠ＡＥＢ＝∠ＦＥＢ，ＥＦ＝ＡＥ＝３－２＝１．
开拓小组的探究：我们将如图（３）所示的平行四边形纸片 ＡＢＣＤ 又∵∠ＡＥＮ＝∠ＦＥＭ，∴∠ＮＥＢ＝∠ＭＥＢ．
（ＡＢ＝６，∠Ａ＝６０°）沿过点 Ｂ的直线折叠，折痕交 ＡＤ于点 Ｅ，点 Ａ的 同（１）可得ＮＥ＝ＮＢ．
对应点为 Ｆ，直线 ＢＦ与直线 ＡＤ交于点 Ｍ，直线 ＥＦ与直线 ＢＣ交于 过点Ｂ作ＢＱ⊥ＮＦ于点Ｑ．
点 Ｎ． 槡３ １
图（３） ∵∠Ｆ＝∠Ａ＝６０°，∴ＢＱ＝ ＢＦ＝３槡３，ＦＱ＝ ＢＦ＝３． 图（４） ２ ２
设ＮＢ＝ＮＥ＝ｂ，则ＮＱ＝ｂ＋１－３＝ｂ－２． （３）任务３：求两线段的比值．
由勾股定理，得ＮＱ２＋ＢＱ２＝ＮＢ２，
ＥＭ
过点 Ｂ作 ＢＰ⊥ＡＤ于点 Ｐ，若 ＥＰ＝２，请直接写出 的值．
ＢＮ
∴（ｂ－２）２＋（３槡３）２＝ｂ２，
３１ ３５ （１）证明：∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，
解得ｂ＝ ，∴ＦＮ＝ｂ＋１＝ ．
４ ４ ∴ＡＤ∥ＢＣ，∴∠ＡＥＢ＝∠ＥＢＣ．
备用图
∵ＡＤ∥ＢＣ，∴△ＦＥＭ∽△ＦＮＢ，
由折叠可得∠ＡＥＢ＝∠ＦＥＢ，∴∠ＥＢＣ＝∠ＦＥＢ，
ＥＭ ＦＥ ４
∴ＧＢ＝ＧＥ!XY$*(Z[+.＋*Z\+.＝*%&’()./． （３分） ∴ ＝ ＝ ．
ＢＮ ＦＮ ３５
（２）①作图如图（１）所示． （５分）
ＥＭ ２０ ４
②ＤＥ＝２ＡＥ． （６分） 综上可知， 的值为 或 ．
ＢＮ １１ ３５
证明：如图（２），延长ＥＯ交ＢＣ于点Ｈ．
同（１）可得ＨＢ＝ＨＥ．
∵ＡＤ∥ＢＣ，∴∠１＝∠２．
又∵∠３＝∠４，ＯＤ＝ＯＢ，
图（１）
∴△ＥＯＤ≌△ＨＯＢ（ＡＡＳ），
∴ＯＥ＝ＯＨ，ＤＥ＝ＢＨ，６０，６０≤ｘ＜７０，７０≤ｘ＜８０，８０≤ｘ＜９０，９０≤ｘ≤１００）．下列说法正确的是 （Ｃ）
１４． !"# klmno 如图（１）是一款带毛刷的扫地机器人，图（２）是其示意图，机身⊙Ｏ的直
!#
Ａ．本次调查是全面调查 径为４０ｃｍ，毛刷的一端为固定点 Ｐ，另一端为点 Ｃ，ＣＰ＝１０ｃｍ，设工作时毛刷 ＣＰ绕点 Ｐ旋转形成
２０２６年山西省中考命题信息原创卷（二）
Ｂ．ａ＝５３ ５０π
的圆弧交⊙Ｏ于点 Ａ，Ｂ，且点 Ａ，Ｐ，Ｂ在同一直线上，则图中阴影部分的面积为 （１００槡３－ ） ｃｍ２．
Ｃ．若用扇形统计图表示调查结果，则５０≤ｘ＜６０这组所在扇形的圆心角的度数为５７．６° ３
Ｄ．这２００人满意度评分的中位数落在６０≤ｘ＜７０这一组 １５．如图，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝６，ＢＣ＝４，点Ｅ为ＣＤ的中点，沿ＢＥ折叠△ＢＣＥ，点Ｃ的对
数 学
８．如图，⊙Ｏ是△ＡＢＣ的外接圆，ＡＢ是直径，ＣＤ是弦，连接ＯＤ，若∠Ｂ＝３∠Ｄ＝３α，则∠ＢＯＤ的度数是 （Ｂ） 应点落在点 Ｃ′处．过点Ｃ′作Ｃ′Ｈ⊥ＢＣ交ＢＣ于点Ｈ，交ＡＤ于点Ｇ，交ＢＥ于点Ｆ，将矩
Ａ．３α Ｂ．４α Ｃ．９０°－α Ｄ．１８０°－５α 形 ＡＢＣＤ沿 ＧＨ折叠，点 Ａ落在 ＧＤ上的点 Ａ′处，点 Ｂ落在 ＨＣ上的点 Ｂ′处，Ａ′Ｂ′分别
（满分１２０分，考试时间１２０分钟）
１１
交 Ｃ′Ｅ，ＢＥ于点 Ｍ，Ｎ，则 ＭＮ的长为 ．
６
第Ⅰ卷 选择题（共 ３０分）
三、解答题（本大题共８个小题，共７５分）
１６．（本题共２个小题，每小题５分，共１０分）
一、选择题（本大题共１０个小题，每小题３分，共３０分）
{４ｘ＋３ｙ＝１０，①
１．２０２６的相反数是 （Ｄ） （１）计算：（－１）２０２６＋｜１－ ２｜＋２－１． （２）解方程组：
２ｘ－ｙ＝－５．②
１ １ 图（１） 图（２）
Ａ．
２０２６
Ｂ．－
２０２６
Ｃ．２０２６ Ｄ．－２０２６
（１）原式＝１＋ 槡２－１＋
１
＝ 槡２＋
１
． （５分）
（第８题） （第９题） （第１０题） ２ ２
２．某地金融商务区标识征集时收到众多精美的设计图案，下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图 （２）将②×３＋①，得１０ｘ＝－５， （１分）
９． !() *+,-. 如图（１），弹簧测力计下悬挂的是正方体金属块，金属块完全浸入在长方体容
形的是 （Ｃ） １
器的水中，将金属块竖直向上匀速提升，直至金属块全部拉出水面．整个过程中，弹簧测力计读数 Ｆ（Ｎ）与 解得ｘ＝－ ． （２分）
２
金属块下表面到容器底部的距离ｈ（ｃｍ）之间的关系图象如图（２）所示．则当弹簧测力计显示的读数为９．５Ｎ
１ １
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 时，金属块下表面到容器底部的距离为 （Ｃ） 将ｘ＝－ 代入②，得２×（－ ）－ｙ＝－５， （３分）
２ ２
Ａ．９．６ｃｍ Ｂ．１０．２ｃｍ Ｃ．１０．８ｃｍ Ｄ．１１．５ｃｍ
解得ｙ＝４． （４分）
３．下列运算正确的是 （Ｄ） １０． !FG ]^_‘＋abUc 如图，在平面直角坐标系中，Ｐ（２，０），正六边形 ＡＢＣＤＥＦ的顶点 Ａ， { １
ｘ＝－ ，
Ａ．３ａ２·２ａ３＝５ａ６ Ｂ．２ｃ２÷ｃ＝２ Ｃ．（－ａ２）３＝ａ６ Ｄ．ｘ２ｙ－３ｙｘ２＝－２ｘ２ｙ Ｄ的坐标分别为（１，０），（－１，０），点 Ｍ是正六边形 ＡＢＣＤＥＦ的边上一动点，连接 ＰＭ，在 ＰＭ的右上方作 所以方程组的解为 ２ （５分）
等腰直角三角形 ＰＭＮ，其中∠ＭＰＮ＝９０°．点 Ｍ从点 Ａ出发，按照顺时针的方向（即 Ａ—Ｂ—Ｃ—Ｄ—Ｅ— ｙ＝４．
４． !() *+,-. 如图是某晋剧演员在平面镜前化妆的情景，她通过平面镜看见头饰上珍
１７．（本题７分）如图，在平面直角坐标系 ｘＯｙ中，一次函数 ｙ＝ａｘ＋３的图
１ １
珠 Ａ的像为 Ａ′．已知∠Ａ′＝２２°，则∠１的度数为 （Ｃ） Ｆ—Ａ…）以每秒 个单位长度的速度运动，则第２０３７秒时点 Ｎ的坐标为 （Ａ） ｋ
２ 象与反比例函数 ｙ＝ 的图象交于点 Ａ，Ｂ，与 ｘ轴、ｙ轴分别交于点 Ｃ
Ａ．２２° Ｂ．４０° Ｃ．４４° Ｄ．４５°
２ ｘ
Ａ．（２＋
槡３
，２） Ｂ．（３－
槡３
，２） Ｃ．（２＋
槡３
， 槡３） Ｄ．（３－
槡３
， 槡３） （－４，０），Ｄ，点Ｅ在第一象限，点Ｆ是ｘ轴正半轴上一点，菱形ＣＤＥＦ的
２ ２ ２ ２
ＤＧ ３
边 ＤＥ与反比例函数的图象交于点 Ｇ，且 ＝ ．
第Ⅱ卷 非选择题（共 ９０分） ＥＧ ２
（１）求 ａ的值和反比例函数的表达式．
二、填空题（本大题共５个小题，每小题３分，共１５分）
ｋ
３ （２）若点Ｐ是反比例函数ｙ＝ 图象上一点，且Ｓ ＝Ｓ ，求点Ｐ的
１１． !() def-. 若分式 在实数范围内有意义，则ｘ的值可以是 １（答案不唯一） （写出一个即可）． ２ ｘ △ＥＯＦ △ＰＣＯ
ｘ＋２
坐标．
{ｘ－１
（第４题） （第６题） （第７题） ≤４， （１）∵点Ｃ（－４，０）在一次函数ｙ＝ａｘ＋３的图象上，
１
１２．不等式组 ２ 的解集是 －１＜ｘ≤９ ．
５． !FG YZ[\ 以下是小宣同学对多项式 ａ２－ｂ２－２ｂ－１进行因式分解的过程． ３
∴－４ａ＋３＝０，解得ａ＝ ． （２分）
３ｘ＋５＞２
４
解：ａ２－ｂ２－２ｂ－１
１３． !"# %g,hij 《天工开物》是我国古代一部综合性的科技著作．如图是选自《天工开物》 ３
＝ａ２－（ｂ２－２ｂ＋１） ……………………………………………………………… 第一步 对于ｙ＝ ｘ＋３，当ｘ＝０时，ｙ＝３，∴Ｄ（０，３），∴ＯＤ＝３．
的四幅图片，它们除正面外完全相同．把这四张图片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从 １ ４ １
＝ａ２－（ｂ－１）２ …………………………………………………………………… 第二步
７
∵Ｃ（－４，０），∴ＯＣ＝４，
＝（ａ＋ｂ－１）（ａ－ｂ＋１）． ………………………………………………………… 第三步 中随机抽取一张，两次抽取的图片中至少有一张是“穴取铜铅”的概率为 ．
１６ ∴ＣＤ＝槡ＯＣ２＋ＯＤ２＝５．
下列说法错误的是 （Ｃ）
∵四边形ＣＤＥＦ是菱形，
Ａ．解答过程从第一步开始出错 Ｂ．第二步运用的是完全平方公式
∴ＤＥ＝ＣＤ＝５，ＤＥ∥ｘ轴．
Ｃ．第三步运用的因式分解的方法是提公因式法 Ｄ．该多项式因式分解的正确结果为（ａ－ｂ－１）（ａ＋ｂ＋１）
ＤＧ ３
又∵ ＝ ，∴ＤＧ＝３，
６．如图，在ＡＢＣＤ中，ＣＱ平分∠ＢＣＤ交 ＡＢ于点 Ｑ，且 ＡＱ＝２，点 Ｍ，Ｎ分别是 ＤＱ，ＣＱ的中点，ＭＮ＝３，
ＥＧ ２
则四边形 ＡＢＣＤ的周长为 （Ｃ） ∴Ｇ（３，３），∴ｋ＝３×３＝９，
Ａ．１６ Ｂ ．１８ Ｃ．２０ Ｄ．２２ ９
∴反比例函数的表达式为ｙ＝ ． （５分）
７．某款ＡＩ助手的用户有１０万人，随机抽取其中的２００人对这款ＡＩ助手使用满意度进行评分（满分１００ 图（１） 图（２） ２ ｘ
分，每人评出一个分值），得到如图所示的频数分布直方图（评分 ｘ（分）分成 ６组：４０≤ｘ＜５０，５０≤ｘ＜ （第１３题） （第１４题） （２）由（１）知ＣＦ＝５，ＣＯ＝４，∴ＯＦ＝１，
山西中考４５套汇编·数学 １７— １ 山西中考４５套汇编·数学 １７— ２ 山西中考４５套汇编·数学 １７— ３１ ３ 经检验，ｘ＝０．２是原分式方程的根，且符合题意． （６分）
∴Ｓ ＝ ＯＦ·ＯＤ＝ ，
△ＥＯＦ ２ ２ １．５ｘ＝０．３．
１ ３ 答：改良后平均每亩产量是０．３万千克． （７分）
∴Ｓ ＝ ＣＯ·｜ｙ｜＝２｜ｙ｜＝Ｓ ＝ ，
△ＰＣＯ ２ Ｐ Ｐ △ＥＯＦ ２ ２０．（本题８分）综合与实践
３ 某数学活动小组结合所学知识在一座小山（ＢＣ）周围进行了测量活动，小明同学带领小组成员进行此项
∴ｙ＝± ，
Ｐ ４ 实践活动，记录如下：
３ ３ 综合实践活动报告
∴点Ｐ的坐标为（１２， ）或（－１２，－ ）． （７分）
４ ４
填写人：小明 时间：２０２５年７月１５日
１８．（本题８分）深入推进粮食节约减损，是弘扬中华优秀传统文化的具体体现．中华民族历来崇尚节
约、反对浪费，自古以来传颂“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”和“一粥一饭，当思来之不易”等价值观念． 活动过程
某学校为了调查食堂浪费的情况，在全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，调查问卷如下： 【步骤一】设计测量方案
学校食堂浪费情况调查问卷 小组成员讨论后，画出如图所示的测量草图，其中ＡＢ，ＢＣ，ＢＤ相互垂直，并且确定需要测量的数据．
１．你的午餐剩余情况是（单选） （ ）
Ａ．没有剩 Ｂ．剩少量 Ｃ．剩一半 Ｄ．剩大量
２．你认为学校食堂采取的下列措施中，可以有效遏制浪费情况的是（可多选） （ ）
Ｅ．积极推广小份餐品 Ｆ．主动提示剩余食物打包
Ｇ．宣传、普及防止食品浪费知识 Ｈ．设置惩罚措施
午饭剩余情况扇形统计图 有效遏制浪费情况的措施统计表
措施 百分比
Ｅ ５０％ 【步骤二】准备测量工具（皮尺、测角仪等），实地测量并记录数据
组员小丽站在小山（线段ＢＣ）的正西方向的Ａ处，距离山脚点Ｂ有一定距离，测得∠ＣＡＢ＝３７°．
Ｆ ６０％
组员小云站在小山（线段ＢＣ）的正南方向的Ｄ处，距离山脚点Ｂ有一定距离，测得∠ＣＤＢ＝２２°．
Ｇ ３０％ 组员小明测得小丽和小云之间的距离ＡＤ＝３４０米．
Ｈ １０％ 【步骤三】计算出点Ａ，Ｃ之间的距离．
（参考数据：ｓｉｎ３７°≈０．６０，ｃｏｓ３７°≈０．８０，ｔａｎ３７°≈０．７５，ｓｉｎ２２°≈０．３７，ｃｏｓ２２°≈０．９３，ｔａｎ２２°≈０．４０）
（１）如果整体评价中将没有剩、剩少量、剩一半、剩大量分别赋分 ０分、１分、３分、５分，求这次调查
请结合报告中的相关信息完成【步骤三】．
中，食堂浪费情况评价分数的平均数．
设ＢＣ＝ｘ米．
（２）已知该校有１２００名学生，若认定没有剩饭为这餐完成“光盘行动”，请你估计午餐完成“光盘行
ＢＣ
动”的学生有多少人． 在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＣＡＢ＝３７°，ｔａｎ∠ＣＡＢ＝ ，
ＡＢ
（３）小明想用扇形统计图反映选择各项有效遏制浪费情况的措施的人数占被调查总人数的百分比，
ＢＣ ｘ
是否可行？若可行，求出 Ｇ项措施对应的扇形圆心角的度数；若不可行，请说明理由． ∴ＡＢ＝ ≈ 米．
ｔａｎ３７° ０．７５
（１）３６０°－９０°－１６２°－４５°＝６３°，
ＢＣ
９０ １６２ ６３ ４５ 在Ｒｔ△ＢＣＤ中，∠ＣＤＢ＝２２°，ｔａｎ∠ＣＤＢ＝ ，
×０＋ ×１＋ ×３＋ ×５＝１．６（分）． ＢＤ
３６０ ３６０ ３６０ ３６０
ＢＣ ｘ
答：这次调查中，食堂浪费情况评价分数的平均数为１．６分． （３分） ∴ＢＤ＝ ≈ 米． （３分）
ｔａｎ２２° ０．４
９０
（２）１２００× ＝３００（人）． 在Ｒｔ△ＡＢＤ中，由勾股定理，得ＡＢ２＋ＢＤ２＝ＡＤ２，
３６０
ｘ ｘ
答：估计午餐完成“光盘行动”的学生有３００人． （６分） 即（ ）２＋（ ）２＝３４０２， （５分）
０．７５ ０．４
（３）不可行．
解得ｘ＝１２０（不合题意的值已舍）， （６分）
理由：由统计表，可知５０％＋６０％＋３０％＋１０％＞１，即选择各项有效遏制浪费情况的措施的人数占被调查总人
即ＢＣ＝１２０米，
数的百分比之和大于１． （８分）
ＢＣ １２０
１９．（本题７分） !"# pqrs “沙金红杏”是享誉三晋、名扬海外的珍稀 ∴ＡＣ＝ ≈ ＝２００（米）．
ｓｉｎ３７° ０．６
果品，被评为山西三大名杏之一．某果园计划种植一批沙金红杏，原计划总产量
故点Ａ，Ｃ之间的距离约为２００米． （８分）
为３．６万千克．为了满足市场需求，现决定改良沙金红杏品种，改良后平均每亩
２１．（本题９分）阅读与思考
产量是原计划的１．５倍，总产量比原计划增加了 ０．６万千克，种植亩数减少了 ４
下面是一位同学的数学笔记，请仔细阅读并完成相应的任务．
亩，求改良后平均每亩产量是多少万千克．
阿基米德折弦定理
设原计划平均每亩产量为ｘ万千克． （１分）
从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，称为该圆的一条折弦．
３．６３．６＋０．６
根据题意，得 － ＝４， （４分）
ｘ １．５ｘ
如图（１），ＡＣ和 ＢＣ是⊙Ｏ的两条弦（即折线段 ＡＣＢ是圆的一条折弦），ＢＣ＞ＡＣ，Ｍ是 ＡＣＢ
解得ｘ＝０．２． （５分）
山西中考４５套汇编·数学 １７— ４ 山西中考４５套汇编·数学 １７— ５ 山西中考４５套汇编·数学 １７— ６
)
图（１） 图（２）
证明：如图（２），延长ＢＣ至Ｆ，使得ＣＦ＝ＣＡ，连接ＭＦ，ＭＢ，ＭＡ，ＡＢ．
∵点Ｍ是ＡＣＢ
的中点，过点 Ｍ作 ＭＤ⊥
ＢＣ，垂足为Ｄ，则ＢＤ＝ＡＣ＋ＣＤ，这就是著名的“阿基米德折弦定理”．结论ＢＤ＝ＡＣ＋ＣＤ可借助图（２）证明如下：
)
的中点，
∴ＭＡ＝ＭＢ，∠ＭＢＡ＝ ① ．
∵∠ＭＣＢ＋∠ＭＣＦ＝１８０°，
∠ＭＢＡ＋∠ＭＣＡ＝１８０°（依据： ② ），
……
任务：
（１）①处应填写 ：∠ＭＣＢ ；
②处应填： 圆内接四边形对角互补 ．
（２）补全证明过程．
（３）如图（３），△ＡＢＣ内接于⊙Ｏ，Ｄ为优弧 ＡＢ的中点，ＤＥ⊥ＢＣ于点 Ｅ，连接 ＣＤ．
①过点 Ｂ作 ＣＤ垂线，分别交 ＤＥ，ＣＤ于点 Ｆ，Ｈ．（要求：尺规作图，保留作图痕
迹，标明字母） 图（３）
②若 ＢＦ＝ＣＤ，ＣＤ＝２，∠Ｄ＝３０°，则 ＡＣ的值为 槡３－１ ．
（１）①∠ＭＣＢ （２分）
②圆内接四边形对角互补 （３分）
（２）∴∠ＭＣＦ＝∠ＭＣＡ．
又∵ＭＣ＝ＭＣ，ＦＣ＝ＡＣ，
∴△ＦＣＭ≌△ＡＣＭ（ＳＡＳ），∴ＦＭ＝ＭＡ． （４分）
∵ＭＡ＝ＭＢ，∴ＦＭ＝ＭＢ．
∵ＭＤ⊥ＢＣ，∴ＤＦ＝ＤＢ．
∵ＣＦ＝ＣＡ，∴ＤＦ＝ＤＣ＋ＣＦ＝ＤＣ＋ＣＡ，
∴ＤＢ＝ＤＣ＋ＣＡ． （５分）
（３）①作图如图所示． （７分）
②槡３－１． （９分）
解法提示：∵ＤＥ⊥ＢＣ，∴∠ＣＤＥ＋∠ＢＣＤ＝９０°．
∵ＢＨ⊥ＣＤ，∴∠ＣＢＨ＋∠ＢＣＤ＝９０°，
∴∠ＣＢＨ＝∠ＣＤＥ．
又∵∠ＢＥＦ＝∠ＣＥＤ＝９０°，ＢＦ＝ＣＤ，
∴△ＢＥＦ≌△ＤＥＣ（ＡＡＳ），∴ＢＥ＝ＤＥ．
∵ＣＤ＝２，∠Ｄ＝３０°，
１ 槡３
∴ＣＥ＝ ＣＤ＝１，ＤＥ＝ ＣＤ＝ 槡３，∴ＢＥ＝ 槡３．
２ ２
∵ＢＥ＝ＥＣ＋ＣＡ，∴ＣＡ＝ＢＥ－ＥＣ＝ 槡３－１．
２２．（本题１３分）综合与实践
如图（１），一辆洒水车正沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．水从喷水口喷出，水流的上
下两边缘可以抽象为两条抛物线的一部分，示意图如图（２），喷水口 Ｈ离地面竖直高度 ＯＨ＝１．５ｍ，
上边缘抛物线 Ｌ的最高点 Ａ离喷水口的水平距离为 ２ｍ，高出喷水口 ０．５ｍ，下边缘抛物线Ｌ可以
１ ２
看成由抛物线Ｌ向左平移得到，其开口方向与大小不变，Ｂ点为下边缘抛物线与地面的交点．把绿化带横
１
截面抽象为矩形ＤＥＦＧ，测得其水平宽度ＤＥ＝３ｍ，竖直高度ＥＦ＝０．５ｍ．那么，洒水车与绿化带之间的距
离就可以用ＯＤ的长来表示．以点Ｏ为坐标原点，水平地面为ｘ轴，建立平面直角坐标系．
（１）求抛物线 Ｌ的函数表达式．
１（２）当点 Ｂ与点 Ｄ重合时，洒水车喷出的水能浇灌到整个绿化带吗？请说明理由． １ １ ∴ＡＦ∥ＤＥ．
设Ｄ（ｍ，０），则Ｍ（ｍ＋３，１），∴－ （ｍ＋２）２＋ｈ＝０，－ （ｍ＋３－２）２＋ｈ＝１，
（３）政府对绿化带进行整改，将沿着ＥＦ右侧１ｍ范围内的绿植全部更换为花卉，花卉部分抽象为矩 ８ ８ ∵ＤＥ＝ＢＥ，∴ＡＦ＝ＢＥ．
形 ＥＭＮＰ，如图（３），已知 ＥＭ＝０．７５ｍ． １ １ ∵∠ＤＥＢ＝９０°，∴ＢＥ⊥ＤＥ，
∴－ （ｍ＋３－２）２＋ｈ－［－ （ｍ＋２）２＋ｈ］＝１，
①要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个整改后的绿化带，请直接写出 ＯＤ的取值范围． ８ ８ ∴ＢＥ⊥ＡＦ．
②半年之后，由于植物生长与修剪标准的变化，ＥＭ的高度变成了 １ｍ（绿植高度低于花卉高
解得ｍ＝２．５． 延长ＢＥ交ＡＦ的延长线于点Ｈ，则∠ＡＨＢ＝９０°，
１ ８１ ∴∠ＨＡＢ＋∠ＡＢＨ＝９０°．
度），喷水口也应适当升高，才能使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，已知上下两边 ∵－ （ｍ＋２）２＋ｈ＝０，∴ｈ＝ ， 图（２）
８ ３２ 易知∠ＣＡＢ＝∠ＣＢＡ＝４５°，
缘水流形状不变，求调整后喷水口高度的最小值．
８１ １ ６５ ∴∠２＋∠ＡＢＨ＝∠１＋∠ＡＢＨ＝４５°，
∴ｃ＝ － ＝ ． （１３分）
３２ ２ ３２
∴∠２＝∠１．
又∵ＡＣ＝ＢＣ，ＡＦ＝ＢＥ，
２３．（本题１３分）综合与实践
问题情境：已知△ＡＢＣ与△ＢＤＥ均为等腰直角三角形，（ＢＤ＜ＢＣ），∠ＡＣＢ＝∠ＤＥＢ＝９０°．
∴△ＡＣＦ≌△ＢＣＥ，
∴ＣＦ＝ＣＥ，∠ＡＣＦ＝∠ＢＣＥ．
猜想证明：（１）如图（１），当 ＢＣ，ＤＥ两线段的中点重合时，判断四边形 ＢＤＣＥ的形状，并说明理由．
又∵∠ＡＣＢ＝∠ＡＣＥ＋∠ＢＣＥ＝９０°，
拓展延伸：（２）连接 ＡＤ，点 Ｏ为 ＡＤ的中点，连接 ＯＣ，ＯＥ．
图（１） 图（２） 图（３） ∴∠ＦＣＥ＝∠ＡＣＦ＋∠ＡＣＥ＝∠ＢＣＥ＋∠ＡＣＥ＝９０°，
①如图（２），将△ＢＤＥ绕点 Ｂ旋转，在旋转过程中，试猜想 ＯＣ与 ＯＥ的数量关系与位置关
（１）由题意得，Ａ（２，２），Ｈ（０，１．５）． （１分） ∴△ＣＥＦ是等腰直角三角形．
系，并仅就图（２）的情形证明．
∵Ａ（２，２）是抛物线Ｌ的顶点， ∵ＯＥ＝ＯＦ，
１ ②在①的条件下，当点 Ｅ落在直线 ＡＤ上时，直线 ＡＤ与直线 ＢＣ相交于点 Ｐ，若 ＡＣ＝１３，
∴可设抛物线Ｌ的函数表达式为ｙ＝ａ（ｘ－２）２＋２， ∴ＯＣ＝ＯＥ，ＯＣ⊥ＯＥ． （１０分）
１ ＣＰ
将Ｈ（０，１．５）代入ｙ＝ａ（ｘ－２）２＋２， ＤＥ＝７，请直接写出 的值． ＣＰ ５ １２
② 的值为 或 ． （１３分）
ＢＰ ＢＰ ７ ７
１
得１．５＝４ａ＋２，解得ａ＝－ ，
解法提示：∵点Ｅ落在直线ＡＤ上，∴可分两种情况讨论．
８
Ⅰ如图（３），若点Ｅ在线段ＡＤ上，
１
∴抛物线Ｌ的函数表达式为ｙ＝－ （ｘ－２）２＋２． （３分） 由①，得ＯＣ＝ＯＥ，ＯＣ⊥ＯＥ，
１ ８
∴ＡＯ＝ＯＤ＝ＯＣ＋ＤＥ＝ＯＣ＋７．
（２）能． （４分）
在Ｒｔ△ＡＣＯ中，ＡＣ２＝ＯＣ２＋ＡＯ２，
理由：∵抛物线Ｌ的对称轴为直线ｘ＝２，
１ 即１３２＝ＯＣ２＋（ＯＣ＋７）２，∴ＯＣ＝５（负值已舍去）．
∴点（０，１．５）的对称点为（４，１．５）， 图（１） 图（２） 备用图
∵ＯＣ⊥ＯＥ，∠ＢＥＤ＝９０°，
∴抛物线Ｌ ２ 是由抛物线Ｌ １ 向左平移４ｍ得到的， （１）四边形ＢＤＣＥ是平行四边形． （１分） ∴ＯＣ∥ＢＥ， 图（３）
１ 理由：设ＢＣ，ＤＥ两线段的中点重合于点Ｇ．
∴抛物线Ｌ的函数表达式为ｙ＝－ （ｘ＋２）２＋２． （５分） ∴△ＯＣＰ∽△ＥＢＰ，
２ ８ ∵点Ｇ是ＢＣ，ＤＥ的中点，
ＣＰ ＯＣ ５
１ ∴ＢＧ＝ＣＧ，ＤＧ＝ＥＧ， ∴ ＝ ＝ ．
令－ （ｘ＋２）２＋２＝０，解得ｘ＝２，ｘ＝－６（舍去）， ＢＰ ＢＥ ７
８ １ ２ ∴四边形ＢＤＣＥ是平行四边形． （３分）
Ⅱ如图（４），若点Ｅ在线段ＡＤ的延长线上，
∴ＯＢ＝２，∴当点Ｂ与点Ｄ重合时，ＯＥ＝５． （２）①ＯＣ＝ＯＥ，ＯＣ⊥ＯＥ． （５分）
由①，得ＯＣ＝ＯＥ，ＯＣ⊥ＯＥ，
１ ７ 证法一：如图（１），分别取ＡＢ，ＢＤ的中点Ｍ，Ｎ，连接ＯＭ，ＣＭ，ＯＮ，ＥＮ．
将ｘ＝５代入ｙ＝－ （ｘ－２）２＋２，得ｙ＝ ＞０．５． ∴ＡＯ＝ＯＤ＝ＯＣ－ＤＥ＝ＯＣ－７．
８ ８ ∵△ＡＢＣ为等腰直角三角形，∠ＡＣＢ＝９０°，Ｍ为ＡＢ的中点， 在Ｒｔ△ＡＣＯ中，ＡＣ２＝ＯＣ２＋ＡＯ２，
∴洒水车喷出的水能浇灌到整个绿化带． （６分） ∴ＣＭ＝ １ ＡＢ，∠ＡＭＣ＝９０°． 即１３２＝ＯＣ２＋（ＯＣ－７）２，∴ＯＣ＝１２（负值已舍去）．
２
（３）①２ｍ≤ＯＤ≤（槡１０－１）ｍ． （８分） ∵ＯＣ⊥ＯＥ，∠ＢＥＤ＝９０°，
又∵Ｏ为ＡＤ的中点，
解法提示：由（２）知ＯＢ＝２，∴ＯＤ≥２． ∴ＯＣ∥ＢＥ，
∴ＯＭ为△ＡＢＤ的中位线，
∵ＥＭ＝０．７５，∴点Ｍ的纵坐标为０．７５． ∴△ＯＣＰ∽△ＥＢＰ，
１
１ ∴ＯＭ＝ ＢＤ，ＯＭ∥ＢＤ!"#$’()5V+_‘/， 图（１） ＣＰ ＯＣ １２
令－ （ｘ－２）２＋２＝０．７５， ２ ∴ ＝ ＝ ．
８ ＢＰ ＢＥ ７
∴∠ＡＭＯ＝∠ＡＢＤ，∴∠ＣＭＯ＝９０°－∠ＡＢＤ．
ＣＰ ５ １２
解得ｘ＝２＋ 槡１０或ｘ＝２－ 槡１０．
１ １ 综上， 的值为 或 ．
同理可得ＥＮ＝ ＢＤ，ＯＮ＝ ＡＢ，ＯＮ∥ＡＢ，∠ＯＮＥ＝９０°－∠ＡＢＤ， ＢＰ ７ ７ 图（４）
∵ｘ＞０，∴ｘ＝２＋ 槡１０． ２ ２
∵ＤＥ＝３，洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个整改后的绿化带， ∴ＣＭ＝ＯＮ，ＯＭ＝ＥＮ，∠ＣＭＯ＝∠ＯＮＥ，
∴ＯＤ≤２＋ 槡１０－３＝ 槡１０－１， ∴△ＯＣＭ≌△ＥＯＮ，
∴ＯＣ＝ＯＥ，∠ＯＣＭ＝∠ＥＯＮ．
∴ＯＤ的取值范围为２ｍ≤ＯＤ≤（槡１０－１）ｍ．
∵ＯＮ∥ＡＢ，ＣＭ⊥ＡＢ，∴ＣＭ⊥ＯＮ，
②设调整出水口高度后水流上边缘抛物线为抛物线Ｌ，水流下边缘抛物线为抛物线Ｌ．
３ ４ ∴∠ＣＯＥ＝∠ＥＯＮ＋∠ＮＯＣ＝∠ＯＣＭ＋∠ＮＯＣ＝９０°，
１ １
设抛物线Ｌ的函数表达式为ｙ＝－ （ｘ－２）２＋ｈ，则抛物线Ｌ的函数表达式为ｙ＝－ （ｘ＋２）２＋ｈ． ∴ＯＣ⊥ＯＥ． （１０分）
３ ８ ４ ８
证法二（倍长类中线法）：如图（２），延长ＥＯ到点Ｆ，使得ＯＦ＝ＯＥ，连接ＡＦ，ＣＦ，ＣＥ．
１ １
设调整后喷水口高度为ｃｍ，则－ ×（０－２）２＋ｈ＝ｃ，得ｃ＝ｈ－ ． （１１分） ∵ＯＡ＝ＯＤ，∠ＡＯＦ＝∠ＤＯＥ，
８ ２ ∴△ＡＯＦ≌△ＤＯＥ，
当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点Ｍ，Ｄ恰好分别在抛物线Ｌ，Ｌ上． ∴∠ＯＡＦ＝∠ＯＤＥ，ＡＦ＝ＤＥ，
３ ４
山西中考４５套汇编·数学 １７— ７ 山西中考４５套汇编·数学 １７— ８ 山西中考４５套汇编·数学 １７— ９８．如图，点 Ａ，Ｂ，Ｃ在⊙Ｏ上，点 Ｄ是⊙Ｏ外一点，且 ＣＤ，ＡＤ与⊙Ｏ相切．若∠Ｄ＝４０°，则∠ＡＢＣ的度数为
!$
（Ｃ）
２０２６年山西省中考命题信息原创卷（三）
Ａ．７５° Ｂ．７２．５° Ｃ．７０° Ｄ．６７．５°
数 学
（满分１２０分，考试时间１２０分钟）
第Ⅰ卷 选择题（共 ３０分）
（第８题） （第９题） （第１０题）
一、选择题（本大题共１０个小题，每小题３分，共３０分） ９． !() *+,-. 容积式压缩机是依靠压缩腔的内部容积缩小来提高气体或蒸气压力的压缩机，
１
１．－ 的绝对值为 （Ｂ）
是压缩机的一类，主要应用于工业生产领域．在某容器中压缩一定质量气体的过程中，气体的密度 ρ（单位：
５
ｍ
ｋｇ／ｍ３）与气体的体积Ｖ（单位：ｍ３）是反比例函数关系（即ρ＝ ，其中ｍ是气体的质量），图象如图所示，则下
１ １
Ｖ
Ａ．５ Ｂ． Ｃ．－５ Ｄ．－
５ ５
列结论中错误的是 （Ｄ）
２．体育是运动的艺术，运动是体育的灵魂．下列关于体育运动的图标中，可以看作轴对称图形的是 （Ａ）
Ａ．该容器中的气体质量为１２ｋｇ
Ｂ．该容器内气体的密度 ρ随着气体的体积 Ｖ的增大而减小
Ｃ．当 Ｖ＝８ｍ３时，ρ＝１．５ｋｇ／ｍ３
Ｄ．当 ρ≤５ｋｇ／ｍ３时，Ｖ≥２．５ｍ３
１０．如图，△ＡＢＥ≌△ＢＣＦ≌△ＣＡＤ，且点 Ｄ，Ｅ，Ｆ分别在 ＣＦ，ＡＤ，ＢＥ上，延长 ＢＤ交 ＡＣ于点 Ｇ．若 Ｅ为 ＡＤ中
３．下列计算正确的是 （Ｃ） 点，则下列结论不正确的是 （Ｃ）
Ａ．（－ａ２）３＝－ａ５ Ｂ．（－ａ３）２＝－ａ６ Ｃ．（－ａ２）·ａ３＝－ａ５ Ｄ．ａ６÷ａ２＝ａ３ Ａ．△ＤＥＦ是等边三角形 Ｂ．∠ＦＤＢ＝３０°
４． !"# tuv 图（１）所示的鲁班锁是中国传统益智玩具，图（２）是鲁班锁其中一个组件的示 Ｃ．ＢＤ＝２ＤＧ Ｄ．ＡＧ＝４ＣＧ
意图，则该组件的左视图是 （Ａ）
第Ⅱ卷 非选择题（共 ９０分）
二、填空题（本大题共５个小题，每小题３分，共１５分）
２ｘ－１
１１．不等式 ＞１的解集为 ｘ＞２ ．
３
图（１） 图（２） １２．某商品每件成本为 ａ元，按成本增加 ５０％定价，现由于库存积压减价，按定价的 ８０％出售，则现在每件商
５．“量子计算，未来已来”．据新华社报道，中国科学家成功构建了 １０５比特超导量子计算原型机“祖冲 品的售价为 １．２ａ 元．
之三号”，其处理量子随机线路采样问题的速度大约是目前最快的超级计算机的 １０１５倍．若目前最快 １３． !FG wxyz{|YZ 如图，ＡＢ为半圆Ｏ的直径，将一块含３０°角的三角板的一个顶点与 Ａ点
的超级计算机完成某项任务需要１０１２秒，那么“祖冲之三号”完成该项任务需要的时间用科学记数法
可表示为 （Ａ）
重合，三角板的两边分别与半圆Ｏ相交于点Ｃ，Ｄ．若ＣＤ＝ 槡３，则ＣＤ
Ａ．１×１０－３秒 Ｂ．１×１０２７秒 Ｃ．０．００１秒 Ｄ．１０×１０－４秒
６．若一次函数 ｙ＝ａｘ＋ｂ的图象经过第一、二、四象限，则点（ａ，ｂ）在 （Ｂ）
Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限
７． !FG L‘YZ 从边长为 ａ的大正方形纸板正中央挖去一个边长为 ｂ的小正方形后，将其
裁成四个大小和形状完全相同的四边形（如图（１）），然后拼成一个平行四边形（如图（２））．此操作可
以验证成立的等式为 （Ｄ）
图（１） 图（２）
Ａ．ａ２－ｂ２＝（ａ－ｂ）２ Ｂ．（ａ＋ｂ）２＝ａ２＋２ａｂ＋ｂ２
Ｃ．（ａ－ｂ）２＝ａ２－２ａｂ＋ｂ２ Ｄ．ａ２－ｂ２＝（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）
山西中考４５套汇编·数学 １８— １ 山西中考４５套汇编·数学 １８— ２ 山西中考４５套汇编·数学 １８— ３
)
２π
的长为 ．
３
（第１３题） （第１５题）
１４． !"# !$F}~ 山西作为第五批高考综合改革省份之一，从２０２５年起，山西普通高考实行“３＋
１＋２”模式选科制度，具体信息如下：
１５．如图，在△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝９０°，ＡＢ＝６，ＡＣ＝８，Ｄ，Ｅ分别为 ＢＣ，ＡＣ上的点，且∠ＡＤＥ＝４５°，ＢＤ∶ＤＣ＝１∶
４，则ＡＥ的长为 ４ ．
三、解答题（本大题共８个小题，共７５分）
１６．（本题共２个小题，每小题５分，共１０分）
１ １ ２ｘ
（１）计算：－２７＋８ｃｏｓ３０°＋（－ ）－１． （２）先化简，再求值： － ，其中 ｘ＝２＋ ３．
２ ｘ＋２ｘ２－４
槡３
（１）原式＝－３槡３＋８× －２ （３分）
２
＝－３槡３＋４槡３－２ （４分）
＝ 槡３－２． （５分）
ｘ－２ ２ｘ
（２）原式＝ － （２分）
（ｘ＋２）（ｘ－２）（ｘ＋２）（ｘ－２）
－２－ｘ
＝ （３分）
（ｘ＋２）（ｘ－２）
１
＝－ ． （４分）
ｘ－２
１ 槡３
当 ｘ＝２＋ 槡３时，原式＝－ ＝－ ． （５分）
２＋ 槡３－２ ３
１７．（本题７分）如图，已知矩形 ＡＢＣＤ．
（１）尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，过点 Ｄ作 ＢＤ的垂线，交 ＢＣ的延长
线于点 Ｐ．
（要求：不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑）
（２）在（１）的条件下，求证：△ＡＢＤ∽△ＣＰＤ．
（１）作图如图所示． （３分）
（２）证明：∵四边形ＡＢＣＤ是矩形，
∴∠Ａ＝∠ＡＤＣ＝∠ＢＣＤ＝９０°，
∴∠ＤＣＰ＝９０°＝∠Ａ，∠１＋∠２＝９０°． （４分）
又∵∠２＋∠３＝∠ＢＤＰ＝９０°，
∴∠１＝∠３， （６分）
∴△ＡＢＤ∽△ＣＰＤ． （７分）
１８．（本题８分）２０２５年４月２３日至２５日，以“培育读书风尚 建设文化强国”为主题的第四届全民阅读
大会在太原举办．某中学组织全校学生开展了“阅读进校园”的读书活动，王老师为了解全校学生平
均每周的课外阅读时间，抽取了 ３０名学生，调查其平均每周的课外阅读时间（单位：ｈ），并整理分
析，过程如下：
【收集数据】
４，４，３，３，５，５，５，７，７，７，７，６，６，６，６，６，６，８，８，８，８，９，９，１０，１０，１０，１１，１１，１２，１２．
【整理数据】
将收集的３０个数据分为 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ五组进行整理统计，并绘制了如图
所示的不完整的条形统计图（说明：Ａ．３≤ｔ＜５；Ｂ．５≤ｔ＜７；Ｃ．７≤ｔ＜９；
Ｄ．９≤ｔ＜１１；Ｅ．１１≤ｔ＜１３．其中 ｔ表示阅读时间）．
【数据分析】
统计量 平均数 众数 中位数
阅读时间／ｈ ７．３ ｍ ｎ
１．“３”：语文、数学、外语３门全国统一高考科目；
请根据以上信息，解答下列问题：
２．“１”：物理、历史２门首选科目中的１门；
（１）在抽取３０名学生调查其平均每周的课外阅读时间时，以下样本选择
３．“２”：思想政治、地理、化学、生物学４门再选科目中的２门．
比较合适的是 （Ｄ）
１
若明明同学从４门再选科目中随机选择２门，则恰好选到思想政治和化学的概率为 ． Ａ．九年级（１）班３０名学生平均每周的课外阅读时间
６Ｂ．九年级６个班每班任意５名学生平均每周的课外阅读时间 ＢＣ （１）没有 ６０ （２分）
（１）在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ａ＝２０°，ｔａｎＡ＝ ，
