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2011 年第十六届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷A（小
学组）
一、填空题（每小题3分，共80分）
1．（3分）1 +3 +5 +7 ＝ ．
2．（3分）工程队的8个人用30天完成了某项工程的 ，接着增加了4个人完成了其余的工
程，那么完成这项工程共用了 天．
3．（3分）甲乙两人骑自行车同时从A地出发去B地，甲的车速是乙的车速的1.2倍．乙骑了5
千米后，自行车出现故障，耽误的时间可以骑全程的 ．排除故障后，乙的速度提高了
60%，结果甲乙同时到达B地．那么A，B两地之间的距离为 千米．
4．（3分）在火车站的钟楼上装有一个电子报时钟，在圆形钟面的边界，每分钟的刻度处都有
一个小彩灯，晚上9时35分20秒时，在分针与时针所夹的锐角内有 个小彩灯．
5．（3分）在边长为1厘米的正方形ABCD中，分别以A、B、C、D为圆心，1厘米为半径画四分
之一圆，交点E、F、G、H，如图，则中间阴影部分的周长为 厘米．（取圆周率 ＝
3.141） π
6．（3分）用40元钱购买单价分别为2元、5元和11元的三种练习本，每种至少买一本，而且
钱恰好花完．则不同的购买方法有 种．
7．（3分）已知某个几何体的三视图如右图，根据图中标示的尺寸（单位：厘米），这个几何体
的体积是 （立方厘米）8．（3分）将自然数1～22分别填在下面的“□”内（每个“□”只能填一个数），在形成的
11个分数中，分数值为整数的最多能有 个
二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）
9．长方形ABCD的面积是2011平方厘米．梯形AFGE的顶点F在BC上，D是腰EG的中点．
试求梯形AFGE的面积．
10．公交车的线路号是由数字显示器显示的三位数，其中每个数字是由横竖放置的七支荧光
管显示，如图所示．某公交车的数字显示器有两支坏了的荧光管不亮，显示的线路号为
“351”，则该公交车的线路号有哪些可能？
11．设某年中有一个月里有三个星期日的日期为奇数，则这个月的20日可能是星期几？
12．以[x]表示不超过x的最大整数，设自然数n满足[ ]+[ ]+[ ]+…+[ ]+[ ]＞
2011，则n的最小值是多少？
三、解答下列各题（每小题0分，共30分，要求写出详细过程）
13．在如图的加法竖式中，不同的汉字代表不同的数字．问：满足要求的不同算式共有多少种？
14．如图，两只蜘蛛同处在一个正方体的顶点A，而一只爬虫处在A的体对顶点G，假设蜘蛛
和爬虫均以同样的速度沿正方体的棱移动，任何时候它们都知道彼此的位置，蜘蛛能预判
爬虫的爬行方向，试给出一个两只蜘蛛必定捉住爬虫的方案．2011 年第十六届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试
卷 A（小学组）
参考答案与试题解析
一、填空题（每小题3分，共80分）
1．（3分）1 +3 +5 +7 ＝ 1 8 ．
【分析】根据加法结合律和加法交换律进行计算．
【解答】解：1 +3 +5 +7
＝1+ +3+ +5+ +7+
＝（1+3+5+7）+（ + + + ）
＝16+2
＝18
故答案为：18 ．
2．（3分）工程队的8个人用30天完成了某项工程的 ，接着增加了4个人完成了其余的工
程，那么完成这项工程共用了 7 0 天．
【分析】把这项工程看作单位“1”，用“ ÷30÷8＝ ”求出1人1天的工作效率，则
12个人工作效率和为 ×12＝ ，求出剩下的工作总量，然后根据：工作总量÷工作效
率＝工作时间“求出后来用的时间，进而求出完成这项工程共用的时间．
【解答】解：一个人的工作效率是 ÷30÷8＝ ，
12个人的工作效率和为 ×12＝ ，共需：（1﹣ ）÷ +30
＝40+30
＝70（天）
答：一共用了70天．
故答案为：70．
3．（3分）甲乙两人骑自行车同时从A地出发去B地，甲的车速是乙的车速的1.2倍．乙骑了5
千米后，自行车出现故障，耽误的时间可以骑全程的 ．排除故障后，乙的速度提高了
60%，结果甲乙同时到达B地．那么A，B两地之间的距离为 4 5 千米．
