四中教育集团2024-2025学年九年级第一次月考数学试题（答案解析）_广州九上月考+期中+期末+一模二模+中考真题_九上月考_初三上十月考

广东省广州市四中教育集团 2024-2025 学年九年级上学期第一次月考 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必在答题卡上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的考生号、姓名；填写 考场试室号、座位号，再用2B 铅笔把对应考号涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B 铅笔画图，答案 必须写在答卷各题目指定区域内的相应位置上；不允许使用涂改液、涂改带等进行涂改，不 按以上要求作答的答案无效． 4、考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回． 第I 卷（共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是 符合题目要求的．答案填在答题卡上 1. 全球新能源汽车发展已进入不可逆的快车道，中国的新能源汽车产业一直在增长，不断迈上新台阶．下 列图形是我国国产部分新能源品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义，即可求解． 【详解】解：A.是中心对称图形，故本选项符合题意； B.不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C.不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D.不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：A. 【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°， 如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键． P4,3 2. 点 关于原点的对称点是( ) 4,3 3,4 4,3 3,4 A. B. C. D. 第1页/共26页 学科网（北京）股份有限公司【答案】C 【解析】 【详解】解：点P(4， 3)关于原点的对称点是( 4，3)． 故选C． 【点睛】本题考查关于原点对称的点的坐标，两个点关于原点对称时，两个点的横、纵坐标符号相反，即 P(x，y)关于原点O的对称点是P′( x， y)． 3. 若x ，x 是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则x x 的值是（ ） 1 2 1 2 A. ﹣2 B. ﹣3 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据根与系数的关系解答即可． 【详解】解：∵x 、x 是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根， 1 2 ∴x x =-3． 1 2 故选B． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：x ，x 是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x +x =- 1 2 1 2 b c a a ，x •x = ． 1 2 4. 如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A＇OB＇，若∠AOB=15°，则∠AOB＇的度数是 （ ） A. 25° B. 30° C. 35° D. 40° 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′， ∴∠A′OA=45°，∠AOB=∠A′OB′=15°， ∴∠AOB′=∠A′OA-∠A′OB′=45°-15°=30°， 故选B． 第2页/共26页 学科网（北京）股份有限公司5. 把抛物线y＝2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为（ ） A y＝2（x+3）2+4 B. y＝2（x+3）2﹣4 C. y＝2（x﹣3）2﹣4 D. y＝2（x﹣3）2+4 . 