Ｃ．七、八、九年级３０名语文课代表平均每周的课外阅读时间 ＡＢ （２）丁丑 ３５ （４分）
Ｄ．七、八、九年级各班学号为６的３０名学生平均每周的课外阅读时间 ＢＣ ２４ 解法提示：观察规律，６０年为一个周期，故建军６０周年是丁卯年，按照规律可知建军７０周年是丁丑年．
∴ＡＢ＝ ≈ ≈６７（ｃｍ）．
（２）补全条形统计图． ｔａｎＡ ０．３６ 戊辰年是第５年，戊寅年是第１５年，则戊子年是第２５年，戊戌年是第３５年．
（３）填空：ｍ＝ ６ ，ｎ＝ ７ ． 答：眼睛与屏幕的距离约为６７ｃｍ． （３分） （３）设甲辰年小红的年龄为ｘ岁，则弟弟的年龄为（ｘ－５）岁，爸爸的年龄为２（ｘ＋ｘ－５）岁，
（４）已知该校有８００名学生，请估计该校学生中平均每周课外阅读时间不少于９ｈ的人数． （２）如图，延长ＦＥ交ＤＧ于点Ｍ，则ＦＭ⊥ＤＭ，ＭＧ＝ＦＨ＝７２ｃｍ，
根据题意，得ｘ＋２０＋（ｘ－５＋２０）＝２（ｘ＋ｘ－５）＋２０＋１，
（１）Ｄ （２分）
解得ｘ＝１２．
（２）补全的条形统计图如图所示． （４分）
根据规律可知，甲辰年及其前１２年的天干与地支如下：
壬 癸 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 甲 …
辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 子 丑 寅 卯 辰 …
由表格可知，小红是壬辰年出生的． （９分）
２２．（本题１３分）综合与实践
根据以下素材，探索完成任务．
∴ＤＭ＝ＤＧ－ＭＧ＝１００－７２＝２８（ｃｍ）． （５分）
厂家设计了抛物线形遮阳棚，其侧面示意图如
当∠ＤＥＦ＝１００°时，∠ＤＥＭ＝８０°．
图（１）所示．曲线 ＡＢ为遮阳棚，ＡＣ为遮阳棚
ＤＭ
（３）６ ７ （６分）
在Ｒｔ△ＤＥＭ中，ＤＥ＝３０ｃｍ，ｓｉｎ∠ＤＥＭ＝ ， １
５＋４ ＤＥ 安装在窗户上方的支架，为 ｍ，ＡＢ⊥ＡＣ，线
（４）８００× ＝２４０（人）． ２
３０ ∴ＤＭ＝ＤＥ·ｓｉｎ∠ＤＥＭ＝３０·ｓｉｎ８０°≈３０×０．９８≈２９（ｃｍ）．
素材一 段ＡＢ的长度称为遮阳棚的跨度，为２ｍ．已知
答：该校学生中平均每周课外阅读时间不少于９ｈ的人数约为２４０人． （８分） ２９－２８＝１（ｃｍ）．
１
１９．（本题７分）为了进一步推动人工智能创新产业的发展，某企业在２０２４年投入了２０亿元作为研发资 答：桌面应下调１ｃｍ才能使肘部形成的“手肘角”β为１００°． （８分） 遮阳棚ＡＢ所在的抛物线与抛物线 ｙ＝ ｘ２的
４
金，并计划在未来两年（即２０２５年和２０２６年）内再投入７５亿元用于研发．若该企业每年的计划研发投
２１．（本题９分） !"# (cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:130) 阅读与思考 形状相同，ＣＯ为小青家的落地窗户，以点 Ｏ 图（１）
入资金的增长率相同，求该企业２０２５年和２０２６年的计划研发投入资金分别是多少元．
请阅读下列科普材料，并完成相应的任务． 为坐标原点建立平面直角坐标系．
设该企业每年的计划研发投入资金的增长率为ｘ．
根据题意，得２０（１＋ｘ）＋２０（１＋ｘ）２＝７５， （３分） 干支纪年
２０２５年春节前夕，小青想在遮阳棚顶部挂上４
７ 干支纪年是中国传统的纪年方法，由十个天干和十二个地支搭配而成（如图），
化简，得ｘ２＋３ｘ－ ＝０， 排如图（２）所示的小灯笼，每相邻两排小灯笼
４
的间距为ｄｍ，内外两侧灯笼的下底端（点 Ｎ）
解得ｘ＝０．５，ｘ＝－３．５（不合题意，舍去）， 素材二
１ ２
与遮阳棚支架的上沿（点 Ａ）的铅垂高度为
∴２０（１＋ｘ）＝３０，２０（１＋ｘ）２＝４５．
００２ｍ，灯笼顶端（点 Ｍ）与遮阳棚上悬挂点
答：该企业２０２５年和２０２６年的计划研发投入资金分别是３０亿元和４５亿元． （７分）
２０．（本题８分）现在人们经常使用电脑，若坐姿不正确，容易造成眼睛疲劳，腰酸颈痛，使用电脑时的科 （点Ｄ）的距离为ｓｍ，如图（３）．
图（２） 图（３）
学坐姿是：眼睛望向显示器屏幕时，“视线角”α为 ２０°（望向屏幕上边缘的水平视线与望向屏幕中心
十个天干与十二个地支中的前十个分别按顺序搭配，例如天干之“甲”与地支之“子”相搭配，便形成了干支纪年的第
的视线的夹角），小臂水平放在桌面上，肘部形成的“手肘角”β为１００°，如图（１）所示．
一个组合“甲子”，然后“乙”与“丑”搭配，形成“乙丑”，等等，第一个十年如下：
（１）如图（２），当水平视线 ＡＢ与屏幕 ＢＣ垂直，“视线角”α为 ２０°，ＢＣ＝２４ｃｍ时，求眼睛与屏幕的距 如图（４），为加固遮阳棚，要安装支撑架 ＢＣ和
离为多少厘米； ０１ ０２ ０３ ０４ ０５ ０６ ０７ ０８ ０９ １０ 素材三 ＥＦ，其中点 Ｅ在 ＢＣ上，点 Ｆ在抛物线上，且
（２）如图（３），肩膀到水平地面的距离 ＤＧ＝１００ｃｍ，大臂 ＤＥ＝３０ｃｍ，小臂水平放在桌面 ＥＦ上，桌 ＢＣ⊥ＥＦ．
甲子 乙丑 丙寅 丁卯 戊辰 己巳 庚午 辛未 壬申 癸酉
面到地面的距离 ＦＨ＝７２ｃｍ，通过计算发现此时 β大于 １００°，不符合科学坐姿，求桌面应下调多
第二个十年是把前一个十年未参与的“戌”和“亥”排在地支最前面，后面依次是“子、丑、寅……”，天干和地支仍按顺 图（４）
少厘米才能使肘部形成的“手肘角”β为１００°．
獉獉獉
（所有结果均精确到个位．参考数据：ｓｉｎ２０°≈０．３４，ｃｏｓ２０°≈０９４，ｔａｎ２０°≈０．３６，ｓｉｎ８０°≈０．９８， 序搭配，得到组合如下： 解决问题
ｃｏｓ８０°≈０．１７，ｔａｎ８０°≈５．６７） １１ １２ １３ １４ １５ １６ １７ １８ １９ ２０ 任务１ 素材一中，ＣＯ＝２ｍ，求素材一中遮阳棚所在抛物线的函数表达式．
甲戌 乙亥 丙子 丁丑 戊寅 己卯 庚辰 辛巳 壬午 癸未 任务２ 素材二中，当ｓ＝０．０６时，求ｄ的值．
第三个十年从“甲申”开始，依此类推，周而复始． 任务３ 求素材三中支撑架最长共多少米．
任务：
１ ５ ２
（１）干支纪年中 ，没有 甲丑年（填“有”或“没有”）；干支纪年的一个周期为 ６０ 年． 任务１ 根据题意，可知抛物线过点（０， ＋２），即（０， ），对称轴为直线ｘ＝ ＝１，
２ ２ ２
（２）中国人民解放军诞生于丁卯年，建军７０周年是 丁丑 年（填干支组合）；在一个周期内，甲子年是第１
１
由遮阳棚ＡＢ所在的抛物线与抛物线ｙ＝ ｘ２的形状相同，抛物线开口向下，可设抛物线的函数表达式为ｙ＝－
年，戊戌年是第 ３５ 年（填序号）． ４
（３）小红是七年级学生，她的弟弟比她小５岁，甲辰年小红和弟弟的年龄之和刚好是爸爸年龄的一半，２０ １
ｘ２＋ｂｘ＋ｃ，
图（１） 图（２） 图（３） 年以后，小红和弟弟年龄之和比爸爸的年龄大１岁．用干支纪年表示，小红是哪一年出生的． ４
山西中考４５套汇编·数学 １８— ４ 山西中考４５套汇编·数学 １８— ５ 山西中考４５套汇编·数学 １８— ６５ ５ １ １
２３．（本题１３分） !FG !(cid:131)(cid:132)(cid:133)(cid:134)(cid:135)UV. 综合与探究
将（０， ）代入，可得ｃ＝ ， ∴ＡＧ＝ＯＧ＝ ＡＯ＝ ×４＝２．
２ ２ ２ ２
学习了矩形和正方形的知识后，同学们对于特殊平行四边形的性质有了一定程度的了解．某班数学兴趣
ｂ １
令－ ＝１，得ｂ＝ ． 小组发现对于平面内的一个四边形ＡＢＣＤ，Ｏ是ＡＤ上一点，连接ＢＯ，ＣＯ，存在点Ｏ，使得ＯＢ＝ＯＣ且ＯＢ⊥
∴ＣＨ＝ＯＧ＝２，ＯＨ＝ＢＧ＝槡ＢＯ２－ＯＧ２＝槡（２槡５）２－２２＝４，
１ ２
２×（－
４
） ＯＣ，我们称四边形 ＡＢＣＤ是“可等垂四边形”，点 Ｏ为四边形 ＡＢＣＤ的“等垂点”． ∴ＨＤ＝槡ＣＤ２－ＣＨ２＝槡（２槡５）２－２２＝４，
１ １ ５ 初步探索 ∴ＯＤ＝ＯＨ＋ＨＤ＝４＋４＝８． （１０分）
∴遮阳棚所在抛物线的函数表达式为ｙ＝－ ｘ２＋ ｘ＋ ． （３分）
４ ２ ２ （１）如图（１），矩形 ＡＢＣＤ是“可等垂四边形”，Ｏ是它的“等垂点”，则 ＡＢ和 ＡＤ的数量关系 ２５
（３）Ｃ，Ｄ两点之间的距离为 或槡６５． （１３分）
任务２ ｓ＝０．０６，０．０６＋０．０８＋０．０２＝０．１６，２．５＋０．１６＝２．６６． 是 ＡＤ＝２ＡＢ ． ７
解法提示：∵∠ＤＡＭ＝９０°，ＡＭ＝６，ＤＭ＝１０，∴ＡＤ＝８．
１ １ ５ ２ ８ 类比探究
令－ ｘ２＋ ｘ＋ ＝２．６６，解得ｘ＝ ，ｘ＝ ，
４ ２ ２ １ ５ ２ ５ （２）如图（２），四边形 ＡＢＣＤ是“可等垂四边形”，Ｏ是它的“等垂点”，分别过点 Ｂ，Ｃ作 ＡＤ的垂线，垂足分 由题意，得点Ｂ，Ｃ均不可能在边ＡＤ上，故分两种情况讨论．
８ ２ ２ １
ｄ＝（ － ）÷３＝ ． 别为 Ｇ和 Ｈ． ａ．当点Ｂ在边ＡＭ上，点Ｃ在边ＭＤ上，且四边形ＡＢＣＤ为“可等垂四边形”时，如图（２），则ＡＢ＝ ＡＭ＝３．
５ ５ ５ ２
①请写出 ＢＧ，ＣＨ，ＧＨ之间的数量关系，并证明；
２
故ｄ的值为 ． （７分） ②若 ＡＢ＝ＯＢ＝ＣＤ＝２５，ＡＯ＝４，求 ＯＤ的长．
５
拓展应用
５ 槡１７
任务３ 易知 Ｃ（０，２），Ｂ（２， ），ＢＣ＝ ｍ，可设直线 ＢＣ的函数表达式为 ｙ＝ｍｘ＋ｎ， （３）如图（３），在Ｒｔ△ＡＭＤ中，ＡＭ＝６，ＤＭ＝１０，∠ＤＡＭ＝９０°，点Ｂ，Ｃ为Ｒｔ△ＡＭＤ中不在同一边上的两点，
２ ２
且点 Ｂ为所在边的中点，若以 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ为顶点的四边形是“可等垂四边形”，请直接写出 Ｃ，Ｄ两点
图（２）
５
将 Ｃ（０，２），Ｂ（２， ）分别代入， 之间的距离．
设点Ｏ为“等垂点”，连接ＢＯ，ＣＯ，过点Ｃ作ＣＥ⊥ＡＤ于点Ｅ，则ＣＥ∥ＡＭ．
２
易证△ＢＡＯ≌△ＯＥＣ，∴ＯＥ＝ＡＢ＝３，ＣＥ＝ＡＯ．
{ｎ＝２， { １
ｍ＝ ，
设ＣＥ＝ＡＯ＝ｘ，则ＤＥ＝５－ｘ．
可得 ５解得 ４
２ｍ＋ｎ＝ ， ∵ＣＥ∥ＡＭ，∴△ＤＣＥ∽△ＤＭＡ，
２ ｎ＝２，
ＣＥ ＤＥ ＣＤ ｘ ５－ｘ ＣＤ １５
１ ∴ ＝ ＝ ，即 ＝ ＝ ，解得ｘ＝ ，
∴直线 ＢＣ的函数表达式为 ｙ＝ ｘ＋２． ＭＡ ＤＡ ＭＤ ６ ８ １０ ７
４ 图（１） 图（２） 图（３）
２５
过点 Ｆ作 ｘ轴的垂线，交 ＢＣ于点 Ｇ，如图，则 ＦＧ∥ＡＣ，∴∠ＦＧＥ＝∠ＡＣＢ， （１）ＡＤ＝２ＡＢ （２分） ∴ＣＤ＝ ．
７
解法提示：如图（１），过点 Ｏ作 ＯＰ⊥ＢＣ于点 Ｐ，则ＡＢ＝ＰＯ．
１
ｂ．当点Ｂ在边ＤＭ上，点Ｃ在边ＡＭ上，且四边形ＡＣＢＤ为“可等垂四边形”时，如图（３），则ＢＤ＝ ＤＭ＝５．
２
图（１）
∴ｓｉｎ∠ＦＧＥ＝ｓｉｎ∠ＡＣＢ＝
ＡＢ
＝
４槡１７
， ∵矩形ＡＢＣＤ是“可等垂四边形”，Ｏ是它的“等垂点”，
ＢＣ １７ 图（３）
∴ＯＢ＝ＯＣ，ＯＢ⊥ＯＣ，∴△ＢＯＣ是等腰直角三角形，
设点Ｏ为“等垂点”，连接ＢＯ，ＣＯ，过点Ｂ作ＢＦ⊥ＡＤ于点Ｆ，则ＢＦ∥ＡＭ，
４槡１７ ∴ＢＰ＝ＯＰ＝ＣＰ，∴ＡＢ＝ＢＰ＝ＣＰ，
∴ＥＦ＝ＦＧｓｉｎ∠ＦＧＥ＝ ＦＧ． ∴△ＤＢＦ∽△ＤＭＡ，
１７ ∴ＢＣ＝２ＡＢ，即ＡＤ＝２ＡＢ．
ＢＦ ＤＦ ＤＢ １
１ １ ５ １ （２）①ＧＨ＝ＢＧ＋ＣＨ． （３分） ∴ ＝ ＝ ＝ ，∴ＢＦ＝３，ＤＦ＝４，
设点 Ｆ的横坐标为 ｅ，则 Ｆ（ｅ，－ ｅ２＋ ｅ＋ ），Ｇ（ｅ， ｅ＋２）， ＭＡ ＤＡ ＤＭ ２
４ ２ ２ ４ 证明：∵ＢＧ⊥ＡＤ，ＣＨ⊥ＡＤ，
∴ＡＦ＝ＡＤ－ＤＦ＝４．
１ １ ５ １ １ １ １ １ １ ９ ∴∠ＯＧＢ＝∠ＣＨＯ＝９０°，∴∠ＧＢＯ＋∠ＢＯＧ＝９０°．
∴ＦＧ＝－ ｅ２＋ ｅ＋ －（ ｅ＋２）＝－ ｅ２＋ ｅ＋ ＝－ （ｅ－ ）２＋ ， 易证△ＣＡＯ≌△ＯＦＢ，
４ ２ ２ ４ ４ ４ ２ ４ ２ １６ ∵四边形ＡＢＣＤ是“可等垂四边形”，Ｏ是它的“等垂点”，
∴ＯＡ＝ＢＦ＝３，ＣＡ＝ＯＦ＝ＡＦ－ＯＡ＝１．
∴ＯＢ＝ＯＣ，ＯＢ⊥ＯＣ，
∴当ｅ＝
１
时，ＦＧ最大，最大值为
９
，此时ＥＦ＝
４槡１７
×
９
＝
９槡１７
， 连接ＣＤ，则ＣＤ＝槡ＡＣ２＋ＡＤ２＝槡１２＋８２＝ 槡６５．
２ １６ １７ １６ ６８
∴∠ＢＯＧ＋∠ＨＯＣ＝９０°，∴∠ＧＢＯ＝∠ＨＯＣ，
２５
∴△ＧＢＯ≌△ＨＯＣ（;<$*-+’=(.a%XY/， 综上，Ｃ，Ｄ两点之间的距离为 或槡６５．
槡１７ ９槡１７ ４３槡１７ ７
∴ＢＣ＋ＥＦ＝ ＋ ＝ ． ∴ＯＧ＝ＣＨ，ＢＧ＝ＯＨ，
２ ６８ ６８
∴ＧＨ＝ＧＯ＋ＯＨ＝ＢＧ＋ＣＨ． （６分）
４３槡１７
故支撑架最长共 ｍ． （１３分） ②在△ＡＢＯ中，ＡＢ＝ＯＢ，ＢＧ⊥ＡＯ，
６８
山西中考４５套汇编·数学 １８— ７ 山西中考４５套汇编·数学 １８— ８ 山西中考４５套汇编·数学 １８— ９８．如图，点 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ在⊙Ｏ上，且 ＡＢ∥ＯＣ．若∠Ａ＝７０°，则∠ＢＤＣ的度数为 （Ｃ）
!%
Ａ．４５° Ｂ．４０° Ｃ．３５° Ｄ．３０°
２０２６年山西省中考命题信息原创卷（四）
９． !/0 B(cid:139)(cid:140)(cid:141)E(cid:142)(cid:143) “飞行棋”是一种竞技游戏．游戏规则（部分）是：游戏时抛掷一枚质地均匀
的正四面体骰子（每个面的点数分别为１，２，３，４），根据掷得的点数移动棋子．例如，如图是飞行棋棋盘的一部
数 学
分，当棋子在ａ处时，掷得１点，就移动１格到ｂ处，掷得２点，就移动２格到 ｃ处……在某局游戏过程中，一
枚棋子停在ａ处，掷２次骰子后，该棋子恰好停到ｅ处的概率为 （Ｄ） （满分１２０分，考试时间１２０分钟）
１ １ １ ３
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
第Ⅰ卷 选择题（共 ３０分） １６ １２ ８ １６
一、选择题（本大题共１０个小题，每小题３分，共３０分）
１．下面四个实数中，最小的是 （Ｂ）
Ａ．３ Ｂ．－３ Ｃ．π Ｄ．－２
２．地铁的出现和发展，极大地便利了市民的出行，提升了城市运行效率．下列四幅轨道交通标志图案是
轴对称图形的是 （Ｃ）
（第９题） （第１０题）
１０．如图，在△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝９０°，ＢＣ＝４，ＡＢ＝４槡３，Ｄ为 ＡＢ上一点，以点 Ｂ为圆心，ＢＤ为半径作弧，交 ＢＣ于
点Ｅ，ＤＥ
３．下列运算正确的是 （Ｄ）
Ａ．ｘ２＋ｘ３＝ｘ５ Ｂ．３ｘ３－ｘ２＝２ｘ
Ｃ．２ｘ２·３ｘ３＝５ｘ６ Ｄ．（２ｘ４）２＝４ｘ８
４．２０２５年 ４月 １５日是第十个全民国家安全教育日．如图是写有“国”“家”“安”“全”
“教”“育”六个汉字的正方体的一种展开图，则在原正方体中，与“国”字所在面相对的
面上的汉字是 （Ｃ）
Ａ．家 Ｂ．全 Ｃ．教 Ｄ．育
５．矩形具有而菱形不具有的性质是 （Ａ）
Ａ．对角线相等 Ｂ．每条对角线平分一组对角
Ｃ．对角线互相平分 Ｄ．对角线互相垂直
６． !/0 (cid:136)3(cid:137)(cid:138) 为落实沙漠治理工程，一输水管道从甲地沿北偏西６９°方向修建到乙地，再沿北
偏东３１°方向修建到丙地，如图所示，继续修建时，若要保持与原来的方向一致，则∠１的度数为 （Ｃ）
Ａ．８０° Ｂ．９０° Ｃ．１００° Ｄ．１２０°
（第６题） （第８题）
１ ｘ
７．化简（１－ ）÷ 的结果是 （Ａ）
ｘ＋１ ｘ２－１
ｘ－１
Ａ．ｘ－１ Ｂ．ｘ＋１ Ｃ．１－ｘ Ｄ．
ｘ
山西中考４５套汇编·数学 １９— １ 山西中考４５套汇编·数学 １９— ２ 山西中考４５套汇编·数学 １９— ３
)
三、解答题（本大题共８个小题，共７５分）
１６．（本题共２个小题，每小题５分，共１０分）
{ｘ＋３＞０，
（１）计算：－２２－｜－１｜＋（３－π）０－２ｔａｎ６０°． （２）解不等式组：
２ｘ－１＜５ｘ．
（１）原式＝－４－１＋１－２槡３ （３分）
＝－４－２槡３． （５分）
（２）解不等式ｘ＋３＞０，得ｘ＞－３． （２分）
１
解不等式２ｘ－１＜５ｘ，得ｘ＞－ ． （４分）
３
１
故原不等式组的解集为ｘ＞－ ． （５分）
３
１７．（本题７分）某品牌手机研发部门在研发一新款手机时，针对摄像头功能，设计了Ａ，Ｂ两种影像技术
方案，为了确定最终上市的方案，研发部门分别使用搭载 Ａ，Ｂ两种影像方案的样机拍摄了测试样片
（样片内容一样），并邀请１０位专家对测试样片进行打分（满分１０分），结果如下：
ａ．得分情况统计表：
专家编号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０
Ａ种方案得分 ９ ８ ９ ７ ８ ８ ８ ９ ８ ７
与ＡＣ相切于点Ｆ；再以点Ａ为圆心，ＡＦ为半径作弧，交ＡＢ于点Ｇ，则阴影部分的面积为 （Ｂ） Ｂ种方案得分 ５ １０ ９ ７ １０ １０ ５ ８ ７ １０
Ａ．４π－３槡３ Ｂ．５π－６槡３ Ｃ．５π－３槡３ Ｄ．４π－６槡３ ｂ．得分情况数据分析表：
统计量 平均数 中位数 众数 方差
第Ⅱ卷 非选择题（共 ９０分）
Ａ种方案得分 ８．１ ８ ｎ ｓ２
Ａ
Ｂ种方案得分 ８．１ ｍ １０ ｓ２
二、填空题（本大题共５个小题，每小题３分，共１５分） Ｂ
根据以上信息，回答下列问题．
１１． !() def-. 写出一个比槡７大的整数 ：３（答案不唯一） ．
（１）填空：ｍ＝ ８．５ ，ｎ＝ ８ ；ｓ ２ ＜ ｓ２（填“＞”“＜”或“＝”）．
１２．某款八宝粥配料表中，３００ｇ原材料中有５０ｇ大米，某工厂自制这款八宝粥原材料供应各大超市．已知该 Ａ Ｂ
（２）为减少极端值对数据的影响，该部门将 Ａ，Ｂ两种方案的得分均去掉一个最低分和一个最高分．
厂某月需加工９０ｔ八宝粥原材料，则这月需要准备 １５ ｔ大米．
下列对去掉一个最低分和一个最高分后的数据的描述正确的是 ②③ （填写序号）．
１３． !"# (cid:144)(cid:145)| 如图是由七巧板拼成的正方形，将其放入平面直角坐标系中，若点Ａ与点Ｂ关于原点
①Ａ种方案得分的平均数大于 Ｂ种方案得分的平均数；
中心对称，且 Ｂ（－１，－１），则点 Ｃ的坐标为 （－２，２） ．
②Ａ，Ｂ两种方案得分的中位数均没有变化；
③Ａ，Ｂ两种方案得分的众数均没有变化；
④Ａ种方案得分的方差大于 Ｂ种方案得分的方差．
（３）Ａ，Ｂ两种方案的得分均去掉一个最低分和一个最高分后，根据所得到的数据，请你帮该部门作
决策，应选择哪种方案，并说明理由．
（第１３题） （第１５题）
（１）８．５ ８ ＜ （３分）
１４． !() *+,-. 通常气温随海拔的升高而降低，海拔每升高１０００ｍ，气温降低６℃．已知山西
（２）②③ （５分）
省五台山最高峰为叶斗峰，某日在五台山海拔８００ｍ处测得气温为２５℃，设该日叶斗峰的海拔为ｘｍ处的气 （３）答案一：应选择Ａ种方案． （６分）
ｘ－８００ 理由：Ａ，Ｂ两种方案的得分均去掉一个最低分和一个最高分后，ｘ＝８．１２５，ｘ＝８．２５，平均数差别不大，且 Ａ
温为ｙ℃，则ｙ关于ｘ的函数表达式为 ｙ＝－０．００６ｘ＋２９．８（ｙ＝２５－６× 亦可） ． Ａ Ｂ
１０００
种方案得分数据的波动程度小于Ｂ种方案，故Ａ种方案的数据较稳定，应选择Ａ种方案． （７分）
１５．如图，△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝１２，ＢＣ＝６，ＡＤ⊥ＢＣ于点 Ｄ，ＢＥ平分∠ＡＢＣ，分别交 ＡＣ，ＡＤ于点 Ｅ，Ｆ，则 ＥＦ的 答案二：应选择Ｂ种方案． （６分）
４槡 １０ 理由：由（２）可知，Ａ，Ｂ两种方案的得分均去掉一个最低分和一个最高分后，Ｂ种方案得分的中位数、众数均
长为 ．
５ 高于Ａ种方案，故应选择Ｂ种方案． （７分）１８．（本题８分）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的一边所在直线的表达式是 ｙ＝ｘ，且与反比例
２０．（本题８分） !() (cid:146)(cid:147)~+(cid:148) 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量
求证：ＰＤ＋ＰＥ＋ＰＦ的值为定值．
函数 ｙ＝ ｋ （ｘ＞０）的图象交于点 Ａ（２，ａ），该边的对边与反比例函数 ｙ＝ ｋ （ｘ＞０） 活动． 证明：在等边三角形ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＢＣ＝ＡＣ．
ｘ ｘ
活动主题 测算某段新建公路的长度 如图（１），过点Ａ作ＡＧ⊥ＢＣ于点Ｇ．连接ＰＡ，ＰＢ，ＰＣ．
的图象交于点 Ｃ（１，ｂ），交 ｙ轴于点 Ｂ．
∵Ｓ ＝Ｓ ＋Ｓ ＋Ｓ ，
测量工具 测角仪、计算器等 △ＡＢＣ △ＣＢＰ △ＡＣＰ △ＡＢＰ
（１）求反比例函数的表达式；
１ １ １ １
∴ ＡＧ·ＢＣ＝ ＰＤ·ＢＣ＋ ＰＥ·ＡＣ＋ ＰＦ·ＡＢ，
（２）若 Ｐ为 ｘ轴上一动点，求 ＰＡ＋ＰＢ的最小值． 一条东西走向的公路ｌ经过Ａ，Ｂ两个村庄，村庄Ｍ，Ｎ位于公路 ｌ两侧，示意图如图所示．为进一步方 ２ ２ ２ ２
便Ｍ，Ｎ两村的村民出行，计划分别从Ｍ村、Ｎ村开始，新修建两条公路ＭＰ，ＮＱ，且ＭＰ⊥ｌ，ＮＱ⊥ｌ． ∴ＡＧ＝ＰＤ＋ＰＥ＋ＰＦ．
（１）将Ａ（２，ａ）代入ｙ＝ｘ，得ａ＝２，
我进一步探究了四边形的性质，发现在给定一个平行四边
∴Ａ（２，２）． （１分）
模型 形后，平行四边形内任意一点到四边形的四边的距离之
ｋ ｋ 图（１） 图（２）
将Ａ（２，２）代入ｙ＝ ｘ ，得２＝ ２ ，∴ｋ＝４， 抽象 和，也为定值．
证明过程如下：
４
∴反比例函数的表达式为ｙ＝ （ｘ＞０）． （３分） 已知：如图（２），点Ｐ为ＡＢＣＤ内一点．ＰＥ⊥ＢＣ，ＰＦ⊥ＣＤ，ＰＧ⊥ＡＤ，ＰＨ⊥ＡＢ，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ均为垂足．
ｘ 活动
求证：ＰＥ＋ＰＦ＋ＰＧ＋ＰＨ的值为定值．
４ 过程
（２）将Ｃ（１，ｂ）代入ｙ＝ ，得ｂ＝４，∴Ｃ（１，４）． （４分） 证明：在ＡＢＣＤ中，设ＡＢ＝ａ，ＢＣ＝ｂ，∠ＡＢＣ＝α．
ｘ
易知点Ｇ，Ｐ，Ｅ共线．
由题意可得，ＢＣ∥ＯＡ， 测绘 ①在点Ｍ处用测角仪测得点Ｂ在点Ｍ的南偏东５３．２°的方向上，点Ａ在点Ｍ的西南方向上．
……
∴可设直线ＢＣ的表达式为ｙ＝ｘ＋ｍ． 过程 ②在点Ｂ处测得公路ＢＮ与ｌ所夹的锐角为２２°；标识牌上显示ＢＭ＝２．５千米．
将Ｃ（１，４）代入ｙ＝ｘ＋ｍ，得１＋ｍ＝４， 任务：
数据 用计算器计算得：ｓｉｎ５３．２°≈ ０．８０，ｃｏｓ５３．２°≈０．６０，ｔａｎ５３．２°≈１．３４，ｓｉｎ２２°≈ ０．３７，ｃｏｓ２２°≈０．９３，
∴ｍ＝３， （１）请你补全证明过程．
信息 ｔａｎ２２°≈０．４０．
∴直线ＢＣ的表达式为ｙ＝ｘ＋３，∴Ｂ（０，３）． （６分） （２）进一步探索正 ｎ边形内任意一点 Ｐ到各边的距离之和 ｌ是否为定值．
备注 ＢＭ，ＢＮ，ＭＮ为三条笔直的公路．
如图，作点Ａ关于ｘ轴的对称点Ａ′，连接Ａ′Ｂ，Ａ′Ｂ与ｘ轴交于点Ｐ，此时ＰＡ＋ＰＢ的值最小，最小值为Ａ′Ｂ的长 ①请你用尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）在如图（３）所示的正五边形 ＡＢＣＤＥ（边长为 ａ）中
请你根据表格中提供的信息，求 ＭＰ，ＮＱ的长．（结果保留一位小数）
５ａ
!;<$*bcde.XY/．
由题意知∠ＡＭＰ＝４５°，ＭＰ⊥ｌ，∴ＡＰ＝ＭＰ． 找到一点 Ｐ，使点 Ｐ到正五边形各边的距离相等，此时，ｌ＝ （用含 ａ和
２ｔａｎ３６°
在Ｒｔ△ＢＭＰ中，ＢＭ＝２．５，∠ＢＭＰ＝５３．２°，
三角函数的代数式表示）；
∴ＭＰ＝ＢＭｃｏｓ∠ＢＭＰ≈２．５×０．６０＝１．５， （２分）
１５ａ
ＢＰ＝ＢＭｓｉｎ∠ＢＭＰ≈２．５×０．８０＝２， （３分） ②在正十五边形（边长为 ａ）中，任意一点 Ｐ到各边的距离之和 ｌ＝ （用
２ｔａｎ１２°
∴ＡＰ＝１．５，∴ＡＢ＝ＡＰ＋ＢＰ＝３．５． （４分） 图（３）
由ＮＱ⊥ｌ，∠ＱＡＮ＝４５°可知，ＮＱ＝ＡＱ． 含 ａ和三角函数的代数式表示）．
设ＮＱ＝ｘ，则ＡＱ＝ｘ，∴ＱＢ＝ＡＱ＋ＡＢ＝ｘ＋３．５． （５分） （１）如图，过点Ａ作ＡＭ⊥ＢＣ于点Ｍ，则ＡＭ∥ＥＧ，
在Ｒｔ△ＢＱＮ中，∠ＱＢＮ＝２２°，
ＱＮ ｘ
∵Ａ（２，２），∴Ａ′（２，－２），
∴ｔａｎ∠ＱＢＮ＝ ＝ ≈０．４０， （７分）
ＱＢ ｘ＋３．５
∴Ａ′Ｂ＝槡（２－０）２＋（－２－３）２＝ 槡２９，
∴ｘ≈２．３，即ＮＱ≈２．３．
即ＰＡ＋ＰＢ的最小值为槡２９． （８分） 故ＭＰ的长约为１．５千米，ＮＱ的长约为２．３千米． （８分）
在ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，即ＡＧ∥ＭＥ，
１９．（本题７分）某地国补活动中家电补贴为２０％，数码产品补贴为１５％，王女士欲购买一台冰箱和一部 ２１．（本题９分）阅读与思考 ∴四边形ＡＭＥＧ是平行四边形，∴ＡＭ＝ＥＧ，
手机，这两件商品原价共８８００元，享受国补后共７２９０元，求这台冰箱和这部手机的原价分别为多 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． ∴ＰＥ＋ＰＧ＝ＥＧ＝ＡＭ＝ＡＢｓｉｎα．
少元． 维维安尼定理 同理ＰＦ＋ＰＨ＝ＢＣｓｉｎα．
设这台冰箱的原价为ｘ元，这部手机的原价为ｙ元， 学习完三角形后，我知道在等边三角形内任意一点 Ｐ到三边的距离之和为定值，等于三角形 ∴ＰＥ＋ＰＦ＋ＰＧ＋ＰＨ＝（ＡＢ＋ＢＣ）ｓｉｎα． （４分）
{ｘ＋ｙ＝８８００， 的高．经查阅资料，得知这个定理被称为维维安尼定理．维维安尼（１６２２—１７０３）是意大利物理 （２）①作图如图所示．（作法不唯一，正确即可） （６分）
根据题意，得 （４分）
０．８ｘ＋０．８５ｙ＝７２９０， 学家、数学家，在数学上，有两个以其名字命名的数学概念，维维安尼定理和维维安尼曲线．
下面是证明维维安尼定理的过程：
{ｘ＝３８００，
解得 （６分）
已知：如图（１），点Ｐ为等边三角形 ＡＢＣ内一点，ＰＤ⊥ＢＣ，ＰＥ⊥ＡＣ，ＰＦ⊥ＡＢ，Ｄ，Ｅ，Ｆ均为垂
ｙ＝５０００．
足．
答：这台冰箱的原价为３８００元，这部手机的原价为５０００元． （７分）
山西中考４５套汇编·数学 １９— ４ 山西中考４５套汇编·数学 １９— ５ 山西中考４５套汇编·数学 １９— ６５ａ ２３．（本题１３分）综合与探究 成一个不重叠无缝隙的三角形．当ＣＰ经过点Ｑ时，剪开后得到的两个直角三角形也能拼成一个不重叠无缝
（８分）
２ｔａｎ３６°
如图（１），在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝１５，ＢＣ＝２０，Ｐ为边 ＡＢ上的动点，过点 Ｐ在 ＡＢ上方作 ＰＱ⊥ＡＢ， 隙的三角形．
１５ａ
② （９分） 使∠ＱＡＰ＝∠Ｂ，以 ＡＱ，ＡＰ为邻边作ＡＰＦＱ． 故分ＣＰ经过ＱＦ的中点、ＡＱ的中点和点Ｑ三种情况讨论．
２ｔａｎ１２°
（１）当点 Ｆ落在 ＢＣ上时，如图（２），求 ＡＰ的长．
①设ＱＦ的中点为Ｌ，当ＣＰ经过点Ｌ时，如图（３），过点Ｃ作ＣＪ⊥ＡＢ于点Ｊ，延长ＱＦ交ＣＪ于点Ｋ，
２２．（本题１３分） !/0 (cid:149)3(cid:150)(cid:151) 综合与实践
ＱＰ ３
（２）当 ＰＱ的中点 Ｍ落在 ＢＣ上时，如图（３），设 ＡＱ，ＢＣ交于点 Ｎ，求证：ＡＱ＝４ＭＮ． 易求得ＣＪ＝１２，ＡＪ＝９，ｔａｎ∠ＱＡＰ＝ ＝ ．
某女子跳水运动员在１０米跳台训练中，身体（可看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛 ＡＰ ４
（３）连接 ＣＰ，在点 Ｐ从点 Ａ向点 Ｂ运动的过程中，沿直线 ＣＰ将ＡＰＦＱ剪开，当剪开的两部分可以拼成
物线．已知跳台 ＡＢ＝６米，跳台距水面 ＣＤ的高度 ＢＣ＝１０米，训练时跳水曲线在距起跳点 Ａ水平距 设ＱＰ＝３ｘ，ＡＰ＝４ｘ，则ＱＬ＝２ｘ，ＣＫ＝１２－３ｘ．
一个不重叠无缝隙的三角形时，直接写出 ＡＰ的长（写出两个即可）．
离１米时达到最大高度 ｍ米．以 ＣＤ所在直线为 ｘ轴，ＢＣ所在直线为 ｙ轴，建立平面直角坐标
∴ＬＫ＝９－４ｘ－２ｘ＝９－６ｘ．
系 ｘＯｙ．
∵ＱＰ∥ＣＪ，∴△ＫＣＬ∽△ＱＰＬ!]^XY$*Ｘ.Y/，
ＬＫ ＣＫ ９－６ｘ １２－３ｘ
（１）当 ｍ＝１１时，求该抛物线的表达式． ∴ ＝ ，∴ ＝ ．
ＱＬ ＱＰ ２ｘ ３ｘ
（２）在（１）的条件下，
图（１） 图（２） 图（３） 备用图（１） 备用图（２） ９－６ｘ １２－３ｘ
①求入水点的坐标．
∵ｘ≠０，∴ ＝ ．
２ ３
（１）如图（１），∵四边形ＡＰＦＱ是平行四边形，
②正常情况下，运动员在距水面高度 ５米之前必须完成规定的
１
∴ＱＦ＝ＡＰ，ＦＰ∥ＱＡ，∴∠１＝∠２． 解得ｘ＝ ，
翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则会出现失误．该运动员 ４
又∵∠２＝∠Ｂ，∴∠１＝∠Ｂ，
在空中调整好入水姿势时，恰好距离起跳点 Ａ的水平距离为 ３．５
∴ＡＰ＝１．
∴ＦＰ＝ＦＢ．
米，请判断她本次训练是否会失误，并说明理由．
过点Ｆ作ＦＤ⊥ＰＢ于点Ｄ，则ＰＤ＝ＢＤ，四边形ＰＤＦＱ是矩形，
（３）图中 ＣＥ＝１０米，ＣＦ＝１２米，若运动员在区域 ＥＦ内（含点 Ｅ，Ｆ）
∴ＱＦ＝ＰＤ，∴ＡＰ＝ＰＤ＝ＢＤ．
入水时才能达到训练要求，求 ｍ的取值范围．
在Ｒｔ△ＡＢＣ中，由勾股定理，得ＡＢ＝槡ＡＣ２＋ＢＣ２＝槡１５２＋２０２＝２５，
（１）设抛物线的表达式为ｙ＝ａ（ｘ－７）２＋１１．
１ ２５ 图（３） 图（４）
∵抛物线过点（６，１０）， ∴ＡＰ＝ ＡＢ＝ ． （５分）
３ ３ ②设ＡＱ的中点为Ｓ，当ＣＰ经过点Ｓ时，如图（４），连接ＳＰ，则ＳＰ＝ＳＡ．
∴１０＝ａ（６－７）２＋１１，解得ａ＝－１，
同（２）易得ＳＡ＝ＳＢ，∴ＳＰ＝ＳＢ，
∴ｙ＝－（ｘ－７）２＋１１． （３分）
∴点Ｐ，Ｂ重合，
（２）①对于ｙ＝－（ｘ－７）２＋１１，
∴ＡＰ＝ＡＢ＝２５．
令ｙ＝０，则０＝－（ｘ－７）２＋１１，
图（１） 图（２） ③当ＣＰ经过点Ｑ时，如图（５），则ＣＰ⊥ＡＢ，
解得ｘ
１
＝７－ 槡１１（舍去），ｘ
２
＝７＋ 槡１１，
（２）证明：如图（２），设ＢＣ，ＦＰ交于点Ｇ． ∴ＡＰ＝９．
∴入水点的坐标为（７＋ 槡１１，０）． （６分） ∵ＡＱ∥ＰＦ，∴∠３＝∠４．
②会失误． 又∵∠５＝∠６，ＱＭ＝ＭＰ，
理由：对于ｙ＝－（ｘ－７）２＋１１，当ｘ＝３．５＋６＝９．５时，ｙ＝－（９．５－７）２＋１１＝４．７５．
∴△ＮＱＭ≌△ＧＰＭ，∴ＭＮ＝ＭＧ．
∵４．７５＜５，∴本次训练会失误． （９分） 同（１）可得ＧＰ＝ＧＢ．
图（５）
（３）由题意可设抛物线的表达式为ｙ＝ｋ（ｘ－７）２＋ｍ．
过点Ｇ作ＧＨ⊥ＡＢ于点Ｈ，则ＰＨ＝ＨＢ，ＧＨ∥ＭＰ，
综上可知，ＡＰ的长为１，９或２５．
∵抛物线过点（６，１０），
∴ＭＧ＝ＧＢ，∴ＮＢ＝３ＭＮ．
∴１０＝ｋ（６－７）２＋ｍ，解得ｋ＝１０－ｍ．
∵∠ＱＡＰ＝∠Ｂ，
∴ｙ＝（１０－ｍ）（ｘ－７）２＋ｍ．
∴ＮＡ＝ＮＢ＝３ＭＮ．
４５
当ｘ＝１０时，ｙ≥０，即９（１０－ｍ）＋ｍ≥０，解得ｍ≤ ． ∵∠３＝９０°－∠ＱＡＰ，∠５＝∠６＝９０°－∠Ｂ，
４
∴∠３＝∠５，∴ＭＮ＝ＱＮ，
１２５
当ｘ＝１２时，ｙ≤０，即２５（１０－ｍ）＋ｍ≤０，解得ｍ≥ ． ∴ＡＱ＝４ＭＮ． （１０分）
１２
（３）ＡＰ的长为１，９或２５（写出任意两个即可）． （１３分）
１２５ ４５
故ｍ的取值范围是 ≤ｍ≤ ． （１３分）
１２ ４ 解法提示：当ＣＰ经过ＱＦ的中点或ＡＱ的中点时，剪开后得到的小三角形绕中点旋转１８０°，剪开的两部分可以拼
山西中考４５套汇编·数学 １９— ７ 山西中考４５套汇编·数学 １９— ８ 山西中考４５套汇编·数学 １９— ９该校全体学生中，从未使用该平台辅助学习的学生有 （Ｂ）
!"