【分析】根据题意可知，甲乙的车速比是1.2：1＝6：5，所以所用时间比为5：6，不妨设甲用
时5t，则乙原定时间为6t，乙因故障耽误的时间为 ×6t＝t，而最后全程用时5t，所以故障
排除后，乙的提速使它节省了2t的时间．提速后的速度与原来速度比为1.6：1＝8：5，所以
时间比为5：8，节省了三份的时间，所以每份为 t，所以这段路原计划用时 t×8＝ t，
所以一开始的5千米原计划用时是6t﹣ t＝ t，所以A、B之间的距离为5×（6t÷ t），然
后计算即可．
【解答】解：甲乙的车速比是1.2：1＝6：5，所以所用时间比为5：6；
设甲用时5t，则乙原定时间为6t；
乙因故障耽误的时间为 ×6t＝t，而最后全程用时5t，所以故障排除后，乙的提速使它节
省了2t的时间．
提速后的速度与原来速度比为1.6：1＝8：5，所以时间比为5：8，节省了三份的时间，所以
每份为 t，
所以这段路原计划用时 t×8＝ t，所以一开始的5千米原计划用时是6t﹣ t＝ t，
所以A、B之间的距离为：
5×（6t÷ t），＝5×9，
＝45（千米）；
故答案为：45．
4．（3分）在火车站的钟楼上装有一个电子报时钟，在圆形钟面的边界，每分钟的刻度处都有
一个小彩灯，晚上9时35分20秒时，在分针与时针所夹的锐角内有 1 2 个小彩灯．
【分析】先求出晚上9时35分20秒时针与分针所夹的角；再根据表盘共被分成60小格，
每一大格所对角的度数为30°，每一小格所对角的度数为6°，即可求出晚上9时35分20
秒时针与分针间隔的分钟的刻度，从而求出晚上9时35分20秒时，时针与分针所夹的角
内装有的小彩灯个数．
【解答】解：晚上9时35分20秒时，时针与分针所夹的角为：
9×30°+35×0.5°+20×0.5°÷60﹣（7×30°+20×6°÷60）
＝270°+17.5°+10°÷60﹣210°﹣2°
＝（75 ）°
（75 ）°÷6≈12（个）．
故在分针与时针所夹的锐角内有12个小彩灯．
故答案为：12．
5．（3分）在边长为1厘米的正方形ABCD中，分别以A、B、C、D为圆心，1厘米为半径画四分
之一圆，交点E、F、G、H，如图，则中间阴影部分的周长为 2.09 4 厘米．（取圆周率 ＝
3.141） π
【分析】如图所示：由题意很容易就可以得出△ 为等边三角形，则弧 为 圆，同理弧
ABF
也为 圆，所以弧 ＝ + ﹣ ＝ 圆，同理其余三段也为 圆，故周长＝
圆，再据圆的周长公式即可得解．【解答】解：依题易知△ABF为等边三角形，
故弧 为 圆，同理弧 也为 圆，
所以弧 ＝ + ﹣ ＝ 圆，
同理其余三段也为 圆，
故阴影部分的周长
＝ 圆×4
＝ 圆
＝
＝2.094（厘米）；
答：中间阴影部分的周长为 2.094厘米．
6．（3分）用40元钱购买单价分别为2元、5元和11元的三种练习本，每种至少买一本，而且
钱恰好花完．则不同的购买方法有 5 种．
【分析】每种先都减去1本，剩余40﹣2﹣5﹣11＝22元．然后根据剩余的钱数，分类解答，
解决问题．
【解答】解：每种先都减去1本，剩余40﹣2﹣5﹣11＝22元．
如果再买2本11元的，恰好用完，计1种方法；
如果再买1本11元的，剩余11元，可以买1本5元和3本2元，计1种方法；
如果不再买11元的，22元最多买4本5元的，5元的本数可以是4，2，0，计3种方法．
共有1+1+3＝5种方法．
答：不同的购买方法有5种．
7．（3分）已知某个几何体的三视图如右图，根据图中标示的尺寸（单位：厘米），这个几何体
的体积是 266 6 （立方厘米）【分析】由三视图可知，该几何体为四棱锥，分别确定底面积和高，利用锥体的体积公式求
解即可．
【解答】解：由三视图可知，该几何体为四棱锥，底面ABCD为边长为20cm的正方体，
OE⊥CD且E是CD的中点，
所以棱锥的高OE＝20cm．
所以四棱锥的体积为
×202×20
＝ ×400×20
＝2666 （cm3）．
答：这个几何体的体积是2666 cm3．
故答案为：2666 ．
8．（3分）将自然数1～22分别填在下面的“□”内（每个“□”只能填一个数），在形成的
11个分数中，分数值为整数的最多能有 1 0 个