【答案】A 【解析】 【详解】解：把抛物线y=2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数解析式为 y=2（x+3）2+4． 故选A． y (x2)2 1 6. 二次函数 的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵a=1＞0， ∴抛物线开口向上， 由解析式可知对称轴为x= 2，顶点坐标为（ 2， 1）． 故选：D． 7. 点M（﹣3，y ），N（﹣2，y ）是抛物线 y=﹣（x+1）2+3上的两点，则下列大小关系正确的是（ ） 1 2 A. y ＜y ＜3 B. 3＜y ＜y C. y ＜y ＜3 D. 3＜y ＜y 1 2 1 2 2 1 2 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的性质，抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越小，点（-1，3）在对称轴上， 即可得到答案． 【详解】抛物线的解析式y=﹣（x+1）2+3可得其对称轴为x=-1，系数a＜0，图像开口下下， 根据抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越小，点（-1，3）在对称轴上，-3<-2 所以y ＜y ＜3. 1 2 故选A. y ax2 2axca0 3,0 ax2 2axc0 8. 二次函数 的图象过点 ，方程 的解为（ ） 第3页/共26页 学科网（北京）股份有限公司x 3 x 1 x 1 x 3 A. 1 ， 2 B. 1 ， 2 x 1 x 3 x 3 x 1 C. 1 ， 2 D. 1 ， 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的对称性、二次函数与一元二次方程的关系；二次函数与x轴的两个交点的 横坐标就是一元二次方程的两个根．熟练掌握以上知识是解题的关键．先求出抛物线的对称轴，进而得出 抛物线与x轴的另一个交点坐标，即可得到答案． 2a x 1 2a 【详解】解：抛物线的对称轴为直线 3,0 1,0 Q抛物线与x轴的一个交点坐标为 ，所以抛物线与x轴的另一个交点坐标 ax2 2axc0 x 1 x 3 ∴方程 的解为 1 ， 2 故选：B． y 2x2 8x1 y axm2 n 9. 将 化成 的形式为（ ） y 2x22 7 y 2x42 1 A. B. y 2x22 9 y 2x42 7 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本小题先将二次项的系数提出后再将括号里运用配方法配成完全平方式即可． y 2x2 8x1 【详解】由 得： y 2(x2 4x)1 y 2(x2 4x4)81 y 2(x2)2 9 故选Ｃ 【点睛】本题考查的知识点是配方法，掌握配方的方法及防止漏乘是关键． 10. “闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进 行加工煎炸臭豆腐时，我们把焦脆而不糊的豆腐块数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，“可食用 pat2 btc a0, 率”p与加工煎炸的时间t（单位：分钟）近似满足函数关系式： （ a，b，c为常数） 第4页/共26页 学科网（北京）股份有限公司，如图纪录了三次实验数据，根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为( ) A. 3.50分钟 B. 4.05分钟 C. 3.75分钟 D. 4.25分钟 【答案】C 【解析】 【分析】将图中三个坐标代入函数关系式解出a和b,再利用对称轴公式求出即可． pat2 btc 【详解】将(3,0.8)(4,0．9)(5,0.6)代入 得: 0.89a3bc ①  0.916a4bc ②  0.625a5bc ③  0.1=7ab ④  0.39ab ⑤ ②－①和③－②得 0.4=2a ⑤－④得 ,解得a=﹣0.2． 将a=﹣0.2．代入④可得b=1.5． b 1.5  3.75 2a 2(0.2) 对称轴= ． 故选C． 【点睛】本题考查二次函数的三点式,关键在于利用待定系数法求解,且本题只需求出a和b即可得出答 案． 第II 卷（非选择题 共72分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．