Ａ．１２０名 Ｂ．１０８名 Ｃ．１０２名 Ｄ．１００名
２０２５年全国中考真题改编山西模式试卷（一）
８．（２０２５新疆）如图，ＣＤ是⊙Ｏ的直径，ＡＢ是弦，ＡＢ⊥ＣＤ，∠ＡＤＣ＝３０°，则∠ＢＯＣ＝ （Ｃ）
Ａ．３０° Ｂ．４５° Ｃ．６０° Ｄ．７５°
数 学
（满分１２０分，考试时间１２０分钟）
第Ⅰ卷 选择题（共 ３０分）
一、选择题（本大题共１０个小题，每小题３分，共３０分）
（第８题） （第９题） （第１０题）
１．（２０２５福建）下列实数中，最小的数是 （Ａ）
９． !"# )*+ （２０２５河南）甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成
Ａ．－１ Ｂ．０ Ｃ．槡２ Ｄ．２
就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡
２． !"# $%&’( （２０２５福建）中国古算诗词歌赋较多．古算诗词题，是反映数学数量关系
片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是 （Ｂ）
的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式．下列分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏
１ １ １ １
壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是 （Ｄ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
１２ ６ ４ ２
１０．（２０２５苏州）如图，在正方形 ＡＢＣＤ中，Ｅ为边 ＡＤ的中点，连接 ＢＥ，将△ＡＢＥ沿 ＢＥ翻折，得到△Ａ′ＢＥ，连
接 Ａ′Ｃ，Ａ′Ｄ，则下列结论不正确的是 （Ｄ）
Ａ．Ａ′Ｄ∥ＢＥ Ｂ．Ａ′Ｃ＝ 槡２Ａ′Ｄ
Ｃ．△Ａ′ＣＤ的面积＝△Ａ′ＤＥ的面积 Ｄ．四边形 Ａ′ＢＥＤ的面积＝△Ａ′ＢＣ的面积
３．（２０２５烟台）下列计算正确的是 （Ｂ）
Ａ．２ｘ２＋ｘ３＝３ｘ５ Ｂ．２ｘ２·ｘ３＝２ｘ５ Ｃ．２ｘ３÷（－ｘ２）＝２ｘ Ｄ．（２ｘ２）３＝２ｘ６ 第Ⅱ卷 非选择题（共 ９０分）
４．（２０２５甘肃）如图（１），三根木条 ａ，ｂ，ｃ相交成∠１＝８０°，∠２＝１１０°，固定木条 ｂ，ｃ，将木条 ａ绕点 Ａ顺
二、填空题（本大题共５个小题，每小题３分，共１５分）
时针转动至如图（２）所示，使木条 ａ与木条 ｂ平行，则可将木条 ａ旋转 （Ａ）
１１．（２０２５北京）分解因式：７ｍ２－２８＝ ７（ｍ＋２）（ｍ－２） ．
Ａ．３０° Ｂ．４０° Ｃ．６０° Ｄ．８０°
{ｘ＋２＞０，
１２．（２０２５新疆）不等式组 的解集是 ｘ≥１ ．
ｘ≥１
１３． !,- ./01( （２０２５福建）弹簧测力计是根据胡克定律并利用物体的重力来测量物体质量
的．胡克定律为：在弹性限度内，弹簧弹力 Ｆ的大小与弹簧伸长（或压缩）的长度 ｘ成正比，即 Ｆ＝ｋｘ，其中
ｋ为常数，是弹簧的劲度系数；质量为 ｍ的物体重力为 ｍｇ，其中 ｇ为常数．如图，一把弹簧测力计在不挂
图（１） 图（２） 任何物体时弹簧的长度为６厘米．在其弹性限度内：当所挂物体的质量为０．５千克时，弹簧长度为 ６．５厘
（第４题） （第６题） 米，那么当弹簧长度为６．８厘米时，所挂物体的质量为 ０．８ 千克．
５．（２０２５北京）２０２５年５月２９日，行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，开启对
近地小行星２０１６ＨＯ３的探测与采样返回之旅．已知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离
的４５倍，月球远地点距离约为４×１０５ｋｍ，则该小行星与地球的最近距离约为 （Ｃ）
Ａ．１．８×１０５ｋｍ Ｂ．１．８×１０６ｋｍ
Ｃ．１．８×１０７ｋｍ Ｄ．１．８×１０１０ｋｍ
６．（２０２５湖北）如图，平行四边形 ＡＢＣＤ的对角线交点为原点．若 Ａ（－１，２），则点 Ｃ的坐标是 （Ｃ）
（第１３题） （第１４题） （第１５题）
Ａ．（２，－１） Ｂ．（－２，１） Ｃ．（１，－２） Ｄ．（－１，－２）
１４． !,- 2/+3 （２０２５河南）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．
７．（２０２５长沙改编）为了解某校学生利用全国中小学智慧教育平台辅助学习的情况，从该校全体 ３６００
名学生中，随机调查了１００名学生，统计结果显示仅有３名学生从未使用该平台辅助学习．由此，估计 如图是研究“割圆术”时的一个图形，ＡＢ
山西中考４５套汇编·数学 ２０— １ 山西中考４５套汇编·数学 ２０— ２ 山西中考４５套汇编·数学 ２０— ３
书书书
)
４π
Ｅ，连接ＢＥ，∠ＡＢＥ＝１５°，连接ＯＥ交ＡＢ于点Ｆ．若ＡＢ＝４，则图中阴影部分的面积为 －２槡３ ．
３
１５．（２０２５成都改编）如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，点 Ｄ在 ＡＣ边上，ＡＤ＝３，ＣＤ＝２，∠ＣＢＤ＝４５°，点 Ｅ在
２槡１７
ＢＣ的延长线上，连接 ＤＥ，若∠ＣＥＤ＝∠ＡＢＤ，则 ＣＥ的长为 ．
３
三、解答题（本大题共８个小题，共７５分）
１６．（本题共２个小题，每小题５分，共１０分）
（１）（２０２５陕西）计算：３×１２＋｜－２｜－（π－３）０．
原式＝ 槡３６＋２－１ （３分）
＝６＋２－１
＝７． （５分）
１ １ ｍ
（２）（２０２５江西）化简：（ ＋ ）÷ ．
ｍ＋１ｍ－１ ｍ２＋２ｍ＋１
ｍ－１ ｍ＋１ （ｍ＋１）２
原式＝［ ＋ ］× （２分）
（ｍ＋１）（ｍ－１）（ｍ＋１）（ｍ－１） ｍ
ｍ－１＋ｍ＋１ （ｍ＋１）２
＝ × （３分）
（ｍ＋１）（ｍ－１） ｍ
２ｍ （ｍ＋１）２
＝ × （４分）
（ｍ＋１）（ｍ－１） ｍ
２ｍ＋２
＝ ． （５分）
ｍ－１
１７．（本题７分）（２０２５安徽）如图，在平面直角坐标系 ｘＯｙ中，一次函数 ｙ＝ａｘ＋
ｋ
４（ａ≠０）与反比例函数 ｙ＝ （ｋ≠０）的图象交于 Ａ，Ｂ两点．已知点 Ａ和 Ｂ
ｘ
的横坐标分别为６和２．
（１）求 ａ与 ｋ的值；
（２）设直线 ＡＢ与 ｘ轴、ｙ轴的交点分别为 Ｃ，Ｄ，求△ＣＯＤ的面积．
ｋ
６ａ＋４＝ ，
６
（１）由题意得，
ｋ
２ａ＋４＝ ，
２
１
解得ａ＝－ ，ｋ＝６． （４分）
２
１
（２）由（１）知直线ＡＢ对应的一次函数表达式为ｙ＝－ ｘ＋４．
２
令ｙ＝０，得ｘ＝８，所以ＯＣ＝８．
令ｘ＝０，得ｙ＝４，所以ＯＤ＝４，
１ １
故△ＣＯＤ的面积为 ＯＣ·ＯＤ＝ ×８×４＝１６． （７分）
所在圆的圆心为点Ｏ，四边形ＡＢＣＤ为矩形，边ＣＤ与⊙Ｏ相切于点 ２ ２１８．（本题８分）（２０２５北京）校田径队教练选出甲、乙、丙、丁四名运动员参加１００米比赛．对这四名运动 如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共１６千克；第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒 （１）如图，过点Ｂ作ＢＥ⊥ＡＣ于点Ｅ．
员最近１０次１００米跑测试成绩（单位：ｓ）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． 共３６千克，且所用的粮食糟醅量是第一次的２倍，芋头糟醅量是第一次的３倍．
ａ．甲、乙两名运动员１０次测试成绩的折线图： （１）求第一次实验分别用了多少千克粮食糟醅和芋头糟醅．
（２）受限于当时的生产条件，古代青铜蒸馏器的出酒量约为现代复原品的 ８０％．若粮食糟醅中大
１
米占比约为 ，请问，在古代要想蒸馏出这两次实验得到的粮食酒总量，需要准备多少千克大米？
４
（１）设第一次实验用了ｘ千克粮食糟醅和ｙ千克芋头糟醅．
{０．３ｘ＋０．２ｙ＝１６，
设ＢＥ＝ｘ海里．
由题意，得 （２分）
０．３×２ｘ＋０．２×３ｙ＝３６．
１
依题意，得∠ＥＢＣ＝５３°，∠ＥＢＤ＝４５°，ＣＤ＝１０× ＝５（海里），
{ｘ＝４０， ２
解得
ｂ．丙运动员１０次测试成绩： ｙ＝２０． ∴∠Ｃ＝９０°－∠ＥＢＣ＝３７°，ＥＤ＝ＢＥ＝ｘ海里，
１２．４ １２．４ １２．５ １２．７ １２．８ １２．８ １２．８ １２．８ １２．９ １２．９ 答：第一次实验用了４０千克粮食糟醅和２０千克芋头糟醅． （４分） ∴ＥＣ＝ＥＤ＋ＣＤ＝（ｘ＋５）海里． （２分）
ｃ．四名运动员１０次测试成绩的平均数、中位数、方差： ＢＥ
（２）方法一：设需要大米ｍ千克．
在Ｒｔ△ＢＣＥ中，ｔａｎＣ＝ ，∠Ｃ＝３７°，
ＥＣ
甲 乙 丙 丁 １
由题意，得ｍ÷ ×３０％×８０％＝３０％×３×４０．
ｘ
４ ∴ ≈０．７５，解得ｘ≈１５．
平均数 １２．５ １２．５ ｐ １２．５ ｘ＋５
解得ｍ＝３７．５．
中位数 ｍ １２．５ １２．８ １２．４５ 故渔船在航行过程中到灯塔Ｂ的最短距离约为１５海里． （４分）
答：需要准备３７．５千克大米． （７分）
（２）在Ｒｔ△ＡＢＥ中，∠ＡＢＥ＝１４°，ＢＥ＝１５海里，
方差 ０．０５６ ｎ ０．０３４ ０．０５６
方法二：４０×３÷８０％＝１５０（千克），
∴ＡＥ＝ＢＥｔａｎ１４°≈１５×０．２５＝３．７５（海里），
（１）表中 ｍ的值为 １２．５ ； １
∴ＡＣ＝ＡＥ＋ＤＥ＋ＣＤ＝３．７５＋１５＋５＝２３．７５（海里），
１５０× ＝３７．５（千克）．
（２）表中 ｎ ＜ ０．０５６（填“＞”“＝”或“＜”）； ４
２３．７５÷１０＝２．３７５（小时）＝１４２．５（分钟）， （６分）
（３）根据这１０次测试成绩，教练按如下方式评估这四名运动员的实力强弱：首先比较平均数，平均 答：需要准备３７．５千克大米． （７分）
从１４：３０经过１４２．５分钟是１６：５２：３０，能在１７：３０之前到达，
数较小者实力更强；若平均数相等，则比较方差，方差较小者实力更强；若平均数、方差分别相 ２０．（本题８分）（２０２５烟台）综合与实践 ∴不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头Ａ． （８分）
等，则测试成绩小于平均数的次数较多者实力更强． 灯塔为过往船只提供导航服务，为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动． ２１．（本题９分）（２０２５长春改编）阅读与思考
评估结果：这四名运动员按实力由强到弱依次为 乙、丁、甲、丙 ． 如图（１），一艘渔船自东向西以每小时１０海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息： 下面是小金同学数学笔记中的部分内容，认真阅读并完成相应的任务．
（１）１２．５ （３分）
如图（２），码头Ａ在灯塔Ｂ北偏西１４°方向．
（２）＜ （５分） 平面图形的最小覆盖圆
位置信息 １４：３０时，渔船航行至灯塔Ｂ北偏东５３°方向的Ｃ处．
（３）乙、丁、甲、丙 （８分） 【定义】我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆
１５：００时，渔船航行至灯塔Ｂ东北方向的Ｄ处． 盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小的圆）称为该平面图形的最小覆盖圆．
解法提示：由题意可知ｐ＝（１２．４×２＋１２．５＋１２．７＋１２．８×４＋１２．９×２）÷１０＝１２．７．
【探究一】线段的最小覆盖圆
①比较平均数：甲、乙、丁的平均数均为１２．５，丙的平均数为１２．７，故丙的实力最弱； 天气预警 受暖湿气流影响，今天１７：３０到夜间，码头Ａ附近海域将出现浓雾天气．请注意防范． 线段ＡＢ的覆盖圆有无数个，其中，以ＡＢ为直径的圆是其最小覆盖圆．
②比较甲、乙、丁的方差：甲、丁的方差相等，乙的方差较小，故乙的实力比甲、丁强； 请根据以上信息，解答下列问题： 理由如下：易知线段ＡＢ的最小覆盖圆一定经过点 Ａ，Ｂ．如图（１），以 ＡＢ为直径作⊙Ｏ，再
过Ａ，Ｂ两点作⊙Ｏ′（点Ｏ′与点Ｏ不重合），连接Ｏ′Ａ，Ｏ′Ｂ．
③比较甲、丁测试成绩小于平均数的次数：由折线统计图知甲的测试成绩小于平均数的次数为 ２次，由统计
（１）求渔船在航行过程中到灯塔 Ｂ的最短距离； 在△Ｏ′ＡＢ中，有Ｏ′Ａ＋Ｏ′Ｂ＞ＡＢ（▲）．
表知丁的测试成绩小于平均数的次数不低于５次，故丁的实力比甲强． ∵Ｏ′Ａ＝Ｏ′Ｂ，
（２）若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头 Ａ（参考数据：ｓｉｎ３７°≈０．６０， 图（１）
综上所述，这四名运动员按实力由强到弱依次为乙、丁、甲、丙． ∴２Ｏ′Ａ＞ＡＢ，即⊙Ｏ′的直径大于⊙Ｏ的直径，
ｃｏｓ３７°≈０．８０，ｔａｎ３７°≈０．７５，ｓｉｎ１４°≈０．２４，ｃｏｓ１４°≈０．９７，ｔａｎ１４°≈０．２５）．
∴⊙Ｏ是线段ＡＢ的最小覆盖圆．
１９．（本题７分） !45 6789: （２０２５江西）某文物考古研究院用 １∶１复原的青铜蒸馏器进
【探究二】直角三角形的最小覆盖圆
行了蒸馏酒实验．用复原的青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒，需要的原材料与出酒率（出酒率＝ 要确定直角三角形的最小覆盖圆，我们可先将其转化为【探究一】中线段的最小覆盖
圆问题．这样就可以先确定直角三角形最长边（斜边）的最小覆盖圆，再判断直角顶
出酒量
×１００％）如下表： 点与这个圆的位置关系，从而确定直角三角形的最小覆盖圆．
糟醅量 如图（２），在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，⊙Ｏ是以ＡＢ为直径的圆．
那么如何判断点Ｃ与⊙Ｏ的位置关系呢？说明如下：
类别 原材料 出酒率
……
图（２）
粮食酒 粮食糟醅（含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏水） ３０％ 又由【探究一】可知，⊙Ｏ是Ｒｔ△ＡＢＣ最长边ＡＢ的最小覆盖圆，因此，⊙Ｏ是 Ｒｔ△ＡＢＣ
的最小覆盖圆．
芋头酒 芋头糟醅（含芋头、小曲和蒸馏水） ２０％
图（１） 图（２）
山西中考４５套汇编·数学 ２０— ４ 山西中考４５套汇编·数学 ２０— ５ 山西中考４５套汇编·数学 ２０— ６任务： 又∵该抛物线过点Ｂ（０，０）， ∴四边形ＢＭＨＮ是菱形，
（１）【探究一】中“▲”处应填写的推理依据为 三角形的任意两边之和大于第三边 ． ８ ∴ＮＨ∥ＢＣ，∴ＮＨ∥ＧＦ．
∴９ａ＋１．６＝０，解得ａ＝－ ． （４分）
４５
请你完成【探究二】中的说明过程． １ １
∵ＧＦ＝ＤＥ＝ ＡＤ，ＮＨ＝ＢＭ＝ ＢＣ，∴ＧＦ＝ＮＨ，
８ ２ ２
（２）如图（３），在矩形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝１ｃｍ，ＢＣ＝２ｃｍ． ∴篮球运动路线所在抛物线的解析式为ｙ＝－ （ｘ－３）２＋１．６． （５分）
４５
∴四边形ＧＦＨＮ是平行四边形!"#$%&’()*+,-./(01)*/(02． （８分）
①用圆规和无刻度的直尺在图（３）中作矩形 ＡＢＣＤ的最小覆盖圆（不写作
任务２：由题意知，点Ｃ的坐标为（５，１）． （６分）
【探究提升】四边形ＧＦＨＮ能成为轴对称图形． （９分）
法，保留作图痕迹），矩形 ＡＢＣＤ的最小覆盖圆的直径为 槡５ ｃｍ；
８ ８
图（３） 对于ｙ＝－ （ｘ－３）２＋１．６，当ｘ＝５时，ｙ＝ ． （７分） ＡＤ ２ １
的值为 或 ． （１３分）
②若用两个等圆完全覆盖矩形 ＡＢＣＤ，则这样的两个等圆的最小直径 ４５ ９ ＡＢ ３ ２
８
为 槡２ ｃｍ． ∵ ≠１， 解法提示：当四边形ＧＦＨＮ是轴对称图形时，分两种情况讨论．
９
（１）三角形的任意两边之和大于第三边 （１分） ①当四边形ＧＦＨＮ是菱形时，如图（１），连接ＧＨ．
∴小亮投出的篮球不经过篮筐中心Ｃ． （８分）
点Ｃ在⊙Ｏ上． ∵四边形ＤＥＧＦ和四边形ＢＭＨＮ均为菱形，
任务３：由题意，设第二次投篮时，篮球运动路线所在抛物线的解析式为ｙ＝ｂ（ｘ－３）２＋１．６，
理由：∵∠ＡＣＢ＝９０°，Ｏ为ＡＢ的中点， ∴ＥＧ∥ＣＤ，ＭＨ∥ＡＢ．
将Ｃ（５，１）代入，得１＝４ｂ＋１．６，解得ｂ＝－０．１５，
∴ＯＣ＝ＯＡ＝ＯＢ，∴点Ｃ在⊙Ｏ上． （３分） 又∵点Ｅ，Ｍ分别是ＡＤ，ＢＣ的中点，ＡＤ＝ＢＣ，ＡＢ∥ＣＤ，
∴第二次投篮时，篮球运动路线所在抛物线的解析式为ｙ＝－０．１５（ｘ－３）２＋１．６， （１１分）
（２）①如图，⊙Ｏ即为矩形ＡＢＣＤ的最小覆盖圆． （５分） ∴点Ｅ，Ｇ，Ｈ，Ｍ共线．
令ｘ＝０，得ｙ＝－０．１５×９＋１．６＝０．２５． （１２分）
∵ＧＦ∥ＡＤ，ＥＧ∥ＡＢ，∴∠ＦＧＨ＝∠ＤＥＧ＝∠Ａ＝６０°．
槡５ （７分）
２．０５＋０．２５＝２．３（ｍ）． 图（１）
∵四边形ＧＦＨＮ是菱形，
②槡２ （９分） 答：小亮投篮的高度应调整为２．３ｍ，才能使篮球经过篮筐中心Ｃ． （１３分）
∴ＧＦ＝ＦＨ，∴△ＧＦＨ是等边三角形，
２２．（本题１３分） !45 ;< 综合与实践 ２３．（本题１３分）（２０２５吉林）综合与探究
∴ＧＨ＝ＧＦ（345：67ＧＨ，ＧＦ89.:;3<），
根据以下素材，探索完成任务． 【问题背景】在学习了平行四边形后，某数学兴趣小组研究了有一个内角为 ６０°的平行四边形的折叠问
∴ＧＨ＝ＥＧ＝ＭＨ＝ＤＥ＝ＡＥ，
题，其探究过程如下．
如何调整篮球的投球高度 ∴ＡＤ＝２ＧＨ，ＥＭ＝３ＧＨ．
【探究发现】如图（１），在ＡＢＣＤ中 ，∠Ａ＝６０°，ＡＢ＞ＡＤ，Ｅ为边 ＡＤ的中点，点 Ｆ在边 ＤＣ上，且 ＤＦ＝ＤＥ，连
如图（１），小亮站在 Ａ处投篮，篮球 易知四边形ＡＢＭＥ是平行四边形（5=：>ＡＥ?ＢＭ@ＡＥ＝ＢＭAB），
接ＥＦ，将△ＤＥＦ沿ＥＦ翻折得到△ＧＥＦ，点Ｄ的对称点为点Ｇ．小组成员发现四边形ＤＥＧＦ是一个特殊的四
的出手点 Ｂ与地面的距离 ＡＢ＝ ＡＤ ２ＧＨ ２
∴ＡＢ＝ＥＭ＝３ＧＨ，∴ ＝ ＝ ．
２０５ｍ，小亮与篮筐中心 Ｃ的水平 边形，请判断该四边形的形状，不需要说明理由． ＡＢ ３ＧＨ ３
素材１ 距离ＡＤ＝５ｍ，篮筐中心 Ｃ距地面 【探究证明】取边 ＢＣ的中点 Ｍ，点 Ｎ在边 ＡＢ上，且 ＢＮ＝ＢＭ，连接 ＭＮ，将△ＢＭＮ沿 ＭＮ翻折得到 ②当四边形ＧＦＨＮ是矩形时，如图（２），连接ＧＨ．
的高度ＣＤ＝３．０５ｍ．篮球出手后的 △ＨＭＮ，点 Ｂ的对称点为点 Ｈ．连接 ＦＨ，ＧＮ，如图（２）．求证：四边形 ＧＦＨＮ是平行四边形．
运动路线是抛物线的一部分，且点 图（１） ＡＤ
【探究提升】在图（２）中，四边形 ＧＦＨＮ能否成为轴对称图形？如果能，直接写出 的值；如果不能，说明
Ｅ是最高点． ＡＢ
如图（２），已知点 Ｂ，Ｅ的水平距离 理由．
图（２）
ＢＦ＝３ｍ，竖直距离 ＥＦ＝１．６ｍ，以
素材２ 同①可知∠ＦＧＨ＝６０°，ＡＢ＝ＥＭ，
点Ｂ为原点，ＢＦ所在直线为 ｘ轴，
∴ＧＨ＝２ＧＦ（345：67ＧＨ，ＧＦ89.:;3<）．
建立平面直角坐标系． 图（２）
又∵ＥＧ＝ＧＦ＝ＭＨ，
问题解决
∴ＡＢ＝ＥＭ＝ＥＧ＋ＧＨ＋ＨＭ＝ＧＦ＋２ＧＦ＋ＧＦ＝４ＧＦ．
图（１） 图（２）
任务１ 在素材２建立的平面直角坐标系中，求篮球运动路线所在抛物线的解析式．
ＡＤ ２ＧＦ １
【探究发现】四边形ＤＥＧＦ是菱形． （２分）
又∵ＡＤ＝２ＤＥ＝２ＧＦ，∴ ＝ ＝ ．
ＡＢ ４ＧＦ ２
【探究证明】证明：∵四边形ＤＥＧＦ是菱形，
任务２ 请通过计算说明：小亮投出的篮球不经过篮筐中心Ｃ．
ＡＤ ２ １
∴ＧＦ∥ＡＤ，ＧＦ＝ＤＥ． 综上可知， 的值为 或 ．
ＡＢ ３ ２
若小亮站在Ａ处第二次投篮，且篮球出手点与篮筐中心Ｃ的水平距离及篮球运动路线所在抛物线的顶
任务３ ∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，
点均不变，则小亮投篮的高度（篮球出手点与地面的距离）应调整为多少，才能使篮球经过篮筐中心Ｃ？
∴ＡＤ＝ＢＣ，ＡＤ∥ＢＣ，∴ＧＦ∥ＢＣ．
任务１：由题意知，点Ｅ的坐标为（３，１．６）， （１分） 由折叠知ＢＮ＝ＮＨ，ＢＭ＝ＭＨ．
∴设抛物线的解析式为ｙ＝ａ（ｘ－３）２＋１．６． （２分） 又∵ＢＮ＝ＢＭ，∴ＮＨ＝ＢＮ＝ＢＭ＝ＭＨ，
山西中考４５套汇编·数学 ２０— ７ 山西中考４５套汇编·数学 ２０— ８ 山西中考４５套汇编·数学 ２０— ９＝ 槡３＋１． （５分）
!#
（２）解不等式２（ｘ＋１）＞ｘ－１，得ｘ＞－３； （２分）
２０２５年全国中考真题改编山西模式试卷（二）
ｘ＋５
解不等式 ＞３ｘ，得ｘ＜１． （４分）
２
故原不等式组的解集为－３＜ｘ＜１． （５分）
数 学
１７．（本题７分）（２０２５河南）小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐
（第８题） （第１０题）
标系 ｘＯｙ中，其中含３０°角的三角板 ＯＡＢ的直角边 ＯＡ在 ｙ轴上，含４５°角的
（满分１２０分，考试时间１２０分钟）
９． !"# => （２０２５苏州）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下
ｋ
三角板ＯＡＣ的直角顶点Ｃ的坐标为（２，２），反比例函数 ｙ＝ （ｘ＞０）的图象经
声音传播的速度 ｖ（ｍ／ｓ）与温度 ｔ（℃）部分对应数值如下表：
第Ⅰ卷 选择题（共 ３０分） ｘ
温度ｔ／℃ －１０ ０ １０ ３０ 过点 Ｃ．
一、选择题（本大题共１０个小题，每小题３分，共３０分） 声音传播的速度ｖ／（ｍ／ｓ） ３２４ ３３０ ３３６ ３４８ （１）求反比例函数的表达式．
１．（２０２５河南）在学校足球比赛中，如果某班足球队进４个球记作＋４个，那么该队失３个球记作 （Ｂ） 研究发现 ｖ，ｔ满足公式 ｖ＝ａｔ＋ｂ（ａ，ｂ为常数，且 ａ≠０）．当温度 ｔ为１５℃时，声音传播的速度 ｖ为 （Ｂ） （２）将三角板 ＯＡＢ绕点 Ｏ顺时针旋转 ９０°，ＡＢ边上的点 Ｄ恰好落在反比例
Ａ．＋３个 Ｂ．－３个 Ｃ．＋４个 Ｄ．－４个
函数图象上，求旋转前点 Ｄ的坐标．
Ａ．３３３ｍ／ｓ Ｂ．３３９ｍ／ｓ Ｃ．３４１ｍ／ｓ Ｄ．３４２ｍ／ｓ
２． !,- ./01( （２０２５新疆）下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是 （Ｃ） ｋ
１０．（２０２５安徽）在如图所示的ＡＢＣＤ中，Ｅ，Ｇ分别为边 ＡＤ，ＢＣ的中点，点 Ｆ，Ｈ分别在边 ＡＢ，ＣＤ上移动
（１）∵反比例函数ｙ＝ （ｘ＞０）的图象经过点Ｃ（２，２），
ｘ
（不与端点重合），且满足 ＡＦ＝ＣＨ，则下列为定值的是 （Ｃ）
ｋ
Ａ．四边形 ＥＦＧＨ的周长 Ｂ．∠ＥＦＧ的大小 ∴２＝ ，∴ｋ＝４，
２
Ｃ．四边形 ＥＦＧＨ的面积 Ｄ．线段 ＦＨ的长
４
∴反比例函数的表达式是ｙ＝ ． （３分）
第Ⅱ卷 非选择题（共 ９０分） ｘ
３．（２０２５成都）下列计算正确的是 （Ｄ） （２）如图，过点Ｃ作ＣＥ⊥ＯＡ，垂足为点Ｅ，则点Ｅ是ＯＡ的中点，
Ａ．ｘ＋２ｙ＝３ｘｙ Ｂ．（ｘ３）２＝ｘ５ Ｃ．（ｘ－ｙ）２＝ｘ２－ｙ２ Ｄ．２ｘｙ·３ｘ＝６ｘ２ｙ 二、填空题（本大题共５个小题，每小题３分，共１５分） ∴ＯＡ＝２ＯＥ＝４，
４．（２０２５安徽）“阳马”是由长方体截得的一种几何体，如图水平放置的“阳马”的主视图为 （Ａ） １１．（２０２５北京）若槡３ｘ－３在实数范围内有意义，则实数 ｘ的取值范围是 ｘ≥１ ． ∴三角板ＯＡＢ旋转后，点Ｄ的横坐标为４． （５分）
１２．（２０２５成都）正六边形 ＡＢＣＤＥＦ的边长为１，则对角线 ＡＤ的长为 ２ ． ４
把ｘ＝４代入ｙ＝ ，得ｙ＝１，
１３．（２０２５江西）小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费 ６０００元油费行驶的路程与纯电汽 ｘ
车耗费１０００元电费行驶的路程相同，且每百千米的耗油费比耗电费约多 ５０元，求纯电汽车每百千米的 ∴三角板ＯＡＢ旋转后，点Ｄ的纵坐标为１，
１ １０００ ６０００ ∴ＡＤ＝１， （６分）
５．（２０２５福建）不等式 ｘ＋１≤２的解集在数轴上表示正确的是 （Ｃ） 耗电费．设纯电汽车每百千米的耗电费为 ｘ元，可列分式方程为 ＝ ． ∴旋转前点Ｄ的坐标为（－１，４）． （７分）
２ ｘ ｘ＋５０
１８．（本题８分）（２０２５安徽）某景区管理处为了解景区的服务质量，现从该景区 ５月份的游客中随机抽
Ａ． Ｂ． １４． !,- ./01( （２０２５北京）如图，⊙Ｏ是地球的示意图，其中 ＡＢ表示赤道，ＣＤ，ＥＦ分别表示
取５０人对景区的服务质量进行评分，评分结果用 ｘ表示（单位：分），将全部评分结果按以下五组进
北回归线和南回归线，∠ＤＯＢ＝∠ＦＯＢ＝２３．５°．夏至日正午时，太阳光线 ＧＤ所在直线经过地心 Ｏ，此时点
Ｃ． Ｄ． 行整理，并绘制统计表，部分信息如下：
６．（２０２５广西）已知一次函数 ｙ＝－ｘ＋ｂ的图象经过点 Ｐ（４，３），则 ｂ＝ （Ｄ） Ｆ处的太阳高度角∠ＩＦＨ（即平行于 ＧＤ的光线 ＨＦ与⊙Ｏ的切线 ＦＩ所成的锐角）的大小为 ４３ °．
组别 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ
Ａ．３ Ｂ．４ Ｃ．６ Ｄ．７
分组 ４５≤ｘ＜５５ ５５≤ｘ＜６５ ６５≤ｘ＜７５ ７５≤ｘ＜８５ ８５≤ｘ≤９５
７．（２０２５浙江）某书店某一天图书的销售情况如图所示．
人数 ３ ３ １５ ａ １０
书店某天图书销售情况条形统计图 书店某天图书销售情况扇形统计图
请根据以上信息，完成下列问题：
（１）ａ＝ １９ ；
（２）这５０名游客对该景区服务质量评分的中位数落在 Ｄ 组；
（第１４题） （第１５题） （３）若游客评分的平均数不低于 ７５，则认定该景区的服务质量良好．分别用 ５０，６０，７０，８０，９０作为
１５．（２０２５天津改编）如图，在矩形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝２，ＢＣ＝３，点 Ｅ在边 ＢＣ上，且 ＥＣ＝２ＢＥ．Ｆ为 ＣＤ的中点，Ｍ Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ这五组评分的平均数，估计该景区５月份的服务质量是否良好，并说明理由．
（１）１９ （２分）
槡１５
为 ＡＦ的中点，Ｎ为 ＥＦ上一点，若∠ＦＭＮ＝７５°，则线段 ＭＮ的长为 ． （２）Ｄ （４分）
３
５０×３＋６０×３＋７０×１５＋８０×１９＋９０×１０
三、解答题（本大题共８个小题，共７５分） （３）由题意知，游客评分的平均数为 ＝７６．
根据以上信息，下列选项错误的是 （Ｄ） ５０
１６．（本题共２个小题，每小题５分，共１０分）
Ａ．科技类图书销售了６０册 Ｂ．文艺类图书销售了１２０册 因为７６＞７５，所以该景区５月份的服务质量良好． （８分）
Ｃ．文艺类图书销售占比３０％ Ｄ．其他类图书销售占比１８％ {２（ｘ＋１）＞ｘ－１， １９．（本题７分）（２０２５北京）北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产．为制作一只京燕风筝，小明
８．（２０２５广东）如图，在直径ＢＣ为２槡２的圆内有一个圆心角为９０°的扇形ＡＢＣ．随机地往圆内投一粒米， （１）（２０２５扬州）槡１２－２ｃｏｓ３０°＋（π＋１）０； （２）（２０２５北京）解不等式组：ｘ＋５
＞３ｘ．
准备了五根直竹条（如图（１））：一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条．他将门条和膀条分别
该粒米落在扇形内的概率为 （Ｄ） ２ 烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架（如图（２）），其头部高、胸腹高与尾部高的比是 １∶１∶２．已知单根
１ １ １ １ 槡３ ５
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． （１）原式＝２槡３－２× ＋１ （３分） 膀条长是胸腹高的５倍，门条比单根膀条短 １０ｃｍ，图（１）中 ＢＣ的长是门条长的 ，ＡＢ，ＣＤ的长均
５ ４ ３ ２ ２ ９
山西中考４５套汇编·数学 ２１— １ 山西中考４５套汇编·数学 ２１— ２ 山西中考４５套汇编·数学 ２１— ３等于胸腹高．求这只风筝的骨架的总高． 由题意知ＰＮ＝ＤＭ＝１，ＤＰ＝ＢＣ＝ＭＮ＝１．２，ＢＮ＝ＣＭ，
ＰＥ＝ＤＥ－ＤＰ＝２．１－１．２＝０．９．
设ＡＢ＝ｘ，则ＣＤ＝ＣＡ＝ＡＢ＋ＢＣ＝ｘ＋１．２，
∴ＢＮ＝ＣＭ＝ＣＤ＋ＤＭ＝ｘ＋１．２＋１＝ｘ＋２．２． （４分）
ＰＥ ０．９
在Ｒｔ△ＰＮＥ中，ｔａｎ∠ＰＮＥ＝ ＝ ＝０．９．
ＰＮ １
ＡＢ
图（１） 图（２）
在Ｒｔ△ＢＮＡ中，∵ｔａｎ∠ＢＮＡ＝ ＝０．９，
ＢＮ
设胸腹高为ｘｃｍ，门条长为ｙｃｍ， （１分）
∴ＡＢ＝０．９ＢＮ，∴ｘ＝０．９（ｘ＋２．２），
{５
ｙ＋２ｘ＝ｙ， 解得ｘ＝１９．８．
由题意，得 ９ （３分）
答：纪念碑ＡＢ的高度约为１９．８ｍ． （６分）
１０＋ｙ＝５ｘ，
（３）小红的结果误差较大．原因可能是平台底部点 Ｃ不可直接到达，间接测量时产生了较大误差．（注：答案不唯
{ｘ＝２０，
解得 （５分） 一，合理即可） （８分）
ｙ＝９０，
２１．（本题９分） !"# ?@ABCD（２０２５兰州）阅读与思考
∴胸腹高为２０ｃｍ．
∵头部高、胸腹高与尾部高的比是１∶１∶２， “三等分角”是两千多年来数学史上最著名的古典四大问题之一，阿基米德等数学家通过巧妙的几何作
∴总高为２０×（１＋１＋２）＝８０（ｃｍ）． 图得到了解决“三等分角”问题的特例方法．某数学兴趣小组通过折纸与尺规作图相结合的方法探究“三
答：这只风筝骨架的总高为８０ｃｍ． （７分） 等分锐角”问题的解法，解决过程如下：
２０．（本题８分）（２０２５河南）焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑
操作步骤与演示图形
位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下．
如图（１），已知一个由正方形纸片的边ＰＫ与经过顶点Ｐ的直线ｌ构成的锐角α．按照以下步骤进行操作：
１
活动主题 测量纪念碑的高度
实物图
和测量
示意图
如图，纪念碑ＡＢ位于有台阶的平台ＢＣ上，太阳光下，其顶端Ａ的影子落在点Ｄ处，同一时刻，竖直
测量说明 放置的标杆ＤＥ顶端Ｅ的影子落在点 Ｆ处，位于点 Ｍ处的观测者眼睛所在位置为点 Ｎ，点 Ｎ，Ｅ，Ａ
在一条直线上，纪念碑底部点Ｂ在观测者的水平视线上．
测量数据 ＤＥ＝２．１ｍ，ＤＦ＝２．１ｍ，ＤＭ＝１ｍ，ＭＮ＝１．２ｍ．
备注 点Ｆ，Ｍ，Ｄ，Ｃ在同一水平线上．
根据以上信息，解决下列问题．
（１）由标杆的影子 ＤＦ的长和标杆 ＤＥ的长相等，可得 ＣＤ＝ＣＡ，请说明理由．
（２）求纪念碑 ＡＢ的高度．
（３）小红通过间接测量得到 ＣＤ的长，进而求出纪念碑 ＡＢ的高度约为 １８．５ｍ．查阅资料得知，纪念
碑的实际高度为１９．６４ｍ．请判断小红的结果和（２）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大
的可能原因（写出一条即可）．
（１）∵太阳光线是平行光线，∴∠ＥＦＤ＝∠ＡＤＣ．
又∠ＥＤＦ＝∠ＡＣＤ＝９０°，∴△ＥＦＤ∽△ＡＤＣ，
ＤＦ ＤＥ
∴ ＝ ．
ＣＤ ＣＡ
∵ＤＦ＝ＤＥ，∴ＣＤ＝ＣＡ． （２分）
（２）记ＮＢ与ＤＥ的交点为Ｐ．
山西中考４５套汇编·数学 ２１— ４ 山西中考４５套汇编·数学 ２１— ５ 山西中考４５套汇编·数学 ２１— ６
任意折出一条水平折痕
ｌ，ｌ与纸片左边交点
２ ２ 为Ｑ；再折叠将ＰＫ与ｌ
２ → 重合得到折痕 ｌ，ｌ与 ３ ３
纸片左边交点为 Ｎ，如
图（２）．
折叠使点 Ｑ，Ｐ分别
落在ｌ和 ｌ上，得到 １ ３
折痕 ｍ，对应点为→ Ｑ′，Ｐ′，ｍ交 ｌ于 Ｍ，
３
如图（３），（４）．
保持纸片折
叠， 再 沿
ＭＮ 折 叠，
→ 得到折痕 ｌ ４
的一部分，
如图（５）．
将纸片展开，再
沿ｌ折叠得到经
４ → 过点Ｐ的完整折
痕ｌ，如图（６）． ４
图（１） 图（２）
（２）５０ （９分）
２
解法提示：如图（３），∵α＝７５°，∴∠２＝７５°× ＝５０°，
３
∴∠１＝∠２＝５０°．
图（３）
２２．（本题１３分） !,- EFG1( 综合与实践
如图（１），隧道截面由抛物线的一部分 ＡＥＤ和矩形 ＡＢＣＤ构成，矩形的一边 ＢＣ为 １２米，另一边 ＡＢ
为２米．以 ＢＣ所在的直线为 ｘ轴，线段 ＢＣ的垂直平分线为 ｙ轴，建立平面直角坐标系 ｘＯｙ，规定一
个单位长度代表１米．Ｅ（０，８）是抛物线的顶点．
（１）求此抛物线对应的函数表达式．
将纸片折叠使边
（２）在隧道截面内（含边界）修建“ ”型或“ ”型栅栏，如图（２）、图（３）中粗线段所示，点 Ｐ，Ｐ 在
ＰＫ与 ｌ重合，折 １ ４
４ ｘ轴上，ＭＮ与矩形ＰＰＰＰ 的一边平行且相等．栅栏总长ｌ为图中粗线段ＰＰ，ＰＰ，ＰＰ，ＭＮ 痕为 ｌ．则直线 ｌ １ ２ ３ ４ １ ２ ２ ３ ３ ４
５ ４ 长度之和，请解决以下问题： 和 ｌ就是锐角 α ５
（ｉ）修建一个“ ”型栅栏，如图（２），点 Ｐ，Ｐ 在抛物线 ＡＥＤ上．设点 Ｐ 的横坐标为 ｍ（０＜ｍ≤ 的三等分线，如图 ２ ３ １
６），求栅栏总长 ｌ与 ｍ之间的函数表达式和 ｌ的最大值．
（７），（８）．
（ｉｉ）现修建一个总长为１８米的栅栏，有如图（３）所示的“ ”型和“ ”型两种设计方案，请你从
中选择一种，求出该方案下矩形 ＰＰＰＰ 面积的最大值，及取最大值时点 Ｐ 的横坐标的取值
１ ２ ３ ４ １
范围（Ｐ 在 Ｐ 右侧）．
１ ４
图（１） 图（２） 图（３） 图（４）
图（１） 图（２） 图（３）（方案一） 图（３）（方案二）
（１）由题意可知Ａ（－６，２）．
设此抛物线对应的函数表达式为ｙ＝ａｘ２＋ｃ（ａ≠０），将Ａ（－６，２），Ｅ（０，８）分别代入，
{ １
{３６ａ＋ｃ＝２， ａ＝－ ，
得 解得 ６
ｃ＝８，
图（５） 图（６） 图（７） 图（８） ｃ＝８，
１
故此抛物线对应的函数表达式为ｙ＝－ ｘ２＋８． （３分）
解 （１）请依据操作步骤与演示图形，通过尺规作图完成以下两个作图任务：（保留作图痕迹，不写作法） ６
决 任务一：在图（３）中，利用已给定的点Ｑ′作出点Ｐ′； （２）（ｉ）由题意得Ｐ（ｍ，０），
１
问 任务二：在图（６）中作出折痕ｌ．
５ １ １
将ｘ＝ｍ代入ｙ＝－ ｘ２＋８，得ｙ＝－ ｍ２＋８，
题 （２）若锐角α为７５°，则图（５）中ｌ与ｌ相交所成的锐角是 °．
２ ４ ６ ６
１
（１）任务一：点Ｐ′如图（１）所示． （４分） ∴Ｐ（ｍ，－ ｍ２＋８），
２ ６
任务二：折痕ｌ如图（２）所示． （７分）
５１ 否仍然成立．若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． ∵ＣＤ⊥ＯＢ，∴∠ＣＤＯ＝∠ＣＨＯ＝９０°．
∴Ｐ（－ｍ，－ ｍ２＋８），Ｐ（－ｍ，０），
３ ６ ４ （３）拓展应用 ∵ＯＣ＝ＯＣ，∴△ＣＤＯ≌△ＯＨＣ（ＡＡＳ），
１ ＧＦ ＯＤ ∴ＯＤ＝ＣＨ，
∴Ｐ
２
Ｐ
３
＝２ｍ，ＭＮ＝Ｐ
３
Ｐ
４
＝Ｐ
１
Ｐ
２
＝－
６
ｍ２＋８， 当０°＜∠ＡＯＢ＜１８０°，且∠ＡＯＢ≠９０°时，若 ＝３，请直接写出 的值．
∴ＯＤ＋ＯＥ＝ＣＨ＋ＨＧ，即ＯＤ＋ＯＥ＝ＣＧ． （９分）
ＥＦ ＣＤ
∴ｌ＝３（－
１
ｍ２＋８）＋２ｍ＝－
１
ｍ２＋２ｍ＋２４＝－
１
（ｍ－２）２＋２６． （３）
槡１５
或
槡３
． （１３分）
６ ２ ２ ３ ３
１ 解法提示：分两种情况讨论．
∵－ ＜０，０＜ｍ≤６，
２ ①当∠ＡＯＢ为锐角时，如图（５），可知ＯＥ＋ＣＧ＝ＯＤ．
∴当ｍ＝２时，ｌ的值最大，最大值为２６．
１
综上，栅栏总长ｌ与ｍ之间的函数表达式为ｌ＝－ ｍ２＋２ｍ＋２４，ｌ的最大值为２６． （９分）
２
（ｉｉ）方案一：设ＰＰ＝ＭＮ＝ＰＰ＝ｔ（０＜ｔ＜６），
１ ２ ３ ４ 图（１） 图（２）
则ＰＰ＝１８－３ｔ，
２ ３
∴Ｓ ＝ｔ（１８－３ｔ）＝－３（ｔ－３）２＋２７． （１）ＣＧ＋ＯＥ＝ＯＤ （２分）
∵－
矩
３
形
＜
Ｐ
０
１Ｐ
，
２Ｐ３Ｐ４
解法提示：如图（１），过点Ｃ作ＣＨ⊥ＯＡ于点Ｈ．
∴当ｔ＝３时，Ｓ 矩形Ｐ１Ｐ２Ｐ３Ｐ４ 的值最大，最大值为２７， （１０分） ∵
又
Ｏ
Ｏ
Ｃ
Ｃ
平
＝Ｏ
分
Ｃ
∠
，∴
ＡＯ
Ｒ
Ｂ
ｔ△
，Ｃ
Ｏ
Ｄ
Ｈ
⊥
Ｃ≌
ＯＢ
Ｒ
，
ｔ
∴
△
Ｃ
Ｏ
Ｈ
Ｄ
Ｃ
＝
（
Ｃ
Ｈ
Ｄ
Ｌ
!
）
"
，
#$C)DE.FG2． 图（５）
１ ∵ＣＧ⊥ＤＥ，ＯＥ⊥ＤＥ，∴ＣＧ∥ＯＥ，
将ｙ＝３代入ｙ＝－ ｘ２＋８，
∴ＯＨ＝ＯＤ．
６ ＣＧ ＧＦ
∵ＣＧ⊥ＤＥ，ＣＨ⊥ＯＡ，ＤＥ⊥ＯＨ， ∴△ＣＧＦ∽△ＯＥＦ，∴ ＝ ＝３，
解得ｘ＝ 槡３０，ｘ＝－ 槡３０， ＯＥ ＥＦ
１ ２ ∴四边形ＣＧＥＨ是矩形，
故可设ＯＥ＝ｘ，ＣＧ＝３ｘ，∴ＯＤ＝４ｘ，
∴Ｐ
４
横坐标的最小值为－ 槡３０，Ｐ
１
横坐标的最大值为槡３０．
∴ＨＥ＝ＣＧ．
当ｔ＝３时，Ｐ
１
Ｐ
４
＝Ｐ
２
Ｐ
３
＝１８－９＝９，
∵ＨＥ＋ＯＥ＝ＯＨ，∴ＣＧ＋ＯＥ＝ＯＤ．
∴ＤＥ＝槡（４ｘ）２－ｘ２＝ 槡１５ｘ．
∴Ｐ １ 横坐标的最小值为９－ 槡３０， （２）补全图形如图（２）所示． （４分） 图（１）
∵∠４＋∠ＣＤＧ＝９０°，∠３＋∠ＣＤＧ＝９０°，
∴∠４＝∠３．
∴Ｐ横坐标的取值范围为９－ 槡３０≤ｘ≤槡３０． （１３分） 不成立，正确结论为ＯＤ＋ＯＥ＝ＣＧ． （５分）
１ Ｐ１ 又∠ＤＥＯ＝∠ＣＧＤ＝９０°，∴△ＤＯＥ∽△ＣＤＧ（H%EIJCKLM：JENOHIJCKP.%C），
方案二：设ＭＮ＝ＰＰ＝ｎ（０＜ｎ＜９），则ＰＰ＝ＰＰ＝９－ｎ， 方法一：如图（３），过点Ｃ作ＣＨ⊥ＯＡ，垂足为点Ｈ．
２ ３ ３ ４ １ ２
９ ８１ ∵ＣＤ⊥ＯＢ，∴∠ＣＤＯ＝∠ＣＨＯ＝９０°． ∴ ＯＤ ＝ ＤＥ ＝ 槡１５ｘ ＝ 槡１５ ．
∴Ｓ ＝ｎ（９－ｎ）＝－（ｎ－ ）２＋ ．
矩形Ｐ１Ｐ２Ｐ３Ｐ４ ２ ４ ∵ＯＣ平分∠ＡＯＢ，∴∠１＝∠２． ＤＣ ＣＧ ３ｘ ３
∵－１＜０， ∵ＣＯ＝ＣＯ，∴△ＣＯＤ≌△ＣＯＨ（ＡＡＳ），
②当∠ＡＯＢ为钝角时，如图（６），可知ＯＤ＋ＯＥ＝ＣＧ．
９ ８１ ∴ＯＤ＝ＯＨ，∴ＯＤ＋ＯＥ＝ＯＨ＋ＯＥ＝ＨＥ． 同理可证 ＣＧ ＝ ＧＦ ＝３，
∴当ｎ＝ 时，Ｓ 的值最大，最大值为 ， （１０分） ＯＥ ＥＦ
２ 矩形Ｐ１Ｐ２Ｐ３Ｐ４ ４ ∵ＤＥ⊥ＯＡ，ＣＧ⊥ＤＥ，
９
∴∠ＤＥＯ＝∠ＣＧＤ＝∠ＣＨＯ＝９０°，
故可设ＯＥ＝ｘ，ＣＧ＝３ｘ，∴ＯＤ＝２ｘ，
此时ＰＰ＝ＰＰ＝ ．
３ ４ １ ２ ２ ∴四边形ＣＧＥＨ是矩形，∴ＨＥ＝ＣＧ， ∴ＤＥ＝槡（２ｘ）２－ｘ２＝ 槡３ｘ．
９ １ ∴ＯＤ＋ＯＥ＝ＣＧ． （９分） 图（２） 同理可证△ＤＯＥ∽△ＣＤＧ，
把ｙ＝ 代入ｙ＝－ ｘ２＋８，解得ｘ＝－ 槡２１，ｘ＝ 槡２１，
２ ６ １ ２ ＯＤ ＤＥ 槡３ｘ槡３
∴ ＝ ＝ ＝ ．
∴Ｐ横坐标的最小值为－ 槡２１，Ｐ横坐标的最大值为槡２１． ＤＣ ＣＧ ３ｘ ３
４ １
９ ９ ＯＤ 槡１５ 槡３
当ｎ＝ 时，ＰＰ＝ＰＰ＝ ， 综上可知， 的值为 或 ．
２ １ ４ ２ ３ ２ ＣＤ ３ ３
９
∴Ｐ横坐标的最小值为 － 槡２１，
１ ２
９
∴Ｐ横坐标的取值范围是 － 槡２１≤ｘ≤槡２１． （１３分）
１ ２ Ｐ１ 图（３） 图（４）
（两种方案写一种即可）
方法二：如图（４），过点Ｏ作ＯＨ⊥ＣＧ，垂足为点Ｈ，
２３．（本题１３分）（２０２５河南）综合与探究
则∠ＣＨＯ＝∠ＧＨＯ＝９０°．
在∠ＡＯＢ中，点 Ｃ是∠ＡＯＢ的平分线上一点，过点Ｃ作ＣＤ⊥ＯＢ，垂足为点Ｄ，过点Ｄ作 ＤＥ⊥ＯＡ，垂
∵ＤＥ⊥ＯＡ，ＣＧ⊥ＤＥ，
足为点 Ｅ，直线 ＤＥ，ＯＣ交于点 Ｆ，过点 Ｃ作 ＣＧ⊥ＤＥ，垂足为点 Ｇ． ∴∠ＤＥＯ＝∠ＣＧＥ＝∠ＧＨＯ＝９０°，
（１）观察猜想 ∴四边形ＨＧＥＯ是矩形，
图（６）
如图（１），当∠ＡＯＢ为锐角时，用等式表示线段 ＣＧ，ＯＥ，ＯＤ的数量关系： ＣＧ＋ＯＥ＝ＯＤ ． ∴ＣＧ∥ＥＡ，ＨＧ＝ＯＥ，∴∠ＨＣＯ＝∠ＡＯＣ．
（２）类比探究 ∵ＯＣ平分∠ＡＯＢ，∴∠ＡＯＣ＝∠ＤＯＣ，
如图（２），当∠ＡＯＢ为钝角时，请依据题意补全图形（不需要尺规作图），并判断（１）中的结论是 ∴∠ＨＣＯ＝∠ＤＯＣ．
山西中考４５套汇编·数学 ２１— ７ 山西中考４５套汇编·数学 ２１— ８ 山西中考４５套汇编·数学 ２１— ９１４． !,- ./01( （２０２５安徽）在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为 ２０ｇ
!!
