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2011 年第九届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷（四年级第2
试）
一、填空题（每小题5分，共60分）
1．（5分）计算：（70÷4+90÷4）÷4＝ ．
2．（5分）计算：898+9898+99898+999898＝ ．
3．（5分）对运算 和㊣，规定：a b＝a×b+b，a㊣b＝a×b﹣a，那么（2 3） （2㊣4）＝
． ⊙ ⊙ ⊙ ⊙
4．（5分）若一个能被5整除的两位数既不能被3整除，又不能被4整除，它的97倍是偶数，
十位数字不小于6，则这个两位数是 ．
5．（5分）如图中每一横行右面的一个数减去它左面相邻的一个数所得的差都相等，每一数列
下面的一个数除以它上面相邻的一个数所得的商都相等，则a+b×c＝ ．
6．（5分）如果一个两位数的3倍与4的差是10的倍数，它的4倍与15的差大于60且小于
100，则这个两位数是 ．
7．（5分）若四位数的各个数位上的数字都是偶数，并且百位上的数字是2，则这样的四位数
有 个．
8．（5分）将长为12厘米，宽为8厘米的长方形纸片剪去4个同样大小的等腰直角三角形，剩
余部分的面积至少是 平方厘米．
9．（5分）一个除法运算，被除数是10，除数比10小，则可能出现的所有不同的余数的和是
．
10．（5分）苹果和梨各有若干个，若每袋5个苹果和3个梨，则当梨恰好装完时，还多4个苹
果；若每袋装7个苹果和3个梨，则当苹果恰好装完时，梨还多12个，那么苹果和梨共有
个．
11．（5分）如图，在△ABC中，AB＝BC＝CA，D、E、F分别是三边的中点，AD、BE、CF交于点
O，则图中有 个三角形；他们的面积有 个不同的值．
第1页（共12页）12．（5分）A、B、C、D四人带着一个手电筒，要通过一个黑暗的只容2人走的隧道，每次先让
2人带着手电筒通过，再由一人送回手电筒，又由2人带着手电筒通过…，若A、B、C、D四
人单独通过隧道分别需要3、4、5、6分钟，则他们4人都通过至少需要 分钟．
二、解答题（每小题15分，共60分）
13．（15分）摩托车行驶120千米与汽车行驶180千米所用的时间相同，7小时内摩托车行驶
的路程比6小时内汽车行驶的路程少80千米，若摩托车先出发2小时，然后汽车从同一
出发点开始追赶，那么汽车出发后几小时内可以追上摩托车？
14．（15分）将1，10，11，15，18，37，40这7个数分别填入图中的7个圆圈内（每个数都用到）
能否使其中两条直线上的三个数的和相等，并且等于另一条直线上的三个数的和的3倍
若可以，请给出一种填法；若不能，请说明理由．
15．（15分）100人参加速算测试，共10题．每题答对的人数如下表所示：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答对人 93 90 86 91 80 83 72 75 78 59
数
规定：答对6题或6题以上，为及格，根据上表计算至少有多少人及格．
16．（15分）如图，甲乙两只小虫分别从每边长20厘米不透明的正五角星围墙的顶点A、B出
发，沿外侧按逆时针方向爬行，甲每秒爬行5厘米，乙每秒爬行4厘米．问：在甲从出发到
第一次爬到B的过程中，乙能看到甲的时间有多少秒？
第2页（共12页）第3页（共12页）2011 年第九届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷（四
年级第 2 试）
参考答案与试题解析
一、填空题（每小题5分，共60分）
1．（5分）计算：（70÷4+90÷4）÷4＝ 1 0 ．
【分析】可以先从括号里开始运算，而括号里两个除式，可以化成分数的形式，最后再算结
果．
【解答】解：根据分析，原式＝（70÷4+90÷4）÷4
＝（70+90）÷4÷4
＝160÷4÷4
＝40÷4
＝10．
故答案是：10．
【点评】本题考查了四则运算的巧算，突破点是，将括号里的运算进行巧算，再求最后的结
果．
2．（5分）计算：898+9898+99898+999898＝ 111059 2 ．
【分析】此题一看便知，这式子里的数都接近整数，用凑整法把它变成：（898+2﹣
2）+（9898+2﹣2）+（99898+2﹣2）+（999898+2﹣2）＝（900﹣2）+（9900﹣2）+（99900﹣