注意答案写在答卷上 11. 2022北京冬奥会雪花图案令人印象深刻，如图所示，雪花图案围绕旋转中心至少旋转________度后可 以完全重合． 第5页/共26页 学科网（北京）股份有限公司【答案】60 【解析】 【分析】根据旋转角及结合图形特点作答． 【详解】解：∵360°÷6＝60°， ∴该图形绕中心至少旋转60度后能和原来的图案互相重合． 故答案为：60． 【点睛】此题考查了旋转角，对应点与旋转中心所连线段的夹角叫做旋转角． 12. 若1是关于 x 的一元二次方程ax2 bx50的一个根，则 3a3b1 的值为_________． 16 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握方程的解即为能使方程左右两边相等的未 知数的值．把x1代入方程计算求出 ab5 ，即可求解． 【详解】解：Q 1是关于 x的 一元二次方程ax2 bx50的一个根， ab50 ， ab5 ， 3a3b13ab135116  ， 16 故答案为： ． 13. 二次函数 y ax2 bxc （ a ，b， c 为常数且 a0) 中的 x 与 y 的部分对应值如下表： x … 1 0 1 2 3 … 3 4 y … 0 1 0 … 的 x 已知表中有且只有一组数据错误，则这组错误数据中 值是_________． 第6页/共26页 学科网（北京）股份有限公司【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，解题的关键是求出二次函数的解析式．由表中的数据 可知，当x1或 x3 时， y0 ，当 x0 时， y=3 ，利用待定系数法求出二次函数的解析式，即可 求解． 【详解】解：由表中的数据可知，当x1或 x3 时， y0 ，当 x0 时， y=3 ， abc0  9a3bc0  c3  ， a1  b2  c3  解得： ， y  x2 2x3 二次函数的解析式为： ， x2 y 22 2233 当 时， ， 故答案为：2． y  x2 bx2024 x Ax ,0、Bx ,0 x x x 14. 已知二次函数 的图像与 轴交于点 1 2 两点，则当 1 2时， 则y的值为_________． 【答案】2024 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，以及二次函数的性质，解题关键是理解并应用 二次函数与一元二次方程的关系、一元二次方程的根与系数的关系， x x y  x2 bx2024 首先利用二次函数的图象与x轴交点得到 1、 2为方程 的两根，再根据一元二次方程 x  x  b xb 根与系数的关系得 1 2 ，然后把 代入代数式计算即可． 【详解】Q二次函数 y  x2 bx2024 的图像与 x 轴交于点 Ax 1 ,0、Bx 2 ,0 两点， x2 bx20240 x x ∴方程 的两根为 1、 2 x  x  b ∴ 1 2 ， x  x  b ∴把 1 2 代入函数解析式得： 第7页/共26页 学科网（北京）股份有限公司y b2 bb2024b2 b2 20242024 , 故答案为：2024． 15. 当前，人工智能迅猛发展，“数学统计”发挥重要作用．早在2022年，某地图上线“红绿灯倒计时” 功能，依赖过往车主的行驶启停规律，运用云端大数据算法推算出具体红绿灯读秒时间．例如，对于某个 交通灯的红灯时长进行n次记录，得到n个结果 t 1 ，t， 2 ， t n．如果用 t 作为该交通灯的红灯时长的近似 tt 2 tt 2 L tt 2 t  值，当 _________时， 1 2 n 最小? 1 t t … t  【答案】n 1 2 n 【解析】 tt 2 tt 2 L tt 2 【分析】本题考查二次函数的性质．根据先对 1 2 n 进行整理，得 nt2 2t t … t t  t2 t 2 … t 2 1 2 n 1 2 n ，然后根据二次函数的性质，即可求解． tt 2 tt 2 L tt 2 【详解】解：∵ 1 2 n nt2 2t t … t t  t2 t 2 … t 2 1 2 n 1 2 n ， y nt2 2t t … t t  t2 t 2 … t 2 ∴设 1 2 n 1 2 n ， ∵n0， b 2t t … t  1 t   1 2 n  t t … t  ∴当 2a 2n n 1 2 n 时， y nt2 2t t … t t  t2 t 2 … t 2 1 2 n 1 2 n 有最小值， 1 ∴当 t  n t 1 t 2 … t n  ， tt 1 2 tt 2 2 L tt n 2 最小． 