和７０ｇ的物品后，天平倾斜（如图所示）．现从质量为 １０ｇ，２０ｇ，３０ｇ，４０ｇ的四件物品中，随机选取
２０２５年全国中考真题改编山西模式试卷（三）
１
… 两件放置在天平的左端托盘上，则天平恢复平衡的概率为 ．
３
数 学 １５．（２０２５陕西）如图，在ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝６，ＡＤ＝８，∠Ｂ＝６０°．动点 Ｍ，Ｎ分别在边 ＡＢ，ＡＤ上，且 ＡＭ＝
图（１） 图（２）
ＡＮ，以ＭＮ为边作等边三角形ＭＮＰ，使点Ｐ始终在ＡＢＣＤ的内部或边上．当△ＭＮＰ的面积最大时，
Ａ．１８ Ｂ．２０ Ｃ．２１ Ｄ．２３
ＤＮ的长为 ５ ．
（满分１２０分，考试时间１２０分钟）
９．（２０２５成都改编）如图，⊙Ｏ的半径为 １，Ａ，Ｂ，Ｃ是⊙Ｏ上的三个点．若四边形 ＯＡＢＣ为平行四边形，连接
三、解答题（本大题共８个小题，共７５分）
ＡＣ，则图中阴影部分的面积为 （Ｂ）
第Ⅰ卷 选择题（共 ３０分） １６．（本题共２个小题，每小题５分，共１０分）
π π π π
１ ２ ３
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
（２０２５连云港）（１）计算：（－２）×（－５）－ ９－（ ）０． （２）解方程： ＝ ．
１２ ６ ４ ３
一、选择题（本大题共１０个小题，每小题３分，共３０分） ２ ｘ＋１ ｘ
（１）原式＝１０－３－１ （３分）
１．（２０２５湖北）数轴上表示数 ａ，ｂ的点如图所示，下列判断正确的是 （Ａ）
＝６． （５分）
（２）去分母，得２ｘ＝３（ｘ＋１）， （２分）
Ａ．ａ＜ｂ Ｂ．ａ＞ｂ Ｃ．ｂ＜０ Ｄ．ａ＞０
解得ｘ＝－３， （４分）
２．（２０２５烟台）２０２５年４月２４日，神舟二十号载人飞船成功发射，以壮丽升空将第 １０个中国航天日从 检验：当ｘ＝－３时，ｘ（ｘ＋１）＝６≠０，
纪念变为庆祝．下列航天图案是中心对称图形的是 （Ｄ） 故ｘ＝－３是原方程的解． （５分）
１７．（本题７分） !,- EFG1( （２０２５福建）甲、乙两人是新华高级中学数学兴趣小组成员．
以下是他们在参加高中数学联赛预备队员集训期间的测试成绩及当地近五年高中数学联赛的相关
（第９题） （第１０题）
信息．
１０． !JK LMNOJP （２０２５河北）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如
信息一：甲、乙两人集训期间的测试成绩（单位：分）
图，正方形 ＥＦＧＨ与正方形 ＯＡＢＣ的顶点均为整点．若只将正方形 ＥＦＧＨ平移，使其内部（不含边界）有且
日期 ２月 ２月 ３月 ３月 ３月 ４月 ４月 ４月 ５月 ５月
３．（２０２５甘肃）下列计算正确的是 （Ｄ）
只有 Ａ，Ｂ，Ｃ三个整点，则平移后点 Ｅ的对应点坐标为 （Ａ） 队员 １０日 ２１日 ５日 １４日 ２５日 ７日 １７日 ２７日 ８日 ２０日
Ａ．２ａ２＋３ａ２＝６ａ２ Ｂ．ａ６÷ａ２＝ａ３ Ｃ．（ａ２）３＝ａ５ Ｄ．（３ａ）２＝９ａ２
７１１ ８２３ ３ ３ ９
甲 ７５ ８０ ７３ ８１ ９０ ８３ ８５ ９２ ９５ ９６
４．（２０２５河南）通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只 Ａ．（ ， ） Ｂ．（ ， ） Ｃ．（ ，２） Ｄ．（ ， ）
５ ５ ５１０ ２ ２ ４
有０．００００７４ｍ／ｓ，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“０．００００７４”用科学记数法表示为 （Ｃ） 乙 ８２ ８３ ８６ ８２ ９２ ８３ ８７ ８６ ８４ ８５
Ａ．０．７４×１０－４ Ｂ．７．４×１０－４ Ｃ．７．４×１０－５ Ｄ．７４×１０－６ 第Ⅱ卷 非选择题（共 ９０分） 其中，甲、乙成绩的平均数分别是 ｘ ＝８５，ｘ ＝８５；方差分别是 ｓ２＝５８．４，ｓ２＝ａ．
甲 乙 甲 乙
５．（２０２５河南）如图所示，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内 信息二：当地近五年高中数学联赛获奖分数线（单位：分）
二、填空题（本大题共５个小题，每小题３分，共１５分）
角的度数为 （Ｃ） 年份 ２０２０ ２０２１ ２０２２ ２０２３ ２０２４
１１．（２０２５广西）槡２× 槡５＝ 槡１０ ．
Ａ．１００° Ｂ．１１０° Ｃ．１２０° Ｄ．１３０°
获奖分数线 ９０ ８９ ９０ ８９ ９０
１２． !"# QRS2 （２０２５北京）某地区七年级共有 ２０００名男生．为了解这些男生的体重指数
（ＢＭＩ）分布情况，从中随机抽取了 １００名男生，测得他们的 ＢＭＩ数据（单位：ｋｇ／ｍ２），并根据七年级男生 试根据以上信息及你所学的统计学知识，解决以下问题：
（１）计算 ａ的值，并根据平均数与方差对甲、乙的成绩进行评价．
体质健康标准整理如下：
（２）计算当地近五年高中数学联赛获奖分数线的平均数，并说明若要从中选择一人参加高中数学联
等级 低体重 正常 超重 肥胖
赛，选谁更合适．
ＢＭＩ ≤１５．４ １５．５～２２．１ ２２．２～２４．９ ≥２５．０ （３）若要从中选择一人参加进一步的培养，从发展潜能的角度考虑，你认为选谁更合适？为什么？
１ １
人数 ６ ７５ １５ ４ （１）ｓ２＝ ×（９＋４＋１＋９＋４９＋４＋４＋１＋１＋０）＝ ×８２＝８．２，即ａ＝８．２． （１分）
（第５题） （第７题） 乙 １０ １０
根据以上信息，估计该地区七年级２０００名男生中 ＢＭＩ等级为正常的人数是 １５００ ． 因为ｘ＝８５，ｘ＝８５，ｓ２＝５８．４，
６．（２０２５北京）若关于 ｘ的一元二次方程 ａｘ２＋２ｘ＋１＝０有两个相等的实数根，则实数 ａ的值为 （Ｃ） 甲 乙 甲
１３．（２０２５安徽）如图，ＡＢ是⊙Ｏ的弦，ＰＢ与⊙Ｏ相切于点 Ｂ，圆心 Ｏ在线段 ＰＡ上．已知∠Ｐ＝５０°，则∠ＰＡＢ 所以ｘ＝ｘ，ｓ２＞ｓ２，
Ａ．－４ Ｂ．－１ Ｃ．１ Ｄ．４ 甲 乙 甲 乙
的大小为 ２０ °． 所以甲、乙两人的整体水平相当，但乙的成绩比甲稳定． （３分）
７． !,- ./01( （２０２５湖北）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流 Ｉ（单位：Ａ）与 １
电阻Ｒ（单位：Ω）成反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻Ｒ大于９Ω时，电流Ｉ可能是 （Ａ） $ 1 ' （２）由已知得，获奖分数线的平均数为ｘ＝９０＋ ５ ×（－２）＝８９．６， （４分）
Ａ．３Ａ Ｂ．４Ａ Ｃ．５Ａ Ｄ．６Ａ 0 从信息一可知，在集训期间的十次测试成绩中，甲达到获奖分数线的平均数的频数为 ４，而乙的频数为 １，所
以甲获奖的可能性更大，故选甲参加更合适． （５分）
８． !"# HI （２０２５陕西改编）生活中常按图（１）的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的 3
（３）选甲更合适．理由：在集训期间的十次测试成绩中，甲呈上升趋势，而乙基本稳定在原有的水平，故从发
矩形按规律设计图案，如图（２），第１个图案用了３个矩形，第 ２个图案用了 ５个矩形，第 ３个图案用 % &
展潜能的角度考虑，选甲更合适． （７分）
了７个矩形……则第１０个图案需要用的矩形的个数为 （Ｃ） （第１３题） （第１４题） （第１５题） 注：本题第三问为开放性试题，无论选甲或选乙，只要言之有理即可．
山西中考４５套汇编·数学 ２２— １ 山西中考４５套汇编·数学 ２２— ２ 山西中考４５套汇编·数学 ２２— ３１８．（本题８分）（２０２５北京）在平面直角坐标系ｘＯｙ中，函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）的图象经过点（１，３）和（２，５）． 分析可知，ｍ的取值范围是２≤ｍ≤３． ＰＨ ｘ
∴ＢＨ＝ ≈ ． （３分）
（１）求 ｋ，ｂ的值； １９．（本题７分） !45 TUVWXYQZ[ （２０２５连云港）如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸 ｔａｎ∠ＰＢＨ １００．００
（２）当ｘ＜１时，对于ｘ的每一个值，函数ｙ＝ｍｘ（ｍ≠０）的值既小于函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ的值，也小于函数ｙ＝
盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等．
在Ｒｔ△ＡＰＨ中，∠ＰＡＨ＝８９°２２′３８．０９″，
ｘ＋ｋ的值，直接写出 ｍ的取值范围． （１）现用２００张正方形硬纸片和４００张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒各多少个？ ＰＨ ｘ
∴ＡＨ＝ ≈ ， （６分）
（１）将（１，３），（２，５）分别代入ｙ＝ｋｘ＋ｂ，
（２）如果需要制作１００个长方体纸盒，要求乙种纸盒数量不低于甲种纸盒数量的一半，那么至少需要多
ｔａｎ∠ＰＡＨ ９２．００
得
{ｋ＋ｂ＝３，
解得
{ｋ＝２，
（４分） 少张正方形硬纸片？ ∵ＡＢ＝ＢＨ＋ＡＨ＝０．８，∴
ｘ
＋
ｘ
＝０．８，
２ｋ＋ｂ＝５， ｂ＝１． １００．００９２．００
（２）２≤ｍ≤３． （８分） 解得ｘ≈３８．
解法提示：由题可知，当ｘ＜１时，对于ｘ的每一个值，函数 ｙ＝ｍｘ（ｍ≠０）的值既小于函数 ｙ＝２ｘ＋１的值，也小 答：月球与地球之间的近似距离ＰＨ是３８万千米． （８分）
于函数ｙ＝ｘ＋２的值． ２１．（本题９分）（２０２５深圳改编）阅读与思考
令２ｘ＋１＝ｘ＋２，解得ｘ＝１，此时ｙ＝３， 下面是小军数学日记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务．
即函数ｙ＝２ｘ＋１与函数ｙ＝ｘ＋２的图象交于点（１，３），画出大致图象进行判断．
（１）设恰好能制作甲种纸盒ｘ个，乙种纸盒ｙ个．
①当ｍ＜０时，大致图象如图（１）所示，可知此时存在ｘ＜１且ｍｘ＞２ｘ＋１，ｍｘ＞ｘ＋２的情况，不满足题意． “双等四边形”
{ｘ＋２ｙ＝２００， {ｘ＝４０，
根据题意，得 解这个方程组，得
【探索发现】如图（１），小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形．
４ｘ＋３ｙ＝４００． ｙ＝８０．
【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三
答：恰好能制作甲种纸盒４０个，乙种纸盒８０个． （３分）
角形的顶角，此时两个三角形拼成的凸四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为这
（２）设制作乙种纸盒ｍ个，需要ｗ张正方形硬纸片． 图（１）
个四边形的“伴随三角形”．
则ｗ＝２ｍ＋（１００－ｍ）＝１００＋ｍ．
【问题探究】
由ｋ＝１＞０，知ｗ随ｍ的增大而增大，所以当ｍ最小时，ｗ有最小值．
探究一：如图（２），在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，ＡＣ＝ＡＤ，∠Ｄ＝∠ＢＡＣ．此时，四边形 ＡＢＣＤ是“双等
１ １００
根据题意，得ｍ≥ （１００－ｍ），解得ｍ≥ ，其中最小整数解为３４． 四边形”，△ＡＢＣ是四边形ＡＢＣＤ的“伴随三角形”．若∠Ｂ＝６８°，则∠Ｄ＝ °．
２ ３
探究二：如图（３），在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ＝ＣＤ，∠Ｄ＝∠ＢＡＣ．
即当ｍ＝３４时，ｗ＝１００＋３４＝１３４．
请你写出ＡＤ与ＢＣ的位置关系： ．
答：至少需要１３４张正方形硬纸片． （７分）
图（１） 继续探究ＡＣ，ＡＤ，ＢＣ之间的数量关系．过程如下： 图（２）
２０．（本题８分）（２０２５兰州）天文学家运用三角函数解决了曾困扰古人数百年的难题．某天文研究小组探究
②当ｍ＞０时， ∵ＡＢ＝ＡＣ，ＤＡ＝ＤＣ，
用三角函数知识计算月球与地球之间距离的方法，通过查阅资料、实际观测、获得数据和计算数据，得出
若０＜ｍ＜２，大致图象如图（２）所示，可知此时存在ｘ＜１且ｍｘ＞２ｘ＋１的情况，不满足题意． ……
月球与地球之间的近似距离．具体研究方法与过程如下表：
问题 月球与地球之间的距离约为多少？
图（３）
工具 天文望远镜、天文经纬仪等
月球、地球的实物图与平面示意图
任务：
（１）探究一中横线上应填 ：４４ ．
探究二中横线上应填： ＡＤ∥ＢＣ ，请你补全探究二中的解答过程．
（２）如图（４），在△ＡＢＣ中，ＡＣ＝ＢＣ．将△ＡＢＣ绕点Ａ逆时针旋转，得到△ＡＤＥ，其中点Ｄ恰好落在ＢＣ
图（２） 图（３） 边上，求证：四边形 ＡＢＤＥ是“双等四边形”．
随着ｍ值的增大，函数ｙ＝ｍｘ的图象绕点Ｏ逆时针旋转，当 ｍ＝２时，大致图象如图（３）所示，可知此时满足 （３）如图（５），以线段 ＡＢ为一边作“双等四边形 ＡＢＣＤ”，并使得四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形（要求：
题意． 尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
当函数ｙ＝ｍｘ的图象经过点（１，３）时，ｍ＝３，大致图象如图（４）所示，可知此时满足题意．
为了便于观测月球，在地球上先确定两个观测点Ａ，Ｂ，以线段ＡＢ作为基准线，再借助天文经纬仪从 Ａ，Ｂ两点
说明 同时观测月球Ｐ（将月球抽象为一个点），并测得∠ＡＢＰ和∠ＢＡＰ的度数．根据实际问题画出平面示意图（如上
图），过点Ｐ作ＰＨ⊥ＡＢ于点Ｈ，连接ＡＰ，ＢＰ．
数据 ＡＢ≈０．８万千米，∠ＡＢＰ＝８９°２５′３７．４３″，∠ＢＡＰ＝８９°２２′３８．０９″． 图（４） 图（５）
（１）４４ （１分）
根据以上信息，求月球与地球之间的近似距离 ＰＨ．（结果精确到１万千米）
ＡＤ∥ＢＣ （２分）
（参考数据：ｔａｎ８９°２５′３７．４３″≈１００．００，ｔａｎ８９°２２′３８．０９″≈９２．００，ｓｉｎ８９°２５′３７．４３″≈０．９９９９５，
１８０°－∠ＢＡＣ １８０°－∠Ｄ
ｓｉｎ８９°２２′３８．０９″≈０．９９９９４，ｃｏｓ８９°２５′３７．４３″≈０．００９９９，ｃｏｓ８９°２２′３８．０９″≈０．０１０８７） 解法提示：∵ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ＝ＣＤ，∠ＢＡＣ＝∠Ｄ，∴∠ＡＣＢ＝ ，∠ＤＡＣ＝ ，∴∠ＡＣＢ＝∠ＤＡＣ，
２ ２
设ＰＨ＝ｘ万千米 ．
图（４） 图（５） ∴ＡＤ∥ＢＣ．
在Ｒｔ△ＢＰＨ中，∠ＰＢＨ＝８９°２５′３７．４３″，
当ｍ＞３时，大致图象如图（５）所示，可知此时存在ｘ＜１且ｍｘ＞２ｘ＋１，ｍｘ＞ｘ＋２的情况，不满足题意． 补全解答过程如下：
山西中考４５套汇编·数学 ２２— ４ 山西中考４５套汇编·数学 ２２— ５ 山西中考４５套汇编·数学 ２２— ６ＡＢ ＡＣ 故王师傅在反应时间内行驶的最大路程是１６ｍ． ∴∠ＢＭＣ＝１５０°＝∠ＡＥＢ．
∴ ＝ ．
ＤＡ ＤＣ 对于ｖ＝－５ｔ＋２０，当ｖ＝５时，ｔ＝３． 在菱形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ＢＣ，∠ＡＢＣ＝６０°，
又∵∠ＢＡＣ＝∠Ｄ， 将ｔ＝３代入ｓ＝－２．５ｔ２＋２０ｔ，得ｓ＝３７．５． ∴∠ＡＢＥ＋∠ＣＢＥ＝６０°．
∴△ＡＢＣ∽△ＤＡＣ， ∵３７．５＋１６＝５３．５＜６０， 又∠ＢＣＥ＋∠ＣＢＥ＝∠ＰＥＣ＝６０°，
ＡＣ ＢＣ ∴王师傅能在到达窄路时将车速降至５ｍ／ｓ以下． （１３分） ∴∠ＡＢＥ＝∠ＢＣＥ， （６分）
∴ ＝ ， 图（２）
ＣＤ ＡＣ ２３．（本题１３分）（２０２５贵州改编）综合与探究 ∴△ＡＢＥ≌△ＢＣＭ， （７分）
∴ＡＣ２＝ＢＣ·ＣＤ． 如图，在菱形 ＡＢＣＤ中，∠ＡＢＣ＝６０°，点 Ｐ为线段 ＡＣ上一动点，点 Ｅ为射线 ＢＰ上的一点（点 Ｅ与点 Ｂ不 ∴ＢＥ＝ＣＭ＝ＭＥ，
∵ＣＤ＝ＡＤ， 重合）． ∴ＥＣ＝２ＢＥ． （９分）
∴ＡＣ２＝ＢＣ·ＡＤ． （４分） 【问题解决】 １０
（３） 或２． （１３分）
（２）证明：由旋转可知，ＡＢ＝ＡＤ，ＡＥ＝ＡＣ，ＤＥ＝ＢＣ，∠Ｂ＝∠ＡＤＥ， （１）如图（１），若点 Ｐ与线段 ＡＣ的中点 Ｏ重合，则∠ＰＢＣ＝ ３０ 度，线段 ＢＰ与线段 ＡＣ的位置关系是 ３
∴∠Ｂ＝∠ＡＤＢ，
ＢＰ⊥ＡＣ ．
解法提示：由题意知，ＥＦ＝ＢＥ，∠ＢＥＦ＝１２０°，ＢＥ＝２ＦＧ．
∴∠ＢＡＤ＝１８０°－∠Ｂ－∠ＡＤＢ＝１８０°－２∠Ｂ． ∵在菱形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ＝ＢＣ，∠ＡＢＣ＝６０°，
【问题探究】
∵ＡＣ＝ＢＣ，∴ＡＥ＝ＤＥ， ∴∠ＢＡＤ＝１８０°－∠ＡＢＣ＝１２０°，△ＡＢＣ是等边三角形，
（２）如图（２），在点 Ｐ运动过程中，点 Ｅ在线段 ＢＰ上，且∠ＡＥＰ＝３０°，∠ＰＥＣ＝６０°，探究线段 ＢＥ与线段
∴∠ＥＡＤ＝∠ＥＤＡ， ∴ＡＣ＝ＡＢ＝５．
ＥＣ的数量关系，并说明理由．
∴∠Ｅ＝１８０°－∠ＥＡＤ－∠ＥＤＡ＝１８０°－２∠ＥＤＡ， 分以下两种情况进行讨论．
【拓展延伸】
∴∠ＢＡＤ＝∠Ｅ， 记Ｏ为ＡＣ的中点．
（３）在点 Ｐ运动过程中，将线段 ＢＥ绕点 Ｅ逆时针旋转１２０°得到 ＥＦ，射线 ＥＦ交射线 ＢＣ于点 Ｇ，若 ＢＥ＝
∴四边形ＡＢＤＥ是“双等四边形”． （７分） ①如图（３），当点Ｐ在线段ＯＣ上时，射线ＢＰ交ＡＤ的延长线于点Ｋ．
２ＦＧ，ＡＢ＝５，请直接写出 ＡＰ的长．
（３）作图如图所示． （９分） ∵∠ＢＥＧ＝∠ＢＡＤ＝１２０°，ＡＤ∥ＢＣ，∴∠ＧＢＥ＝∠ＡＫＢ，
∴△ＢＥＧ∽△ＫＡＢ．
ＫＡ ＢＥ
易得ＢＥ＝２ＥＧ，∴ ＝ ＝２．
ＡＢ ＥＧ
∵ＡＤ∥ＢＣ，
ＡＰ ＫＡ ＫＡ
解法提示：在ＡＢＣＤ中，∠Ａ＝∠Ｃ．连接ＢＤ，易知ＢＤ为等腰三角形 ＡＢＤ的腰，当点 Ｂ为顶角顶点时，∠Ａ＝ 图（１） 图（２） 备用图 ∴△ＡＰＫ∽△ＣＰＢ，∴ ＝ ＝ ＝２，
ＰＣ ＢＣ ＡＢ
∠ＡＤＢ!"#$-(’-C2，∠Ｃ＝∠ＡＢＤ!"#$HQ-/(0K.RS2，∴∠ＡＤＢ＝∠Ａ＝∠ＡＢＤ＝６０°，
２ １０
∴∠Ｃ＝６０°，∴△ＡＢＤ和△ＢＣＤ均为等边三角形．当点Ｄ为顶角顶点时，同理可得△ＡＢＤ和△ＢＣＤ均为等边 （１）３０ ＢＰ⊥ＡＣ （４分） ∴ＡＰ＝ ＡＣ＝ ．
（２）２ＢＥ＝ＥＣ． ３ ３
三角形．据此画图即可．
解法一（旋转法）：
２２．（本题１３分）（原创）综合与实践
理由：如图（１），将△ＢＥＣ绕点Ｂ逆时针旋转６０°得到△ＢＥ′Ａ，连接ＥＥ′， （５分）
随着家用小轿车的普及，交通安全已经成为千家万户关注的焦点，保持安全车距是预防交通事故的
关键．某兴趣小组经调查了解到某型号汽车正常刹车后车速每秒减少 ａｍ，当开始刹车时的车速为
２０ｍ／ｓ时，刹车后的速度 ｖ（ｍ／ｓ）、刹车后行驶的距离 ｓ（ｍ）与刹车后行驶的时间 ｔ（ｓ）之间的关系如
下表：
图（３） 图（４）
ｔ／ｓ ０ １ ２ …
图（１） ②如图（４），当点Ｐ在线段ＡＯ上时，射线ＢＰ交线段ＡＤ于点Ｋ′，
ｖ／（ｍ／ｓ） ２０ １５ １０ … 则△ＢＥＣ≌△ＢＥ′Ａ，△ＢＥＥ′为等边三角形，∠ＢＥ′Ａ＝∠ＢＥＣ，
同①可证得△ＢＥＧ∽△Ｋ′ＡＢ，
∴ＡＥ′＝ＥＣ，ＢＥ＝ＢＥ′＝ＥＥ′．
ｓ／ｍ ０ １７．５ ３０ … ２ Ｋ′Ａ ＢＥ ２
易得ＢＥ＝ ＥＧ，∴ ＝ ＝ ．
∵∠ＰＥＣ＝６０°，∴∠ＢＥ′Ａ＝∠ＢＥＣ＝１２０°．
（１）ｖ与ｔ之间的函数关系式为 ｖ＝－５ｔ＋２０ ，ａ＝ ５ ． ３ ＡＢ ＥＧ ３
在等边三角形ＢＥＥ′中，∠ＢＥＥ′＝∠ＢＥ′Ｅ＝６０°，
（２）已知 ｓ与 ｔ是二次函数关系，求 ｓ的最大值．
∵ＡＤ∥ＢＣ，∴△ＡＫ′Ｐ∽△ＣＢＰ，
∴∠ＢＥＥ′＋∠ＢＥＣ＝１８０°，∠ＡＥ′Ｅ＝∠ＢＥ′Ａ－∠ＢＥ′Ｅ＝６０°，
ＡＰ Ｋ′Ａ Ｋ′Ａ ２
（３）一般司机在遇到紧急情况时，从发现情况到正常刹车的反应时间最大为 ０．８ｓ．王师傅驾驶该型 ∴Ｃ，Ｅ，Ｅ′三点共线． （６分） ∴ ＝ ＝ ＝ ，
ＰＣ ＢＣ ＡＢ ３
号汽车以２０ｍ／ｓ的速度行驶，突然发现导航提示前面６０ｍ处路面变窄，需要将车速降至 ５ｍ／ｓ
∵∠ＡＥＰ＝３０°，∴∠ＡＥＣ＝∠ＡＥＰ＋∠ＰＥＣ＝９０°，
２
以下才能安全通过，王师傅反应后正常刹车，则他能否在到达窄路时将车速降至 ５ｍ／ｓ以下？ ∴∠ＡＥＥ′＝９０°． ∴ＡＰ＝ ＡＣ＝２．
５
请通过计算说明． ＥＥ′ １
在Ｒｔ△ＡＥＥ′中， ＝ｃｏｓ∠ＡＥ′Ｅ＝ ， （７分） １０
（１）ｖ＝－５ｔ＋２０ ５ （２分） ＡＥ′ ２ 综上，ＡＰ的长为 或２．
３
（２）设ｓ＝ｐｔ２＋ｑｔ， ＢＥ ＥＥ′ １
∴ ＝ ＝ ，∴ＥＣ＝２ＢＥ． （９分）
将（１，１７．５），（２，３０）分别代入ｓ＝ｐｔ２＋ｑｔ， ＥＣ ＡＥ′ ２
{ｐ＋ｑ＝１７．５， {ｐ＝－２．５， 解法二（截长法）：
得 解得
４ｐ＋２ｑ＝３０， ｑ＝２０， 理由：如图（２），在线段ＥＣ上取一点Ｍ，使ＢＥ＝ＭＥ． （５分）
∴ｓ＝－２．５ｔ２＋２０ｔ＝－２．５（ｔ－４）２＋４０， ∵∠ＡＥＰ＝３０°，∴∠ＡＥＢ＝１５０°．
∴当ｔ＝４时，ｓ取得最大值４０． （７分） １
∵∠ＰＥＣ＝６０°，∴∠ＥＢＭ＝∠ＥＭＢ＝ ∠ＰＥＣ＝３０°，
（３）２０×０．８＝１６（ｍ）， ２
山西中考４５套汇编·数学 ２２— ７ 山西中考４５套汇编·数学 ２２— ８ 山西中考４５套汇编·数学 ２２— ９!$
２０２５年全国中考真题改编山西模式试卷（四）
数 学
（满分１２０分，考试时间１２０分钟）
第Ⅰ卷 选择题（共 ３０分） （第８题） （第９题） （第１０题）
９． !,- ./01( （２０２５河南）汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，
一、选择题（本大题共１０个小题，每小题３分，共３０分）
它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数 μ与车速 ｖ（ｋｍ／ｈ）之间的函数关系如图所示．
１．（２０２５江西）下列各数中，是无理数的是 （Ｂ）
下列说法中错误的是 （Ｃ）
２ 獉獉
Ａ．汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为０．９
Ａ．０ Ｂ．槡２ Ｃ．３．１４ Ｄ．
３
Ｂ．当０≤ｖ≤６０时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小
２．（２０２５扬州）窗棂是中国传统木构建筑的重要元素，既散发着古典之韵，又展现了几何之美．下列窗棂
Ｃ．要使这款轮胎的摩擦系数不低于０．７１，车速应不低于６０ｋｍ／ｈ
图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是 （Ｃ）
Ｄ．若车速从２５ｋｍ／ｈ增大到６０ｋｍ／ｈ，则这款轮胎的摩擦系数减小０．０４
１０．（２０２５烟台改编）如图，正六边形ＡＢＣＤＥＦ的边长为４，中心为点Ｏ，以点Ｏ为圆心，ＡＢ长为半径作圆心角
为１２０°的扇形，则图中阴影部分的面积为 （Ａ）
１６π １６π １４π １４π
Ａ． －８槡３ Ｂ． －４槡３ Ｃ． －８槡３ Ｄ． －４槡３
３ ３ ３ ３
３．（２０２５湖北）下列运算的结果为 ｍ６的是 （Ｃ）
第Ⅱ卷 非选择题（共 ９０分）
Ａ．ｍ３＋ｍ３ Ｂ．ｍ２·ｍ３ Ｃ．（ｍ２）３ Ｄ．ｍ４÷ｍ２
４． !"# $\]^?_‘aD （２０２５陕西）上马石是古人上下马的工具，形状如图（１）．它可以 二、填空题（本大题共５个小题，每小题３分，共１５分）
看作图（２）所示的几何体，该几何体的俯视图为 （Ｄ） １１．（２０２５北京）能说明命题“若 ａ２＞４ｂ２，则 ａ＞２ｂ”是假命题的一组实数 ａ，ｂ的值为 ａ＝ －３ ，ｂ＝ １（答案不
唯一） ．
１２．（２０２５甘肃改编）如图，四边形 ＡＢＣＤ内接于⊙Ｏ，ＡＢ
图（１） 图（２） Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
５．（２０２５成都）在平面直角坐标系 ｘＯｙ中，点 Ｐ（－２，ａ２＋１）所在的象限是 （Ｂ）
Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限
６．（２０２５连云港）如图，在△ＡＢＣ中，ＢＣ＝７，ＡＢ的垂直平分线分别交 ＡＢ，ＢＣ于点 Ｄ，Ｅ，ＡＣ的垂直平分
线分别交 ＡＣ，ＢＣ于点 Ｆ，Ｇ，则△ＡＥＧ的周长为 （Ｃ）
Ａ．５ Ｂ．６ Ｃ．７ Ｄ．８
７．（２０２５河南）一元二次方程 ｘ２－２ｘ＝０的根的情况是 （Ａ）
Ａ．有两个不相等的实数根 Ｂ．有两个相等的实数根
Ｃ．只有一个实数根 Ｄ．没有实数根
８． !45 bc （２０２５长春改编）长春市人民广场是中心景观类环岛型交通广场，以开阔的空
间、精美的建筑和多彩的绿化而驰名．如图，甲、乙两辆车从人民大街由南向北驶入人民广场，它们各
自从 ａ，ｂ，ｃ三个出口中随机选择一个出口驶出，则甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率为 （Ｄ）
１ １ １ １
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
１２ ９ ６ ３
山西中考４５套汇编·数学 ２３— １ 山西中考４５套汇编·数学 ２３— ２ 山西中考４５套汇编·数学 ２３— ３
) ＝ＢＣ )
＝５＋３槡３－１
＝４＋３槡３． （５分）
２ １
（２）（２０２５安徽）先化简，再求值： ÷ ，其中 ｘ＝３．
ｘ２＋２ｘ＋１ｘ２－１
２
（２）原式＝ ·（ｘ２－１）
ｘ２＋２ｘ＋１
２
＝ ·（ｘ＋１）（ｘ－１）
（ｘ＋１）２
２ｘ－２
＝ ． （３分）
ｘ＋１
２×３－２
当ｘ＝３时，原式＝ ＝１． （５分）
３＋１
１７．（本题７分）（２０２５甘肃）如图，一次函数 ｙ＝ｘ＋４的图象交 ｘ轴于点 Ａ，交反比例
ｋ
函数 ｙ＝ （ｋ≠０，ｘ＜０）的图象于点 Ｂ（－１，ａ）．将一次函数 ｙ＝ｘ＋４的图象向下平
ｘ
移 ｍ（ｍ＞０）个单位长度，所得的图象交 ｘ轴于点 Ｃ．
ｋ
（１）求反比例函数 ｙ＝ 的表达式；
ｘ
（２）当△ＡＢＣ的面积为３时，求 ｍ的值．
ｋ
（１）∵ｙ＝ｘ＋４的图象与ｙ＝ （ｋ≠０，ｘ＜０）的图象交于点Ｂ（－１，ａ），
ｘ
∴ａ＝－１＋４＝３，∴Ｂ（－１，３）， （２分）
∴ｋ＝－１×３＝－３，
３
∴反比例函数的表达式为ｙ＝－ ． （３分）
ｘ
（２）如图，过点Ｂ作ＢＤ⊥ｘ轴，垂足为Ｄ，
，连接 ＢＤ．若∠ＡＢＣ＝７０°，则∠ＢＤＣ的度数为 ∵Ｂ（－１，３），∴ＢＤ＝３．
５５ °． １
又∵Ｓ ＝ ＡＣ·ＢＤ＝３，
△ＡＢＣ ２
１
即 ＡＣ×３＝３，∴ＡＣ＝２． （５分）
２
∵一次函数ｙ＝ｘ＋４的图象与ｘ轴交于点Ａ，
∴Ａ（－４，０）．
将一次函数ｙ＝ｘ＋４的图象向下平移ｍ（ｍ＞０）个单位长度，得到直线ｙ＝ｘ＋４－ｍ，
（第１２题） （第１３题） （第１４题） （第１５题） 令ｙ＝０，得ｘ＝ｍ－４，∴Ｃ（ｍ－４，０），
１３．（２０２５福建）如图，菱形 ＡＢＣＤ的对角线相交于点 Ｏ，ＥＦ过点 Ｏ且与边 ＡＢ，ＣＤ分别相交于点 Ｅ，Ｆ．若 ∴ＡＣ＝ｍ－４－（－４），即２＝ｍ－４－（－４），
ＯＡ＝２，ＯＤ＝１，则△ＡＯＥ与△ＤＯＦ的面积之和为 １ ． ∴ｍ＝２． （７分）
１４．（２０２５福建改编）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为 ５米的篱笆，在两边都足够长的 １８．（本题８分）（２０２５天津）为了解某校学生每月参加志愿服务的时间（单位：ｈ），随机调查了该校 ａ名
直角围墙的一角，围出一块６平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为 ｘ米，根据 学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图（１）和图（２）．
题意可列方程为 ｘ（５－ｘ）＝６ ．
１５．（２０２５成都改编）如图，在ＡＢＣＤ中，点 Ｅ在 ＢＣ边上，点 Ｂ关于直线 ＡＥ的对称点 Ｆ落在ＡＢＣＤ内，射
线 ＡＦ交边 ＣＤ于点 Ｇ，射线 ＥＦ交边 ＣＤ于点 Ｑ．若 ＣＥ＝ＢＥ，ＣＧ＝３，ＧＱ＝５，则 ＤＱ的长为 ４ ．
三、解答题（本大题共８个小题，共７５分）
１６．（本题共２个小题，每小题５分，共１０分）
１
（１）（２０２５北京）计算：｜－３｜＋２７＋（ ）－１－２ｓｉｎ３０°．
２
１
（１）原式＝３＋３槡３＋２－２× （３分）
２ 图（１） 图（２）请根据相关信息，解答下列问题： 任务：
（１）填空：ａ的值为 ４０ ，图（１）中 ｍ的值为 ２５ ，统计的这组学生每月参加志愿服务的时间数据的 １．ＡＤ＝４ｍ （１）请你在图（２）中画出符合题意的点Ｍ，Ｎ，并使得ＡＣ⊥ＭＮ．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写
实 测
众数和中位数分别为 ４ ｈ和 ３ ｈ； ２．ＢＤ＝１０ｍ 作法）
验 量
（２）求统计的这组学生每月参加志愿服务的时间数据的平均数； ３．ＢＨ＝１３．５ｍ （２）如图（３），⊙Ｏ的半径为１．
图 数
（３）根据样本数据，若该校共有１０００名学生，估计该校学生每月参加志愿服务的时间是４ｈ的人数． ４．∠ＥＦＧ＝４３° １ ４
示 据
（１）４０ ２５ ４ ３ （４分） ５．∠ＭＮＧ＝２１．８°
①在点 Ａ
１
（
２
，０），Ａ
２
（
３
，０），Ａ
３
（２，０）中，点 Ａ
３
是⊙Ｏ的关联点且其与⊙Ｏ的关联角度小于
（２）观察条形统计图， ９０°，该点与⊙Ｏ的关联角度为 ６０ °；
１×５＋２×６＋３×１０＋４×１４＋５×５ １．图上所有点均在同一平面内；２．ＡＥ，ＣＤ，ＦＢ，ＮＨ均与地面垂直． ②点 Ｂ（１，ｍ）在第一象限，若对于任意长度小于 １的线段 ＢＤ，ＢＤ上所有的点都是⊙Ｏ的关联
∵ｘ＝ ＝３．２（ｈ），
５＋６＋１０＋１４＋５ 备注 参考数据：ｓｉｎ２１．８°≈０．３７，ｃｏｓ２１．８°≈０．９３，ｔａｎ２１．８°≈０．４０； 点，求 ｍ的最小值．
∴这组数据的平均数是３．２ｈ． （６分） ｓｉｎ４３°≈０．６８，ｃｏｓ４３°≈０．７３，ｔａｎ４３°≈０．９３．
（３）∵在所抽取的样本中，每月参加志愿服务的时间是４ｈ的学生占３５％，
请你根据以上实验过程和测量的数据，计算校徽的高度 ＥＭ的值．
∴根据样本数据，估计该校１０００名学生中，每月参加志愿服务的时间是４ｈ的学生占３５％，有１０００×３５％＝３５０
易得四边形ＦＢＡＧ，四边形ＮＨＡＧ为矩形，
（人）．
∴估计该校学生每月参加志愿服务的时间是４ｈ的人数为３５０． （８分）
∴ＦＧ＝ＡＢ＝ＡＤ＋ＢＤ＝４＋１０＝１４（ｍ），ＮＧ＝ＡＨ＝ＡＤ＋ＤＢ＋ＢＨ＝４＋１０＋１３．５＝２７．５（ｍ）．
１９．（本题７分）（２０２５成都）２０２５年８月７日至１７日，第１２届世界运动会将在成都举行，与运动会吉祥 ＥＧ
∵在Ｒｔ△ＥＦＧ中，ｔａｎ∠ＥＦＧ＝ ，
ＦＧ
物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱．某文旅中心在售 Ａ，Ｂ两种吉祥物挂件，已知每个
ＥＧ ＥＧ
４
∴ｔａｎ４３°＝ ，即０．９３≈ ，
Ｂ种挂件的价格是每个Ａ种挂件价格的 ，用３００元购买Ｂ种挂件的数量比用２００元购买Ａ种挂件
１４ １４
５
图（３）
∴ＥＧ＝１４×０．９３＝１３．０２（ｍ）． （４分）
的数量多７个．
（１）作图如图（１）所示． （３分）
ＭＧ
（１）求每个 Ａ种挂件的价格； 在Ｒｔ△ＭＮＧ中，ｔａｎ∠ＭＮＧ＝ ，
ＮＧ
（２）某游客计划用不超过６００元购买 Ａ，Ｂ两种挂件，且购买 Ｂ种挂件的数量比 Ａ种挂件的数量多
ＭＧ ＭＧ
５个，求该游客最多购买多少个 Ａ种挂件． ∴ｔａｎ２１．８°＝ ，即０．４０≈ ，
２７．５ ２７．５
４
（１）设每个Ａ种挂件的价格为ｘ元，则每个Ｂ种挂件的价格为 ｘ元． ∴ＭＧ＝２７．５×０．４０＝１１（ｍ）， （７分）
５
∴ＥＭ＝ＥＧ－ＭＧ＝１３．０２－１１＝２．０２（ｍ）．
３００２００
根据题意，得 － ＝７． （２分） 答：校徽的高度ＥＭ约为２．０２ｍ． （８分）
４ ｘ 图（１）
ｘ ２１．（本题９分）（２０２５北京改编）阅读与思考
５ （２）①Ａ ６０ （７分）
３
解得ｘ＝２５． （３分） 下面是奋进数学小组研究报告中的部分内容，认真阅读并完成相应的任务． 解法提示：显然，点Ａ在⊙Ｏ内，关联角度为１８０°．
１
经检验，ｘ＝２５是原方程的根，且符合题意． 如图（２），过点Ａ作⊙Ｏ的切线，设切点为Ｍ，连接 ＯＭ，则∠ＯＭＡ＝９０°．在 Ｒｔ△ＯＡＭ 中，由勾股定理得
２ ２ ２ ２ ２ ２ ２
答：每个Ａ种挂件的价格为２５元． （４分） 槡７
ＡＭ ＝ ＜１，∴ｔａｎ∠ＯＡＭ＞１，∴∠ＯＡＭ＞４５°，∴点Ａ与⊙Ｏ的关联角度大于９０°．
（２）设该游客购买ｍ个Ａ种挂件，则购买（ｍ＋５）个Ｂ种挂件． 关联点与关联角度 ２ ２ ３ ２ ２ ２ ２ ２
４ 【概念理解】在平面直角坐标系 ｘＯｙ中，对于点 Ａ和⊙Ｃ给出如下定义：若⊙Ｃ上存在两个不同的点 Ｍ，
由（１）得每个Ａ种挂件的价格为２５元，则每个Ｂ种挂件的价格为 ×２５＝２０（元）．
５
Ｎ，对于⊙Ｃ上任意满足ＡＰ＝ＡＱ的两个不同的点 Ｐ，Ｑ，都有∠ＰＡＱ≤∠ＭＡＮ，则称点 Ａ是⊙Ｃ的关联点，
根据题意，得２５ｍ＋２０（ｍ＋５）≤６００．
称∠ＭＡＮ的大小为点Ａ与⊙Ｃ的关联角度．（本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角）
【问题探究】
１
解得ｍ≤１１ ． ①当点Ａ在⊙Ｃ外时，如图（１），过点 Ａ作⊙Ｃ的切线，切点分别为 Ｍ，Ｎ，此时
９
对于⊙Ｃ上任意满足ＡＰ＝ＡＱ的两个不同的点 Ｐ，Ｑ，都有∠ＰＡＱ≤∠ＭＡＮ，故点
又∵ｍ为整数，∴ｍ的最大值是１１．
Ａ是⊙Ｃ的关联点，∠ＭＡＮ的大小为点Ａ与⊙Ｃ的关联角度．
答：该游客最多购买１１个Ａ种挂件． （７分）
图（２） 图（３）
②当点Ａ在⊙Ｃ内时，如图（２），
２０．（本题８分） !,- def/g （２０２５新疆）某数学兴趣小组在校园内开展综合实践活动，撰 １
…… 如图（３），过点 Ａ作⊙Ｏ的切线，设切点为 Ｍ，连接 ＯＭ，则∠ＯＭＡ＝９０°．又∵ＯＭ ＝ ＯＡ，∴∠ＯＡＭ ＝
写实验报告如下： ３ ３ ３ ３ ３ ３ ２ ３ ３ ３
图（１） ３０°，∴点Ａ与⊙Ｏ的关联角度为６０°．
实验主题 测量校徽的高度 工具准备 测角仪、卷尺等 ３
② 如图（４），以点Ｂ为圆心，１为半径画圆．
１．站在与教学楼底部Ａ同一水平地面的Ｂ处，由于大树ＣＤ的遮挡，视线恰能看到
悬挂的校徽顶部Ｅ处（此时Ｆ，Ｃ，Ｅ三点在同一直线上）；
实
２．测量Ａ，Ｄ两点和Ｂ，Ｄ两点间的距离；
验
３．用测角仪测得从眼睛Ｆ处看校徽顶部Ｅ处的仰角∠ＥＦＧ；
过 图（２）
４．向后退至点Ｈ处时，视线恰能看到校徽底部Ｍ处（此时Ｎ，Ｃ，Ｍ三点在同一直线
程
上），测量Ｂ，Ｈ两点间的距离；
５．用测角仪测得从眼睛Ｎ处看校徽底部Ｍ处的仰角∠ＭＮＧ． 图（４）
山西中考４５套汇编·数学 ２３— ４ 山西中考４５套汇编·数学 ２３— ５ 山西中考４５套汇编·数学 ２３— ６根据题意，可知当点Ｄ在⊙Ｂ内部时，ＢＤ上所有的点都是⊙Ｏ的关联点， ２３．（本题１３分）（２０２５眉山改编）综合与探究 ∴Ｂ′Ｅ＝Ｂ′Ｇ，∴ＢＥ＝Ｂ′Ｅ＝Ｂ′Ｇ＝ＣＦ． （９分）
∴⊙Ｂ与⊙Ｏ相离或相切． （７分） 【问题情境】下面是某校数学社团在一次折纸活动中的探究过程． （注：选择其中一种方法即可）
易知当⊙Ｂ与⊙Ｏ相切时，ｍ的值最小． 【操作实践】如图（１），将矩形纸片 ＡＢＣＤ沿过点 Ｃ的直线折叠，使点 Ｂ落在 ＡＤ上的点 Ｂ′处，折痕交 ＡＢ （３）ＢＥ＝３槡５－３或４． （１３分）
连接ＯＢ，此时ＯＢ＝１＋１＝２，ｍ＝槡２２－１２＝ 槡３， 于点 Ｅ，再沿过点 Ｂ′的直线折叠，使点 Ｄ落在 Ｂ′Ｃ上的点 Ｄ′处，折痕交 ＣＤ于点 Ｆ． 解法提示：∵Ｂ′Ｇ∥ＡＢ，∴∠ＧＢ′Ｄ＝∠Ａ＝９０°．
【初步猜想】（１）确定 ＣＥ和 Ｂ′Ｆ的位置关系及线段 ＢＥ和 ＣＦ的数量关系． 由（２）可知，Ｂ′Ｇ＝Ｂ′Ｅ＝ＢＥ＝ＣＦ，ＣＤ′＝ＡＢ′，△ＡＢ′Ｅ≌△Ｄ′ＣＦ，
即ｍ的最小值为槡３． （９分）
创新小组经过探究，发现 ＣＥ∥Ｂ′Ｆ，证明过程如下：
∴Ｄ′Ｆ＝ＡＥ．
２２．（本题１３分）综合与实践
设ＢＥ＝ｘ，则Ｂ′Ｇ＝Ｂ′Ｅ＝ＣＦ＝ｘ，Ｄ′Ｆ＝ＡＥ＝ＡＢ－ＢＥ＝６－ｘ，
１ １
如图，将一小球从斜坡 ＯＡ的点 Ｏ处以一定方向击出，以点 Ｏ为原点，水平方向为 ｘ轴方向，建立平 由折叠可知∠ＤＢ′Ｆ＝∠ＣＢ′Ｆ＝ ∠ＤＢ′Ｃ，∠ＥＣＢ′＝∠ＥＣＢ＝ ∠ＢＣＢ′．由矩形的性质，可知 ＡＤ∥ＢＣ，
２ ２ ∴ＣＤ′＝ＡＢ′＝槡ｘ２－（６－ｘ）２＝ 槡１２ｘ－３６．
面直角坐标系，将击出小球看作一个点．某数学兴趣小组的同学通过测试，收集了小球相对于出发
∴∠ＤＢ′Ｃ＝∠ＢＣＢ′，∴① ∠ＥＣＢ′＝∠ＦＢ′Ｃ ，∴ＣＥ∥Ｂ′Ｆ． 分析可知，分两种情况讨论．
点 Ｏ的水平距离 ｘ（单位：ｍ）与飞行时间 ｔ（单位：ｓ）的数据，从而确定了相应的函数表达式：ｘ＝５ｔ．
智慧小组先测量 ＢＥ和 ＣＦ的长度，猜想其关系为② ＢＥ＝ＣＦ ．
①当∠Ｂ′ＧＤ′＝９０°时，如图（２），
同时，他们还收集了小球的飞行高度ｙ（单位：ｍ）与飞行时间ｔ（单位：ｓ）的数据，发现ｙ与ｔ近似满足
经过探究，发现验证 ＢＥ和 ＣＦ数量关系的方法不唯一：
二次函数关系，具体数据如下表所示：
方法一：证明△ＡＢ′Ｅ≌△Ｄ′ＣＦ，得到 Ｂ′Ｅ＝ＣＦ，再由 Ｂ′Ｅ＝ＢＥ可得结论．
飞行时间ｔ／ｓ ０ １ ２ ３ … 方法二：过点 Ｂ′作 ＡＢ的平行线交 ＣＥ于点 Ｇ，构造平行四边形 ＣＦＢ′Ｇ，然后证 Ｂ′Ｇ＝Ｂ′Ｅ可得结论．
请补充上述过程中横线上的内容．
飞行高度ｙ／ｍ ０ １５ ２０ １５ …
【推理证明】（２）请你结合智慧小组的探究思路，选择一种方法验证 ＢＥ和 ＣＦ的数量关系，写出证明
（１）求 ｙ关于 ｘ的函数表达式（不写 ｘ的取值范围）．
过程．
图（２）
（２）求小球到达最高点时飞行的水平距离． 【尝试运用】（３）如图（２），在（１）的条件下，已知 ＡＢ＝６，过点 Ｂ′作 Ｂ′Ｇ∥ＡＢ交 ＣＥ于点 Ｇ，连接 Ｄ′Ｇ，当
则∠ＧＢ′Ｄ＋∠Ｂ′ＧＤ′＝１８０°，∴ＧＤ′∥ＡＤ∥ＢＣ，
（３）若斜坡 ＯＡ所在直线的表达式为 ｙ＝
１
ｘ，且在斜坡 ＯＡ上的点 Ａ处竖立着一块
△Ｂ′Ｄ′Ｇ为直角三角形时，请直接写出 ＢＥ的长． ∴∠Ｄ′ＧＣ＝∠ＥＣＢ．
８ 又∵∠ＧＣＤ′＝∠ＥＣＢ，∴∠ＣＧＤ′＝∠ＧＣＤ′，
木板 ＡＢ（木板的厚度忽略不计），其中 ＡＢ＝１．５ｍ，ＡＢ∥ｙ轴，且点 Ｂ与点 Ｏ的
∴Ｄ′Ｇ＝Ｄ′Ｃ＝ 槡１２ｘ－３６．
水平距离为１９ｍ．请通过计算说明小球是否能飞越此木板． ∵Ｂ′Ｇ∥ＡＢ∥ＣＤ，∴∠ＧＢ′Ｄ′＝∠ＦＣＤ′，
（１）∵小球的飞行高度ｙ与飞行时间ｔ近似满足二次函数关系，且当ｔ＝０时，ｙ＝０， ∴在Ｒｔ△Ｂ′ＧＤ′和Ｒｔ△ＣＤ′Ｆ中，ｔａｎ∠ＧＢ′Ｄ′＝ｔａｎ∠ＦＣＤ′，
∴可设ｙ关于ｔ的函数表达式为ｙ＝ａｔ２＋ｂｔ． ＧＤ′Ｄ′Ｆ 槡１２ｘ－３６ ６－ｘ
∴ ＝ ，即 ＝ ，
将（１，１５），（２，２０）分别代入， ＧＢ′ＣＤ′ ｘ 槡１２ｘ－３６
图（１） 图（２）
{ａ＋ｂ＝１５， {ａ＝－５， ∴ｘ（６－ｘ）＝１２ｘ－３６，
得 解得 （１）①∠ＥＣＢ′＝∠ＦＢ′Ｃ ②ＢＥ＝ＣＦ （４分）
４ａ＋２ｂ＝２０， ｂ＝２０，
（２）方法一：∵四边形ＡＢＣＤ是矩形，
解得ｘ＝３槡５－３或ｘ＝－３槡５－３（不合题意，舍去），
∴ｙ关于ｔ的函数表达式为ｙ＝－５ｔ２＋２０ｔ．
∴∠Ａ＝∠Ｂ＝∠ＢＣＤ＝∠Ｄ＝９０°，ＢＣ＝ＡＤ． ∴ＢＥ＝３槡５－３．
∵ｘ＝５ｔ，∴ｔ＝ １ ｘ， 由折叠可知，∠ＥＢ′Ｃ＝∠Ｂ＝９０°，Ｂ′Ｄ′＝Ｂ′Ｄ，Ｂ′Ｃ＝ＢＣ＝ＡＤ，∠Ｂ′Ｄ′Ｆ＝∠Ｄ＝９０°，Ｂ′Ｅ＝ＢＥ， ②当∠ＧＤ′Ｂ′＝９０°时，如图（３），
５ ∴ＡＤ－Ｂ′Ｄ＝Ｂ′Ｃ－Ｂ′Ｄ′，∠ＣＤ′Ｆ＝９０°＝∠Ａ，∴ＡＢ′＝ＣＤ′． ∵∠Ｂ′Ｄ′Ｆ＝∠Ｄ＝９０°，∴∠ＧＤ′Ｂ′＋∠Ｂ′Ｄ′Ｆ＝１８０°，
１ １ １
∴ｙ＝－５·（ ｘ）２＋２０· ｘ＝－ ｘ２＋４ｘ． （４分） ∵ＡＤ∥ＢＣ，∴∠ＣＢ′Ｄ＝∠ＢＣＢ′．
５ ５ ５
又∵∠ＡＢ′Ｅ＋∠ＣＢ′Ｄ＝１８０°－∠ＥＢ′Ｃ＝９０°，∠ＢＣＢ′＋∠Ｂ′ＣＦ＝∠ＢＣＤ＝９０°，
１ ４
（２）∵抛物线ｙ＝－ ｘ２＋４ｘ的对称轴为直线ｘ＝－ ＝１０， ∴∠ＡＢ′Ｅ＝∠ＦＣＤ′，
５ １
２×（－ ）
∴△ＡＢ′Ｅ≌△Ｄ′ＣＦ，∴Ｂ′Ｅ＝ＣＦ．
５
∵ＢＥ＝Ｂ′Ｅ，∴ＢＥ＝ＣＦ． （９分）
∴小球到达最高点时飞行的水平距离为１０ｍ． （８分）
方法二：如图（１），过点Ｂ′作Ｂ′Ｇ∥ＡＢ交ＣＥ于点Ｇ，则Ｂ′Ｇ∥ＡＢ∥ＣＤ．
１
（３）∵点Ａ在直线ｙ＝ ｘ上，且点Ａ的横坐标为１９，
８
图（３）
１９
∴Ｇ，Ｄ′，Ｆ三点共线，∴Ｂ′Ｃ⊥ＧＦ．
∴点Ａ的纵坐标为 ．
８
∵四边形Ｂ′ＧＣＦ是平行四边形，∴四边形Ｂ′ＧＣＦ是菱形，
∵ＡＢ＝１．５ｍ，ＡＢ∥ｙ轴， ∴∠ＧＣＤ′＝∠ＦＣＤ′．
３１ ∵∠ＧＣＤ′＝∠ＧＣＢ，∴∠ＧＣＤ′＝∠ＧＣＢ＝∠ＦＣＤ′＝３０°．
∴点Ｂ的纵坐标为 ．
８ 图（１） 设ＣＦ＝ａ，则Ｄ′Ｆ＝ＤＦ＝６－ａ，
１ １９ ∵ＣＥ∥Ｂ′Ｆ，∴四边形ＣＦＢ′Ｇ为平行四边形， Ｄ′Ｆ １ ６－ａ １
对于ｙ＝－ ｘ２＋４ｘ，当ｘ＝１９时，ｙ＝ ． ∴ ＝ｓｉｎ３０°＝ ，即 ＝ ，
５ ５ ∴Ｂ′Ｇ＝ＣＦ． ＦＣ ２ ａ ２
３１１９ ∵ＡＢ∥Ｂ′Ｇ，∴∠Ｂ′ＧＥ＝∠ＢＥＣ． ∴ａ＝４，∴ＢＥ＝ＣＦ＝４．
∵ ＞ ，
８ ５ 由折叠可知，∠ＢＥＣ＝∠Ｂ′ＥＣ，ＢＥ＝Ｂ′Ｅ， 综上所述，ＢＥ＝３槡５－３或４．
∴小球不能飞越此木板． （１３分） ∴∠Ｂ′ＧＥ＝∠Ｂ′ＥＣ，
山西中考４５套汇编·数学 ２３— ７ 山西中考４５套汇编·数学 ２３— ８ 山西中考４５套汇编·数学 ２３— ９!"