【分析】分值为整数，说明分母是分子的约数．大于11的质数13、17、19要想构成分值为
整数的分数，只能做1的分子．然后写出这几个数即可．【解答】解：根据分析可知，22个数最多能构成的整数为：
， ， ， ， ， ， ， ， ， ．
所以分数值为整数的最多能有10个．
故答案为：10．
二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）
9．长方形ABCD的面积是2011平方厘米．梯形AFGE的顶点F在BC上，D是腰EG的中点．
试求梯形AFGE的面积．
【分析】根据题意可连接DF，三角形ADF和长方形ABCD是同底等高的，因此可知三角形
ADF的面积是长方形ABCD面积的一半，因为点D是EG的中点，AE平行与FG，所以三
角形ADF也是梯形AFGE面积的一半，因为点D是线段EG的中点，所以三角形ADE和
三角形DGF的面积就为梯形AFGE面积的一半，即梯形的面积等于长方形的面积，据此
解答即可．
【解答】解：如图，连接DF．
三角形ADF＝2011÷2＝1005.5（平方厘米），
因为点D为EG的中点，
所以三角形AED+三角形DFG＝1005.5（平方厘米），
梯形AFGE的面积：1005.5+1005.5＝2011（平方厘米），
答：梯形AFGE的面积是2011平方厘米．10．公交车的线路号是由数字显示器显示的三位数，其中每个数字是由横竖放置的七支荧光
管显示，如图所示．某公交车的数字显示器有两支坏了的荧光管不亮，显示的线路号为
“351”，则该公交车的线路号有哪些可能？
【分析】显示的百位数字3有一处坏，可能是9，有两处坏可能是8；十位数字5，有一处坏，
可能是6和9，有两处坏，可能是8；个位数字1，有一处坏可能是7，有两处坏可能是4；在
不亮的灯管中可能应该都不亮，可能有一处该亮却没亮，可能有2处该亮却没亮，分三种
可能情况，细致分析，即可得解．
【解答】解：分三种情形考虑．
第一种情形：线路号的数字中没有荧光管坏了．只有351 一个可能线路号．
第二种情形：线路号的数字中有1 支荧光管坏了．
坏在第一位数字上，可能的数字为9，线路号可能是951；
坏在第二位数字上，可能的数字为6，9，线路号可能是361，391；
坏在第三位数字上，可能的数字为7，线路号可能是357．
第三种情形：线路号的数字中有2 支荧光管坏了．
都坏在第一位数字上，可能的数字为8，线路号可能是851；
都坏在第二位数字上，可能的数字为8，线路号可能是381；
都坏在第三位数字上，可能的数字为4，线路号可能是354；
坏在第一、二位数字上，第一位数字可能的数字为9，第二位数字可能的
数字为6，9，线路号可能是961，991；
坏在第一、三位数字上，第一位数字可能的数字为9，第三位数字可能的
数字为7，线路号可能是957；
坏在第二、三位数字上，第二位数字可能的数字为6，9，第三位数字可能
的数字为7，线路号可能是367，397．
所以可能的线路号有13 个：
351，354，357，361，367，381，391，397，851，951，957，961，991．答：则该公交车的线路号有13种可能．
11．设某年中有一个月里有三个星期日的日期为奇数，则这个月的20日可能是星期几？
【分析】有三个星期日的日期为奇数，这三个星期日应是不相邻的．并且两个奇数周日之
间应相隔14天．故可设第一个周日为x，那么第二个周日为x+14，则第三个周日为x+28，
第三个周日的日期应不大于31．
【解答】解：因为每个周日的间隔是7日，所以若一个月中有三个星期日为奇数，则这三个
星期日必定不会是连续的，而是两个奇数周日间间隔14日，一个月最多31日，
设第一个周日为x，那么第二个周日为x+14，则第三个周日为x+28，
所以x+28≤31，
解得x≤3；
这样第一个星期日可以是1号或3号．
如果第一个星期日是1号，那么该月的20号是星期五；
如果第一个星期日是3号（此时本月有31天），那么该月的20号是星期三．
故这个月的20日可能是星期五或星期三（此时本月有31天）．
12．以[x]表示不超过x的最大整数，设自然数n满足[ ]+[ ]+[ ]+…+[ ]+[ ]＞
2011，则n的最小值是多少？
【分析】观察：[ ]＝0，[ ]＝0，…，[ ]＝0，前14个数的和为0