1 t t … t  故答案为：n 1 2 n ． 16. 如图，在正方形 ABCD 中，点M 是AB上一动点，点E是 CM 的中点，AE绕点E顺时针旋转 90 得到EF ，连接DE，DF．给出结论：①VADE是等边三角形； ②DE  EF ；③ CDF 45 ；④若正方形的边长为2，则点M 在射线AB上运动时， CF 有最小值 2 ．其中结论正确的是_________． 第8页/共26页 学科网（北京）股份有限公司【答案】②③④ 【解析】 【分析】延长AE交 CD 的延长线于点H ，证明△△AME≌ HCE，可得EH  AE，由直角三角形的性 质可得EH =AE =DE，可判断①；结合旋转的性质，可判断②；根据AE  DE  EF，可得 DAE ADE ，EDF EFD，由四边形内角和定理可求 2ADE2EDF 270 ，可得 ADF 135 ，可判断③；连接 CF ，过点C作 CF  DF 于F，由 CDF 45 ，知点F 在DF上 运动，即得当 CF ^ DF 时， CF 有最小值为 CF 的长度，根据点E是 CM 的中点和旋转的性质可推出 2 CF¢= CD= 2 AM =AC >AB ，得到此时点M 在射线AB上运动，而 2 ，即 CF 有最小值为 2 ， 可判断④正确． 【详解】解：如图，延长AE交 CD 的延长线于点H ， Q点E是 CM 的中点， ME CE ， Q在正方形 ABCD 中， AB∥CD ， 第9页/共26页 学科网（北京）股份有限公司MAE H ，AME HCE， VAME≌VHCEAAS  ， EH  AE， 又Q ADH 90 ， EH =AE =DE， VADE是等腰三角形，故①错误； Q AE绕点E顺时针旋转 90 得到EF ，  AE  EF， AEF 90 ， DE  EF ，故②正确； Q AE  DE  EF， DAE ADE ，EDF EFD， Q AEF DAEADEEDF EFD360 ， 2ADE2EDF 270 ， ADF 135 ， CDF ADF ADC 1359045 ，故③正确； 如图，连接 CF ， AC ，过点C作 CF  DF 于F， Q CDF 45 ， 点F 在DF上运动， 当 CF ^ DF 时， CF 有最小值为 CF 的长度， ÐAEF¢=90° AE^ MF¢ 由旋转可得： ，即 ， 第10页/共26页 学科网（北京）股份有限公司又Q点E是 CM 的中点，  AM =AC >AB ， 此时点M 在射线AB上运动， Q CD2， CDF 45 ， 2 CF¢= CD= 2  2 ，即 CF 有最小值为 2 ，故④正确， 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的性 质，掌握正方形的性质是解题的关键． 三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解方程：x2+10x+9＝0． 【答案】x ＝﹣1，x ＝﹣9 1 2 【解析】 【分析】利用因式分解法进行解答即可. 【详解】解：方程分解得：（x+1）（x+9）＝0， 可得x+1＝0或x+9＝0， 解得：x ＝﹣1，x ＝﹣9． 1 2 【点睛】本题考查了一元二次方程的因式分解法，正确的因式分解是解答本题的关键. y 2x2 4x5 18. 已知二次函数 ． y 2x2 4x5 y axh2 k （1）将 化成 的形式； y 2x2 4x5 y 2x2 （2）抛物线 可以由抛物线 经过平移得到，请写出一种平移方式． y 2x12 3 【答案】（1） （2）先向右平移1个单位长度、再向上平移3个单位长度或先向上平移3个单位长度、再向右平移1个 单位长度（任选一个即可） 【解析】 【分析】本题考查二次函数图像与性质，涉及将一般式化为顶点式、函数图像平移等知识，熟练掌握二次 函数图像与性质是解决问题的关键． （1）利用配方法即可将二次函数一般式化为顶点式； （2）根据函数图像平移法则：左加右减、上加下减，结合函数表达式，数形结合即可得到答案． 第11页/共26页 学科网（北京）股份有限公司【小问1详解】 y 2x2 4x5 解：Q 2  x2 2x  5 2  x2 2x11  5 2  x2 2x1  25   2x12 3 ， y 2x2 4x5 y axh2 k y 2x12 3 将 化成 的形式为 ； 【小问2详解】 y 2x2 4x5 y 2x12 3 解：由（1）中抛物线 可化为 ， y 2x2 y 2x12 3 抛物线 经过平移得到 可以是：①先向右平移1个单位长度、再向上平移3个 单位长度；②先向上平移3个单位长度、再向右平移1个单位长度；（任选一个即可）． 