题型一 阴影部分面积的计算、弧长的计算
!" ! #$%&’()*+
１．△ＡＢＣ的边上有 Ｄ，Ｅ，Ｆ三点，各点位置如图所示．若∠ＢＥＤ＝∠ＡＦＣ＝∠ＢＡＣ，ＢＥ＝５，ＥＦ＝３，ＦＣ＝４，
ＢＤ＝ＡＣ，则根据图中标示的各线段的长度，可求得阴影部分与空白部分的面积之比是 （Ａ）
Ａ．２∶１ Ｂ．３∶１ Ｃ．１∶１ Ｄ．１∶２
（第１题） （第２题）
２．如图，⊙Ｏ是边长为４槡３的等边三角形 ＡＢＣ的外接圆，Ｄ是 ＢＣ
山西中考４５套汇编·数学 ２４— １ 山西中考４５套汇编·数学 ２４— ２ 山西中考４５套汇编·数学 ２５— １
书书书
) 的中点，连接 ＢＤ，ＣＤ．以点 Ｄ为圆心，
ＢＤ的长为半径在⊙Ｏ内画弧，则阴影部分的面积为 （Ｃ）
８π １６π
Ａ． Ｂ．４π Ｃ． Ｄ．１６π
３ ３
３．如图，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，ＡＣ是⊙Ｏ的弦，将点Ｃ绕点Ａ逆时针旋转４５°，点Ｃ的对应点Ｄ恰好落在ＡＢ
上，连接 ＣＤ并延长，交⊙Ｏ于点 Ｅ，连接 ＢＥ．若 ＡＣ＝４，则图中阴影部分的面积为 （Ｂ）
π
Ａ． ＋２槡２ Ｂ．２π Ｃ．２π－１ Ｄ．３π－２槡２
２
（第３题） （第４题） （第５题） （第６题）
４．如图，正方形 ＡＢＣＤ的边长为８，分别以正方形的三条边为直径在正方形内部作半圆，则阴影部分的
面积是 （Ｂ）
Ａ．８π－２ Ｂ．１６π－３２ Ｃ．８π－１６ Ｄ．８π＋２
５．如图，两个圆为同心圆，大圆 Ｏ的直径 ＡＢ与小圆 Ｏ的其中一个交点为 Ｃ，且 ＯＢ＝６，大圆的弦 ＡＤ切
小圆于点 Ｐ．若∠ＢＡＤ＝３０°，则图中阴影部分的面积为 （Ｂ）
９槡３ ９槡３
Ａ． －３π Ｂ． ＋３π Ｃ．９槡３－３π Ｄ．９槡３＋３π
２ ２
６．如图，△ＡＢＣ为等腰直角三角形，∠ＡＣＢ＝９０°，ＢＣ＝３，以点 Ａ为圆心，边ＡＣ的长为半径作ＣＤ )
８７５
分）的面积是 π ｃｍ２．
４
（第７题） （第８题） （第９题）
８．如图是“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形 ＡＢＣＤ与四边形 ＥＦＧＨ均为正方形，Ｈ是 ＤＥ的中点．若 ＡＤ的
长为５，则阴影部分的面积为 １５ ．
９．如图，ＡＢ是半圆Ｏ的直径，点Ｃ为半圆Ｏ上一点．将扇形ＡＯＢ沿ＢＣ翻折，点Ｏ的对应点Ｏ′落在ＢＣ
交边ＡＢ
于点 Ｄ，以边 ＢＣ为直径作半圆交边 ＡＢ于点 Ｅ，则图中阴影部分的面积为 （Ｃ）
９π ９ ９π ９π ９ ９π
Ａ． － Ｂ． －９ Ｃ． － Ｄ．
４ ４ ２ ４ ２ ４
７．一游客在平遥古城游玩结束后定制了一把印有平遥古城的折扇作为纪念，打开后，如图，小扇形 ＡＯＢ
５π
的半径为２ｃｍ，弧长为 ｃｍ，大扇形ＣＯＤ的半径为２５ｃｍ，扇面的宽度ＣＥ为１５ｃｍ，则扇面（阴影部
３
)
上，点Ａ
的对应点为Ｄ．若ＡＢ＝４，则图中阴影部分的面积为 槡３ ．
!" " ,-)*+
１０．如图是某公园的一条小路，其中ＢＣ
)
段和 ＦＧ
)
段均为以点 Ｏ为圆心的圆弧，且∠Ｏ＝９０°．现计划要沿小路的
圆弧段（ＢＣ ) 段和ＦＧ ) 段）铺设彩带，已知该小路宽度为２ｍ，则ＢＣ ) 段所用彩带比ＦＧ ) 段所用彩带长 （Ｄ）
π
Ａ．１ｍ Ｂ．２ｍ Ｃ． ｍ Ｄ．πｍ
２
（第１０题） （第１１题） （第１２题）
１１．如图，点Ａ，Ｂ，Ｅ是⊙Ｏ上的点，∠ＢＡＯ＝１５°，ＯＡ⊥ＯＥ，ＯＥ，ＡＢ交于点Ｄ．若ＯＤ＝４－２槡３，则ＢＥ
)
２π
的长为 ．
３
１２．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为１，点 Ａ，Ｂ，Ｃ均为小正方形的顶点，一条弧经过点 Ｃ，Ａ，
Ｂ，点 Ｄ是弧上一点，且∠ＣＡＤ＝１２０°，则 ＡＤ )
π
的长为 ．
２
１３． !"# $%&’()* 滑板比赛的坡道（如图（１））是圆弧形的，图（２）是其侧面示意图，其中坡
道 ＡＢ
)
与水平面 ＢＣ相切于点 Ｂ，∠ＡＢＣ＝３０°，平台 ＡＤ与地面平行，且平台的高度为 ４．５ｍ，则坡道 ＡＢ
)
!#
题型二 一次函数与反比例函数综合题
!" ! ./01
１
１．已知直线ｌ：ｙ＝ｋｘ＋ｂ，ｌ：ｙ＝ｂｘ＋３ｋ－２，其中ｋ，ｂ为常数且ｋ＜ ．
１ ２ ２
（１）若直线 ｌ，ｌ交于点（３，２），求 ｋ，ｂ的值．
１ ２
（２）若 ｂ＝２ｋ－１，当－３≤ｘ≤３时，直线 ｌ上的点的纵坐标的最大值为４，求直线 ｌ的表达式．
１ ２
（１）∵直线ｌ，ｌ均过点（３，２），
１ ２
{ １
{３ｋ＋ｂ＝２， ｋ＝ ，
∴ 解得 ３
３ｂ＋３ｋ－２＝２，
ｂ＝１．
（２）若ｂ＝２ｋ－１，则直线ｌ的表达式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ＝ｋｘ＋２ｋ－１．
１
对于函数ｙ＝ｋｘ＋２ｋ－１，分两种情况讨论（!"：#ｋ$%&’()*+ｋ,-./）：
Ⅰ．当ｋ＞０时，ｙ随ｘ的增大而增大．
∵－３≤ｘ≤３，∴当ｘ＝３时，ｙ取最大值，
∴３ｋ＋２ｋ－１＝４，∴ｋ＝１，舍去．
Ⅱ．当ｋ＜０时，ｙ随ｘ的增大而减小．
∵－３≤ｘ≤３，∴当ｘ＝－３时，ｙ取最大值，
∴－３ｋ＋２ｋ－１＝４，∴ｋ＝－５，
∴ｂ＝２ｋ－１＝－１１，３ｋ－２＝－１７．
综上可知，直线ｌ的表达式为ｙ＝－１１ｘ－１７．
２
!" " 23401
ｋ
２．如图，在平面直角坐标系 ｘＯｙ中，四边形 ＯＡＢＣ是矩形，反比例函数 ｙ＝ （ｘ＞０）
ｘ
的图象分别与 ＡＢ，ＢＣ交于点 Ｄ，Ｅ（３，４），且 Ｅ为 ＢＣ的中点．
（１）求反比例函数的表达式和点 Ｄ的坐标．
（２）连接 ＤＥ，点 Ｆ为 ＤＥ上任一点，连接 ＡＣ，ＣＦ，ＡＦ．
①求△ＡＣＦ的面积；
②点 Ｐ为反比例函数图象上一点，连接 ＰＯ，ＰＡ，若 Ｓ ＜Ｓ ，请直接写出
△ＰＯＡ △ＡＣＦ
点 Ｐ的横坐标 ｘ的取值范围．
Ｐ
ｋ
（１）将Ｅ（３，４）代入ｙ＝ ，得ｋ＝１２，
ｘ
１２
∴反比例函数的表达式为ｙ＝ ．
ｘ
∵四边形ＯＡＢＣ是矩形，且Ｅ为ＢＣ的中点，
的 ∴Ｂ（６，４）．
长约为 ９．４ ｍ．（结果精确到０．１ｍ．参考数据：π≈３．１４） １２
将ｘ＝６代入ｙ＝ ，得ｙ＝２，
ｘ
∴点Ｄ的坐标为（６，２）．
（２）①∵Ｂ（６，４），∴Ａ（６，０）．
又∵Ｄ（６，２），∴Ｄ为ＡＢ的中点，
∴ＤＥ∥ＡＣ．
图（１） 图（２）
１ １
连接ＡＥ，则Ｓ ＝Ｓ ＝ ×ＣＥ×ＡＢ＝ ×３×４＝６．
（第１３题） （第１４题） △ＡＣＦ △ＡＣＥ ２ ２
１４．如图，ＡＢ是半圆 Ｏ的直径，且 ＡＢ＝４，点 Ｃ，Ｄ，Ｅ将半圆 Ｏ四等分，连接 ＡＤ，ＡＥ，ＣＥ，其中 ＡＤ交 ＣＥ于点 ②ｘ＞６．
Ｐ
解法提示：当点Ｐ与点Ｄ重合时，Ｓ ＝６＝Ｓ ．
π △ＰＯＡ △ＡＣＦ
Ｆ，则图中阴影部分的周长为 ＋２槡２ ． 分析可知，当点Ｐ位于点Ｄ右边的反比例函数图象上时，Ｓ ＜６＝Ｓ ，
２ △ＰＯＡ △ＡＣＦ
∴ｘ＞６．
Ｐ４．如图，已知ＡＢＣＤ．
!" # ./01523401678
!$
（１）尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，过点Ｃ作ＡＤ的垂线，交ＡＤ于点Ｆ（保
３．如图，一次函数 ｙ＝２ｘ＋４的图象与 ｘ轴、ｙ轴分别交于 Ａ，Ｂ两点，与反比 题型三 尺规作图实践操作题
留作图痕迹，不写作法）．
ｋ
例函数 ｙ＝ （ｋ≠０，ｘ＞０）的图象交于点 Ｃ，过点 Ｂ作 ｘ轴的平行线与反比 （２）在（１）的条件下，若 Ｅ是 ＢＣ的中点，且∠ＥＡＢ＝∠Ｄ＝４５°，求证：四边形
ｘ
１．如图所示，已知等边三角形 ＡＢＣ，ＡＢ＝４ｃｍ．请解答下列问题． ＡＥＣＦ为正方形．
ｋ
例函数 ｙ＝ （ｋ≠０，ｘ＞０）的图象交于点 Ｄ，连接 ＣＤ． （１）尺规作图：请将△ＡＢＣ补成一个菱形 ＡＢＣＤ（保留作图痕迹，不写作法）； （１）作图如图所示．
ｘ
（２）求菱形 ＡＢＣＤ对角线 ＢＤ的长．
（１）求 Ａ，Ｂ两点的坐标；
（１）如图．
（２）若△ＢＣＤ是以 ＢＤ为底边的等腰三角形，求 ｋ的值．
（２）设菱形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ，ＢＤ交于点Ｏ，如图．
（１）令ｙ＝０，则２ｘ＋４＝０，解得ｘ＝－２，
∵四边形ＡＢＣＤ是菱形，
∴点Ａ的坐标为（－２，０）．
∴ＢＤ＝２ＢＯ，ＢＯ⊥ＡＣ（01：234+56789:;<=）．
令ｘ＝０，则ｙ＝４，
（２）证明：如图，在ＡＢＣＤ中，∠Ｂ＝∠Ｄ＝４５°，
∵△ＡＢＣ是等边三角形，
∴点Ｂ的坐标为（０，４）．
∴∠ＥＡＢ＝∠Ｂ，∠ＡＥＣ＝∠ＥＡＢ＋∠Ｂ＝９０°，
（２）如图，过点Ｃ作ＣＥ⊥ＢＤ，垂足为Ｅ．
∴∠ＢＡＯ＝６０°．
∴ＡＥ＝ＢＥ．
∵ＣＢ＝ＣＤ，ＣＥ⊥ＢＤ，∴ＢＥ＝ＤＥ． 在Ｒｔ△ＡＢＯ中，
在 ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，
１ ＢＯ
方法一：根据题意，得点Ｄ的坐标为（ ｋ，４）， ∵ｓｉｎ∠ＢＡＯ＝ ，ＡＢ＝４ｃｍ， ∴∠ＤＡＥ＝１８０°－∠ＡＥＣ＝９０°，
４ ＡＢ
∴∠ＣＦＡ＝∠ＦＡＥ＝∠ＡＥＣ＝９０°，
∴点Ｃ的坐标为（ １
８
ｋ，８）． ∴ＢＯ＝４ｓｉｎ６０°＝４× 槡
２
３ ＝２槡３（ｃｍ）， ∴四边形ＡＥＣＦ是矩形．
∵Ｅ是ＢＣ的中点，∴ＢＥ＝ＣＥ，
１
∵点Ｃ在一次函数ｙ＝２ｘ＋４的图象上，∴ ｋ＋４＝８， ∴ＢＤ＝２ＢＯ＝４槡３ｃｍ． ∴ＡＥ＝ＣＥ，
４
２．如图，已知四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形． ∴矩形ＡＥＣＦ是正方形．
∴ｋ＝１６．
（１）利用尺规作∠ＡＢＣ的平分线，交 ＡＤ边于点 Ｅ；（要求：尺规作图并保留作图痕 ５． !"# +,- 如图（１），月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞
方法二：设点Ｄ（２ａ，４），则Ｅ（ａ，４），∴Ｃ（ａ，２ａ＋４）．
ｋ 迹，不写作法，标明字母） 门”．其形制可追溯至汉代，但真正在美学与功能上成熟于宋代，北宋建筑学家李诫编撰的《营造法
∵点Ｃ，Ｄ在反比例函数ｙ＝ 的图象上，
ｘ （２）试猜想线段 ＣＤ，ＤＥ和 ＢＣ的数量关系，并加以证明． 式》是中国古代最完整的建筑技术典籍之一．如图（２）是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的
∴ａ（２ａ＋４）＝２ａ×４， （１）如图，射线ＢＥ就是所要求作的图形．
月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，用 ＡＣＢ
解得ａ＝２，ａ＝０（舍去）， （２）ＣＤ＋ＤＥ＝ＢＣ．
１ ２
∴Ｃ（２，８），∴ｋ＝１６． 证明：∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，
ｋ ∴ＡＢ＝ＣＤ，ＢＣ＝ＡＤ，ＡＤ∥ＢＣ，
４．在平面直角坐标系中，点 Ａ是反比例函数 ｙ＝ （ｘ＜０）的图象
ｘ ∴∠ＡＥＢ＝∠ＥＢＣ．
上的动点（点 Ａ的横坐标为 ｍ），过点 Ａ作直线 ｌ⊥ｘ轴，将直 ∵∠ＡＢＥ＝∠ＥＢＣ，
线 ｌ绕点Ａ逆时针旋转４５°，得到直线ｌ′．当ｍ＝－２时，直线ｌ′ ∴∠ＡＢＥ＝∠ＡＥＢ，
恰好过原点 Ｏ，如图（１）． ∴ＡＢ＝ＡＥ（!"：5<=6＋<->?@A53），
（１）求 ｋ的值； ∴ＣＤ＋ＤＥ＝ＡＢ＋ＤＥ＝ＡＥ＋ＤＥ＝ＡＤ．
（２）当直线 ｌ′经过第二、三、四象限时，ｍ的取值范围为 图（１） 图（２） ∴ＣＤ＋ＤＥ＝ＢＣ．
ｍ＜－２ ； ３．如图，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ａ＝９０°，ＡＢ＞ＡＣ．
（３）若直线 ｌ′与 ｘ轴的正半轴、ｙ轴的正半轴分别交于点 Ｂ，Ｃ，如图（２），则当 ＢＣ＝ＣＡ时，求 ｍ的值． （１）作 ＢＣ边上的垂直平分线，交 ＡＢ于点 Ｄ；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（１）由题意可知，当ｍ＝－２时，直线ｌ′是第二、四象限的平分线， （２）在（１）的条件下，连接 ＣＤ．若 ＡＤ＝２，ＡＣ＝４，求 ＢＤ的长．
∴直线ｌ′的解析式为ｙ＝－ｘ．
（１）作图如图（１）所示． （２分）
将ｘ＝－２代入ｙ＝－ｘ，得ｙ＝２，∴Ａ（－２，２）．
ｋ
将Ａ（－２，２）代入ｙ＝ ，得ｋ＝－４．
ｘ
（２）ｍ＜－２
（３）如图，设直线ｌ与ｘ轴交于点Ｄ，
由题意可知，ＡＤ∥ｙ轴． 图（１） 图（２）
∵ＢＣ＝ＣＡ，∴ＢＯ＝ＯＤ． （２）如图（２），由作图可知点Ｄ在线段ＢＣ的垂直平分线上，
易知ＡＤ＝ＢＤ，∴ＡＤ＝２ＯＤ＝－２ｍ，∴Ａ（ｍ，－２ｍ）． ∴ＢＤ＝ＣＤ（01：9:<=6B4!C6DEF4GH8?）． （３分）
４ ∵∠Ａ＝９０°，ＡＤ＝２，ＡＣ＝４，
将Ａ（ｍ，－２ｍ）代入ｙ＝－ ，得－２ｍ２＝－４，
ｘ
∴ＣＤ＝槡ＡＤ２＋ＡＣ２＝槡２２＋４２＝２槡５， （５分）
解得ｍ＝－ 槡２（正值不合题意，已舍去）．
∴ＢＤ＝２槡５． （６分）
山西中考４５套汇编·数学 ２５— ２ 山西中考４５套汇编·数学 ２６— １ 山西中考４５套汇编·数学 ２６— ２
)
表示，点 Ｏ是 ＡＣＢ
)
所在圆的圆心，ＡＢ是月洞门的横跨，
ＣＤ是月洞门的拱高．现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图．如图（３），已知月洞门
的横跨为 ＡＢ，拱高的长度为 ａ．作法如下：
①作线段 ＡＢ的垂直平分线 ＭＮ，垂足为 Ｄ；
②在射线 ＤＭ上截取 ＤＣ＝ａ；
③连接 ＡＣ，作线段 ＡＣ的垂直平分线交 ＣＤ于点 Ｏ；
④以点 Ｏ为圆心，ＯＣ的长为半径作 ＡＣＢ
)
．
则 ＡＣＢ
)
就是所要作的圆弧．
请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图（３）中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法）．
图（１） 图（２） 图（３）
如图即为月洞门的设计图．１×２）＝８４．
!% !&
（２）５０ ８０
题型四 统计与概率题 题型五 方程、不等式、一次函数的实际应用题
（３）５００×２４％＝１２０（人）．
答：估计本次竞赛的获奖人数为１２０人．
３．期中考试结束后，为了解九年级学生语文和数学的成绩情况，李老师从九年级随机抽取 ２０名学生的语文
１．某公司需要经常快递物品，准备从 Ａ，Ｂ两家快递平台中选择一家作为日常使用．该公司让七位相关
!" ! 9:);<=>
员工对这两家平台从物品完好度、服务态度与物流时长三项分别评分（单位：分），其中对平台 Ａ的服
和数学成绩，将数据分成５组（Ａ．７０≤ｘ＜８０；Ｂ．８０≤ｘ＜９０；Ｃ．９０≤ｘ＜１００；Ｄ．１００≤ｘ＜１１０；Ｅ．１１０≤ｘ＜１２０），
务态度评分为：８６，８８，８９，９１，９２，９５，９６；对平台 Ｂ的服务态度评分为：８６，８６，８９，９０，９１，９３，９５．现将每 并进行整理、描述和分析，部分信息如下： １．钢琴素有“乐器之王”的美称，如图，键盘上白色琴键和黑色琴键共有
ａ．２０名学生语文成绩的频数分布直方图如图（１）．
项七个评分的平均值作为该项的得分，平台 Ａ，Ｂ各项的得分如下表： ８８个，白色琴键比黑色琴键多１６个．求白色琴键和黑色琴键的个数．
物品完好度 服务态度 物流时长 设黑色琴键有ｘ个，则白色琴键有（ｘ＋１６）个，
平台Ａ ９２ ｍ ９０ 根据题意，得ｘ＋ｘ＋１６＝８８，
平台Ｂ ９５ ｎ ８８ 解得ｘ＝３６，
（１）七位员工对平台 Ａ的服务态度评分的极差（最大值与最小值的差）是 １０分 ； ∴ｘ＋１６＝５２．
（２）求表格中 ｍ，ｎ的值，并以此为依据，请判断哪家平台服务态度更好；
答：白色琴键有５２个，黑色琴键有３６个．
（３）如果公司将物品完好度、服务态度、物流时长三项的得分按５∶３∶２的比例确定平台的最终得分，并
２． !./ 0123 劳动课成为中小学的一门独立课程．周六上午 １０点，小明开始
以此为依据选择平台，请问该公司会选择哪家平台．
（１）１０分 图（１） 整理书柜，整理完成后看钟表，发现此时时针和分针刚好重合，已知小明在 １１点前完成
１ ｂ．２０名学生数学成绩的频数分布表如下． 了书柜的整理工作，求小明完成这次整理工作的时长．
（２）ｍ＝ ×（８６＋８８＋８９＋９１＋９２＋９５＋９６）＝９１；
７
易知时针每分钟走０．５°，分针每分钟走６°，时钟上相邻两个数字间对应的圆心角为３０°．
１ 分组 ７０≤ｘ＜８０ ８０≤ｘ＜９０ ９０≤ｘ＜１００ １００≤ｘ＜１１０ １１０≤ｘ＜１２０
ｎ＝ ×（８６＋８６＋８９＋９０＋９１＋９３＋９５）＝９０． 设小明完成这次整理工作的时长为ｘｍｉｎ，
７
频数 １ ａ ６ ５ ５ 由题意，可得６ｘ＝０．５ｘ＋１０×３０，
∵９１＞９０，
∴平台Ａ的服务态度更好． ｃ．２０名学生的语文成绩和数学成绩得分统计如图（２）（共２０个点）． ６００
解得ｘ＝ ．
１ １１
（３）ｘ＝ ×（９２×５＋９１×３＋９０×２）＝９１．３（分）；
Ａ １０ ６００
答：小明完成这次整理工作的时长为 ｍｉｎ．
１
１１
ｘ＝ ×（９５×５＋９０×３＋８８×２）＝９２．１（分）．
Ｂ １０
３． !"# 45(67869 王叔叔今年购置了一辆新能源汽车，他从甲地开往乙地纯电行驶，
∵９１．３＜９２．１，
∴该公司会选择平台Ｂ． 所需的电费为１６元，而朋友的燃油车沿相同路线行驶，所需的油费为６４元．已知每行驶１千米，燃油
２．为了让同学们了解我国航天事业取得的成就并普及航天知识，某校在“中国航天日”当天开展了研学
车所需的油费比新能源车所需的电费多０．６元．那么每行驶１千米，新能源车所需的电费为多少元？
活动，随后采取自愿报名的方式，组织了航天知识竞赛．竞赛结束后，从竞赛成绩（单位：分．满分 １００
设每行驶１千米，新能源车所需的电费为ｘ元，
分．均不低于６０分）中用科学的抽样方法随机抽取部分成绩，并进行整理，绘制了如下统计图：
则每行驶１千米，燃油车所需的油费为（ｘ＋０．６）元．
抽取的成绩统计图
１６ ６４
根据题意，可得 ＝ ，
ｘ ｘ＋０．６
Ａ组：９０≤ｘ≤１００ 解得ｘ＝０．２．
Ｂ组：８０≤ｘ＜９０
经检验，ｘ＝０．２是原分式方程的解，且符合题意．
Ｃ组：７０≤ｘ＜８０
图（２） 答：每行驶１千米，新能源车所需的电费为０．２元．
Ｄ组：６０≤ｘ＜７０
根据以上信息，回答下列问题：
（ｘ表示成绩） ４．如图，要在某公园的一块长 ３０ｍ，宽 ２０ｍ的空地上修建一条宽度为 ｘ
（１）统计表中 ａ＝ ３ ；所抽取的２０名学生语文成绩的中位数落在 Ｂ （填字母）组．
ｍ的道路，余下部分铺设草坪（阴影部分）．已知草坪的面积为 ２９７ｍ２，
（２）对图（２）中位于椭圆区域内的６名学生的成绩进行评价．
其中 Ｂ组共有１５个成绩，从高到低分别为 求 ｘ的值．
（３）已知九年级参加期中考试的学生有１２００名，请结合以上信息，估计参加考试的九年级学生中语文成
８９ ８８ ８８ ８６ ８５ ８５ ８５ ８５ ８４ ８３ ８１ ８１ ８０ ８０ ８０ 根据题意可列方程为（３０－ｘ）（２０－３ｘ）＝２９７，
绩和数学成绩均不低于１００分的人数．
根据以上信息，解答下列问题： （１）３ Ｂ １０１
解得ｘ＝３，ｘ＝ （舍去）．
（１）Ｂ组１５个成绩的平均数为 ８４ 分； （２）位于椭圆区域内的６名学生的语文成绩均低于８５分，数学成绩均高于８５分．（答案不唯一，合理即可） １ ２ ３
（２）本次抽取的所有成绩的个数为 ５０ ，本次抽取的所有成绩的中位数为 ８０ 分； （３）由题图（２）知，抽取的２０名学生中，语文成绩和数学成绩均不低于１００分的有３人． 答：ｘ的值为３．
（３）学校决定对本次竞赛成绩为９０分及以上的学生进行奖励，若该校共有 ５００名学生参加竞赛，请 ３
５．旅游旺季，某商店推出甲、乙两款具有纪念意义和实用价值
１２００× ＝１８０（人）．
估计本次竞赛的获奖人数． ２０
５
（１）８４ 答：估计参加考试的九年级学生中语文成绩和数学成绩均不低于１００分的有１８０人． 的书签，已知甲款书签价格是乙款书签价格的 倍，且用
４
１
解法提示：为计算简便，可将Ｂ组数据的基准定为８０，则Ｂ组数据的平均数为８０＋ ×（９＋８×２＋６＋５×４＋４＋３＋
１５ １００元购买甲款书签的数量比用 １２８元购买乙款书签的数
山西中考４５套汇编·数学 ２７— １ 山西中考４５套汇编·数学 ２７— ２ 山西中考４５套汇编·数学 ２８— １量少３个．求这两款书签的单价． ∴ｙ的最小值为７．
!" " ?@ABC7);<=>
５ｘ 故最多可以按七折销售．
设乙款书签的单价为ｘ元，则甲款书签的单价为 元，
４ ８．某家电专卖店销售 Ａ，Ｂ两种型号的环保空调，已知其中两单的销售情况如下表：
!" # ./01);<=>
１００ １２８ Ａ型空调数量／台 Ｂ型空调数量／台 总销售额／元
根据题意，得 ＋３＝ ，
５ｘ ｘ １ ２ １４０００ １０． !:; <=>?3 研究表明，一定质量的气体，在压强不变的条件下，气体体积 ｙ（Ｌ）与气
４ ２ ３ ２４０００
体温度 ｘ（℃）成一次函数关系．某实验室在压强不变的条件下，对一定质量的某种气体进行加热，测
解得ｘ＝１６．
（１）求两种型号的空调的销售单价各是多少．
得的部分数据如下表：
经检验，ｘ＝１６是原分式方程的解，且符合题意（IJ=!：KL=MNOP’QRS），
（２）为了响应国家家电以旧换新政策，更多让利于老百姓，专卖店决定推出“以旧换新”和打折促销两种优
气体温度ｘ／℃ … ２５ ３０ ３５ …
５ｘ
惠政策．小李计划购买 Ａ，Ｂ型空调各一台，其中一台用家中旧空调以旧换新购买．可采取如下两种
则 ＝２０．
４ 气体体积ｙ／Ｌ … ５９６ ６０６ ６１６ …
方案．
故甲款书签的单价为２０元，乙款书签的单价为１６元．
（１）求 ｙ与 ｘ的函数关系式；
方案一：旧空调可以抵消 Ａ型空调的售价的１０００元，Ｂ型空调优惠 ａ％；
６．运城新绛云雕漆器采取漆、画、雕相结合的综合
（２）为满足下一步的实验需求，本次实验要求气体体积达到 ７００Ｌ时停止加热，求停止加热时的气
方案二：旧空调可以抵消 Ｂ型空调的售价的８００元，Ａ型空调优惠１０％．
工艺技法，以制作精巧、造工卓异取胜，是中国漆
体温度．
若方案一优惠额不小于方案二，求 ａ的最小值．
器工艺中的珍品．如图是一云雕漆器包装盒的表 （１）设ｙ与ｘ的函数关系式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ．
（１）设Ａ型空调的销售单价是ｘ元，Ｂ型空调的销售单价是ｙ元，由题意得，
面展开图，已知其底面为正方形，则这个包装盒
{ｘ＋２ｙ＝１４０００， {ｘ＝６０００，
{５９６＝２５ｋ＋ｂ， {ｋ＝２，
由题意，得 解得
解得
的高为多少？ ２ｘ＋３ｙ＝２４０００， ｙ＝４０００， ６０６＝３０ｋ＋ｂ， ｂ＝５４６，
故ｙ与ｘ的函数关系式为ｙ＝２ｘ＋５４６．
设这个包装盒底面的边长为ａｃｍ，高为ｂｃｍ， ∴Ａ型空调的销售单价是６０００元，Ｂ型空调的销售单价是４０００元．
（２）令ｙ＝７００，则２ｘ＋５４６＝７００，
{３ａ＋ｂ＝６８， （２）由题意得，
根据题意，得
ａ＋２ｂ＝３６，
１０００＋４０００×ａ％≥８００＋６０００×１０％，解得ａ≥１０．
解得ｘ＝７７．
答：停止加热时的气体温度为７７℃．
∴ａ的最小值是１０．
{ａ＝２０，
解得 １１．２０２５年６月５日是第５４个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能
９．豌豆糕，又名豆沙糕，是太原传统特色糕点之一，不仅爽口绵甜，清凉下火，而且益脾胃，解热祛毒，深受人
ｂ＝８．
路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知购买 １盏甲种路灯和 ２盏乙种路灯共需
们的喜爱．某传统糕点专卖店先用２０００元购进了一批豌豆糕，很快就销售一空，该店接着又用３７５０元购
答：这个包装盒的高为８ｃｍ．
２２０元，购买３盏甲种路灯比购买４盏乙种路灯的费用少１４０元．
进了第二批这种豌豆糕，所购数量比第一批多了５０％，且每盒的进价比第一批多了５元．
７．列方程解下列问题：
（１）求甲、乙两种路灯的单价；
（１）求第一批豌豆糕每盒的进价．
某厂生产甲、乙两种文创产品．每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多 ５０
１
２
（２）该社区计划购买甲、乙两种路灯共 ４０盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的 ，请通过
个，３天时间生产的甲种文创产品的数量比４天时间生产的乙种文创产品的数量多１００个． （２）若第二批豌豆糕按５０元／盒的价格销售，在销售了第二批进货数量的 后，根据市场
３
３
（１）求该厂每天生产甲、乙两种文创产品的数量分别是多少个．
计算设计一种购买方案，使所需费用最少．
情况，该专卖店决定对剩余的豌豆糕一次性打折销售，但要求第二批豌豆糕的总利润
（２）由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进．改进后，每天生产乙种文创产品的数量较改 （１）设甲、乙两种路灯的单价分别为ｘ元，ｙ元，
率不低于８０％，请求出最多可以按几折销售．
进前每天生产的数量增加同样的数量，且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数 {ｘ＋２ｙ＝２２０，
（１）设第一批豌豆糕每盒的进价为ｘ元，则第二批豌豆糕每盒的进价为（ｘ＋５）元，
根据题意，得
量是乙种文创产品每天增加数量的２倍．若生产甲、乙两种文创产品各 １４００个，乙比甲多用 １０ ３ｘ＋１４０＝４ｙ，
２０００ ３７５０
根据题意，得 ×（１＋５０％）＝ ，
天，求每天生产的乙种文创产品增加的数量． ｘ ｘ＋５ {ｘ＝６０，
解得
（１）设该厂每天生产乙种文创产品的数量是ｘ个，则每天生产甲种文创产品的数量为（ｘ＋５０）个． 解得ｘ＝２０，
ｙ＝８０．
由题意，得３（ｘ＋５０）＝４ｘ＋１００，解得ｘ＝５０，
检验：当ｘ＝２０时，ｘ（ｘ＋５）≠０，且符合题意． 答：甲、乙两种路灯的单价分别为６０元、８０元．
（２）设购买甲种路灯ｍ盏，则购买乙种路灯（４０－ｍ）盏，
故第一批豌豆糕每盒的进价是２０元．
∴ｘ＋５０＝１００．
１
答：该厂每天生产乙种文创产品的数量是５０个，每天生产甲种文创产品的数量为１００个． （２）由（１）可得第二批豌豆糕共购进 ３７５０ ＝１５０（盒）， 根据题意，得ｍ≤ （４０－ｍ），
３
２０＋５
（２）设每天生产的乙种文创产品增加的数量是ｙ个．
解得ｍ≤１０．
２
按照５０元／盒的价格销售，销售数量为１５０× ＝１００（盒），则打折销售的数量为１５０－１００＝５０（盒）．
１４００ １４００ ３ 设所需费用为ｗ元，
由题意，得 － ＝１０，
５０＋ｙ１００＋２ｙ
设可以按ｙ折销售． 根据题意，得ｗ＝６０ｍ＋８０（４０－ｍ）＝－２０ｍ＋３２００．
解得ｙ＝２０．
ｙ ∵－２０＜０，ｍ≤１０，
根据题意，得１００×５０＋５０×５０× －３７５０≥３７５０×８０％，
经检验，ｙ＝２０是原分式方程的解，且符合题意． １０ ∴当ｍ＝１０时，ｗ取得最小值，此时４０－ｍ＝４０－１０＝３０．
答：每天生产的乙种文创产品增加的数量是２０个． 解得ｙ≥７， 答：购买甲种路灯１０盏，购买乙种路灯３０盏，可使所需费用最少．
山西中考４５套汇编·数学 ２８— ２ 山西中考４５套汇编·数学 ２８— ３ 山西中考４５套汇编·数学 ２８— ４又∵ＯＡ⊥ＭＮ， 又∵ＢＣ＝２６ｃｍ，
!’