[ ]＝1，[ ]＝[1 ]＝1，…，[ ]＝[1 ]＝1，这15个数都是1，之和为1×15＝15，
[ ]＝2，[ ]＝[2 ]＝2，…，[ ]＝[2 ]＝2，这15个数都是2，之和为2×15＝30，
…
观察可以得到，规律是间隔15个增加1，
（1+2+3+…+15）×15＝1800，
（1+2+3+…+15+16）×15＝2040，2040＞2011，
因此整数部分加到15，只是达到1800，继续往下到达整数部分是16，
2011﹣1800＝211，211÷16＝13.1875，那么要取14个，即最少取到16 ，才能保证大于
2011，
则n最下值是：16×15+13＝253．
【解答】解：（1+2+3+…+15）×15＝1800，
（1+2+3+…+15+16）×15＝2040，2040＞2011，那么整数部分到16，
2011﹣1800＝211，
211÷16＝13.1875，
即最少取到16 ，才能保证大于2011，
则n最下值是：16×15+13＝253．
答：自然数n的最小值是253．
三、解答下列各题（每小题0分，共30分，要求写出详细过程）
13．在如图的加法竖式中，不同的汉字代表不同的数字．问：满足要求的不同算式共有多少种？
【分析】由于2+0+1+1＝4 且 0+1+2+3+4+6+7+8+9＝40，4≡40（mod 9），所以，九个不同
的汉字代表的数字：0，1，2，3，4，6，7，8，9．易知：40﹣4＝36，36÷9＝4（次），说明此算式
共发生四次进位．“4＝2+2＝1+1+2＝1+2+1”显然： 华＝1，“4＝2+2”无解 华＝
1，“4＝1+1+2”有解，据此分析讨论即可解答问题．① ②
【解答】解：由于2+0+1+1＝4 且 0+1+2+3+4+6+7+8+9＝40，4≡40（mod 9），
所以，九个不同的汉字代表的数字：0，1，2，3，4，6，7，8，9．
易知：40﹣4＝36，36÷9＝4（次），说明此算式共发生四次进位．
“4＝2+2＝1+1+2＝1+2+1”
显然： 华＝1，“4＝2+2”无解
华＝①1，“4＝1+1+2”有解
②A：28+937+1046＝2011，可组成算式36 种（6×6×1＝36）
B：69+738+1204＝2011，可组成算式48 种（6×4×2＝48）
C：79+628+1304＝2011，可组成算式48 种（6×4×2＝48）
华＝1，“4＝1+2+1”有解
③A：46+872+1093＝2011，可组成算式36 种（6×6×1＝36）
B：98+673+1240＝2011，可组成算式72 种（6×6×2＝72）
C：97+684+1230＝2011，可组成算式72 种（6×6×2＝72）
总计：72×3+96＝216+96＝312（种）．答：一共有312种．
14．如图，两只蜘蛛同处在一个正方体的顶点A，而一只爬虫处在A的体对顶点G，假设蜘蛛
和爬虫均以同样的速度沿正方体的棱移动，任何时候它们都知道彼此的位置，蜘蛛能预判
爬虫的爬行方向，试给出一个两只蜘蛛必定捉住爬虫的方案．
【分析】根据题意，可假设一只蜘蛛先不动另一只蜘蛛去追击沿着棱去追击虫子，不论虫
子如何逃跑，虫子和追击的蜘蛛始终能保持的最大距离为2个棱的长度，随着爬虫的移动，
爬虫必然和等待的蜘蛛会出现最小距离为1个棱的长度，此时即可抓到虫子．
【解答】解：其中一只蜘蛛先不动，控制正方体的其中一个面，我们定义这个面为A 面，另
1
一只蜘蛛开始向A 面的相对的面爬行，我们定义这个相对的面为A 面；这时2只蜘蛛，每
1 2
个蜘蛛控制一个面，不论虫子如何移动，必然会移动到A 面或者A 面；于是必然有一个
1 2
蜘蛛和虫子处于一个面，这时处于一个面的蜘蛛（设追击的蜘蛛为B ）开始追击虫子，另
1
一个面的蜘蛛则不动，不论虫子如何逃跑，虫子和追击的蜘蛛始终能保持的最大距离为2
个棱的长度，随着爬虫的移动，爬虫必然和等待的蜘蛛会出现最小距离为1个棱的长度，
这时等待的蜘蛛出击，必然能抓到虫子．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/5/7 10:54:16；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800