19. 已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m2=0． （1）求证：该方程有两个不等的实根； （2）若该方程的两个实数根x 、x 满足x +2x =9，求m的值． 1 2 1 2  5 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ=16+4m2＞0，由此可证出该方程有两个不等的实 根； （2）根据根与系数的关系可得x +x =4①、x •x =-m2②，结合x +2x =9③，可求出x 、x 的值，将其代入 1 2 1 2 1 2 1 2 ②中即可求出m的值． 【小问1详解】 证明：∵在方程x2-4x-m2=0中，Δ=（-4）2-4×1×（-m2）=16+4m2＞0， ∴该方程有两个不等的实根； 【小问2详解】 解：∵该方程的两个实数根分别为x 、x ， 1 2 ∴x +x =4①，x •x =-m2②． 1 2 1 2 ∵x +2x =9③， 1 2 ∴联立①③解之，得：x =-1，x =5， 1 2 第12页/共26页 学科网（北京）股份有限公司∴x •x =-5=-m2， 1 2 5 解得：m=± ． 【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当Δ＞0时，方程有两 个不相等的实数根”；（2）联立x +x =4①、x +2x =9③，求出x 、x 的值． 1 2 1 2 1 2 20. 如图，在 VABC中，将 VABC绕点A逆时针旋转，得到VADE（点D与点B对应，点E与点C对 BC 应），点D恰好落在 上． （1）用尺规作出VADE（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若ABC 65， ACB20 ，DE交 AC 于点F ，求 EFC 的度数． 【答案】（1）答案见解析； 70 （2） 【解析】 【分析】（1）先以A为圆心，AB长为半径作弧角BC于D，再作 DAE BAC ，再截取 AE  AC ， 连接DE； （2）根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及外角定理求解． 【小问1详解】 如图：VADE即为所求； 【小问2详解】 QABC 65， ACB20 ， BAC 180ABCACB180652095 ． 由旋转的性质可得 VABC≌VADE ， ∴ AB AD， DAE BAC 65 ， AEDACB20 ， 第13页/共26页 学科网（北京）股份有限公司ADBABC 65 ， BAD180ABDADB180656550 ， ADE 180DAEAED180652065 ， EDC 180ADBADE 180656550 ． QACB20， EFC EDCACB502070 ． 【点睛】本题考查了复杂作图，掌握旋转的性质，等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及外角定理是 解题的关键． y  x2 4x3 21. 已知二次函数 ． y  x2 4x3 （1）求二次函数 图像的顶点坐标； xOy y  x2 4x3 （2）在平面直角坐标系 中，画出二次函数 的图像； 1 x4 y （3）当 时，结合函数图像，直接写出 的取值范围． (2,1) 【答案】（1） 1 y3 （2）见解析 （3） 【解析】 第14页/共26页 学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）把一般式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标； （2）先确定抛物线与坐标轴的交点坐标，然后利用描点法画出二次函数图象； 1 x4 （3）结合二次函数图象，写出当 时对应的y的取值范围． 【小问1详解】 y  x2 4x3(x2)2 1 ∵ ， (2,1) ∴该二次函数图象顶点坐标为 ； 【小问2详解】 列表： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 1 0 3 … 描点，连线，如图： ； 【小问3详解】 1 x4 1 y3 由图象可知，当 时， ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图形上点的坐标特征，数形结合是解题的关键． y ax2 bxc A(2,0) B(0,1) C(4,5) x 22. 