题型六 解直角三角形的实际应用题
∴四边形ＯＦＧＫ是矩形， ∴根据勾股定理可得ＢＨ＝槡ＢＣ２－ＣＨ２＝２４ｃｍ，
∴ＯＫ＝ＦＧ，∠ＯＫＧ＝９０°，∴∠ＡＫＢ＝９０°．
∴ＯＢ＝ＯＨ＋ＨＢ＝（２４＋１０槡３）ｃｍ，
∵∠ＯＡＢ＝１５０°，∴∠ＢＡＫ＝１８０°－∠ＯＡＢ＝３０°，
!" ! DDE" ∴∠ＡＢＫ＝９０°－∠ＢＡＫ＝６０°，
∴５６－（２４＋１０槡３）＝（３２－１０槡３）（ｃｍ）．
答：限位器Ｐ应装在离点Ａ（３２－１０槡３）ｃｍ的位置．
１．科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点 Ｂ处 槡３
∴ＡＫ＝ＡＢｃｏｓ３０°＝４× ＝２槡３，
２
发出，经水面点 Ｅ折射到池底点 Ａ处．已知 ＢＥ与水平线的夹角 α＝
３６．９°，点 Ｂ到水面的距离 ＢＣ＝１．２０ｍ，点 Ａ处水深为 １．２０ｍ，到池壁的
∴ＦＧ＝ＯＫ＝ＯＡ＋ＡＫ＝１＋２槡３．
水平距离 ＡＤ＝２．５０ｍ．点 Ｂ，Ｃ，Ｄ在同一条竖直线上，所有点都在同一竖
∵∠ＡＢＣ＝９０°，∠ＣＢＧ＝∠ＡＢＣ－∠ＡＢＫ＝３０°，
１ １
ｓｉｎβ
∴ＣＧ＝ ＢＣ＝ ×１０＝５，
直平面内．记入射角为 β，折射角为 γ，求 的值（结果精确到 ０．１．参考 ２ ２ ４． !:; <=>?3 如图（１）是被称为“世界第一斜塔”的定林寺塔，其抽象示意图如图（２）
ｓｉｎγ
所示，塔身 ＡＢ倾斜后得到塔身 Ａ′Ｂ，倾斜度超过闻名于世的意大利比萨斜塔．小明去定林寺塔参观
数据：ｓｉｎ３６．９°≈０．６０，ｃｏｓ３６．９°≈０．８０，ｔａｎ３６．９°≈０．７５）．
∴ＤＦ＝ＤＣ＋ＣＧ＋ＦＧ＝８．２＋２槡３，
时，想利用光的反射来测量定林寺塔原来的高度．将平面镜 ＭＮ放置在水平地面 ＢＣ上，一束光线 ＥＯ
如图，过点Ｅ作ＥＨ⊥ＡＤ，垂足为点Ｈ， ∴点Ｄ到地面的距离为（８．２＋２槡３）米．
照射到镜面ＭＮ上，反射光线ＯＦ照射到塔身Ａ′Ｂ上．当入射角∠ＤＯＥ＝８４．７°时，反射光线ＯＦ恰好与
ＢＣ １．２０
由题意可知，∠ＣＥＢ＝α＝３６．９°，ＥＨ＝１．２０，ＣＥ＝ ≈ ＝１．６０， !" " FGF"
ｔａｎ３６．９° ０．７５
塔身Ａ′Ｂ互相垂直，垂足为Ｆ．如图（３），当入射角∠ＤＯＥ＝２４．７°时，反射光线ＯＦ恰好经过塔顶点Ａ′，
ＡＨ＝ＡＤ－ＣＥ＝２．５０－１．６０＝０．９０， ３． !@A BCDE($F@G 综合实践 测得 ＯＢ＝８ｍ，求定林寺塔原有的高度 ＡＢ．（结果保留一位小数．参考数据：ｓｉｎ８４．７°≈０．９９６，
故ＡＥ＝槡ＡＨ２＋ＥＨ２＝槡０．９０２＋１．２０２＝１．５０， 在一次综合实践活动中，九年级某实践小组对如何设计平开窗窗户限位器的位置进行了探究，经历了以下 ｃｏｓ８４．７°≈０．０９２，ｔａｎ８４．７°≈１０．７８０，３≈１．７３２）
ＡＨ ０．９０ 过程：
于是ｓｉｎγ＝ ＝ ＝０．６０．
ＡＥ １．５０
【问题背景】平开窗是生活中常见的一种窗户，安装平开窗需要一种滑撑支架，如图（１）是这种平开窗及滑
ＣＥ
又ｓｉｎβ＝ｓｉｎ∠ＣＢＥ＝ ＝ｃｏｓ∠ＣＥＢ＝ｃｏｓ３６．９°≈０．８０， 撑支架的实物展示图．
ＢＥ
ｓｉｎβ ０．８０
故 ＝ ≈１．３．
ｓｉｎγ ０．６０
图（１） 图（２） 图（３）
由题意，得∠ＡＢＣ＝∠ＤＯＢ＝９０°，∠ＤＯＦ＝∠ＤＯＥ（!"：TU5＝VU5）．
图（１） 图（２） ∵当∠ＤＯＥ＝８４．７°时，ＯＦ⊥Ａ′Ｂ，
【数学抽象】把上述实物图抽象成如图（２）所示的几何图形．已知滑撑支架的滑动轨道 ＡＢ固定在窗框底 ∴∠ＡＢＡ′＝∠ＢＯＦ＝９０°－∠ＤＯＦ＝９０°－８４．７°＝５．３°．
边，ＥＦ固定在窗页底边，Ｂ，Ｃ，Ｄ三点固定在同一条直线上．当推拉窗户时，点 Ｏ随之移动．当窗户关闭时， 如图，过点Ｏ作ＯＨ⊥Ａ′Ｂ于点Ｈ，
点 Ｅ与点 Ａ重合，ＤＥ和 ＤＢ均落在 ＡＢ上，此时有 ＡＢ＝ＯＥ＋ＯＣ＋ＣＢ．在点 Ｏ向点 Ｂ滑动过程中，四边形 则∠ＨＢＯ＝９０°－５．３°＝８４．７°，
２．图（１）是某种路政工程车在进行修路灯作业，图（２）是其平面示意图，ＯＡ始终与地面 ＭＮ垂直，
ＯＣＤＥ始终为平行四边形，其中 ＯＥ＝１０ｃｍ，ＤＥ＝２０ｃｍ，ＢＣ＝２６ｃｍ． ∴ＢＨ＝ＯＢ·ｃｏｓ∠ＨＢＯ≈８×０．０９２＝０．７３６（ｍ），
∠ＯＡＢ＝１５０°，只有活动臂ＢＣ可绕Ｂ点旋转．作业工人站在操作平台的Ｃ点处，ＤＥ是路灯架．当操作
ＯＨ＝ＯＢ·ｓｉｎ∠ＨＢＯ≈８×０．９９６＝７．９６８（ｍ）．
【安全规范】窗户打开一定角度后，ＯＣ与 ＡＢ形成一个角∠ＣＯＢ．出于安全考虑，部分公共场合的平开窗有
台 Ｃ在 Ｄ的正下方（即 ＤＣ⊥ＭＮ），且 ＤＣ＝２．２米时，作业工人能够在 Ｄ处正常工作．已知 ＯＡ＝１米， ∵∠ＤＯＥ＝２４．７°，∴∠Ａ′ＯＤ＝２４．７°，
开启角度限制要求：平开窗的开启角度应该控制在３０°以内（即∠ＣＯＢ≤３０°）．
ＡＢ＝４米，ＢＣ＝１０米．当∠ＡＢＣ＝９０°时，作业工人恰好可以在Ｄ处正常工作，求点Ｄ到地面的距离（结 ∴∠Ａ′ＯＨ＝９０°－２４．７°－５．３°＝６０°，
【任务】确定安装方案．为符合安全规范要求，某公共场合的平开窗需在滑动轨道 ＡＢ上安装一个限位器 Ｐ
果保留根号）．
控制平开窗的开启角度，当点 Ｏ滑动到点 Ｐ时，∠ＣＰＢ＝３０°，则限位器 Ｐ应装在离点 Ａ多远的位置（结果
∴Ａ′Ｈ＝ＯＨ·ｔａｎ６０°＝ 槡３ＯＨ≈１３．８０ｍ，
∴ＡＢ＝Ａ′Ｂ＝ＢＨ＋Ａ′Ｈ＝０．７３６＋１３．８０≈１４．５（ｍ），
保留根号）？
∴定林寺塔原有的高度ＡＢ约为１４．５ｍ．
如图，过点Ｃ作ＣＨ⊥ＡＢ于点Ｈ．
依题意得∠ＣＰＢ＝３０°．
∵四边形ＯＣＤＥ为平行四边形，∴ＣＯ＝ＥＤ＝２０ｃｍ，
∴ＡＢ＝ＯＥ＋ＯＣ＋ＣＢ＝１０＋２０＋２６＝５６（ｃｍ）．
∵ＣＨ⊥ＡＢ，
图（１） 图（２）
１ 槡３
∴在Ｒｔ△ＯＣＨ中，ＣＨ＝ ＣＯ＝１０ｃｍ，ＯＨ＝ＯＣ·ｃｏｓ３０°＝２０× ＝１０槡３（ｃｍ）．
如图，延长ＤＣ交ＭＮ于点Ｆ，过点Ｂ作ＢＧ⊥ＤＦ于点Ｇ，延长ＯＡ交ＢＧ于点Ｋ，则ＤＦ⊥ＭＮ． ２ ２
山西中考４５套汇编·数学 ２９— １ 山西中考４５套汇编·数学 ２９— ２ 山西中考４５套汇编·数学 ２９— ３ＥＨ ∴ＰＱ＝１７．２ｍ≈１７ｍ．
!" # HI" 在Ｒｔ△ＣＥＨ中，ｔａｎ∠ＥＣＨ＝ｔａｎ３７°＝ ≈０．７５，
ＣＨ 答：该建筑物的高度ＰＱ约为１７ｍ．
５．瓦房，是中国传统民居建筑，体现一种素雅、厚朴、宁静之美，也是中国传统文化的载体．数学兴趣小 ２ｘ ７．数学综合实践小组进行了项目式学习的实践探究，并绘制了如下记录表格，请完成任务．
即 ＝０．７５，
组决定以这类建筑为课题展开活动，利用周末对郊区一处瓦房进行了测量．活动报告如下． ６＋ｘ
课题 设计遮阳棚前挡板
解得ｘ＝３．６，
项目主题 测量瓦房的高度ＡＢ
经检验，ｘ＝３．６是原方程的解且符合题意，
１．如图是该瓦房的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是瓦房的高 ＡＢ所在的 某景点游客服务中心，为了方便旅游高峰期间游客遮阳，在服务窗口外安装
∴ＥＨ＝２×３．６＝７．２（ｍ）， 模型抽
直线． 了遮阳棚，结果发现旅游高峰期正午时纳凉面积不够，现在为使服务窗口外
∴ＢＧ＝７．２ｍ， 象示
２．在地面上Ｃ点测出屋顶Ａ的仰角∠ＡＣＢ的大小，此时地面上Ｃ点、屋檐上Ｅ点、屋顶上 的纳凉区域增加到２．２９ｍ宽，计划在遮阳棚前端加装一块前挡板（前挡板
∴ＡＢ＝ＡＧ＋ＢＧ＝３＋７．２＝１０．２≈１０（ｍ）， 意图
Ａ点恰好共线． 垂直于地面），抽象模型如图（１），现在要计算所需前挡板ＢＣ的宽度．
∴瓦房的高ＡＢ约为１０ｍ．
图（１）
３．继续向瓦房方向走到点Ｄ处，测出ＣＤ的长度及屋檐Ｅ点的仰角∠ＥＤＢ的大小．
!" $ JK!"
４．测出瓦房的顶层横梁ＥＦ的长度，ＥＦ∥ＣＢ，ＡＢ交 ＥＦ于点 Ｇ（点 Ｃ，Ｄ，Ｂ在同一水平线
实地测得相关数据，并画出了侧面示意图，如图（２），遮阳棚 ＡＢ长
上，图中所有点都在同一竖直平面内）．
方案说明 ６．手工爱好者小明利用课余时间自制如图（１）所示的测量工具，其中 ＯＮ⊥ＭＮ，ＯＮ，ＭＮ 为３．５ｍ，其与墙面的夹角∠ＢＡＤ＝７０°，其靠墙端离地面高 ＡＤ为
测量
活动过程
上都有相同单位的刻度（１个单位长度代表１），Ｇ可以在 ＭＮ上滑动，ＯＮ＝１８．他想利用 ４ｍ．通过实地勘察，该服务窗口在每年的旅游高峰期间正午的太
数据
这个测量工具及卷尺以“测量某建筑物的高度”为课题展开活动，并形成了如下活动 图（１） 阳高度角（太阳光线与地面夹角∠ＣＦＥ）约为 ６０°，若加装前挡板
报告． ＢＣ后，此时服务窗口前恰好有２．２９ｍ宽的阴影ＤＦ，如图（３）． 图（２） 图（３）
课题 测量某建筑物的高度ＰＱ 当∠ＣＦＥ为６０°时，求线段ＢＣ的长度（结果精确到０．０１ｍ，参考数据：ｓｉｎ７０°≈０．９４０，ｃｏｓ７０°≈０．３４２，
任务
１．如图（２），该建筑物正前方有一自动扶梯ＡＢ，小明站在自动扶梯的底部 Ａ处，让测量工具的 ＯＮ平行于水平 ｔａｎ７０°≈２．７４７， ３≈１．７３２）．
地面ＡＱ，ＯＮ的延长线交ＰＱ于点Ｆ，滑动ＯＧ，使Ｏ，Ｇ，Ｐ在同一条直线上，得到ＮＧ＝６．他乘坐自动扶梯到达
如图，过点Ｂ作ＢＧ⊥ＡＤ于点Ｇ．
测量数据 ∠ＡＣＢ＝３７°，∠ＥＤＢ＝６３．４°，ＥＦ＝８ｍ，ＣＤ＝６ｍ． 顶部Ｂ处，让测量工具的Ｏ′Ｎ′平行于水平地面，Ｏ′Ｎ′的延长线交 ＰＱ于点 Ｅ，滑动 Ｏ′Ｇ′，使 Ｏ′，Ｇ′，Ｐ在同一
条直线上，此时Ｎ′Ｇ′＝３．
交流展示 ……
２．用卷尺测量小明的身高ＡＣ（ＢＤ），自动扶梯的铅垂高ＢＭ、水平宽ＡＭ．
求瓦房的高 ＡＢ（结果精确到 １ｍ．参考数据：ｓｉｎ３７°≈０．６，ｃｏｓ３７°≈０．８，ｔａｎ３７°≈０．７５，ｓｉｎ６３．４°≈ 测量方案
０８９，ｃｏｓ６３．４°≈０．４５，ｔａｎ６３．４°≈２．００）．
如图，过点Ｅ作ＥＨ⊥ＢＣ于点Ｈ，
在Ｒｔ△ＡＢＧ中，ＡＢ＝３．５，∠ＢＡＧ＝７０°，
由题意得，四边形ＥＧＢＨ为矩形，
∴ＢＧ＝ＡＢ·ｓｉｎ７０°≈３．５×０．９４０＝３．２９．
图（２）
ＡＧ＝ＡＢ·ｃｏｓ７０°≈３．５×０．３４２＝１．１９７．
测量数据 ＡＣ＝ＢＤ＝１．７ｍ，ＢＭ＝４．５ｍ，ＡＭ＝１９．５ｍ． 延长ＢＣ交ＤＥ于点Ｈ，则四边形ＢＨＤＧ是矩形，ＢＨ⊥ＤＥ（WX!：YZ6DＢＣ4[\]^_Z‘3ＢＨＤＧ4a
[ＢＨbＲｔcＣＦＨ4:5aＣＨ4d），
计算结果 ……
∴ＢＨ＝ＤＧ，ＤＨ＝ＢＧ＝３．２９．
试根据以上数据计算出该建筑物的高度 ＰＱ（结果精确到１ｍ）．
∵ＡＤ＝４，
设ＰＱ＝ｘｍ．
∴ＢＨ＝ＤＧ＝ＡＤ－ＡＧ＝４－１．１９７＝２．８０３．
由题意可知ＦＱ＝ＣＡ＝１．７ｍ，ＥＱ＝ＤＭ＝１．７＋４．５＝６．２（ｍ），
∵ＤＦ＝２．２９，ＤＨ＝３．２９，
∴ＢＧ＝ＥＨ．
∴ＰＦ＝（ｘ－１．７）ｍ，ＰＥ＝（ｘ－６．２）ｍ．
∴ＦＨ＝ＤＨ－ＤＦ＝３．２９－２．２９＝１．
１ 由题意可知ＧＮ∥ＰＱ，Ｇ′Ｎ′∥ＰＱ，
由题意得，ＡＧ⊥ＥＦ，ＥＧ＝ ＥＦ＝４ｍ，∠ＡＥＧ＝∠ＡＣＢ＝３７°，∠ＥＤＨ＝６３．４°，ＣＤ＝６ｍ． 在Ｒｔ△ＣＦＨ中，∠ＣＦＨ＝６０°，
２
∴△ＣＧＮ∽△ＣＰＦ，△ＤＧ′Ｎ′∽△ＤＰＥ，
ＡＧ ＡＧ ＰＦ ＧＮＰＥ Ｇ′Ｎ′
∴ＣＨ＝ＦＨ·ｔａｎ６０°＝ 槡３≈１．７３２，
在Ｒｔ△ＡＥＧ中，ｔａｎ３７°＝ ＥＧ ＝ ４ ≈０．７５， ∴ ＣＦ ＝ ＮＣ ， ＤＥ ＝ ＤＮ′ ， ∴ＢＣ＝ＢＨ－ＣＨ＝２．８０３－１．７３２＝１．０７１≈１．０７（ｍ）．
∴ＡＧ＝３ｍ． ｘ－１．７ ６ｘ－６．２ ３ 答：线段ＢＣ的长度约为１．０７ｍ．
∴ ＝ ， ＝ ，
设ＤＨ＝ｘｍ，则ＣＨ＝ＣＤ＋ＤＨ＝（６＋ｘ）ｍ． ＣＦ １８ ＤＥ １８
ＥＨ
∴ＣＦ＝３（ｘ－１．７）ｍ，ＤＥ＝６（ｘ－６．２）ｍ．
在Ｒｔ△ＤＥＨ中，ｔａｎ∠ＥＤＨ＝ｔａｎ６３．４°＝ ≈２．００，
ＤＨ 又ＤＥ－ＣＦ＝ＡＭ，
ＥＨ ∴６（ｘ－６．２）－３（ｘ－１．７）＝１９．５，
即 ＝２，∴ＥＨ＝２ｘｍ．
ｘ 解得ｘ＝１７．２，
山西中考４５套汇编·数学 ２９— ４ 山西中考４５套汇编·数学 ２９— ５ 山西中考４５套汇编·数学 ２９— ６（１）反证法 正确 错误
!" " ?1QRS9TOP
()
题型七 阅读理解题
（２）证明：如图（１），过点Ｑ作ＱＧ∥ＰＯ，且使ＱＧ＝ＰＯ，连接ＧＯ，ＧＳ．
２．阅读与思考
∵ＱＧ∥ＰＯ，且ＱＧ＝ＰＯ，
阅读材料，回答问题．
∴四边形ＰＯＧＱ是平行四边形，
!" ! ?LMNOP
∴ＰＱ∥ＧＯ，ＰＱ＝ＧＯ． 主题 两个正数的积与商的位数探究
１．阅读与思考
又∵ＰＱ∥ＴＳ，∴ＳＴ∥ＧＯ． 小明是一位爱思考的小学生．一次，在完成多位数的乘法时，他根据算式“４６×２＝９２；３５×２１＝７３５；
下面是小方同学数学日记中的部分内容，请认真阅读并完成相应任务．
∵ＰＯ∥ＱＧ，ＰＯ∥ＲＳ，ＱＧ＝ＰＯ，ＰＯ＝ＲＳ， 提出问题 ６６３×１１＝７２９３；１８６×３６２＝６７３３２”，猜想：ｍ位的正整数与ｎ位的正整数的乘积是一个（ｍ＋ｎ－１）位的
∴ＱＧ∥ＲＳ，ＱＧ＝ＲＳ，∴四边形ＱＧＳＲ是平行四边形， 正整数．
平行六边形与菱六边形
∴ＱＲ∥ＧＳ，ＧＳ＝ＱＲ． 分析探究 问题１ 小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例．
【平行六边形】如图（１），在凸六边形ＡＢＣＤＥＦ中，满足ＡＢ∥ＤＥ，ＢＣ∥ＥＦ，ＣＤ∥ＦＡ，我们称这
样的凸六边形叫做平行六边形，其中 ＡＢ与 ＤＥ，ＢＣ与 ＥＦ，ＣＤ与 ＦＡ叫做主对边；∠Ａ和 又∵ＱＲ∥ＯＴ，∴ＧＳ∥ＯＴ， 小明的猜想激发了初中生小华的探究热情．为了使问题的研究推广到有理数的乘法，进而迁移到对
∠Ｄ，∠Ｂ和∠Ｅ，∠Ｃ和∠Ｆ叫做主对角；ＡＤ，ＢＥ，ＣＦ叫做主对角线． ∴四边形ＧＳＴＯ是平行四边形， 除法的研究，小华将数的“位数”与“数字”的概念进行推广，规定：如果一个正数用科学记数法表示为
类比平行四边形的性质，有如下猜想： ∴ＯＴ＝ＧＳ＝ＱＲ，ＳＴ＝ＧＯ＝ＰＱ， ａ×１０ｎ，则称这个数的位数是ｎ＋１，数字是ａ．
∴ＰＱ＝ＱＲ＝ＲＳ＝ＳＴ＝ＯＴ＝ＰＯ， 借此，小华研究了两个数乘积的位数问题，提出并证明了以下命题．
猜想
图（１）
∴平行六边形ＯＰＱＲＳＴ是菱六边形． 命题：若正数Ａ，Ｂ，Ｃ的位数分别为ｍ，ｎ，ｐ，数字分别为ａ，ｂ，ｃ，且Ａ×Ｂ＝Ｃ，则必有ｃ≥ａ且ｃ≥ｂ，或ｃ＜ａ
①平行六边形的三组主对边分别相等
且ｃ＜ｂ．并且，当ｃ≥ａ且ｃ≥ｂ时，ｐ＝ｍ＋ｎ－１；当ｃ＜ａ且ｃ＜ｂ时，ｐ＝ｍ＋ｎ．
②平行六边形的三组主对角分别相等
证明：依题意知，Ａ，Ｂ，Ｃ用科学记数法可分别表示为ａ×１０ｍ－１，ｂ×１０ｎ－１，ｃ×１０ｐ－１，其中ａ，ｂ，ｃ均为正数．
③平行六边形的三条主对角线互相平分
由Ａ×Ｂ＝Ｃ，得ａｂ×１０ｍ＋ｎ－２＝ｃ×１０ｐ－１，
验证过程部分如下：
ａｂ
即 ＝１０ｐ－ｍ－ｎ＋１．（）
①如图（１），六边形ＡＢＣＤＥＦ是平行六边形．过ＥＦ上一点Ｇ作ＤＥ的平行线，交ＣＤ于点Ｈ，此时ＨＧ＞ＤＥ，六边形 ｃ
推广延伸
ＡＢＣＨＧＦ是平行六边形．若平行六边形的三组主对边分别相等，则 ＡＢ＝ＤＥ，ＡＢ＝ＨＧ，∴ＤＥ＝ＨＧ，矛盾，故猜想平 ａ ａｂ ａｂ ａ １ １ ａｂ ａｂ
当ｃ≥ａ且 ｃ≥ｂ时， ≤１，所以 ≤ｂ＜１０．又 ≥ ＞ ，所以 ＜ ＜１０．由（）知， ＝１，所以
ｃ ｃ ｃ ｃ １０ １０ ｃ ｃ
行六边形的三组主对边分别相等是错误的．
图（１）
ｐ＝ｍ＋ｎ－１；
……
（３）作图如图（２）所示，
【菱六边形】六条边都相等的平行六边形叫做“菱六边形”．
ａ ａｂ
≤１， ≤ｂ＜１０，
ｃ ｃ ａｂ
当ｃ≥ａ且ｃ＜ｂ时， 所以 所以１＜ ＜１０，与（）矛盾，不合题意；
任务： ｂ ａｂ ｃ
＞１， ＞ａ≥１，
ｃ ｃ
（１）证明①错误的方法是 反证法 ．表格中猜想②是 正确 （填“正确”或“错误”）的，猜想③是 错误
当ｃ＜ａ且ｃ≥ｂ时， ① ；
（填“正确”或“错误”）的． 图（２）
当ｃ＜ａ且ｃ＜ｂ时， ② ．
（２）如图（２），已知平行六边形 ＯＰＱＲＳＴ满足 ＯＰ＝ＰＱ＝ＱＲ＝ＲＳ． ４
综上所述，命题成立．
３
求证：平行六边形 ＯＰＱＲＳＴ是菱六边形．
Ａ
解法提示：如图（２），设ＫＬ＝ＬＭ＝ＭＮ＝ＮＵ＝ＵＶ＝ＶＫ＝ｘ．
（３）如图（３）是一张边长分别为 ３，４，６的三角形纸片 ＨＩＪ，已知存在一个顶点均在△ＨＩＪ边上的菱六 拓展迁移 问题２ 若正数Ａ，Ｂ的位数分别为ｍ，ｎ，那么 的位数是多少？证明你的结论．
Ｂ
∵ＫＬ∥ＩＪ，ＶＵ∥ＨＪ，
边形 ＫＬＭＮＵＶ，其中点 Ｋ，Ｖ在边 ＨＩ上，点 Ｕ，Ｎ在边 ＩＪ上，点 Ｌ，Ｍ在边 ＨＪ上，请作出菱六边形
（１）解决问题１；
∴△ＨＫＬ∽△ＨＩＪ，△ＩＵＶ∽△ＩＪＨ，
４
ＫＬＭＮＵＶ（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），则菱六边形 ＫＬＭＮＵＶ的边长为 ． （２）请把①②所缺的证明过程补充完整；
３ ＨＫ ＫＬＩＶ ＶＵ
∴ ＝ ， ＝ ，
ＨＩ ＩＪＩＨ ＨＪ （３）解决问题２．
ＨＫ ｘＩＶ ｘ ｘ ３ｘ （１）小明的猜想不正确．
即 ＝ ， ＝ ，∴ＨＫ＝ ，ＩＶ＝ ，
３ ６ ３ ４ ２ ４ 反例：３×４＝１２．
ｘ ３ｘ ４ ａ ａｂ
∴ ＋ｘ＋ ＝３，解得ｘ＝ ， ＞１， ＞ｂ≥１，
２ ４ ３ ｃ ｃ ａｂ
（２）① 所以 所以１＜ ＜１０，与（）矛盾，不合题意；
４ ｂ ａｂ ｃ
∴ＫＬ＝ ．
≤１，
≤ａ＜１０，
图（２） 图（３） ３ ｃ ｃ
山西中考４５套汇编·数学 ３０— １ 山西中考４５套汇编·数学 ３０— ２ 山西中考４５套汇编·数学 ３０— ３ａ ａｂ ａｂ ａｂ １ １ １ １ １ １
② ＞１，所以 ＞ｂ＞１．又因为 ≤ａｂ＜１００，所以１＜ ＜１００， 对阿波罗尼奥斯定理进一步研究发现：如图（２），在矩形 ＡＢＣＤ中，Ｐ为矩形 ＡＢＣＤ内任 ∴ＥＦ２＝ （ＡＦ２＋ＯＦ２－２ＡＥ２）＝ ＡＦ２＋ ＯＦ２－ＡＥ２＝ ＢＦ２＋ ＯＦ２－ ＡＯ２．
ｃ ｃ ｃ ｃ ２ ２ ２ ２ ２ ４
一点，则ＰＡ２，ＰＢ２，ＰＣ２，ＰＤ２之间有一定的数量关系．
ａｂ 连接ＯＢ，ＯＣ，∵ＯＢ＝ＯＣ，ＢＦ＝ＦＣ，
由（）知 ＝１０，所以ｐ＝ｍ＋ｎ．
证明过程如下：
ｃ
∴ＯＦ垂直平分线段ＢＣ，
已知Ｐ为矩形ＡＢＣＤ内任一点，求证：ＰＡ２＋ＰＣ２＝ＰＢ２＋ＰＤ２．
（３）当Ａ的数字大于或等于Ｂ的数字时，
Ａ
的位数是ｍ－ｎ＋１； 图（２）
∴ＢＦ２＋ＯＦ２＝ＯＢ２，
Ｂ 证明：连接ＡＣ，ＢＤ交于点Ｏ，连接ＯＰ，如图（２），
１ １ １ １
∴ＥＦ２＝ （ＢＦ２＋ＯＦ２）－ ＡＯ２＝ ＢＯ２－ ＡＯ２＝７，
Ａ …… ２ ４ ２ ４
当Ａ的数字小于Ｂ的数字时， 的位数是ｍ－ｎ．
Ｂ
任务： ∴ＥＦ＝ 槡７．
证明如下：
（１）写出材料中证明的剩余部分．
由已知，Ａ，Ｂ的位数分别为ｍ，ｎ，
（２）如图（３），点 Ｅ为矩形 ＡＢＣＤ内一点．已知 ＡＤ＝８，ＢＥ＝６，ＥＣ＝４．
Ａ
设 ＝Ｃ，Ａ，Ｂ，Ｃ的数字分别为ａ，ｂ，ｃ，Ｃ的位数为ｘ，
Ｂ ①若 ＤＥ＝５，则 ＡＥ的长为 ３槡５ ．
则Ｂ×Ｃ＝Ａ． ②尺规作图：作点 Ｆ，使点 Ｆ为 ＢＣ的中点，连接 ＥＦ（保留作图痕迹，不写作法）；ＥＦ的长为 槡１０ ．
由小华的命题知，当ａ≥ｂ时，必有ａ≥ｃ， （３）如图（４），⊙Ｏ的半径为４，点 Ａ为⊙Ｏ内一点，且 ＯＡ＝２，点 Ｂ和点 Ｃ在⊙Ｏ上，且∠ＢＡＣ＝９０°，点 Ｅ，Ｆ
此时，ｍ＝ｎ＋ｘ－１，所以ｘ＝ｍ－ｎ＋１； 分别为 ＡＯ，ＢＣ的中点，求 ＥＦ的长．
图（２）
当ａ＜ｂ时，必有ａ＜ｃ，
此时，ｍ＝ｎ＋ｘ，所以ｘ＝ｍ－ｎ．
Ａ
综上所述，当Ａ的数字大于或等于Ｂ的数字时， 的位数是ｍ－ｎ＋１；
Ｂ
Ａ
当Ａ的数字小于Ｂ的数字时， 的位数是ｍ－ｎ．
Ｂ
!" # ?1QUVOP
图（３） 图（４）
（１）∵四边形ＡＢＣＤ是矩形，
３．阅读与思考
∴ＡＯ＝ＢＯ＝ＣＯ＝ＤＯ．
请阅读材料，并完成相应的任务．
根据阿波罗尼奥斯定理得：ＰＡ２＋ＰＣ２＝２（ＯＡ２＋ＰＯ２），ＰＢ２＋ＰＤ２＝２（ＯＢ２＋ＰＯ２），
阿波罗尼奥斯定理 ∴ＰＡ２＋ＰＣ２＝ＰＢ２＋ＰＤ２．
阿波罗尼奥斯（约公元前２６２—公元前１９０年），古希腊数学家，他的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科
（２）①３槡５
学成果，可以说代表了希腊几何的最高水平．阿波罗尼奥斯定理，表述了三角形三边长和中线长关系，即三角
②作图如图（１）所示．
形任意两边的平方和等于第三边一半的平方与该边上的中线的平方的和的２倍．
下面是该定理的证明过程．
已知：如图（１）所示，在锐角三角形ＡＢＣ中，ＡＤ为中线．
ＢＣ
求证：ＡＢ２＋ＡＣ２＝２［ＡＤ２＋（ ）２］．
２
证明：如图（１），过点Ａ作ＡＥ⊥ＢＣ于点Ｅ．
设ＢＤ＝ＣＤ＝ａ，ＤＥ＝ｂ，ＡＥ＝ｃ．
∵ＡＢ２＝ＢＥ２＋ＡＥ２，ＡＣ２＝ＡＥ２＋ＣＥ２， 图（１） 图（１）
∴ＡＢ２＋ＡＣ２＝（ＢＥ２＋ＡＥ２）＋（ＡＥ２＋ＥＣ２）＝（ａ－ｂ）２＋ｃ２＋ｃ２＋（ａ＋ｂ）２＝２（ａ２＋ｂ２＋ｃ２）＝ 槡１０
ＢＣ （３）在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝９０°，点Ｆ为ＢＣ的中点，连接ＡＦ，如图（２），则ＡＦ＝ＢＦ＝ＣＦ．
２［ＡＤ２＋（ ）２］．
２
连接ＯＦ，易知ＥＦ为△ＡＦＯ的中线，
同理可在Ｒｔ△ＡＢＣ和钝角三角形ＡＢＣ中证明．
∴２ＥＦ２＋２ＡＥ２＝ＡＦ２＋ＯＦ２，
山西中考４５套汇编·数学 ３０— ４ 山西中考４５套汇编·数学 ３０— ５ 山西中考４５套汇编·数学 ３０— ６９．如图，在边长为２的正方形ＡＢＣＤ中，点Ｅ，Ｆ分别是边ＡＢ，ＢＣ的中点，连接ＣＥ，ＤＦ，点Ｇ，Ｈ分别是ＣＥ，ＤＦ
(* (!