2）+（999900﹣2）＝900+9900+99900+999900﹣8．再根据特点易想到把这些凑整的数化成
乘积的 形式，便发现了乘法的分配律的运用，计算就简便了．
【解答】898+9898+99898+999898
＝（900﹣2）+（9900﹣2）+（99900﹣2）+（999900﹣2）
＝900+9900+99900+999900﹣8
＝9×100+99×100+999×100+9999×100﹣8
＝（9+99+999+9999）×100﹣8
＝（10+100+1000+10000﹣4）×100﹣8
＝（11110﹣4）×100﹣8
＝11110×100﹣4×100﹣8
第4页（共12页）＝1111000﹣400﹣8
＝1110600﹣8
＝1110592
【点评】此题是反复运用凑整法和乘法的分配律．并且是在解题过程中不断发现所用的运
算定律．
3．（5分）对运算 和㊣，规定：a b＝a×b+b，a㊣b＝a×b﹣a，那么（2 3） （2㊣4）＝ 6 0
． ⊙ ⊙ ⊙ ⊙
【分析】按题意，则2 3＝2×3+3＝9；2㊣4＝2×4﹣2＝6，则（2 3） （2㊣4）＝9 6＝
9×6+6＝60． ⊙ ⊙ ⊙ ⊙
【解答】解：根据分析，则2 3＝2×3+3＝9，2㊣4＝2×4﹣2＝6，
则（2 3） （2㊣4） ⊙
＝9 6⊙＝9×⊙6+6＝60，
故答⊙案是：60．
【点评】本题考查了定义新运算，突破点是：分别算出2 3和2㊣4，再算出结果．
4．（5分）若一个能被5整除的两位数既不能被3整除，又不能⊙被4整除，它的97倍是偶数，
十位数字不小于6，则这个两位数是 7 0 ．
【分析】显然，能被5整除，则个位只能是0或5，而它的97倍是偶数，说明此两位数是一
个偶数，故可以断定此两位数个位数字为0，而十位不小于6，只能是6、7、8、9，因不能被
4整除，则十位不能是6、8，故十位只能是7或9，又因为不能被3整除，故十位上只能是
7．
【解答】解：根据分析，能被5整除，则个位只能是0或5，而它的97倍是偶数，
说明此两位数是一个偶数，故可以断定此两位数个位数字为0，
而十位不小于6，只能是6、7、8、9，因不能被4整除，则十位不能是6、8，
故十位只能是7或9，又因为不能被3整除，故十位上只能是7．
综上，此两位数是70，
故答案是：70．
【点评】本题考查了数的整除特征，突破点是：从题中已知条件推测出个位数字和十位数
字．
5．（5分）如图中每一横行右面的一个数减去它左面相邻的一个数所得的差都相等，每一数列
下面的一个数除以它上面相邻的一个数所得的商都相等，则a+b×c＝ 54 0 ．
第5页（共12页）【分析】首先分析题意，横行为等差，竖列为等比数列，找到第一行公差和数列的公比即可．
【解答】解：依题意可知：横行为等差，竖列为等比．
根据横行为等差数列可知第一行的数字为2，4，6，8．
竖行是等比数列，故18÷2＝9．所以c是2 的3倍即是6．
a是4的27倍．4×27＝108．
b是8的9倍72．
a+b×c＝108+72×6＝540．
故答案为：540
【点评】本题考查对幻方的理解和运用，关键问题是找到公差和公比问题解决．
6．（5分）如果一个两位数的3倍与4的差是10的倍数，它的4倍与15的差大于60且小于
100，则这个两位数是 2 8 ．
【分析】显然，两位数的3倍与4的差是10的倍数，可知此两位数的三倍得到的数的个位
数是4，而乘以3得到个位为4的两位数个位数为8，由它的4倍与15的差大于60且小于
100，可求得此两位数的范围，不难求得此两位数．
【解答】解：根据分析，两位数的3倍与4的差是10的倍数，可知此两位数的三倍得到的数
的个位数是4，
而乘以3得到个位为4的两位数个位数为8；
由它的4倍与15的差大于60且小于100，可求得此两位数的范围：
大于： ＝ ，小于： ＝ ，
综上，此两位数为：28．
故答案是：28．
【点评】本题考查了因数与倍数，突破点是：根据因数与倍数的性质，以及两位数的范围求
得两位数．
7．（5分）若四位数的各个数位上的数字都是偶数，并且百位上的数字是2，则这样的四位数
有 10 0 个．
第6页（共12页）【分析】四位数的最高位是千位，最高位上不能为0，那么可以是2，4，6，8，而百位上只是
2，固定好了，那么十位和个位上可以是0，2，4，6，8，根据排列的特点可知：共有4×5×5个
不同的四位数．
【解答】解：千位可取2，4，6，8，十位和各位都可以取0，2，4，6，8