如图，已知二次函数 的图像过点 ， 和 ，与 轴的另一个交点 为D． 第15页/共26页 学科网（北京）股份有限公司（1）求该二次函数的解析式； BDC （2）求三角形 的面积； （3）若P为拋物线上一点，且 △PDC 的面积是 VBDC 的2倍，求点P的坐标． 1 1 y  x2  x1 【答案】（1） 2 2 5 （2） æ ö æ ö 57 +3 13+ 57 - 57+3 13- 57 ç , ÷ ç , ÷ ç ÷ ç ÷ 2 2 2 2 （3）点P的坐标为 è ø 或 è ø 【解析】 【分析】本题是二次函数的综合，涉及一次函数的图像与性质，二次函数的图像与性质，三角形的面积， 解题的关键是灵活运用相关知识． （1）利用待定系数法求解即可； （2）设直线BC与 x 轴交于点H ，先根据二次函数求出点D的坐标，再利用待定系数法求出直线BC的 5 DH  解析式，进而求出点H 的坐标，得到 3，最后根据 1 1 S S S  DH·y  DH·y VBDC VDHC VDHB 2 C 2 B 即可求解； （3）过点P作 PEPy 轴，交直线 CD 于点E，先求出直线 CD 的解析为 yx1 ，设  1 1  1 3 P t, t2  t1 PE   t2  t2   2 2   Et,t1 2 2 ，则 ，得到 ，进而得到 1 5 1 3 S  ·x x ·PE  · t2  t2 VPCD 2 C D 2 2 2 ，最后根据 △PDC 的面积是 VBDC 的2倍列方程，即可求 解． 第16页/共26页 学科网（北京）股份有限公司【小问1详解】 A(2,0) B(0,1) C(4,5) y ax2 bxc 解：将点 ， 和 代入 得： 4a2bc0  c1  16a4bc5  ，  1 a   2   1 b 2  c1   解得： ， 1 1 y  x2  x1 二次函数的解析式为 2 2 ； 【小问2详解】 设直线BC与 x 轴交于点H ， 1 1 1 1 y  x2  x1 x2  x10 在 2 2 中，令 y0 ，则2 2 ， 解得： x2 或x1， D1,0 二次函数与 x 轴的另一个交点 ， 设直线BC的解析式为： ykxm ， B(0,1) C(4,5) 将 和 代入得： m1  4km5 ，  3 k   2  m1 解得： ， 3 y  x1 直线BC的解析式为 2 ， 3 0 x1 令 y0 ，则 2 ， 第17页/共26页 学科网（北京）股份有限公司2 x 3 解得： ， 2  H ,0    3  ， 2 5 DH  1  3 3， 1 1 1 5 1 5 S S S  DH·y  DH·y   5  15  VBDC VDHC VDHB 2 C 2 B 2 3 2 3 ； 【小问3详解】 如图，过点P作 PEPy 轴，交直线 CD 于点E， CD y  pxq 设直线 的解析式为 ， 4pq5  C(4,5) D1,0 pq0 将 ， 代入得： ， p1  q1 解得： ， 直线 CD 的解析式为 yx1 ，  1 1  P t, t2  t1   2 2   Et,t1 设 ，则 ， 第18页/共26页 学科网（北京）股份有限公司1 1  1 3 PE  t1 t2  t1   t2  t2    2 2  2 2 ， 1 1 1 3 5 1 3 S  ·x x ·PE  41· t2  t2  · t2  t2  VPCD 2 C D 2   2 2 2 2 2 ， Q △PDC 的面积是 VBDC 的2倍， S VBDC =5 ， 5 1 3 · t2  t2 10  2 2 2 ， 57+3 - 57+3 t = t = 解得： 2 或 2 ，  57 3 13 57   57 3 13 57   ,   ,      2 2 2 2 点P的坐标为   或   ． 的 200 80 23. 某宾馆有若干间标准房，当标准房 价格为 元/天时，每天入住的房间数为 间，经市场调查发 现，该宾馆每间标准房的价格在 170～240 元/天之间（含 170 元，240元）浮动时，每天入住的房间数 y x （间）与每间标准房的价格 （元/天）的数据如下表： x （元/天） … 190 200 210 220 … y （间） … 65 60 55 50 … （1）根据所给数据在如图所示的坐标系中描出相应的点，并画出图像； y x x （2）求 关于 的函数表达式，并写出自变量 的取值范围； w （3）设标准房的日营业额为 元，若不考虑其他因素，宾馆标准房的价格定为多少元/天时，标准房的日 营业额最大?