槡２
题型八 填空压轴题 的中点，连接 ＧＨ，则 ＧＨ的长为 ． 题型九 二次函数的实际应用题
２
!" ! ?WXYOP !" ! \]^Y_8
１．如图，在△ＡＢＣ中，点 Ｅ在边 ＡＣ上，ＥＢ＝ＥＡ，∠Ａ＝２∠ＣＢＥ，ＣＤ⊥ＢＥ交 ＢＥ的延长线于点 Ｄ，ＢＤ＝８，
１．综合与实践
ＡＣ＝１１，则边 ＢＣ的长为 ４槡５ ． 天山胜利隧道预计于２０２５年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通
效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽１２米，
高８米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系．
（第９题） （第１０题） （第１１题）
（１）求抛物线的函数解析式．
１０．在矩形 ＡＢＣＤ与矩形 ＥＢＧＦ中，ＡＢ＝ＥＢ＝２，ＢＣ＝ＢＧ＝４，将两个矩形如图放置，其中点 Ｆ在 ＤＣ的延长线
（２）该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙
４槡５
上，连接 ＣＥ，过点 Ｄ作 ＤＨ⊥ＥＣ于点 Ｈ，则 ＤＨ的长度为 ． 不少于０．５米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且
５
两车至少间隔２米（中心线宽度不计）．若宽 ３米、高 ３５米的两辆车并
１１．如图，在菱形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝４槡５，对角线 ＢＤ的长为 １６，Ｅ是 ＡＤ的中点，Ｆ是 ＢＤ上一点，连接 ＥＦ．若 排行驶，能否安全通过？请说明理由．
（第１题） （第２题） （第３题）
２．如图，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝９０°，ＡＢ＝ＡＣ，点 Ｅ是△ＡＢＣ内一点，且∠ＡＥＣ＝９０°，将 ＡＥ绕点 Ａ沿逆
ＢＦ＝３，则 ＥＦ的长为 槡８５ ．
（１）由题意得，抛物线的顶点为（
１２
，８），即（６，８）．
１２．如图，在矩形ＡＢＣＤ中，点Ｅ，Ｆ，Ｍ分别在ＡＢ，ＤＣ，ＡＤ的边上，ＢＥ＝２ＣＦ，ＦＭ分别交对角线ＢＤ、线段ＤＥ于 ２
时针方向旋转９０°得到线段 ＡＤ，连接ＤＥ并延长交ＢＣ于点Ｆ，若ＢＣ＝２槡５，ＤＥ＝２，则ＥＦ的长为 １ ．
３．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＡ＝６，点 Ｄ，Ｅ分别在边 ＢＣ，ＡＣ上，且
ＢＤ
＝
ＣＥ
＝
１
，ＢＥ与 ＡＤ交于点 Ｆ，
点 Ｇ，Ｈ，且 Ｈ是 ＤＥ的中点，若 ＣＦ＝２，∠ＡＢＤ＝３０°，则 ＨＧ的长为
２槡３
．
设
将
抛
（０
物
，０
线
）代
的
入
函
，
数
得
解
ａ（
析
０
式
－６
为
）２＋
ｙ
８
＝
＝
ａ（
０，
ｘ－６）２＋８（ａ≠０）．
３
ＣＤ ＡＥ ２
２
解得ａ＝－ ，
８槡７
９
则 ＥＦ的长为 ．
７ ２
∴抛物线的函数解析式为ｙ＝－ （ｘ－６）２＋８（０≤ｘ≤１２）．
４．如图，在△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝９０°，ＡＢ＝６，ＡＣ＝８，点 Ｄ是 ＢＣ的中点，将△ＡＢＤ沿 ＡＤ折叠，得到△ＡＥＤ， ９
１４ （２）能安全通过．
连接 ＣＥ，则 ＣＥ的长度为 ．
５ 理由如下：当两车间隔２米，且两车距离中心线的距离相等时，甲车左侧距离点Ｏ的距离是６－１－３＝２．
２ ２ ４０
将ｘ＝２代入ｙ＝－ （ｘ－６）２＋８，得ｙ＝－ ×（２－６）２＋８＝ ．
９ ９ ９
（第１２题） （第１３题） （第１４题）
４０ １７
１３．如图，在平行四边形 ＡＢＣＤ中，ＡＤ＝５，ＡＢ＝６槡２，∠Ｂ是锐角，ＡＥ⊥ＢＣ于点 Ｅ，Ｆ为 ＡＢ的中点，连接 ＤＦ，
９
－３．５＝
１８
＞０．５，故能安全通过．
ＥＦ．若∠ＥＦＤ＝９０°，则 ＡＥ的长是 ２槡１４ ．
２． !:; HIJ=K 综合与实践
１４．如图，在矩形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝４，ＡＤ＝６，点 Ｅ是 ＢＣ的中点，连接 ＡＥ，ＡＦ平分∠ＤＡＥ交 ＣＤ于点 Ｆ，连接 ＢＦ
问题背景：
４０
交 ＡＥ于点 Ｇ，则 ＡＧ＝ ． 综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效
９ 保温 温度 健康 节能
（第４题） （第５题） （第６题） 果图如图（１）所示． 加热 调节 抑菌 休眠
５．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＣ＝３，ＢＣ＝２，∠Ｃ＝６０°，Ｄ是线段 ＢＣ上一点（不与端点 Ｂ，Ｃ重合），连接 ＡＤ，以 ＡＤ １５．如图，在ＡＢＣＤ中，Ｅ为ＣＤ的中点，连接ＡＥ，线段ＡＥ的垂线分别交ＢＣ，ＡＥ，ＡＤ于点Ｎ，Ｆ，Ｍ．已知∠Ｃ＝ 外形参数：
３ ４
为边，在ＡＤ的右侧作等边三角形ＡＤＥ，线段ＤＥ与线段ＡＣ交于点Ｆ，则线段ＣＦ长度的最大值为 ４ ． ４５°，ＡＢ＝４，ＡＤ＝ 槡２ＡＢ，则线段 ＭＮ的长为 ５ 槡１３ ． 形 如图 ＡＢ （ Ｃ ２ Ｄ ）， 和 装 下 置 方 整 的 体 抛 图 物 案 线 为轴 Ｌ 对 组 称 成 图 ，抛 形 物 ，外 线 形 Ｌ 由 的 上 高 方 度 的 为 抛物 ８ 线 ｃｍ Ｌ ， １ 矩 ，中 形 间 Ａ 的 ＢＣ 矩 Ｄ 图（１）
２ １
６．如图，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＤ是△ＡＢＣ的一条角平分线，Ｅ为 ＡＤ中点，连接 ＢＥ．若 ＢＥ＝ＢＣ， 的边 ＡＢ＝８ｃｍ，ＢＣ＝６ｃｍ，抛物线 Ｌ的高度为 ４ｃｍ．在装置内部安装矩形电子显示屏 ＥＦＧＨ，点 Ｅ，Ｆ
２
槡１７＋１ 在抛物线 Ｌ上，点 Ｈ，Ｇ在抛物线 Ｌ上．
ＣＤ＝２，则 ＢＤ＝ ． ２ １
２ 问题解决：
如图（３），该小组以矩形 ＡＢＣＤ的顶点 Ａ为原点，以
!" " ?Z[YOP
ＡＢ边所在的直线为 ｘ轴，以 ＡＤ边所在的直线为 ｙ
７．如图，折叠正方形 ＡＢＣＤ的一边ＢＣ，使点Ｃ落在ＢＤ上的点Ｆ处，折痕ＢＥ交ＡＣ于点Ｇ．若ＤＥ＝２槡２，
轴，建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以
则 ＣＧ的长是 ２ ．
下任务：
（１）直接写出 Ｂ，Ｃ，Ｄ三点的坐标；
（第１５题） （第１６题） （第１７题）
（２）直接写出抛物线 Ｌ和 Ｌ的顶点坐标，并分别求
!" # JK!" １ ２
出抛物线 Ｌ和 Ｌ的函数表达式；
１６．如图，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，点 Ｃ在⊙Ｏ上，连接 ＡＣ．以 ＡＣ为边作菱形 ＡＣＤＥ，ＣＤ交⊙Ｏ于点 Ｆ，ＡＢ⊥ＣＤ，垂 １ ２
（３）为满足矩形电子显示屏 ＥＦＧＨ的空间要求，需要
１３
足为 Ｇ．连接 ＡＤ，交⊙Ｏ于点 Ｈ，连接 ＥＨ．若 ＡＧ＝１２，ＧＦ＝５，则 ＤＦ的长度为 ３ ，ＥＨ的长度为 槡１３ ． ＥＨ边的长为１５ｃｍ，求此时 ＥＦ边的长．
（第７题） （第８题） ４ （１）Ｂ（８，０），Ｃ（８，６），Ｄ（０，６）．
８．如图，在ＡＢＣＤ中，对角线 ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｏ，ＡＤ＝５，ＡＣ＝８，ＢＤ＝６．点Ｅ为ＢＣ延长线上一点，连接 １７．如图，在正六边形 ＡＢＣＤＥＦ中，点 Ｍ，Ｎ，Ｐ分别在边 ＡＢ，ＣＤ，ＡＦ上，且 Ｎ是 ＣＤ的中点，∠ＮＭＰ＝９０°．若 （２）抛物线Ｌ和Ｌ的顶点坐标分别为（４，１４），（４，－４）． 图（２） 图（３）
１ ２
ＯＥ交 ＣＤ于点 Ｆ．若∠Ｅ＝
１
∠ＯＣＦ，则 ＣＦ的长度为
２０
． ＡＢ＝１２，ＡＭ＝４，则 ＡＰ的长为
１１
．
设抛物线Ｌ
１
的函数表达式为ｙ＝ａ
１
（ｘ－４）２＋１４（!"：ef
２ １３ ２
山西中考４５套汇编·数学 ３１— １ 山西中考４５套汇编·数学 ３１— ２ 山西中考４５套汇编·数学 ３２— １gh64i!jk)li!M）， １ １ ４
将点Ｆ（２，０），Ｇ（６，０）代入抛物线Ｃ：ｙ＝－ ｘ２＋ｍｘ＋ｎ， 此时可得ａ（４－ ）２＋１＝０，解得ａ＝－ ．
１ ２ ５ ２ ４９
将Ｄ（０，６）代入，得６＝ａ（０－４）２＋１４，解得ａ＝－ ，
１ １ ２ １ ８ ３
－ ×４＋２ｍ＋ｎ＝０， ｍ＝ ， 当抛物线Ｃ的开口最小时，抛物线Ｃ的顶点为Ｐ（１， ）且过点（３，０），
１ １ ５ ５ １ １ ２
∴抛物线Ｌ的函数表达式为ｙ＝－ （ｘ－４）２＋１４＝－ ｘ２＋４ｘ＋６． 得 解得
１ ２ ２ １ １２ ３ ３
－ ×３６＋６ｍ＋ｎ＝０， ｎ＝－ ， 此时可得ａ（３－１）２＋ ＝０，解得ａ＝－ ，
设抛物线Ｌ的函数表达式为ｙ＝ａ（ｘ－４）２－４， ５ ５ ２ ８
２ ２
１ １ ８ １２ ３ ４
将Ａ（０，０）代入，得０＝ａ（０－４）２－４，解得ａ＝ ， ∴抛物线Ｃ的表达式为ｙ＝－ ｘ２＋ ｘ－ ． ∴ａ的取值范围是－ ≤ａ≤－ ．
２ ２ ４ ２ ５ ５ ５ ８ ４９
１ １ ∵Ａ（４．５，０），ＡＢ＝１，ＢＣ＝０．５，∴Ｃ（５．５，０．５）． ４． !"# RSTUVWXY 综合与实践
∴抛物线Ｌ的函数表达式为ｙ＝ （ｘ－４）２－４＝ ｘ２－２ｘ．
２ ４ ４ 当ｘ＝５．５时，ｙ＝－ １ ×３０．２５＋ ８ ×５．５－ １２ ＝０．３５． 小兰在学习二次函数之后，想用二次函数的知识解决生活中的实际问题．她观察发现，家中有一款铁
（３）由题意知ＥＦ∥ＨＧ∥ｘ轴． ５ ５ ５ 艺工艺品（厚度忽略不计），它由两个成轴对称的“花瓣”构成，图（１）是该工艺品的平面示意图，“花
∵四边形ＥＦＧＨ是矩形，∴ＨＥ⊥ＥＦ，∴ＨＥ⊥ｘ轴． ∵０．３５＜０．５， 瓣”外边缘可以近似地看成抛物线形，内边缘是线段．如图（２），两个“花瓣”的公共顶点为 Ｏ，对称轴为
∴石块不能越过障碍物．
设点Ｅ的横坐标为ｎ，则Ｅ（ｎ， １ ｎ２－２ｎ），Ｈ（ｎ，－ １ ｎ２＋４ｎ＋６）． 方法二（二次函数的对称性）：石块不能越过障碍物． 直线 ＭＮ，内边缘为线段 ＯＡ，ＯＢ，小兰测得外边缘上一点 Ｃ与 Ｏ点的水平距离为 １ｄｍ（ＯＨ＝１ｄｍ）
４ ２ 时，Ｃ点到对称轴ＭＮ的距离为２ｄｍ（ＣＨ＝２ｄｍ），Ａ点与Ｏ点的水平距离为４ｄｍ（ＯＱ＝４ｄｍ），Ａ点到
理由：∵Ｆ（２，０），ＦＧ＝４，∴Ｇ（６，０），
∵ＥＨ＝１５ｃｍ， 对称轴 ＭＮ的距离为２ｄｍ（ＡＱ＝２ｄｍ）．
２＋６ ｍ
∴－ １ ｎ２＋４ｎ＋６－（ １ ｎ２－２ｎ）＝１５， 由对称性知，抛物线的对称轴为直线ｘ＝ ２ ＝－ １ ＝４， （１）如图（３），以 Ｏ为原点，以直线 ＭＮ为 ｘ轴，建立平面直角坐标系．
２ ４ ２×（－ ） ①求出对称轴 ＭＮ上方抛物线 Ｃ 的解析式；
５ １
整理，得－
３
ｎ２＋６ｎ＋６＝１５，解得ｎ＝２，ｎ＝６． ８
②点 Ｅ在抛物线 Ｃ
１
上，且点 Ｅ到对称轴 ＭＮ的距离最大，求点 Ｅ的坐标．
４ １ ２ 解得ｍ＝ ． （２）如图（３），小兰想在工艺品上安装４条竖直的铁丝，每条铁丝的两端分别固定在同一花瓣的内、外
５
∵当ｎ＝６时，点Ｅ在抛物线对称轴的右侧，不符合题意， 边缘上，且使得安装后的工艺品仍然关于直线 ＭＮ对称．小兰说：总长 １０ｄｍ的铁丝一定够用（不
１ ８
∴ｎ＝２， 将Ｆ（２，０）代入抛物线Ｃ：ｙ＝－ ｘ２＋ ｘ＋ｎ， 考虑损耗）．你认为小兰的说法对吗？并说明理由．
２ ５ ５
∴点Ｅ到抛物线对称轴的距离为４－２＝２（ｃｍ）．
（３）小兰想：若把这个“花瓣”形工艺品平放在一个正方形的托盘中，这个正方形托盘边长的最小值是
１ ８
由抛物线的对称性可得ＥＦ＝２×２＝４（ｃｍ）． 得－ ×２２＋ ×２＋ｎ＝０， 多少呢？请直接写出这个最小值．
５ ５
３． !./ LMNOPQ 综合与实践
１２
用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触，石块会在空中近似地形成一组 解得ｎ＝－ ，
５
抛物线的运动路径．如图（１），小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度 ｙ
１ ８ １２
∴抛物线Ｃ的表达式为ｙ＝－ ｘ２＋ ｘ－ ．
与水平距离 ｘ之间的关系如图（２）所示．石块第一次与水面接触于点 Ｆ，运动路径近似为抛物线 Ｃ １ ， ２ ５ ５ ５
且Ｃ：ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点Ｇ，运动路径近似为抛物线Ｃ，且Ｃ： ∵Ａ（４．５，０），ＡＢ＝１，ＢＣ＝０．５，∴Ｃ（５．５，０．５）．
１ ２ ２
１ １ ８ １２
ｙ＝－ ｘ２＋ｍｘ＋ｎ．（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计） 当ｘ＝５．５时，ｙ＝－ ×３０．２５＋ ×５．５－ ＝０．３５．
５ ５ ５ ５
１ １ ∵０．３５＜０．５，
（１）如图（２），当 ａ＝－ ，ｂ＝ 时，若点 Ｆ的坐标为（２，０），求抛物线 Ｃ 的表达式． ∴石块不能越过障碍物．
２ ２ １ 图（１） 图（２） 图（３）
方法三（二次函数的交点式）：石块不能越过障碍物．
（２）在（１）的条件下，若 ＦＧ＝４，在水面上有一个截面宽 ＡＢ＝１，高 ＢＣ＝０．５的矩形 ＡＢＣＤ的障碍物，点 （１）①∵抛物线Ｃ过点（０，０），
理由：∵Ｆ（２，０），ＦＧ＝４，∴Ｇ（６，０）， １
Ａ的坐标为（４．５，０），判断此时石块沿抛物线 Ｃ运动时是否能越过障碍物？请说明理由． ∴设抛物线Ｃ的解析式为ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ．
２ １ １
（３）小星在抛掷石块时，若抛物线 Ｃ 的顶点需在一个正方形 ＭＮＰＱ区域内（包括边界），且点 Ｆ在
∴抛物线Ｃ的表达式为ｙ＝－ （ｘ－２）（ｘ－６）．
由题意得Ａ（４，２），Ｃ（１，２）．
１ ２ ５
１ １ ３ ∵抛物线Ｃ过点Ａ（４，２），Ｃ（１，２），
∵Ａ（４．５，０），ＡＢ＝１，ＢＣ＝０．５，∴Ｃ（５．５，０．５）． １
（３，０）和（４，０）之间（包括这两点），其中 Ｍ（ ，１），Ｎ（１，１），Ｑ（ ， ），求 ａ的取值范围．（在抛掷
２ ２ ２ １ ａ＝－ １ ，
当ｘ＝５．５时，ｙ＝－ ×（５．５－２）×（５．５－６）＝０．３５． {２＝１６ａ＋４ｂ， ２
过程中正方形与抛物线 Ｃ
１
在同一平面内） ５ ∴
２＝ａ＋ｂ，
解得
５
∵０．３５＜０．５， ｂ＝ ，
∴石块不能越过障碍物． ２
（３）设抛物线Ｃ １ 的表达式为ｙ＝ａ（ｘ－ｈ）２＋ｋ． ∴抛物线Ｃ的解析式为ｙ＝－ １ ｘ２＋ ５ ｘ．
１ １ ３ １ ２ ２
∵在正方形ＭＮＰＱ中，Ｍ（ ，１），Ｎ（１，１），Ｑ（ ， ），
１ ５ １ ５ ２５
图（１） 图（２）
２ ２ ２ ②∵ｙ＝－ ｘ２＋ ｘ＝－ （ｘ－ ）２＋ ，
３ ２ ２ ２ ２ ８
１ １ ∴Ｐ（１， ）．
（１）由题意得，抛物线Ｃ：ｙ＝－ ｘ２＋ ｘ＋ｃ， ２ ５２５
１ ２ ２ ∴Ｅ点坐标为（ ， ）．
根据抛物线的性质可知，当｜ａ｜越大时，抛物线的开口越小． ２ ８
１ １ ∵ａ＜０， （２）小兰的说法对．理由如下：
将点Ｆ（２，０）代入抛物线Ｃ得，－ ×４＋ ×２＋ｃ＝０，解得ｃ＝１，
１ ２ ２ ∴当抛物线Ｃ的开口越大时，ａ的值越大， 设直线ＯＡ的解析式为ｙ＝ｋｘ．
１
１ １ 当抛物线Ｃ的开口越小时，ａ的值越小． １
∴抛物线Ｃ的表达式为ｙ＝－ ｘ２＋ ｘ＋１． １ ∵直线ＯＡ过点Ａ（４，２），∴２＝４ｋ，解得ｋ＝ ，
１ ２ ２ 由抛物线Ｃ的顶点在正方形ＭＮＰＱ区域内，且与ｘ轴的交点Ｆ在（３，０）和（４，０）之间（包括这两点）可知， ２
１
（２）方法一（二次函数的一般式）：石块不能越过障碍物． １ １
当抛物线Ｃ的开口最大时，抛物线Ｃ的顶点为Ｍ（ ，１）且过点（４，０）， ∴直线ＯＡ的解析式为ｙ＝ ｘ．
理由：∵Ｆ（２，０），ＦＧ＝４，∴Ｇ（６，０）， １ １ ２ ２
山西中考４５套汇编·数学 ３２— ２ 山西中考４５套汇编·数学 ３２— ３ 山西中考４５套汇编·数学 ３２— ４１ ５ １ １ １ 根据题意列方程得６００－１０（ａ－６０）＝３００，解得ａ＝９０． １
令ｚ＝－ ｘ２＋ ｘ－ ｘ＝－ ｘ２＋２ｘ＝－ （ｘ－２）２＋２， 即－ （ｘ－１２）２＋３６＜ｎ恒成立．
２ ２ ２ ２ ２ （２）由题意知ｙ＝６００－１０（ｘ－６０）＝－１０ｘ＋１２００，６０≤ｘ＜１２０， ４
则当ｘ＝２时，ｚ取最大值２， ∴ｗ＝（ｘ－５０）（－１０ｘ＋１２００）＝－１０ｘ２＋１７００ｘ－６００００＝－１０（ｘ－８５）２＋１２２５０． １
∵－ （ｘ－１２）２＋３６≤３６，∴ｎ＞３６．
∴在同一花瓣的内、外边缘上安装的竖直铁丝的最大长度是２ｄｍ， ∵－１０＜０， ４
∴安装４条竖直的铁丝总长度小于１０ｄｍ， ∴当ｘ＝８５时，ｗ取最大值，最大值为１２２５０．
!" $ ’(_8
∴总长１０ｄｍ的铁丝一定够用， 答：当每盒售价定为８５元时，日销售利润ｗ最大，最大日销售利润是１２２５０元．
∴小兰的说法对． （３）不正确． ７．综合与实践
理由：ｗ＝１００００时，－１０（ｘ－８５）２＋１２２５０＝１００００， 学校计划在体育馆旁搭建两个相连的矩形自行车车棚，如图所示，一边借助体育馆的外墙，可利用墙
２９槡２
（３） ｄｍ． 解得ｘ＝７０，ｘ＝１００． 长为２５米，其余部分用总长３６米的铝合金材料围成，且在两个车棚中间及左右两侧各设置一个１米
８ １ ２
结合二次函数ｗ＝－１０（ｘ－８５）２＋１２２５０的图象可知， 宽的通道（通道不用铝合金材料）．
解法提示：如图，正方形ＰＧＤＲ的每条边与“花瓣”形工艺品有且只有一个公共点，易知正方形ＰＧＤＲ的边长即
当７０≤ｘ≤１００时，ｗ不低于１００００元， （１）设自行车车棚的面积为 Ｓ平方米，车棚的宽度 ＡＢ为 ｘ米，求 Ｓ与 ｘ之间的函数关系式，并直接写
为正方形托盘边长的最小值（WX!１：Ymn]^_ZoN3ＰＧＤＲ4a[）．
∵ 四 边 形 ＰＧ Ｄ Ｒ为 正 方 形 ， ∴小明的说法不正确． 出自变量 ｘ的取值范围．
∴∠Ｐ＝９０°，ＰＧ＝ＰＲ，∠ＰＧＲ＝４５°． !" # b:_8 （２）若车棚面积需达到１０８平方米，求此时自行车车棚的长和宽．
又∵∠ＧＯＦ＝９０°，∴ＯＧ＝ＯＦ．
６．综合与实践
（３）学校在规划自行车车棚时，考虑到体育馆旁的空间利用及未来的
设ＯＧ＝ＯＦ＝ｎ，则Ｇ（－ｎ，０），Ｆ（０，ｎ）． 使用便捷性，经过测量与讨论，发现当车棚的宽度 ＡＢ为 ８米时，
项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”
设直线ＧＦ的解析式为ｙ＝ｍｘ＋ｎ（ｎ≠０）． 既能最大程度契合现有的场地条件，又能满足预期的停车及充电
项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系
把Ｇ（－ｎ，０）代入，得０＝－ｍｎ＋ｎ，解得ｍ＝１， 区域划分需求．已知此时停车区的宽度（ＡＥ）是充电区宽度（ＤＥ）
进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用．
∴直线ＧＦ的解析式为ｙ＝ｘ＋ｎ．
的１．５倍，停车区和充电区的面积各是多少？
实验过程：如图所示，一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到点 Ａ处开始，用
∵直线ＧＦ与抛物线Ｃ只有一个公共点，
１ ５ １ 频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间 ｘ（单位：ｓ）、运动速度 ｖ（单位：ｃｍ／ｓ）、运动距离 （１）Ｓ＝ｘ（３６＋３－３ｘ）＝－３ｘ２＋３９ｘ（ １４ ≤ｘ＜１３）．
∴－ ｘ２＋ ｘ＝ｘ＋ｎ，即ｘ２－３ｘ＋２ｎ＝０有两个相等的实数根， ｙ（单位：ｃｍ）的数据． ３
２ ２ （２）当Ｓ＝１０８时，－３ｘ２＋３９ｘ＝１０８，
任务一：数据收集
９
∴Δ＝０，即（－３）２－４×１×２ｎ＝０，解得ｎ＝ ， 记录的数据如下： 解得ｘ １ ＝４（舍），ｘ ２ ＝９．
８ 当ｘ＝９时，３９－３ｘ＝１２．
９ 运动时间ｘ／ｓ ０ ２ ４ ６ ８ １０ … 答：此时自行车车棚的长和宽分别是１２米和９米．
∴直线ＧＦ的解析式为ｙ＝ｘ＋ （WX!２：p1ＯＧ＝ＯＦq:6 ＧＦbgh6 Ｃ rsPtuv!)Zw:6 ＧＦ
８ １ （３）当ｘ＝８时，Ｓ＝－３×８２＋３９×８＝１２０，
运动速度ｖ／（ｃｍ／ｓ） １０ ９ ８ ７ ６ ５ …
4KxM）． ∵ＡＥ＝１．５ＤＥ，∴Ｓ ＝１．５Ｓ ，
四边形ＡＢＦＥ 四边形ＤＣＦＥ
９ 运动距离ｙ／ｃｍ ０ １９ ３６ ５１ ６４ ７５ … ∴２．５Ｓ ＝１２０，∴Ｓ ＝４８，∴Ｓ ＝７２．
当ｙ＝０时，ｘ＝－ ， 四边形ＤＣＦＥ 四边形ＤＣＦＥ 四边形ＡＢＦＥ
８ 任务二：观察分析 答：停车区和充电区的面积分别是７２平方米和４８平方米．
９ （１）根据 ｖ，ｙ随 ｘ的变化规律，从所学的三种函数模型（一次函数、反比例函数、二次函数）中，选择适当的 !" % JK_8
∴Ｇ（－ ，０）（WX!３：Zw!Ｇ4jk）．
８ 函数模型，分别求出 ｖ，ｙ与 ｘ之间的函数关系式；（不用写出自变量的取值范围）
８． !:; HIJ=K 综合与实践
５２５ 任务三：问题解决
由（１）知，抛物线Ｃ的顶点坐标为（ ， ）， 在学校项目化学习中，某研究小组开展主题为“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的研究．请你
１ ２ ８ （２）当小球在水平木板上停下来时，求小球的运动距离；
阅读以下材料，解决“数学建模”中的问题．
５ （３）当小球运动到点Ａ处时，在点Ａ的右侧ｎｃｍ处有一辆电动小车，以４ｃｍ／ｓ
∴抛物线Ｃ的对称轴为直线ｘ＝ ． 【研究背景】已知一定浓度的生长素既能促进种子发芽，也会因浓度过高抑制种子发芽．探索生长素
１ ２ 的速度匀速向右直线运动，若小球不能撞上小车，求ｎ的取值范围．
使用的适宜浓度等最优化问题，可以借助数学模型进行解决．
４９ （１）设ｖ＝ｋｘ＋ｈ，将（０，１０），（２，９）分别代入，
由对称性可知正方形ＰＧＤＲ的顶点Ｒ的坐标为（ ，０）（WX!４：Zw!Ｒ4jk）， 【数据收集】研究小组选择某类植物种子和生长素，以生长素浓度 ｘ（标准单位）为自变量，种子的发
８ { １
{ｈ＝１０， ｋ＝－ ， 芽率 ｙ（％）为因变量，进行“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的实验，获得相关数据：
４９ ９ ２９ 得 解得 ２
∴ＧＲ＝ －（－ ）＝ ， ２ｋ＋ｈ＝９，
生长素浓度ｘ（标准单位） ０ ０．６ １ １．７ ２ ２．５ ２．７ ３ ３．３ ４ ４．２
８ ８ ４ ｈ＝１０，
∴ＰＧ＝
２９
×ｃｏｓ４５°＝
２９
×
槡２
＝
２９槡２
， ∴ｖ＝－
１
ｘ＋１０．
发芽率ｙ（％） ３５．００４９．２８５６．００６２．３７６３．００６１．２５５９．５７５６．００５１．１７３５．００２９．１２
４ ４ ２ ８ ２
【数据分析】如图，小组成员以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点．
设ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ，将（２，１９），（４，３６）分别代入，
２９槡２ 说明：①当生长素浓度 ｘ＝０时，种子的发芽率为自然发芽率；
∴这个正方形托盘边长的最小值是 ｄｍ． { １
８ {４ａ＋２ｂ＝１９， ａ＝－ ， ②当发芽率大于等于零且小于自然发芽率时，该生长素抑制种子发芽；
得 解得 ４
!" " ‘a_8 １６ａ＋４ｂ＝３６， ｂ＝１０， ③当生长素抑制种子发芽，使得发芽率减
小到０时，停止实验．
５．某超市购进一种品牌的糕点，每盒进价是 ５０元，规定每盒的售价不低于 ６０元．试销后发现，当每盒 １
∴ｙ＝－ ｘ２＋１０ｘ． 【数学建模】请你结合所学知识解决下列问题：
售价定为６０元时，日销售量为６００盒，每盒售价每提高 １元，日销售量就减少 １０盒．设每盒售价为 ｘ ４
（１）观察各点的分布规律，判断 ｙ关于 ｘ的函数
元，日销售量为 ｙ盒． １
（２）令ｖ＝０，得－ ｘ＋１０＝０，解得ｘ＝２０． 类型，并求出该函数的表达式；
（１）当每盒的售价为 ９０ 元时，日销售量为３００盒． ２
（２）请计算抑制种子发芽时的生长素浓度范围．
（２）当每盒售价定为多少元时，日销售利润 ｗ（元）最大，最大日销售利润是多少？ １
将ｘ＝２０代入ｙ＝－ ｘ２＋１０ｘ，得ｙ＝１００， （１）ｙ是关于ｘ的二次函数．
（３）小明说：“当日销售利润不低于１００００元时，每盒售价 ｘ的范围是 ８０≤ｘ≤１１０．”请判断小明的说 ４
由表格可知图象过点（１，５６），（３，５６），
法是否正确，并说明理由． ∴当小球在水平木板上停下来时，其运动距离为１００ｃｍ．
∴该二次函数图象的对称轴为直线ｘ＝２，顶点为（２，６３），
（１）９０ １
（３）由题意，可知－ ｘ２＋１０ｘ＜４ｘ＋ｎ恒成立， ∴可设该函数的表达式为ｙ＝ａ（ｘ－２）２＋６３．
解法提示：设当每盒的售价为ａ元时，日销售量为３００盒， ４
山西中考４５套汇编·数学 ３２— ５ 山西中考４５套汇编·数学 ３２— ６ 山西中考４５套汇编·数学 ３２— ７将（０，３５）代入，得４ａ＋６３＝３５，解得ａ＝－７， 把ｘ＝４代入ｙ＝ｘ２－２ｘ，得ｙ＝８，
∴ｙ＝－７（ｘ－２）２＋６３． ((
把ｘ＝４代入ｙ＝ｘ，得ｙ＝４，
（２）由表格可知，当ｘ＝４时，ｙ＝３５． 题型十 二次函数图象问题
∴ＭＮ＝８－４＝４．
令－７（ｘ－２）２＋６３＝０，解得ｘ＝－１（舍去），ｘ＝５．
１ ２
②当ａ＞０时，如图（１），结合图象分析可知，若要满足题意，则ｙ＞ｙ，
分析可知，当生长素浓度满足４＜ｘ≤５时，抑制种子发芽． Ｎ Ｍ
１．已知抛物线 ｙ＝ｘ２－ａｘ＋５（ａ为常数）经过点（１，０）． ∴ＭＮ＝ａｔ－（ａｔ２－２ａｔ）＝－ａｔ２＋３ａｔ，
９． !./ Z[\]^_‘ab? 综合与实践
（１）求 ａ的值．
某实验小组在 Ａ，Ｂ两个实验室进行空调制冷后舒适度测试（进行了多次测试）．他们同时启动两个实 ３ａ ３
其对应图象的对称轴为直线ｘ＝－ ＝ ． 图（１）
验室的空调，并在１ｈ后开始记录数据．设 Ａ，Ｂ两个实验室空调的舒适度指数分别为 Ｗ，Ｗ，空调启 （２）过点 Ａ（０，ｔ）与 ｘ轴平行的直线交抛物线于 Ｂ，Ｃ两点，且点 Ｂ为线段 ＡＣ的中点，求 ｔ的值． －２ａ ２
Ａ Ｂ
动时间为 ｘｈ．根据统计数据可知Ｗ ＝ｘ２＋ｂｘ＋１４（ｂ为常数，ｘ≥１），Ｗ ＝ａ（ｘ－２）２＋ｎ（ａ，ｎ为常数，ｘ≥１），两 （３）设ｍ＜３＜ｎ，抛物线的一段ｙ＝ｘ２－ａｘ＋５（ｍ≤ｘ≤ｎ）夹在两条均与ｘ轴平行的直线ｌ，ｌ之间．若直线ｌ，ｌ ∵在０≤ｔ≤２ａ的范围内，ＭＮ随ｔ的增大而增大，
Ａ Ｂ １ ２ １ ２
个函数的图象如图所示． 之间的距离为１６，求 ｎ－ｍ的最大值． ３ ３ ３
∴２ａ≤ ，∴ａ≤ ，∴０＜ａ≤ ．
（１）求 ｍ的值． （１）把（１，０）代入ｙ＝ｘ２－ａｘ＋５， ２ ４ ４
（２）若 ｎ＝１０，
得１－ａ＋５＝０，解得ａ＝６． 当ａ＜０时，如图（２），此时由图易知点 Ｐ从点 Ｏ运动到点 Ｂ（２ａ，０）的过程中，ＭＮ的
①求 ａ的值．
（２）由（１）知二次函数的表达式为ｙ＝ｘ２－６ｘ＋５． 长随ＯＰ的长的增大而增大，∴ａ＜０符合题意．
②李老师要带领学生在 Ａ，Ｂ两个实验室同时做某项实验，实验时长为 ０．５
ｈ．这项实验要求实验室的空调舒适度指数不高于４．若李老师在两个实验室 抛物线的对称轴为直线ｘ＝３． 综上，ａ＜０或０＜ａ≤ ３ ．
４
的空调同时启动 ｐｈ后开始实验，求 ｐ的取值范围． 因为点Ａ的坐标为（０，ｔ），且点Ｂ为线段ＡＣ的中点， 图（２）
（３）小组成员嘉嘉说：“启动空调３ｈ后，两个实验室的空调舒适度指数之和恰好 设点Ｂ（ｓ，ｔ），则点Ｃ（２ｓ，ｔ）． ３．如图，二次函数 ｙ＝－ｘ２＋２ｘ＋３的图象与 ｘ轴交于 Ａ，Ｂ两点（点 Ａ在点 Ｂ的左
为１０．”请你判断他的说法是否正确，并说明理由． ｓ＋２ｓ 侧），与 ｙ轴交于点 Ｃ，作直线 ＢＣ，Ｍ（ｍ，ｙ），Ｎ（ｍ＋２，ｙ）为二次函数 ｙ＝－ｘ２＋２ｘ＋３图象上两点．
（４）若两个实验室空调的舒适度指数在启动空调ｑｈ后相等，其中４≤ｑ≤５，请直 如图（１），由对称性可得 ＝３，解得ｓ＝２， １ ２
２ （１）求直线 ＢＣ对应函数的表达式．
接写出满足条件的 ｎ的整数值．
当ｓ＝２时，ｔ＝２２－６×２＋５＝－３． （２）试判断是否存在实数 ｍ使得 ｙ＋２ｙ＝１０．若存在，求出 ｍ的值；若不存在，请说明理由．
（１）将（２，ｍ），（１，ｍ＋４）分别代入Ｗ ＝ｘ２＋ｂｘ＋１４， １ ２
Ａ
{ｍ＝４＋２ｂ＋１４， {ｍ＝４， （３）已知 Ｐ是二次函数 ｙ＝－ｘ２＋２ｘ＋３图象上一点（不与点 Ｍ，Ｎ重合），且点 Ｐ的横坐标为 １－ｍ，作
得 解得
ｍ＋４＝１＋ｂ＋１４， ｂ＝－７．
△ＭＮＰ．若直线ＢＣ与线段ＭＮ，ＭＰ分别交于点Ｄ，Ｅ，且△ＭＤＥ与△ＭＮＰ的面积的比为１∶４，请直
（２）①易知抛物线Ｗ ＝ａ（ｘ－２）２＋１０经过点（１，８），
Ｂ
接写出所有满足条件的 ｍ的值．
∴８＝ａ＋１０，解得ａ＝－２．
②当Ｗ ＝４时，ｘ２－７ｘ＋１４＝４，
Ａ
解得ｘ＝２，ｘ＝５．
１ ２
当Ｗ≤４时，结合函数图象，可知２≤ｘ≤５．
Ａ
当Ｗ ＝４时，－２（ｘ－２）２＋１０＝４， 图（１） 图（２）
Ｂ
解得ｘ
１
＝２＋ 槡３，ｘ
２
＝２－ 槡３． （３）如图（２），因为ｙ＝ｘ２－６ｘ＋５＝（ｘ－３）２－４，
当Ｗ
Ｂ
≤４时，结合函数图象，可知ｘ≥２＋ 槡３． 所以抛物线的顶点坐标为（３，－４）．
∴适合实验的时段为２＋ 槡３≤ｘ≤５． 因为抛物线的一段ｙ＝ｘ２－ａｘ＋５（ｍ≤ｘ≤ｎ）夹在平行线ｌ，ｌ之间，且ｍ＜３＜ｎ，
１ ２
又∵实验时长为０．５ｈ，李老师在空调启动ｐｈ后开始实验，
所以下方的直线不能在顶点（３，－４）上方．
∴２＋ 槡３≤ｐ≤４．５．
因为直线ｌ，ｌ之间的距离为１６， 备用图
（３）正确． １ ２
理由：将ｘ＝３代入Ｗ ＝ｘ２－７ｘ＋１４，得Ｗ ＝２． 所以要使ｎ－ｍ最大，则ｌ
１
经过顶点（３，－４）， （１）令ｘ＝０，则ｙ＝３，∴点Ｃ的坐标为（０，３）．
Ａ Ａ
将（１，８）代入Ｗ ＝ａ（ｘ－２）２＋ｎ，得ａ＝８－ｎ， 此时ｌ为直线ｙ＝１２． 令ｙ＝０，则－ｘ２＋２ｘ＋３＝０，
Ｂ ２
∴Ｗ ＝（８－ｎ）（ｘ－２）２＋ｎ， 当ｙ＝１２时，（ｘ－３）２－４＝１２， 解得ｘ＝－１或ｘ＝３，∴点Ｂ的坐标为（３，０）．
Ｂ
将ｘ＝３代入，得Ｗ ＝８，
Ｂ 解得ｘ＝－１，ｘ＝７， 设直线ＢＣ对应函数的表达式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ，
∴Ｗ＋Ｗ ＝１０． １ ２
Ａ Ｂ 所以ｎ－ｍ的最大值为７－（－１）＝８． {ｂ＝３， {ｋ＝－１，
故嘉嘉的说法正确．
由题意，得 解得
（４）ｎ的整数值为９或１０． ２．在平面直角坐标系 ｘＯｙ中，抛物线 ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）经过点 Ｏ和点 Ａ（３，３ａ）． ３ｋ＋ｂ＝０， ｂ＝３，
解法提示：当ｘ＝４时，Ｗ ＝２． （１）求 ｃ的值，并用含 ａ的式子表示 ｂ． ∴直线ＢＣ对应函数的表达式为ｙ＝－ｘ＋３．
Ａ
将（４，２）代入Ｗ ＝（８－ｎ）（ｘ－２）２＋ｎ，
Ｂ （２）过点 Ｐ（ｔ，０）作 ｘ轴的垂线，交抛物线于点 Ｍ，交直线 ｙ＝ａｘ于点 Ｎ． （２）不存在实数ｍ使得ｙ＋２ｙ＝１０．
得ｎ＝１０； １ ２
①若 ａ＝１，ｔ＝４，求 ＭＮ的长； 理由如下：
当ｘ＝５时，Ｗ ＝４．
Ａ
将（５，４）代入Ｗ ＝（８－ｎ）（ｘ－２）２＋ｎ， ②已知在点 Ｐ从点 Ｏ运动到点 Ｂ（２ａ，０）的过程中，ＭＮ的长随 ＯＰ的长的增大而增大，求 ａ的取值 方法一：∵Ｍ（ｍ，ｙ），Ｎ（ｍ＋２，ｙ）为二次函数ｙ＝－ｘ２＋２ｘ＋３图象上两点，
Ｂ １ ２
得ｎ＝８．５． 范围． ∴ｙ＝－ｍ２＋２ｍ＋３，
１
由题意可知，８．５≤ｎ≤１０，
（１）将（０，０）代入ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ，得ｃ＝０． ｙ＝－（ｍ＋２）２＋２（ｍ＋２）＋３＝－ｍ２－２ｍ＋３，
∴满足条件的ｎ的整数值为９或１０． ２
将（３，３ａ）代入ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ，得９ａ＋３ｂ＝３ａ，∴ｂ＝－２ａ． ∴ｙ＋２ｙ＝－ｍ２＋２ｍ＋３＋２（－ｍ２－２ｍ＋３）＝－３ｍ２－２ｍ＋９，
１ ２
（２）①当ａ＝１时，抛物线及直线的解析式分别为ｙ＝ｘ２－２ｘ，ｙ＝ｘ．
１ １
配方，得ｙ＋２ｙ＝－３（ｍ＋ ）２＋９ ，
由题意可知ｘ＝ｘ＝ｔ＝４， １ ２ ３ ３
Ｍ Ｎ
山西中考４５套汇编·数学 ３２— ８ 山西中考４５套汇编·数学 ３３— １ 山西中考４５套汇编·数学 ３３— ２１ １ ８ ７
∴当ｍ＝－ 时，ｙ＋２ｙ有最大值为９ ． －ｔ，求 ｎ的取值范围． 又∵ＢＧ＝ｍ＋ ，ＡＦ＝３－ｍ，
３ １ ２ ３ ３ ３
１ １ ７ １１
∵９ ＜１０，∴不存在实数ｍ使得ｙ＋２ｙ＝１０． （１）对于ｙ＝－ （ｘ－１）２＋１，令ｙ＝０， ∴ｍ＋ ＝２（３－ｍ），解得ｍ＝ ．
３ １ ２ ４ ３ ９
方法二：由方法一，得ｙ
１
＋２ｙ
２
＝－３ｍ２－２ｍ＋９．
１
当ＢＣ∥ＡＤ时，如图（２），
得－ （ｘ－１）２＋１＝０，解得ｘ＝－１，ｘ＝３，
当ｙ＋２ｙ＝１０时，－３ｍ２－２ｍ＋９＝１０，即３ｍ２＋２ｍ＋１＝０． ４ １ ２
１ ２
∵Δ＝４－１２＝－８＜０，∴方程没有实数根， ∴Ａ（３，０）．
∴不存在实数ｍ使得ｙ＋２ｙ＝１０． ７ １ １６
１ ２ 将ｘ＝－ 代入ｙ＝－ （ｘ－１）２＋１，得ｙ＝－ ，
１＋ 槡５ １－ 槡５ ３ ４ ９
（３）ｍ＝ 或ｍ＝ ．
２ ２ ７ １６
∴Ｂ（－ ，－ ）．
解法提示：如图，过点 Ｎ作 ＮＨ∥ｙ轴，交 ｘ轴于点 Ｈ，交 ＢＣ于点 Ｎ′，过点 Ｐ作 ３ ９
ＰＱ⊥ＮＨ，垂足为Ｑ，过点Ｍ作ＭＭ′∥ｙ轴，交ＢＣ于点Ｍ′，则ＭＭ′∥ＮＮ′． ７ １６
将Ａ（３，０），Ｂ（－ ，－ ）分别代入ｙ＝ａｘ２＋ｃ，
当ｘ＝１－ｍ时，ｙ＝－（１－ｍ）２＋２（１－ｍ）＋３＝－ｍ２＋４， ３ ９
图（２）
∴点Ｐ的坐标为（１－ｍ，－ｍ２＋４）． １
{０＝９ａ＋ｃ， ａ＝ ， 同理可得ＡＦ＝２ＢＧ．
∵点Ｎ的坐标为（ｍ＋２，－ｍ２－２ｍ＋３）， ２
得 １６ ４９ 解得 ７
－ ＝ ａ＋ｃ， ９ 又∵ＢＧ＝ｍ＋ ，ＡＦ＝３－ｍ，
∴点Ｑ的坐标为（ｍ＋２，－ｍ２＋４），点Ｈ的坐标为（ｍ＋２，０）， ９ ９ ｃ＝－ ． ３
２
点Ｎ′的坐标为（ｍ＋２，－ｍ＋１），
７ ５
（２）①证明：设直线ＡＢ的表达式为ｙ＝ｋｘ＋ｄ（ｋ≠０）， ∴３－ｍ＝２（ｍ＋ ），解得ｍ＝－ ．
∴ＮＱ＝ＰＱ＝｜２ｍ＋１｜，ＢＨ＝ＨＮ′＝｜－ｍ＋１｜， ３ ９
７ １６
∴∠ＰＮＱ＝∠ＢＮ′Ｈ＝４５°， 将Ａ（３，０），Ｂ（－ ，－ ）分别代入， １１ ５
３ ９ 综上可知，ｍ的值为 或－ ．
∴ＰＮ∥ＢＣ，∴△ＭＤＥ∽△ＭＮＰ， ９ ９
{０＝３ｋ＋ｄ， { １
ＭＤ △ＭＤＥ的面积 １ ｋ＝ ， （３）新函数ｙ的图象如图（３）所示，易知点Ｂ为图象的最低点，
∴（ ）２＝ ＝ ， 得 １６ ７ 解得 ３ ３
ＭＮ △ＭＮＰ的面积 ４ － ＝－ ｋ＋ｄ， １６ １１ ５ ５
９ ３ ｄ＝－１， ∴－ ＝ － ，解得ｔ＝ （已检验），
１ ９ ９ ｔ ３
∴ ＭＤ＝ ＭＮ，即ＭＤ＝ＮＤ．
１