所以4×5×5＝100（个）
故答案为：100．
【点评】本题考查每个数位数字的特点，注意千位上不能取0．
8．（5分）将长为12厘米，宽为8厘米的长方形纸片剪去4个同样大小的等腰直角三角形，剩
余部分的面积至少是 2 4 平方厘米．
【分析】长为12厘米，宽为8厘米的长方形纸片，显然最多只能剪下4个直角边为6的等
腰直角三角形，故剩下的面积不难求得．
【解答】解：根据分析，如图，长为12厘米，宽为8厘米的长方形纸片，
最多只能剪下4个直角边为6的等腰直角三角形，
故剩下的部分的面积至少＝12×（8﹣6）＝24．
故答案是：24
【点评】本题考查剪切和拼接，突破点是：利用长方形的长和宽的值，剪切时取最大值，则
剩下的部分面积最小．
9．（5分）一个除法运算，被除数是10，除数比10小，则可能出现的所有不同的余数的和是
10 ．
【分析】除数比10小，可以将10除以1～9，得出的余数中有2个是0即除以1、5时余数为
0，不同的余数为1、2、3、4，再求和即可．
【解答】解：根据分析，10÷6＝1…4；
10÷7＝1…3；10÷8＝1…2；
10÷9＝1…1；
而10÷3和10÷9余数都是1，10÷4和10÷8余数都是2，
故不同的余数只有：1、2、3、4，
第7页（共12页）可能出现的所有不同的余数的和＝1+2+3+4＝10．
故答案是：10
【点评】本题考查带余除法，突破点是：将10除以1～9，得出的余数中有2个是0即除以
1、5时余数为0，不同的余数为1、2、3、4，再求和．
10．（5分）苹果和梨各有若干个，若每袋5个苹果和3个梨，则当梨恰好装完时，还多4个苹
果；若每袋装7个苹果和3个梨，则当苹果恰好装完时，梨还多12个，那么苹果和梨共有
132 个．
【分析】首先分析根据梨的数量是多12个，证明袋子少了12÷3＝4袋．再根据少的4袋苹
果数量为20加上剩余的4个就是24个平均每袋多2个共12袋子，即可求解．
【解答】解：依题意可知：
根据梨的数量是多12个，证明袋子少了12÷3＝4袋．
苹果差是4×5+4＝24个．
24÷（7﹣5）＝12袋，
水果总数为10×12+12＝132．
故答案为：132．
【点评】本题考查对分配盈亏问题的理解和运用，关键问题是找到梨的数量差找到袋子的
数量差．问题解决．
11．（5分）如图，在△ABC中，AB＝BC＝CA，D、E、F分别是三边的中点，AD、BE、CF交于点
O，则图中有 1 6 个三角形；他们的面积有 4 个不同的值．
【分析】要求三角形的个数和不同的面积的取值，可以分情况讨论，从只含有一个小三角
形的三角形开始算起，面积的不同取值也不难求得．
【解答】解：根据分析，由题可知，AB＝BC＝CA，D、E、F分别是三边的中点，
只含有1个小三角形的三角形有：6个，且每个三角形的面积均相等，
①且均等于三角形ABC面积的 ；
含有2个小三角形的三角形有：3个，且每个三角形的面积均相等，
②
第8页（共12页）且均等于三角形ABC面积的 ；
含有3个小三角形的三角形有：6个，且每个三角形的面积均相等，
③且均等于三角形ABC面积的 ；
含有6个小三角形的三角形有：1个，即三角形ABC，
④综上，则图中有16个三角形；他们的面积有4个不同的值．
故答案是：16、4
【点评】本题考查了三角形的面积，突破点是：根据图形的三角形的特点，分情况讨论，不
难求得结果．
12．（5分）A、B、C、D四人带着一个手电筒，要通过一个黑暗的只容2人走的隧道，每次先让
2人带着手电筒通过，再由一人送回手电筒，又由2人带着手电筒通过…，若A、B、C、D四
人单独通过隧道分别需要3、4、5、6分钟，则他们4人都通过至少需要 2 1 分钟．
【分析】四人要通过的时间要少，过隧道花费时间少的来回跑，即可得出结论．
【解答】解：分两种情况讨论：
第一种：A和B过，A回，4+3＝7（分钟）
C和D过，B回，6+4＝10（分钟）
A和B过，4（分钟）
共用7+10+4＝21（分钟）；
第二种：A和B过，A回，4+3＝7（分钟）
A和C过，A回，5+3＝8（分钟）
A和D过，6（分钟）
共用7+8+6＝21分钟．
所以，至少需要21分钟；
故答案为21．
【点评】此题是最大与最小问题，解本题的关键是安排过隧道花费时间少的送手电．
二、解答题（每小题15分，共60分）
13．（15分）摩托车行驶120千米与汽车行驶180千米所用的时间相同，7小时内摩托车行驶
的路程比6小时内汽车行驶的路程少80千米，若摩托车先出发2小时，然后汽车从同一