最大为多少元? 1 y  x160170 x240 【答案】（1）见解析 （2） 2 第19页/共26页 学科网（北京）股份有限公司（3）宾馆标准房的价格定为 170 元/天时，标准房的日营业额最大，最大为12750元 【解析】 【分析】本题考查二次函数和一次函数的应用，掌握二次函数的性质是解题关键． （1）根据表中数据在平面直角坐标系中描点、连线，即可画出图像； y x y kxb k （2）设 关于 的函数表达式为 ，再从表中选两个点，代入函数解析式，得到一个关于 、 b的二元一次方程组，解之即可得出答案，由题意即可求得自变量取值范围； 1 w xgy  x2 160x （3）由 2 ，再根据二次函数的图像与性质即可求得答案． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 y x y kxb 设 关于 的函数表达式为 ， 200kb60  200,60 220,50 220kb50 将 ， 代入得： ，  1 k   2  b160 解得： ， 1 y  x160170 x240  2 ； 【小问3详解】  1  1 w x·y  x·  x160  x2 160x    2  2 ， b 160 x=- =- =160 2a 1 - ´ 2 对称轴为直线 2 ， 第20页/共26页 学科网（北京）股份有限公司1 a  0 Q 2 ， 当 170 x240 时， w 随 x 的增大而减小， 1 w=- ´ 1702 +160´ 170=12750 当 x170 时， w 有最大值，最大值为 2 ， 宾馆标准房 的 价格定为 170 元/天时，标准房的日营业额最大，最大为12750元． 24. 在平面直角坐标系中，已知点 A(1,2) ， B(2,3) ， C(2,1) ，直线 y  xm 经过点A，抛物线 y ax2 bx1 恰好经过A，B，C三点中的两点． y  xm （1）求直线 的解析式； （2）求 a ，b的值； y ax2 bx1 y  xm y （3）平移抛物线 ，使其顶点仍在直线 上，求平移后所得抛物线与 轴交点纵 坐标的最大值． yx1 【答案】（1） a1 b2 （2） ， 5 （3）4 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函 数的图像与性质． A1,2 y  xm m （1）将点 代入 ，求出 ，即可求解； yx1 y ax2 bx1 0,1 A(1,2) B(2,3) （2）由于直线 与抛物线 都经过点 ，且 ， 都在直线上，直线 与抛物线不可能有三个交点，且B、C两点的横坐标相同，所以抛物线只能经过A、C两点，利用待定 系数法求解即可；  p p2   , q y x2  pxq  2 4  （3）设平移后的抛物线为 ，则其顶点坐标为 ，根据题意得： p2 p q  1 4 2 y x2  pxq y q ，由抛物线为 与 轴交点纵坐标为 ，得到 第21页/共26页 学科网（北京）股份有限公司p2 p 1 5 q   1 p12  4 2 4 4 ，即可求解． 【小问1详解】 解：Q直线 y  xm 经过点 A1,2 ， 1m2， m1 解得： ， 直线 y  xm 的解析式为 yx1 ； 【小问2详解】 Q直线 yx1 与抛物线 y ax2 bx1 都经过点 0,1 ，且点 A(1,2) ， B(2,3) 都在直线上， 直线与抛物线不可能有三个交点，且B、C两点的横坐标相同， 抛物线只能经过A、C两点， A(1,2) C(2,1) y ax2 bx1 把 ， 代入 得： ab12  4a2b11 ， a1 b2 解得： ， ； 【小问3详解】 y x2 2x1 由（2）知，抛物线为 ，  p p2   , q y x2  pxq  2 4  设平移后的抛物线为 ，则其顶点坐标为 ， Q顶点仍在直线 yx1 上， p2 p q  1  4 2 ， p2 p q  1  4 2 ， Q抛物线为 y x2  pxq 与 y 轴交点纵坐标为 q ， p2 p 1 5 q   1 p12   4 2 4 4 ， 第22页/共26页 学科网（北京）股份有限公司5 当 p 1 时，平移后所得抛物线与 y 轴交点纵坐标的最大值为4 ． 25. 