２ 故直线ＡＢ的表达式为ｙ＝ ｘ－１． ８
３ ∴ －ｔ＝１．
∵ＭＭ′∥ＮＮ′，∴△ＭＭ′Ｄ∽△ＮＮ′Ｄ， ３
１ １ ９ １
ＭＭ′ＭＤ １ 易知点Ｃ，Ｄ，Ｅ的纵坐标分别为－ （ｍ－１）２＋１， ｍ２－ ， ｍ－１， ５
∴ ＝ ＝ ，即ＭＭ′＝ＮＮ′． ４ ２ ２ ３ 设新函数ｙ的图象上点Ｑ的横坐标为 －ｎ．点Ｐ的坐标为（１，１），过点Ｐ作ＰＭ∥ｘ轴，交图象于点 Ｍ，易求得
ＮＮ′ ＮＤ １ ３ ３
１ １ ９ １ １ ７ １ １ １ １ ７
∵点Ｍ的坐标为（ｍ，－ｍ２＋２ｍ＋３）， ∴ＤＥ＝ ｍ－１－（ ｍ２－ ）＝－ ｍ２＋ ｍ＋ ，ＣＥ＝－ （ｍ－１）２＋１－（ ｍ－１）＝－ ｍ２＋ ｍ＋ ， 点Ｍ的横坐标为槡１１．
３ ２ ２ ２ ３ ２ ４ ３ ４ ６ ４
∴点Ｍ′的坐标为（ｍ，－ｍ＋３），
７
１ １ ７ 当点Ｑ在点Ｂ，Ｐ之间时（可与点Ｂ重合），在－ ≤ｘ≤ｔ－ｎ的范围内，点Ｑ为最高点，不符合题意．
∴ｍ２－３ｍ＝－ｍ２－ｍ＋２，即ｍ２－ｍ－１＝０， ∴２ＣＥ＝－ ｍ２＋ ｍ＋ ，∴ＤＥ＝２ＣＥ． ３
２ ３ ２
解得ｍ＝
１＋ 槡５
或ｍ＝
１－ 槡５
． １１ ５ 当点Ｑ在点Ｐ，Ｍ之间时（可与点Ｐ，Ｍ重合），在－
７
≤ｘ≤ｔ－ｎ的范围内，点Ｐ为最高点，
２ ２ ②ｍ的值为 或－ ． ３
９ ９
１ ５ ５ ２
４．如图，在平面直角坐标系ｘＯｙ中，二次函数ｙ＝－ （ｘ－１）２＋１的图象与ｘ轴的正半轴相交于点Ａ，二次函 解法提示：过点Ｂ作ＢＧ⊥ＣＤ于点Ｇ，设ＣＥ与ｘ轴交于点Ｆ． 此时１≤ －ｎ≤槡１１，解得 － 槡１１≤ｎ≤ ．
１ ４ ３ ３ ３
当ＡＣ∥ＢＤ时，如图（１），
７
数ｙ＝ａｘ２＋ｃ（ａ≠０）的图象经过点Ａ，且与二次函数ｙ图象的另一个交点为Ｂ，点Ｂ的横坐标为－
７
．
当点Ｑ在点Ｍ右侧时，在－
３
≤ｘ≤ｔ－ｎ的范围内，点Ｑ为最高点，不符合题意．
２ １ ３
５ ２
（１）求点 Ａ的坐标及 ａ，ｃ的值． 综上可知，ｎ的取值范围为 － 槡１１≤ｎ≤ ．
３ ３
７
（２）直线ｘ＝ｍ与二次函数ｙ，ｙ的图象分别相交于点Ｃ，Ｄ，与直线ＡＢ相交于点Ｅ，当－ ＜ｍ＜３时，
１ ２ ３
①求证：ＤＥ＝２ＣＥ；
②当四边形 ＡＣＢＤ的一组对边平行时，请直接写出 ｍ的值．
１ ７
（３）二次函数 ｙ＝－ （ｘ－１）２＋１（－ ≤ｘ＜３）与二次函数 ｙ＝ａｘ２＋ｃ（ｘ≥３） 图（１）
１ ４ ３ ２
ＡＦ ＣＥ １ 图（３）
７ １１ ５ 易证△ＡＣＥ∽△ＢＤＥ，∴ ＝ ＝ ，
组成新函数 ｙ，当－ ≤ｘ≤ｔ－ｎ时，函数 ｙ的最小值为 － ，最大值为 ＢＧ ＤＥ ２
３ ３ ３ ９ ｔ
∴ＢＧ＝２ＡＦ．
山西中考４５套汇编·数学 ３３— ３ 山西中考４５套汇编·数学 ３３— ４ 山西中考４５套汇编·数学 ３３— ５∵四边形ＡＤＥＦ是平行四边形， ∴ＡＢ∥ＣＤ，∴∠３＝∠４．
("
∴ＡＤ∥ＥＦ，ＡＤ＝ＥＦ， 由折叠的性质、Ｅ为ＡＢ的中点，
题型十一 几何探究题
ＧＨ ＣＨ ３－ 槡３
得∠４＝∠ＥＤＧ，ＥＡ＝ＥＢ＝ＥＦ，
∴△ＣＧＨ∽△ＣＥＦ，∴ ＝ ＝ ， ∴∠３＝∠ＥＤＧ，∠１＝∠ＦＡＥ，
ＥＦ ＣＦ ３
∴∠２＝１８０°－２∠ＦＡＥ．
１．综合与探究 ∴ ＧＨ ＝ ３－ 槡３ ． ∵四边形ＦＧＤＥ是由四边形ＢＣＤＥ翻折得到的，
如图（１），在△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝１２０°，分别以 ＡＢ，ＢＣ，ＡＣ为斜边在 ＢＣ上方作等腰直角三角形 ＡＢＤ， ＡＤ ３ ∴ＥＦ∥ＤＧ，∴∠ＦＥＤ＋∠ＥＤＧ＝１８０°，
ＢＣＥ，ＡＣＦ，连接 ＥＤ，ＥＦ． ＡＢ 槡３＋１ ＡＢ ＡＢ ２ ∴１８０°－２∠ＦＡＥ＋∠３＋∠ＥＤＧ＝１８０°，
（１）【初步探究】
（３）ＡＢ，ＡＣ的数量关系为
ＡＣ
＝
２
或
ＡＣ
＝ 槡３＋１（写成
ＡＣ
＝
槡３－１
也对）．
∴∠ＦＡＥ＝∠ＥＤＧ．
证明：四边形 ＡＤＥＦ是平行四边形． 解法提示：当∠ＢＡＥ＝９０°时，如图（２），则∠ＥＡＤ＝９０°－∠ＤＡＢ＝９０°－４５°＝４５°．
（２）ＡＢ的长度为
８槡３
或８槡３．
（２）【深入探究】 ＥＭ ３
ＧＨ 过点Ｅ作ＥＭ⊥ＡＤ于点Ｍ，则 ＡＭ＝ＥＭ，ＤＭ＝ ＝ 槡３ＥＭ，ＤＥ＝２ＥＭ， 解法提示：∵△ＦＡＢ是直角三角形，
ｔａｎ３０°
如图（２），延长 ＤＡ分别交 ＥＣ，ＦＣ于点 Ｇ，Ｈ，求 的值． ∴分以下两种情况讨论．
ＡＤ yz{|6：}４５°z96)~(cid:127)?@:5A53
（３）【拓展延伸】 ∴ＡＤ＝ＤＭ＋ＡＭ＝（槡３＋１）ＥＭ，
若∠ＦＡＢ＝６０° 若∠ＦＢＡ＝６０°
图（２）
连接 ＡＥ，当△ＡＢＥ为直角三角形时，直接写出 ＡＢ，ＡＣ的数量关系． ＡＢ ＡＤ ＡＤ 槡３＋１
∴ ＝ ＝ ＝ ．
ＡＣ ＡＦ ＤＥ ２
当∠ＡＥＢ＝９０°时，如图（３），此时点 Ａ落在 ＥＣ上，
图示
则∠ＥＢＡ＝１２０°－９０°＝３０°，∴ＡＢ＝２ＡＥ，ＢＥ＝ 槡３ＡＥ，
∴ＥＣ＝ 槡３ＡＥ，∴ＡＣ＝（槡３－１）ＡＥ，
图（１） 图（２） 备用图（１） 备用图（２） ＡＢ ２
∴ ＝ ＝ 槡３＋１．
（１）证明： ＡＣ 槡３－１ ∠ＣＤＥ＝∠ＥＤＧ＝∠ＦＡＥ＝６０°，∴∠ＡＤＥ＝３０°，∴ＡＥ＝
方法一：∵△ＡＢＤ和△ＢＣＥ均是等腰直角三角形，ＡＢ，ＢＣ是斜边， 图（３） ∠ＣＤＥ＝∠ＥＤＧ＝∠ＦＡＥ＝９０°－６０°＝３０°，
ＡＢ 槡３＋１ ＡＢ ＡＢ ２ 分析 槡３ ４槡３ ８槡３
ＢＤ ＢＥ 槡２ 综上可知，ＡＢ，ＡＣ的数量关系为 ＝ 或 ＝ 槡３＋１（写成 ＝ 也对）． ＡＤ＝ ，∴ＡＢ＝ ． ∴∠ＡＤＥ＝６０°，∴ＡＥ＝ 槡３ＡＤ＝４槡３，∴ＡＢ＝８槡３．
∴∠ＤＢＡ＝∠ＥＢＣ＝４５°，
ＡＢ
＝
ＢＣ
＝
２
， ＡＣ ２ ＡＣ ＡＣ 槡３－１ ３ ３ ３
∴∠ＤＢＥ＝∠ＡＢＣ， ２．综合与探究 综上可知，ＡＢ的长度为 ８槡３ 或８槡３．
∴△ＤＢＥ∽△ＡＢＣ， 已知在平行四边形 ＡＢＣＤ中，Ｅ为 ＡＢ边的中点，连接 ＤＥ． ３
３．综合与探究
【动手操作】
ＤＥ ＢＥ 槡２
∴∠ＢＤＥ＝∠ＢＡＣ＝１２０°， ＝ ＝ ． 如图（１），在直角三角形纸片 ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°．
如图（１），将四边形 ＢＣＤＥ沿 ＤＥ折叠，得到四边形 ＦＧＤＥ，点 Ｂ的对应点为点 Ｆ，点 Ｃ的对应点为点 Ｇ，连
ＡＣ ＢＣ ２
（１）【操作判断】
∴∠ＥＤＡ＝１２０°－９０°＝３０°． 接 ＦＡ，ＦＢ，如图（２）所示．
操作一：对折直角三角形纸片 ＡＢＣ，使点 Ｂ与点 Ｃ重合，得到折痕 ＤＥ，把纸片展平．
如图（１），延长ＤＡ到点 Ｐ，则∠ＦＡＰ＝∠ＤＡＢ＋∠ＢＡＣ＋∠ＦＡＣ－１８０°＝４５°＋１２０°＋４５°－ 【问题解决】
问题１：如图（２），当直角边 ＡＣ＝ＢＣ＝２时，折痕 ＤＥ的长为 １ ；
１８０°＝３０°， （１）①判断图（２）中△ＦＡＢ的形状，并说明理由．
操作二：如图（３），将△ＢＤＥ绕点 Ｅ逆时针旋转得到△ＭＮＥ，点 Ｂ，Ｄ的对应点分别是 Ｍ，Ｎ，直线
∴∠ＦＡＰ＝∠ＥＤＡ，∴ＤＥ∥ＡＦ． ②判断图（２）中∠ＦＡＥ和∠ＥＤＧ的数量关系，并说明理由．
ＭＮ与边 ＢＣ交于点 Ｐ（不与点 Ｂ，Ｃ重合）．
∵
ＡＦ
＝
槡２
＝
ＤＥ
，∴ＡＦ＝ＤＥ，
【拓展探究】
问题２：在△ＢＤＥ绕点 Ｅ旋转的过程中，ＤＰ与 ＮＰ的数量关系为 ＤＰ＝ＮＰ ．
ＡＣ ２ ＡＣ （２）如图（３），若在平行四边形 ＡＢＣＤ中，∠ＡＢＣ＝９０°且 ＡＤ＝４，当△ＡＢＦ的某一个内角的度数为 ６０°时，请
（２）【探究迁移】
∴四边形ＡＤＥＦ是平行四边形． 图（１） 直接写出 ＡＢ的长度．
若 ＡＣ＝６，ＢＣ＝８．在△ＢＤＥ绕点 Ｅ旋转的过程中，当直线 ＭＮ经过点 Ａ时，如图（４），求 ＣＰ的长．
方法二：∵△ＡＢＤ和△ＢＣＥ均是等腰直角三角形，ＡＢ，ＢＣ是斜边，
（３）【拓展应用】
ＢＤ ＢＥ 槡２ 若 ＡＣ＝６，ＢＣ＝８．在△ＢＤＥ绕点 Ｅ旋转的过程中，当 ＭＮ与△ＡＢＣ的边平行时，直接写出△ＭＮＥ
∴∠ＤＢＡ＝∠ＥＢＣ＝４５°， ＝ ＝ ，
ＡＢ ＢＣ ２ 与△ＡＢＣ重叠部分的面积（面积为０时忽略不计）．
∴∠ＤＢＥ＝∠ＡＢＣ，
∴△ＤＢＥ∽△ＡＢＣ，
ＤＥ ＢＥ 槡２
∴ ＝ ＝ ．
ＡＣ ＢＣ ２
ＡＦ 槡２ 图（１） 图（２） 图（３）
又 ＝ ，∴ＤＥ＝ＡＦ．
ＡＣ ２ （１）①△ＦＡＢ是直角三角形． 图（１） 图（２） 图（３）
同理可证：ＡＤ＝ＥＦ，
理由：∵Ｅ为ＡＢ边的中点，∴ＥＢ＝ＥＡ．
∴四边形ＡＤＥＦ是平行四边形．
由翻折可知，ＥＦ＝ＥＢ，∴∠ＥＦＢ＝∠ＥＢＦ，ＥＦ＝ＥＡ，
（２）由（１）可知，∠ＦＡＨ＝３０°，
∴∠ＥＦＡ＝∠ＥＡＦ．
ＦＨ 槡３ ＦＨ 槡３ ∵∠ＡＦＥ＋∠ＥＦＢ＋∠ＦＢＡ＋∠ＦＡＢ＝１８０°，
∴ ＝ ，∴ ＝ ，
ＡＦ ３ ＣＦ ３ ∴２∠ＡＦＢ＝１８０°，∴∠ＡＦＢ＝９０°，∴△ＦＡＢ是直角三角形．
ＣＨ ３－ 槡３ ②∠ＦＡＥ＝∠ＥＤＧ．
∴ ＝ ． 图（４） 备用图
ＣＦ ３ 理由：如图，∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，
山西中考４５套汇编·数学 ３４— １ 山西中考４５套汇编·数学 ３４— ２ 山西中考４５套汇编·数学 ３４— ３（１）问题１：１ １ １５ １ ４５ ＤＥ ＤＥ ＤＥ
∴Ｓ ＝Ｓ ＝Ｓ －Ｓ ＝（１－ ）Ｓ ＝ × ×３×４＝ ． 设ＤＥ＝３ｘ，则ＩＥ＝ ＝４ｘ，ＡＥ＝ ＝６ｘ，ＤＩ＝ ＝５ｘ，∴ＩＨ＝４－５ｘ，ＡＩ＝１０ｘ．
解法提示：由折叠可知，ＢＤ＝ＣＤ，ＤＥ⊥ＢＣ． 重叠部分 四边形ＰＦＥＮ △ＭＮＥ △ＭＰＦ １６ △ＭＮＥ １６ ２ ８ ｔａｎ∠ＤＩＥ ｔａｎＡ ｓｉｎ∠ＤＩＥ
又∵∠ＡＣＢ＝９０°，∴ＤＥ∥ＡＣ， ４５ ６９ ∵∠ＧＨＩ＝∠ＤＥＩ，∠ＧＩＨ＝∠ＤＩＥ，
综上所述，重叠部分的面积为 或 ．
１ ８ １６ ＨＩＧＩ
∴ＢＥ＝ＡＥ，∴ＤＥ＝ ＡＣ＝１． ∴△ＧＨＩ∽△ＤＥＩ，∴ ＝ ，
２ ４．综合与探究 ＩＥ ＤＩ
问题２：ＤＰ＝ＮＰ 问题背景：如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，点Ｄ为ＡＢ上一点，过点Ｄ作ＤＥ⊥ＡＣ于点Ｅ．折叠△ＡＢＣ，使 ２５
∴ＧＩ＝５－ ｘ．
解法提示：连接ＥＰ，
点 Ｂ与点 Ｄ重合，折痕交 ＡＢ于点 Ｆ，交 ＡＣ于点 Ｇ，点 Ｃ的对应点为点 Ｈ，连接 ＤＨ交 ＡＣ于点 Ｉ．连接 ４
在Ｒｔ△ＰＮＥ和Ｒｔ△ＰＤＥ中， ＣＨ，ＦＩ． ∵△ＦＧＩ是以ＦＩ为腰的等腰三角形，分ＦＩ＝ＩＧ和ＦＩ＝ＦＧ两种情况讨论．
{ＥＰ＝ＥＰ，
初步探究 ２５
ＥＮ＝ＥＤ， 当ＦＩ＝ＩＧ时，点 Ｉ在线段 ＦＧ的垂直平分线上，如图（２），易得此时 ＧＩ＝ＡＩ，∴５－ ｘ＝ 图（２）
（１）请你写出∠Ａ与∠ＧＩＨ的数量关系，并证明． ４
∴Ｒｔ△ＰＮＥ≌Ｒｔ△ＰＤＥ，∴ＤＰ＝ＮＰ． ４ ４０
拓展 １０ｘ，解得ｘ＝ ，∴ＧＩ＝ ．
１
１３ １３
（２）由折叠可知，ＢＤ＝ＤＣ＝ ＢＣ＝４，ＤＥ⊥ＢＣ， 已知 ＡＣ＝８，ＢＣ＝４，
２
∴∠ＥＤＢ＝９０°＝∠Ｃ，∴ＤＥ∥ＡＣ，
（２）①若点 Ｄ为 ＡＢ的中点，求出 ＨＩ的长．
当ＦＩ＝ＦＧ时，过点 Ｆ作 ＦＭ⊥ＧＩ于点 Ｍ（WX{|6），如图（３），∵ＦＧ＝
槡５
ＡＧ，
５
∴ＡＥ＝ＢＥ（01：<-6=6D(cid:128)(cid:129)(cid:130)’(cid:131)）， ②若△ＦＧＩ是以 ＦＩ为腰的等腰三角形，请直接写出 ＧＩ的长．
∴Ｅ
Ｍ
＝
ＥＢ＝ＥＡ，∴∠ＭＡＥ＝∠ＡＭＥ＝∠Ｂ， ∴ＧＭ＝
槡５
ＦＧ＝
１
ＡＧ．
∴ＰＡ＝ＰＢ． ５ ５
图（３）
设ＡＰ＝ＢＰ＝ｘ，则ＰＣ＝８－ｘ． ２ ２５ ２ ２５ １２ ８０
易得ＧＩ＝２ＧＭ，∴ＧＩ＝ ＡＧ，∴５－ ｘ＝ （５－ ｘ＋１０ｘ），解得ｘ＝ ，∴ＧＩ＝ ．
在Ｒｔ△ＡＰＣ中，ＡＰ２＝ＰＣ２＋ＡＣ２（(cid:132)(cid:133)!）， ５ ４ ５ ４ ３１ ３１
２５ ５．综合与探究
即ｘ２＝６２＋（８－ｘ）２，解得ｘ＝ ，
４ （１）【提出问题】
２５ ７ 备用图 如图（１），在菱形ＡＢＣＤ中，∠ＡＢＣ＝１２０°，Ｐ是对角线ＢＤ上一动点，连接ＡＰ，将ＡＰ绕点Ｐ顺时针
∴ＣＰ＝８－ ＝ ．
４ ４ （１）２∠Ａ＋∠ＧＩＨ＝９０°． 旋转６０°得到 ＰＱ，连接 ＡＱ，ＤＱ，则∠ＡＤＱ的度数为 ６０ °．
４５ ６９ 证明：由折叠可知，ＧＣ＝ＧＨ，∠ＧＣＨ＝∠ＧＨＣ，∠ＧＨＤ＝∠ＧＣＢ＝９０°，ＢＤ∥ＣＨ， （２）【类比探究】
（３） 或 ．
８ １６ ∴∠ＩＧＨ＝２∠ＧＣＨ，∠Ａ＝∠ＡＣＨ， 如图（２），在正方形 ＡＢＣＤ中，Ｐ是对角线 ＢＤ上一动点，且 ＢＰ＞ＤＰ，连接 ＡＰ，将 ＡＰ绕点 Ｐ顺时针
解法提示：在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＡＣ＝６，ＢＣ＝８，∴ＡＢ＝１０． ∴∠ＩＧＨ＋∠ＧＩＨ＝２∠ＩＣＨ＋∠ＧＩＨ＝２∠Ａ＋∠ＧＩＨ＝９０°． 旋转９０°得到 ＰＱ，连接 ＡＱ，ＤＱ．
易得ＤＥ＝３，ＢＤ＝４，ＢＥ＝５． （２）①∵ＤＥ⊥ＡＣ，∠ＡＣＢ＝９０°，∴ＤＥ∥ＢＣ． ①求∠ＡＤＱ的度数；
分ＭＮ∥ＡＢ和ＭＮ∥ＡＣ两种情况讨论． １ ②当 ＢＰ＝ＢＡ＝２时，求 ＤＱ的长．
∵点Ｄ为ＡＢ的中点，∴点Ｅ是ＡＣ的中点，∴ＡＥ＝ＣＥ＝４，ＤＥ是△ＡＢＣ的中位线，∴ＤＥ＝ ＢＣ＝２．
①当ＭＮ∥ＡＢ时，如图（１），设ＭＮ，ＥＭ分别与边ＢＣ交于点Ｐ，Ｆ． ２ （３）【迁移运用】
连接ＥＰ，易证Ｒｔ△ＥＮＰ≌Ｒｔ△ＥＤＰ，∴∠ＥＰＮ＝∠ＥＰＤ，Ｓ ＝Ｓ ． 过点Ｂ作ＤＥ的垂线，交ＥＤ的延长线于点Ｊ，直线ＧＦ交ＢＪ于点Ｋ，连接ＤＫ，如图（１），则
△ＥＮＰ △ＥＤＰ 如图（３），在矩形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝４，∠ＡＤＢ＝３０°，Ｐ是对角线 ＢＤ上一动点，连接 ＡＰ，以 ＡＰ为边在
∵ＭＮ∥ＡＢ， 四边形ＢＣＥＪ是矩形，∠ＢＪＤ＝９０°，∴ＪＥ＝ＢＣ＝４，ＢＪ＝ＣＥ＝４，∴ＤＪ＝ＪＥ－ＤＥ＝２．
ＡＰ的右边作Ｒｔ△ＡＰＱ，且∠ＡＰＱ＝９０°，∠ＡＱＰ＝３０°，当点Ｑ到ＢＤ的距离为 ６时，请直接写出ＢＰ
∴∠ＮＰＥ＝∠ＰＥＢ，∠ＮＭＥ＝∠ＭＥＢ， 由折叠可知ＢＫ＝ＤＫ，ＤＨ＝ＢＣ＝４，∠ＨＤＫ＝∠ＣＢＫ＝９０°．
的长．
∴∠ＢＰＥ＝∠ＢＥＰ，∠Ｂ＝∠ＭＥＢ， 在Ｒｔ△ＤＪＫ中，设ＤＫ＝ｍ，则ＫＪ＝４－ｍ．
∴ＢＰ＝ＢＥ＝５，ＥＦ＝ＦＢ，∴ＰＤ＝ＢＰ－ＢＤ＝１．
５
在Ｒｔ△ＥＤＦ中，ＥＦ２＝ＤＥ２＋ＤＦ２，即（４－ＤＦ）２＝３２＋ＤＦ２， ∵ＫＪ２＋ＪＤ２＝ＫＤ２，∴（４－ｍ）２＋２２＝ｍ２，∴ｍ＝ ，
２
７ 图（１）
３
解得ＤＦ＝ ，
∴ＫＪ＝ ．
８
２
１ １ １ １
∴Ｓ ＝Ｓ ＝Ｓ ＋Ｓ ＋Ｓ ＝２Ｓ ＋Ｓ ＝２× ＥＤ·ＰＤ＋ ＥＤ·ＤＦ＝２× ×３×１＋ ×３×
∵∠ＫＤＪ＋∠ＩＤＥ＝９０°，∠ＤＩＥ＋∠ＩＤＥ＝９０°，
重叠部分 四边形ＰＮＥＦ △ＥＰＮ △ＥＰＤ △ＥＤＦ △ＰＥＤ △ＥＤＦ ２ ２ ２ ２ ∴∠ＤＩＥ＝∠ＫＤＪ．
７ ６９ ＤＥ ＤＩ ２ ＤＩ １０
＝ ． 又∵∠Ｊ＝∠ＩＥＤ，∴△ＫＪＤ∽△ＤＥＩ（!"(cid:140)：P6A:5(cid:141)(cid:142)(cid:143)），∴ ＝ ，即 ＝ ，∴ＤＩ＝ ，
８ １６ ＫＪ ＫＤ ３ ５ ３
２ ２
图（１） 图（２） 图（３）
２
∴ＨＩ＝ＤＨ－ＤＩ＝ ． （１）６０°
３
（２）①如图（１），连接ＡＣ，与ＢＤ相交于点Ｏ，
４０ ８０
② 或 ． ∵在正方形ＡＢＣＤ中，ＯＡ＝ＯＤ，ＯＡ⊥ＯＤ，
１３ ３１
图（１） 图（２） ∴△ＡＯＤ是等腰直角三角形，
解法提示：在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＡＣ＝８，ＢＣ＝４，
②当ＭＮ∥ＡＣ时，如图（２），设ＭＮ，ＥＭ分别与边ＢＣ交于点Ｐ，Ｆ． ＡＤ
易得∠ＢＰＮ＝∠Ｎ＝∠ＥＤＰ＝９０°， ∴ｔａｎＡ＝ １ ，ＡＢ＝４槡５，ｓｉｎＡ＝ 槡５ ．
∴∠ＯＡＤ＝４５°，
ＡＯ
＝ 槡２．
∴四边形ＤＰＮＥ是矩形（01：sAt5(cid:134):54(cid:135)a3(cid:134)‘3）， ２ ５ ∵将ＡＰ绕点Ｐ顺时针旋转９０°得到ＰＱ，
∴ＥＮ∥ＰＤ，ＰＮ＝ＤＥ＝３， 由折叠的性质可知，无论如何折叠，∠ＤＩＥ大小不变， ∴△ＡＰＱ是等腰直角三角形，
∴△ＭＰＦ∽△ＭＮＥ，ＭＰ＝ＭＮ－ＰＮ＝１， ３ ３ ＡＱ
∴ Ｓ △ＭＰＦ＝（ ＭＰ ）２＝ １ （01：8(cid:136)A534(cid:137)(cid:138)(cid:129)?(cid:139)8(cid:136)(cid:129)4?!;$+<’
１
１５．（２０２５湖北）如图，抛物线 ｙ＝ ｘ２－ｘ＋ｃ与 ｘ轴相交于点 Ａ（－１，０）和点 Ｂ，与 ｙ轴相交于点 Ｃ，Ｔ是抛物线
２
的顶点，Ｐ是抛物线上一动点，设点 Ｐ的横坐标为 ｔ．
（１）求 ｃ的值．
ＰＨ２
（２）如图，若点 Ｐ在对称轴左侧，过点 Ｐ作对称轴的垂线，垂足为 Ｈ，求 的值． 图（１） 图（２）
ＴＨ
３ １ ３
图（１） 图（２） （３）定义：抛物线上两点 Ｍ，Ｎ之间的部分叫做抛物线弧ＭＮ（含端点Ｍ和Ｎ）．过Ｍ，Ｎ分别作ｘ轴的垂线 ∴ｆ＝２ｔ＋２［－ －（ ｔ２－ｔ－ ）］＝－ｔ２＋４ｔ．
２ ２ ２
５ ｌ，ｌ，过抛物线弧 ＭＮ的最高点和最低点分别作 ｙ轴的垂线 ｌ，ｌ，直线 ｌ，ｌ，ｌ与 ｌ围成的矩形叫做
５－２ｘ（０＜ｘ≤ ２ ）， １ ２ ３ ４ １ ２ ３ ４ 当１＜ｔ≤２时，抛物线弧ＣＰ的最高点为Ｃ，最低点为Ｔ，此时其特征矩形如图（２）所示，
抛物线弧 ＭＮ的特征矩形．若点 Ｐ在第四象限，记抛物线弧 ＣＰ的特征矩形的周长为 ｆ．
（１）ｙ＝
３
１ ５ ∴ｆ＝２ｔ＋２×（－ ＋２）＝２ｔ＋１．
２ｘ－５（ ＜ｘ＜５）． ①求 ｆ关于 ｔ的函数解析式． ２
２
②过点 Ｐ作 ＰＱ∥ｘ轴，交抛物线于点 Ｑ，点 Ｑ与点 Ｃ不重合．记抛物线弧 ＣＱ的特征矩形的周长为 ｇ． 当２＜ｔ＜３时，抛物线弧ＣＰ的最高点为Ｐ，最低点为Ｔ，此时其特征矩形如图（３）所示，
５
ｙ ２ ＝ ｘ （０＜ｘ＜５）． 若 ｆ＋ｇ＝ １１ ，直接写出 ＰＱ的长． ∴ｆ＝２ｔ＋２（ １ ｔ２－ｔ－ ３ ＋２）＝ｔ２＋１．
２ ２ ２
解法提示：∵Ｏ为矩形 ＡＢＣＤ的对角线 ＡＣ的中点，ＡＢ＝３，ＢＣ＝４，∴∠ＡＢＣ＝９０°，∴ＡＣ＝槡ＡＢ２＋ＢＣ２＝５，∴ＡＯ＝ {－ｔ２＋４ｔ（０＜ｔ≤１），
５ 综上，ｆ＝２ｔ＋１（１＜ｔ≤２），
ＣＯ＝ ．
２
ｔ２＋１（２＜ｔ＜３）．
５ ②ＰＱ的长为槡２或槡１７－２． 图（３）
当０＜ｘ≤ 时，ｙ＝ＥＦ＝ＡＣ－ＡＥ－ＣＦ＝５－ｘ－ｘ＝５－２ｘ；
２ １ 解法提示：∵ＰＱ∥ｘ轴，∴Ｐ，Ｑ关于对称轴对称，
５ １ ３
当 ＜ｘ＜５时，ｙ＝ＥＦ＝ＡＥ＋ＣＦ－ＡＣ＝ｘ＋ｘ－５＝２ｘ－５， ∴Ｑ（２－ｔ， ｔ２－ｔ－ ）．
２ １ ２ ２
备用图 分３种情况．
５
５－２ｘ（０＜ｘ≤ ２ ）， （１）把Ａ（－１，０）代入ｙ＝ １ ｘ２－ｘ＋ｃ， 当０＜ｔ≤１时，抛物线弧ＣＱ的最高点为Ｃ，最低点为Ｔ，此时其特征矩形如图（４）所示，
∴ｙ＝ ２ ３
１ ５ ∴ｇ＝２（２－ｔ）＋２×（－ ＋２）＝５－２ｔ．
２ｘ－５（ ＜ｘ＜５）． １ ３ ２
２ 得 ＋１＋ｃ＝０，解得ｃ＝－ ．
２ ２ １１
如图（１），过点Ｂ作ＢＭ⊥ＡＣ于点Ｍ． ∵ｆ＋ｇ＝ ，
１ ３ １ ２
１ １ （２）由（１）可知ｙ＝ ｘ２－ｘ－ ＝ （ｘ－１）２－２，
∵Ｓ ＝ ＡＢ·ＢＣ＝ ＡＣ·ＢＭ， ２ ２ ２ １１
△ＡＢＣ ２ ２ ∴－ｔ２＋４ｔ＋５－２ｔ＝ ，
∴Ｔ（１，－２）． ２
ＡＢ·ＢＣ １２ 图（４）
∴ＢＭ＝ ＝ （34：56789:;）， ∵点Ｐ的横坐标为ｔ， 槡２ 槡２
ＡＣ ５ 解得ｔ＝１＋ （舍去），ｔ＝１－ ，
１ １ １２ ６ ∴Ｐ（ｔ， １ ｔ２－ｔ－ ３ ），∴Ｈ（１， １ ｔ２－ｔ－ ３ ）， １ ２ ２ ２
∴Ｓ
１
＝
２
ＡＥ·ＢＭ＝
２
ｘ·
５
＝
５
ｘ． ２ ２ ２ ２ ∴ＰＱ＝２－ｔ－ｔ＝２－２ｔ＝ 槡２．
１ ３ １ １ １
６ 图（１） ∴ＰＨ＝１－ｔ，ＴＨ＝ ｔ２－ｔ－ ＋２＝ ｔ２－ｔ＋ ＝ （ｔ－１）２， 当１＜ｔ≤２时，抛物线弧ＣＱ的最高点为Ｃ，最低点为Ｑ，此时其特征矩形如图（５）所示，
同理可得Ｓ＝ ｘ． ２ ２ ２ ２ ２ ３ １ ３
２ ５ ＰＨ２ （１－ｔ）２ ∴ｇ＝２（２－ｔ）＋２［－
２
－（
２
ｔ２－ｔ－
２
）］＝－ｔ２＋４．
∴ ＝ ＝２．
又∵Ｓ＝ＡＢ·ＢＣ＝３×４＝１２，
ＴＨ １ １１
（ｔ－１）２ ∵ｆ＋ｇ＝ ，
∴ｙ＝ Ｓ ＝ １２ ＝ ５ ，∴ｙ＝ ５ （０＜ｘ＜５）． ２ ２
２ Ｓ １ ＋Ｓ ２ ６ ｘ＋ ６ ｘ ｘ ２ ｘ （３）①对于ｙ＝ １ ｘ２－ｘ－ ３ ，当ｘ＝０时，ｙ＝－ ３ ， ∴２ｔ＋１－ｔ２＋４＝ １１ ，
５ ５ ２ ２ ２ ２
图（５）
（２）函数ｙ，ｙ的图象如图（２）所示． ３
１ ２ ∴Ｃ（０，－ ）． 槡２ 槡２
解得ｔ＝１＋ ，ｔ＝１－ （舍去），
５ ５ ２ １ ２ ２ ２
函数ｙ的性质：①当０＜ｘ≤ 时，ｙ随 ｘ的增大而减小；当 ＜ｘ＜５时，ｙ随 ｘ的增
１ ２ １ ２ １ １ ３
令 ｘ２－ｘ－ ＝０，解得ｘ＝－１，ｘ＝３，∴Ｂ（３，０）． ∴ＰＱ＝ｔ－（２－ｔ）＝２ｔ－２＝ 槡２．
２ ２ １ ２
大而增大． 当２＜ｔ＜３时，抛物线弧 ＣＱ的最高点为 Ｑ，最低点为 Ｃ，此时其特征矩形如图（６）
１ ３
②函数ｙ的图象关于直线ｘ＝２．５对称． 由（２）可知Ｔ（１，－２），Ｐ（ｔ， ｔ２－ｔ－ ），抛物线的对称轴为直线ｘ＝１， 所示，
１ ２ ２
１ ３ ３
③在自变量的取值范围内，当 ｘ＝２．５时，ｙ １ 取得最小值 ０．（函数 ｙ １ 的性质写出一 ３ ３ ∴ｇ＝－２（２－ｔ）＋２（ ｔ２－ｔ－ ＋ ）＝ｔ２－４．
∴点Ｃ（０，－ ）关于对称轴的对称点的坐标为（２，－ ）． ２ ２ ２
条即可）
２ ２
１１
函数ｙ的性质：当０＜ｘ＜５时，ｙ随ｘ的增大而减小． ∵点Ｐ在第四象限，∴０＜ｔ＜３． ∵ｆ＋ｇ＝ ，
２ ２ ２
（３）０＜ｘ＜３．３（填０＜ｘ＜３．１或０＜ｘ＜３．２或０＜ｘ＜３．４均对）． 图（２） 分３种情况． 图（６）
山西中考４５套汇编·数学 ３５— ７ 山西中考４５套汇编·数学 ３５— ８ 山西中考４５套汇编·数学 ３５— ９１１ 槡１７ 槡１７ 证书； 当３≤ｘ≤４时，Ｓ＝－２ｘ２＋１４ｘ－１９＝－２（ｘ－３．５）２＋５．５．
∴ｔ２＋１＋ｔ２－４＝ ，解得ｔ＝－ （舍去），ｔ＝ ，
２ １ ２ ２ ２ 若Ｔ＝２，根据曲线Ｃ ２ 可知，小云在试制阶段的第６日可获得“优秀学员”证书； ∵－２＜０，∴ｘ＝３．５时，Ｓ最大．
若Ｔ＝３，根据曲线Ｃ可知，小云在试制阶段的第４日可获得“优秀学员”证书． 当ｘ＞４时，易知Ｓ随ｘ的增大而减小．
∴ＰＱ＝ｔ－（２－ｔ）＝２ｔ－２＝ 槡１７－２． ３
∵３＋４＝７＜２＋６， 综上所述，当ｘ＝３．５时，Ｓ最大，即当平行四边形ＭＮＰＱ向右移动了３．５ｍ时，遮阳区的面积最大．
综上，ＰＱ的长为槡２或槡１７－２．
∴小云最早在完成理论学习后的第７日可获得“优秀学员”证书．
!" ( ()"7812’
!" ’ ()";$@A’ ②当Ｔ＝０时，小腾试制４日，制成的合格品的总数为７＋８＋１０＋１２＝３７；
１８．（２０２５河北）综合与实践
当Ｔ＝１时，小腾试制３日，制成的合格品的总数一定大于１０＋１５＋２５，即一定大于５０；
１６．（２０２５北京）工厂对新员工进行某种工艺品制作的培训．在完成理论学习后，新员工接下来先使用
【情境】要将矩形铁板切割成相同的两部分，焊接成直角护板（如图（１）），需找到合适的切割线．
当Ｔ＝２时，小腾试制２日，制成的合格品的总数为２０＋３０＝５０；
智能辅助训练系统进行一次为期 Ｔ日（Ｔ可取 ０，１，２或 ３）的模拟练习，然后开始试制．记一名新员
当Ｔ＝３时，小腾试制１日，制成的合格品的总数为２６．
工在试制阶段的第 ｘ日单日制成的合格品的个数为 ｙ，根据以往的培训经验，对于给定的 Ｔ，可以认
故Ｔ＝１时，制成的合格品总数最多，应安排小腾先进行１日的模拟练习． $ '
为 ｙ是 ｘ的函数，当 Ｔ＝０和 Ｔ＝３时，部分数据如下：
１７．（２０２５广西）综合与实践
%
ｘ ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ 树人中学组织一次“爱心义卖”活动．九（５）班分配到了一块矩形义卖区和一把遮阳伞，遮阳伞在地面上 &
Ｔ＝０时ｙ的值 ０ ７ ８ １０ １２ １６ ２０ ２３ ２５ ２６ 的投影是一个平行四边形（如图（１））． 图（１） 图（２）
初始时，矩形义卖区 ＡＢＣＤ与遮阳伞投影ＭＮＰＱ的平面图如图（２）所示，Ｐ在 ＡＤ上，ＭＮ＝３ｍ，ＡＮ＝ 【模型】已知矩形 ＡＢＣＤ（数据如图（２）所示）．作一条直线 ＭＮ，使 ＭＮ与 ＢＣ所夹的锐角为 ４５°，且将
Ｔ＝３时ｙ的值 ０ ２６ ３７ ４３ ｍ ４８ ５０ ５１ ５２ ５３
１ｍ，ＡＰ＝２ｍ，ＡＢ＝３ｍ，ＢＣ＝２．５ｍ．由于场地限制，参加义卖的同学只能左右平移遮阳伞．在移动过程 矩形 ＡＢＣＤ分成周长相等的两部分．
Ｔ＝３时，从试制阶段的第２日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保
中，ＭＮＰＱ也随之移动（ＭＮ始终在 ＡＢ边所在直线 ｌ上），且形状大小保持不变，但落在义卖区内的部 【操作】嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题．
持不变．
分（遮阳区）会呈现不同的形状．如图（３）为ＭＮＰＱ移动到 Ｐ落在 ＢＣ上的情形．
对于给定的 Ｔ，在平面直角坐标系 ｘＯｙ中描出该 Ｔ值下各数对（ｘ，
如图（３），嘉嘉的思路如下： 如图（４），淇淇的方法如下：
ｙ）所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到曲线 Ｃ．当 ①连接ＡＣ，ＢＤ交于点Ｏ； ①在边ＢＣ上截取ＢＧ＝ＡＢ，连接ＡＧ；
Ｔ
Ｔ＝１和 Ｔ＝２时，曲线 Ｃ，Ｃ 如图所示． ②过点 Ｏ作 ＥＦ⊥ＢＣ，分别交 ＢＣ，ＡＤ于点 ②作线段ＧＣ的垂直平分线ｌ，交ＢＣ于点Ｍ；
１ ２
（１）观察曲线 Ｃ，当整数 ｘ的值为 ６ 时，ｙ的值首次超过３５． Ｅ，Ｆ； ③在边ＡＤ上截取ＡＮ＝ＧＭ，作直线ＭＮ．
１
（２）写出表中 ｍ的值，并在给出的平面直角坐标系中画出 Ｔ＝３时 …
的曲线 Ｃ．
３ 图（１） 图（２） 图（３）
（３）新员工小云和小腾刚刚完成理论学习，接下来进行模拟练习和
【问题提出】西西同学打算用数学方法，确定遮阳区面积最大时ＭＮＰＱ的位置．设遮阳区的面积为
试制．
Ｓｍ２，ＭＮＰＱ从初始时向右移动的距离为 ｘｍ．
①若新员工单日制成不少于４５个合格品即可获得“优秀学员” 图（３）
【直观感知】（１）从初始起右移至图（３）情形的过程中，Ｓ随 ｘ的增大如何变化？
证书，根据上述函数关系，小云最早在完成理论学习后的第 ７
【初步探究】（２）求图（３）情形的 ｘ与 Ｓ的值．
日可获得“优秀学员”证书； 图（４）
【深入研究】（３）从图（３）情形起右移至 Ｍ与 Ａ重合，求该过程中 Ｓ关于 ｘ的解析式．
②若工厂希望小腾在完成理论学习后的 ４日内制成的合格品的总数最多，根据上述函数关系，
【问题解决】（４）当遮阳区面积最大时，ＭＮＰＱ向右移动了多少？（直接写出结果）
在这４日中应安排小腾先进行 １ 日的模拟练习．
（１）Ｓ随着ｘ的增大而增大．
【探究】根据以上描述，解决下列问题．
（１）６
（２）ｘ＝ＰＱ＝３．
（２）ｍ＝４６． （１）图（２）中，矩形 ＡＢＣＤ的周长为 １０ ．
由平移可知，ＰＢ＝２，ＮＢ＝１，
解法提示：∵４８－４３＝５，５０－４８＝２，且一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不 （２）在图（３）的基础上，用尺规作图作出直线 ＭＮ（作出一条即可，保留作图痕迹，不写作法）．
∴ＡＮ＝３－１＝２，
变，∴４８－ｍ＝２，∴ｍ＝４６． （３）根据淇淇的作图过程，请说明图（４）中的直线 ＭＮ符合要求．
１
Ｔ＝３时的曲线Ｃ如图所示． ∴Ｓ＝Ｓ ＝ ×（２＋３）×２＝５． 【拓展】操作和探究中蕴含着一般性结论，请继续研究下面的问题．
３ 梯形ＡＮＰＱ ２
（４）如图（５），若直线 ＰＱ将矩形 ＡＢＣＤ分成周长相等的两部分，分别
（３）从题图（３）向右移至Ｍ与点Ａ重合之前如图．设ＭＱ与ＡＤ交于点Ｅ，ＮＰ与ＢＣ交于点Ｆ，ＰＱ与ＢＣ交于点Ｇ．
交边 ＡＤ，ＢＣ于点 Ｐ，Ｑ，过点 Ｂ作 ＢＨ⊥ＰＱ于点 Ｈ，连接 ＣＨ．
①当∠ＰＱＣ＝４５°时，求 ｔａｎ∠ＢＣＨ的值；
②当∠ＢＣＨ最大时，直接写出 ＣＨ的长．
图（５）
（１）１０
（２）直线ＭＮ如图（１）或图（２）所示，作法不唯一．
由平移可知，３≤ｘ≤４，ＭＡ＝４－ｘ，ＧＰ＝ｘ－３．
∵四边形ＭＮＰＱ是平行四边形，
２
∴∠Ｐ＝∠ＱＭＮ＝∠ＰＮＢ，∴ｔａｎＰ＝ｔａｎ∠ＱＭＮ＝ｔａｎ∠ＰＮＢ＝ ＝２，
１
图（１） 图（２）
∴ＡＥ＝ＡＭｔａｎ∠ＱＭＮ＝２（４－ｘ），ＧＦ＝ＧＰｔａｎＰ＝２（ｘ－３），
作法提示：题图（３）中，点Ｏ为矩形ＡＢＣＤ的中心．
１ １ 易知过矩形中心的直线将其分成周长相等的两部分，故直线ＭＮ过点Ｏ，
∴Ｓ＝Ｓ －Ｓ －Ｓ ＝３×２－ ×２（４－ｘ）×（４－ｘ）－ ×２（ｘ－３）×（ｘ－３）＝－２ｘ２＋１４ｘ－１９（３≤ｘ≤４）．
（３）① ７ 平行四边形ＭＮＰＱ △ＭＡＥ △ＰＧＦ ２ ２ ∴只需利用尺规作出一条过点Ｏ且与ＢＣ所夹的锐角为４５°的直线，并标出字母Ｍ，Ｎ即可．
②１ （４）３．５ｍ． ３
（３）证明：由作图可知，ＡＢ＝ＢＧ＝１，ＧＭ＝ＡＮ＝ ，
解法提示：①若Ｔ＝０或１，根据表中数据和曲线Ｃ可知，小云在试制阶段的前９日内都无法获得“优秀学员” 解法提示：易知当０≤ｘ＜３时，Ｓ随ｘ的增大而增大． ２
１
山西中考４５套汇编·数学 ３５— １０ 山西中考４５套汇编·数学 ３５— １１ 山西中考４５套汇编·数学 ３５— １２３ ３ １９．（２０２５陕西）问题探究 如图（３），过点Ｐ作ＰＧ∥ＡＣ，交ＢＣ于点Ｇ，过点Ｇ作ＱＧ∥ＡＢ，交ＡＣ于点Ｑ，
∴ＡＮ＋ＡＢ＋ＢＧ＋ＧＭ＝ ＋１＋１＋ ＝５，
２ ２ （１）如图（１），在△ＡＢＣ中，请画出一个ＢＤＥＦ，使得点 Ｄ，Ｅ，Ｆ分别在边 ＡＢ，ＡＣ，ＢＣ上．
ＣＭ＋ＣＤ＋ＤＮ＝１０－５＝５． （２）如图（２），在矩形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝４，ＢＣ＝６，Ｐ为矩形 ＡＢＣＤ内一点，且满足 Ｓ ＝９，求△ＢＰＣ周长的
△ＢＰＣ
又∵ＭＮ＝ＭＮ，
最小值．
∴直线ＭＮ将矩形ＡＢＣＤ分成周长相等的两部分．
问题解决
∵ＡＢ＝ＢＧ，∠Ｂ＝９０°，∴∠ＡＧＢ＝４５°．
（３）为了进一步提升游客的体验感，某公园管理部门准备在花海边沿与游客服务中心之间的草地上选址
∵ＡＮ＝ＧＭ，ＡＤ∥ＢＣ，
修建一条笔直的步道及一个观景台．如图（３）所示，△ＡＢＣ区域为草地，线段 ＢＣ为花海边沿，点 Ａ为
图（３）
∴四边形ＡＧＭＮ是平行四边形，
游客服务中心，线段 ＰＱ为步道，点Ｐ和点Ｑ为步道口，点Ｏ为观景台．按照设计要求，点Ｐ，Ｑ分别在 则四边形ＡＰＧＱ是平行四边形，ＡＱ＝ＰＧ＝ＢＧ，ＢＰ∶ＢＧ＝ＡＢ∶ＢＣ＝２∶３，则ＢＰ∶ＡＱ＝２∶３．
∴ＡＧ∥ＮＭ，∴∠ＮＭＧ＝∠ＡＧＢ＝４５°，
边 ＡＢ，ＡＣ上，且满足 ＢＰ∶ＡＱ＝２∶３，Ｏ为 ＰＱ的中点，为保证观赏花海的最佳效果，还需使∠ＢＯＣ 连接ＡＧ，则ＡＧ与ＰＱ的交点即为ＰＱ的中点Ｏ，且Ｏ是ＡＧ的中点，
∴直线ＭＮ符合要求．
最大． 由此可知点Ｏ在△ＡＢＣ的中位线ＤＥ上运动，且仅当过 Ｂ，Ｃ的圆与 ＤＥ相切时，∠ＢＯＣ最大，如图（４），此时
（４）①题图（４）中，根据淇淇的作法，可知ＢＧ＝ＡＢ＝１，
已知 ＡＢ＝１２０ｍ，ＡＣ＝ＢＣ＝１８０ｍ，请你帮助公园管理部门确定观景台 Ｏ的位置（在图中画出符合条 切点Ｏ即为观景台Ｏ的位置．
１ ３
∴ＣＧ＝ＢＣ－ＢＧ＝４－１＝３，∴ＣＭ＝ ＣＧ＝ ．
件的点），并计算此时步道口 Ｐ与游客服务中心 Ａ之间的距离 ＰＡ．（步道的宽及步道口、观景台、游客 设此时过点Ｂ，Ｃ，Ｏ的圆的圆心为Ｔ．
２ ２
３ 服务中心的大小均忽略不计）
故题图（５）中，当∠ＰＱＣ＝４５°时，ＢＱ＝ ．
２
如图（３），过点Ｈ作ＨＩ⊥ＢＣ于点Ｉ．
∵∠ＢＱＨ＝∠ＰＱＣ＝４５°，ＢＨ⊥ＰＨ，
１ ３
∴ＨＩ＝ＢＩ＝ＩＱ＝ ＢＱ＝ ，
２ ４
图（４）
３ １３ 图（１） 图（２） 图（３） 备用图
连接ＡＯ并延长，延长线与ＢＣ的交点为Ｇ，由此可找到Ｐ，Ｑ的位置如图（５）所示．
∴ＣＩ＝ＢＣ－ＢＩ＝４－ ＝ ，
４ ４ （１）ＢＤＥＦ如图（１）所示．
３
ＨＩ ４ ３ 图（３）
∴ｔａｎ∠ＢＣＨ＝ ＝ ＝ ．
ＣＩ １３ １３
４
②ＣＨ＝２槡２．
解法提示： 图（１） 图（５）
第一步：找要素（直角）、构造“隐形圆” （２）如图（２），过点Ｐ作ＰＨ⊥ＢＣ于点Ｈ．
分别过点Ａ，Ｏ作ＢＣ的垂线，垂足分别为Ｈ，Ｍ，则ＨＭ＝ＭＧ．
∵ＤＥ∥ＢＣ，∴ＯＭ⊥ＯＥ．
如图（４），连接ＢＤ交ＰＱ于点Ｏ．
∵ＤＥ与⊙Ｔ相切于点Ｏ，∴ＯＴ⊥ＤＥ，∴ＯＭ与ＯＴ重合，
∵ＰＱ把矩形ＡＢＣＤ分成了周长相等的两部分，
∴点Ｍ是ＢＣ的中点，∴ＢＨ＝ＣＧ．
∴点Ｏ为 ＢＤ，ＰＱ的中点!34$<#3 Ｏ2=&> ＢＤ’?
连接ＣＤ，则∠ＢＤＣ＝９０°!34$‘ab1KIb&cdL*，
3@AB3Ｏ2=3*．
ＢＨ ＢＤ ６０ １ １
又∵ＢＨ⊥ＰＱ，
∴ｃｏｓＢ＝ ＝ ＝ ＝ ，∴ＢＨ＝ ＡＢ＝４０，∴ＣＧ＝４０．
∴点Ｈ在以 ＢＯ为直径的⊙Ｌ上!CD3$<#3 Ｂ，ＯE=3@ ＡＢ ＢＣ １８０ ３ ３
FＢＨＯ＝９０°@GHIJK/LMＬ*． 图（２） ∵ＱＧ∥ＡＢ，∴△ＣＱＧ∽△ＣＡＢ，
第二步：利用“隐形圆”解决最值问题 １ １ ＱＧ ＣＧ ４０ ２ ２ ２ ８０
图（４） ∵Ｓ ＝９，ＢＣ＝６，∴ ＢＣ×ＰＨ＝ ×６×ＰＨ＝９， ∴ ＝ ＝ ＝ ，∴ＱＧ＝ ＡＢ＝ ×１２０＝ ，
易知当ＣＨ与⊙Ｌ相切且点Ｈ在ＢＣ上方时，∠ＢＣＨ最大，连接ＬＨ，如图（５）． △ＢＰＣ ２ ２ ＡＢ ＢＣ １８０ ９ ９ ９ ３
∵ＡＢ＝１，ＡＤ＝４，∴ＢＤ＝槡１２＋４２＝槡１７， ∴ＰＨ＝３． ８０
∴ＡＰ＝ ｍ．
∴ＢＯ＝
１
ＢＤ＝
槡１７
，∴ＬＨ＝ＢＬ＝ＯＬ＝
槡１７
． 过点Ｐ作ＢＣ的平行线，分别与ＡＢ，ＣＤ交于点Ｆ，Ｎ， ３
２ ２ ４
则ＢＦ＝ＰＨ＝３，点Ｐ在线段ＦＮ上运动．
过点Ｌ作ＬＴ⊥ＢＣ于点Ｔ，连接ＣＬ，则∠ＢＴＬ＝９０°＝∠ＢＣＤ，
∴ＴＬ∥ＣＤ，∴△ＢＬＴ∽△ＢＤＣ（34$IＡLNOP）， 由△ＢＰＣ的周长＝ＢＰ＋ＣＰ＋ＢＣ＝ＢＰ＋ＣＰ＋６，
ＢＬ ＬＴ ＢＴ 可知当ＢＰ＋ＣＰ有最小值时，△ＢＰＣ的周长有最小值!34$Q0R’STUVWEXY&>Z’STU*．
∴ ＝ ＝ ，
ＢＤ ＣＤ ＢＣ 作点Ｂ关于ＦＮ的对称点Ｂ′，连接Ｂ′Ｃ，Ｂ′Ｐ，
槡１７ 则Ｂ′Ｆ＝ＢＦ＝３，ＢＰ＝Ｂ′Ｐ，
４ ＬＴ ＢＴ １ 图（５）
∴ ＝ ＝ ，∴ＬＴ＝ ，ＢＴ＝１， ∴ＢＰ＋ＣＰ＝Ｂ′Ｐ＋ＣＰ．
槡１７ １ ４ ４
当Ｂ′，Ｐ，Ｃ三点共线时，ＢＰ＋ＣＰ有最小值，即Ｂ′Ｃ的长!34$56I.[L\]&>ZST^’_K*．
１４５
∴ＣＴ＝ＢＣ－ＢＴ＝４－１＝３，∴ＣＬ２＝ＴＬ２＋ＣＴ２＝ ．
１６ 在Ｒｔ△Ｂ′ＢＣ中，Ｂ′Ｂ＝６，ＢＣ＝６，∴Ｂ′Ｃ＝６槡２，
∵ＣＨ是⊙Ｌ的切线，∴∠ＣＨＬ＝９０°，
故△ＢＰＣ的周长的最小值为６槡２＋６．
∴ＣＨ＝槡ＣＬ２－ＨＬ２＝槡
１４５
－（
槡１７
）２＝槡
１４５
－
１７
＝２槡２．
（３）∵ＡＢ＝１２０ｍ，ＡＣ＝ＢＣ＝１８０ｍ，
１６ ４ １６ １６
∴ＡＢ∶ＢＣ＝２∶３．
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