出发点开始追赶，那么汽车出发后几小时内可以追上摩托车？
【分析】首先分析两车的路程比即是速度比，根据路程差除以速度差即可求解．
【解答】解：依题意可知：
第9页（共12页）摩托车速度：汽车的速度＝120：180＝2：3．
每一份的路程为：80÷（3×6﹣2×7）＝20（千米）．
摩托车7小时的路程为：20×7×2＝280（千米）．摩托车的速度为：280÷7＝40（千米/小时）．
汽车6小时的路程为：20×6×3＝360（千米）．汽车的速度是：360÷6＝60（千米/小时）．
40×2÷（60﹣40）＝4（小时）
答：那么汽车出发后4小时内可以追上摩托车．
【点评】本题考查对追及问题的理解和运用，关键问题是找到路程差与速度差问题解决．
14．（15分）将1，10，11，15，18，37，40这7个数分别填入图中的7个圆圈内（每个数都用到）
能否使其中两条直线上的三个数的和相等，并且等于另一条直线上的三个数的和的3倍
若可以，请给出一种填法；若不能，请说明理由．
【分析】首先根据这7个数字求和为132．再根据这些数字除以7的余数和132除以7的余
数组成7的倍数即可，
【解答】解：依题意可知：设最小的和为1份，那么其他的为3份，最后加的数字和为7的倍
数才行．
1+10+11+15+18+37+40＝132．
这7个数字除以7的余数分别为1，3，4，1，4，2，5．
132÷7＝18…6．
根据中间数字多加2次，那么数字和为7的倍数，那么余数是4的可以构成7的倍数．
132+11+11＝154.154÷7＝21．
故答案为：
【点评】本题考查对凑数谜的理解和运用，关键是找到数字和是7的倍数，问题解决．
15．（15分）100人参加速算测试，共10题．每题答对的人数如下表所示：
第10页（共12页）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答对人 93 90 86 91 80 83 72 75 78 59
数
规定：答对6题或6题以上，为及格，根据上表计算至少有多少人及格．
【分析】先确定出答错的总人次，不及格的至少答错5道，即可得出得出结果．
【解答】解：各题答错的总人次数为7+10+14+9+20+17+28+25+22+41＝193，
每有一个人不及格，则他至少答错5题，193÷5＝38…3，
所以至多有38人不及格，至少有62人及格．
为说明是可以的，注意41正好比38多3，
所以这38个人全都在第10题上答错，剩余的答错次数恰好平均分配到其他9题上．
答：至少有62人及格．
【点评】此题是最大与最小问题，主要考查了数的除法，确定出各题答错的总人次是解本
题的关键．
16．（15分）如图，甲乙两只小虫分别从每边长20厘米不透明的正五角星围墙的顶点A、B出
发，沿外侧按逆时针方向爬行，甲每秒爬行5厘米，乙每秒爬行4厘米．问：在甲从出发到
第一次爬到B的过程中，乙能看到甲的时间有多少秒？
【分析】设五角星的五个顶点按逆时针方向标为B、B 、B 、B 、B ，形成顶点B﹣﹣顶点B
1 2 3 4 1
的区间一，顶点B ﹣﹣顶点B 的区间二，以此类推到区间五．根据题意，乙能看到甲的情
1 2
况是他们必须在同一时间都行走在同一区间．
在区间一看到的时间：20÷5＝4（秒）；
区间二看到的时间：20×2÷4＝10（秒），20×3﹣10×5＝60﹣50＝10（厘米），10÷5＝2（秒）；
区间三的情况：甲到达B 的时间是（10+20+20）÷5＝10（秒），乙移动距离10×4＝40（厘
3
米），此时乙到达B ，乙能看到甲的时间是0，据此可解答．
2
【解答】解：
区间一看到的时间：20÷5＝4（秒）；
区间二看到的时间：20×2÷4＝10（秒），
第11页（共12页）20×3﹣10×5＝60﹣50＝10（厘米），
10÷5＝2（秒）；
区间三能看到的时间：0
总共乙能看到甲的时间有2+4＝6（秒）
答：乙能看到甲的时间有6秒．
【点评】此题一定要结合生活实际去想去思考（什么情况下乙能看到甲），然后确定解题思
路，就能顺利解答，这真是生活中的数学．
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日期：2019/4/22 16:48:13；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800
第12页（共12页）