如图1， VABC是边长为 4cm 的等边三角形，边AB在射线OM 上，且 OA6cm ，点D从点 O 出 发，沿射线OM 方向以 1cm/s 的速度运动，当D不与点A重合时，将线段 CD 绕点C逆时针方向旋转 60 得到 CE ，连接DE、BE ，设点D运动了 ts ， （1）点D的运动过程中，线段AD与BE 的数量关系是______，请以图1情形为例（当点D在线段 OA 上 时，点D与点A不重合），说明理由， （2）当6t 10时，如图2，VBDE周长是否存在最小值？若存在，求出VBDE的最小周长；若不存 在，请说明理由． （3）当点D在射线OM 上运动时，是否存在以D、B、E为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接 t 写出此时 的值． 【答案】（1）AD BE，理由见解析 2 34 （2）存在， （3）存在，2或4 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质得到DCE 60， DC  EC ，进而证得△△ACD≌ BCE ，即可得到结论； （2）当6t 10时，由旋转的性质得到BE  AD，于是得到 C  BEDBDE  ABDE 4DE DE CD VDBE ，根据等边三角形的性质得到 ，由垂线段最短 得到当CD AB时，VBDE的周长最小，于是得到结论； （3）分四种情况：当点D与点B重合时，当0t 6时，当6t 10时，当 t 10 时，分别根据等边三 角形的性质，等腰三角形的判定和性质，进行求解即可． 【小问1详解】 解：AD BE，理由如下： 第23页/共26页 学科网（北京）股份有限公司Q将线段 CD 绕点C逆时针方向旋转 60 得到 CE ， DCE 60 DC  EC ， ， QVABC 是等边三角形， ∴ACB60， AC  BC ， ∴ACB DCE ， ∴ACDACE ACEBCE ， ACDBCE ， 在VACD和 VBCE 中， CDCE  ACDBCE  AC  BC  ， VACD≌VBCESAS ， AD BE； 【小问2详解】 解：存在，当6t 10时， 由（1）知，BE  AD， C  BEDBDE  ABDE 4DE VDBE ， Q将线段 CD 绕点C逆时针方向旋转 60 得到 CE ， DCE 60 DC  EC ， ， VCDE ∴ 是等边三角形， DE CD ， C CD4 VDBE ， 由垂线段最短可知，当CD AB时，VBDE的周长最小， ∵ VABC为等边三角形， 1 AD BD AB2cm 2 ∴根据三线合一可知： ， CD AC2 AD2  42 22 2 3cm ∴根据勾股定理可知： ， 第24页/共26页 学科网（北京）股份有限公司  CD4 2 34 cm VBDE 的最小周长 ； 【小问3详解】 解：存在， ①Q 当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形， 当点D与点B重合时，不符合题意， ② 当0t 6时，由旋转可知，DCE 60， DC  EC ， VCDE ∴ 是等边三角形， CDE CED60 ∴ ， BDE 60 ∴ ， VACD≌VBCE 根据解析（1）可知：此时 ， CBE CAD ∴ ， ∵ VABC为等边三角形， ABC CAB60 ∴ ， ∴CBE CAD18060120， ∴ABE 1206060， ∴VBDE中只能 BED90 ， ∴BDE 90ABE 30， ∴CDA603030， ∴DCA180DACCDA30， ∴CDADCA， ∴DA AC 4cm， ODOADA642cm ， t 212s ； ③ 当6t 10时，点D在AB上运动，VBDE不可能是直角三角形． ④ t 10 如图，当 时， 第25页/共26页 学科网（北京）股份有限公司VACD≌VBCE 同理可得： ， ∴CBECAD60， ∴DBE 180606060， ∵CED60， ∴BED60， ∴VBDE中只能 BDE 90 ， BDC 906030 此时 ， ∵ABC BDCBCD60， BCD603030 ∴ ， BCDBDC ∴ ， BD BC 4cm， OD64414cm ， t 14114s ， 综上所述：当 t 2 或14时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、 三角形周长的计算、直角三角形的判定等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 第26页/共26页 学科网（北京）股份有限公司