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专练 11 对数与对数函数
授课提示：对应学生用书21页
[基础强化]
一、选择题
1．lg ＋2lg 2－＝( )
A．1 B．－1
C．3 D．－3
答案：B
解析：原式＝lg ＋lg 4－2＝lg (×4)－2＝1－2＝－1．
2．函数y＝ eq ¿(log¿(1,2)（3x－2）) 的定义域是( )
A．[1，＋∞) B．
C． D．
答案：D
解析：由题意得log3x－2)≥0，即0<3x－2≤1.
(
∴<x≤1.
3．函数f(x)＝logx2－2x)的单调递增区间是( )
(
A．(－∞，0) B．(1，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－∞，1)
答案：A
解析：函数f(x)＝logx2－2x)的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞)，由复合函数的单调性可
(
知，函数f(x)＝logx2－2x)的单调增区间为(－∞，0).
(
4．若函数f(x)＝(m－2)xa是幂函数，则函数g(x)＝log (x＋m)(a>0且a≠1)的图象过点(
a
)
A．(－2，0) B．(2，0)
C．(－3，0) D．(3，0)
答案：A
解析：∵f(x)＝(m－2)xa为幂函数，∴m－2＝1，m＝3，
∴g(x)＝log (x＋3)，又g(－2)＝0，
a
∴g(x)的图象过(－2，0).
5．已知55<84，134<85，设a＝log 3，b＝log 5，c＝log 8，则( )
5 8 13
A．a<b<c B．b<a<c
C．b<c<a D．c<a<b
答案：A
解析：a＝log 3∈(0，1)，b＝log 5∈(0，1)，则＝＝log 3·log 8<＝<1，∴a<b.
5 8 5 5
又∵134<85，∴135<13×85，两边同取以 13 为底的对数得 log 135<log (13×85)，即
13 13
log 8>，∴c>.
13
又∵55<84，∴8×55<85，两边同取以8为底的对数得log (8×55)<log 85，即log 5<，∴b<.
8 8 8
综上所述，c>b>a，故选A.
6．若a>b，则( )
A．ln (a－b)>0 B．3a<3b
C．a3－b3>0 D．|a|>|b|
答案：C
解析：通解：由函数y＝ln x的图象(图略)知，当0<a－b<1时，ln (a－b)<0，故A不
正确；因为函数y＝3x在R上单调递增，所以当a>b时，3a>3b，故B不正确；因为函数y＝
x3在R上单调递增，所以当a>b时，a3>b3，即a3－b3>0，故C正确；当b<a<0时，|a|<|b|，
故D不正确．故选C.
优解：当a＝0.3，b＝－0.4时，ln (a－b)<0，3a＞3b，|a|<|b|，故排除A，B，D.故选C.
7．已知函数f(x)＝ln x＋ln (2－x)，则( )A．f(x)在(0，2)单调递增
B．f(x)在(0，2)单调递减
C．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称
D．y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称
答案：C
解析：f(x)的定义域为(0，2)，
f(x)＝ln x＋ln (2－x)＝ln [x(2－x)]＝ln (－x2＋2x).
设u＝－x2＋2x，x∈(0，2)，
则u＝－x2＋2x在(0，1)上单调递增，
在(1，2)上单调递减．
又y＝ln u在其定义域上单调递增，
∴f(x)＝ln (－x2＋2x)在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减．
∴选项A、B错误；
∵f(x)＝ln x＋ln (2－x)＝f(2－x)，
∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，
∴选项C正确；
∵f(2－x)＋f(x)＝[ln (2－x)＋ln x]＋[ln x＋ln (2－x)]＝2[ln x＋ln (2－x)]，不恒为0，
∴f(x)的图象不关于点(1，0)对称，
∴选项D错误．
8．若函数y＝log x(a>0且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )
a
答案：B
解析：由y＝log x的图象可知log 3＝1，
a a
所以a＝3.对于选项A：y＝3－x＝为减函数，A错误；
对于选项B：y＝x3，显然满足条件；
对于选项C：y＝(－x)3＝－x3在R上为减函数，C错误；
对于选项D：y＝log (－x)，当x＝－3时，y＝1，D错误．
3
故选B.
9．若函数f(x)＝存在最小值，则实数a的取值范围为( )
A．(1，＋∞) B．[，＋∞)
C．(1，] D．(0，]
答案：C
解析：当x≤3时，f(x)＝－2x＋8单调递减，则f(x)≥f(3)＝2；当x>3时，f(x)＝log x，
a
必须满足a>1，且log 3≥2，得1<a≤.故选C.
a
二、填空题
10．[2024·全国甲卷(理)]已知a>1，且－＝－，则a＝________．答案：64
解析：因为－＝－log a＝－，所以(log a＋1)(log a－6)＝0.又a>1，故log a＝6，解得a
2 2 2 2
＝64.
11．函数f(x)＝－log (x＋4)在区间[－2，2]上的最大值为________．
2
答案：8
解析：因为函数y＝，y＝－log (x＋4)在区间[－2，2]上都单调递减，所以函数f(x)＝－
2
log (x＋4)在区间[－2，2]上单调递减，所以函数f(x)的最大值为f(－2)＝－log (－2＋4)＝9
2 2
－1＝8．
12．函数f(x)＝log (－x2＋2)的值域为________．
2
答案：
解析：∵0<－x2＋2≤2，∴log (－x2＋2)≤log 2＝.
2 2
[能力提升]
13．若2a＋log a＝4b＋2log b则( )
2 4
A．a>2b B．a<2b
C．a>b2 D．a<b2
答案：B
解析：2a＋log a＝22b＋log b<22b＋log (2b)，
2 2 2
令f(x)＝2x＋log x，则f(a)<f(2b)，
2
又易知f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以a<2b，故选B.
14．(多选)对于函数f(x)＝lg ，下列说法正确的有( )
A．f(x＋2)是偶函数
B．f(x＋2)是奇函数
C．f(x)在区间(－∞，2)上单调递减，在区间(2，＋∞)上单调递增
D．f(x)没有最小值
答案：AD
解析：对于A，B，因为f(x)＝lg ，故f(x＋2)＝lg ，
又f(－x＋2)＝lg ＝lg ，故f(x＋2)为偶函数，故A正确，B错误．
对于C，因为f(x)＝lg ＝
当x∈(2，＋∞)时，因为y＝在x∈(2，＋∞)时单调递减，故y＝＋1单调递减，所以y
＝lg在区间(2，＋∞)上单调递减，故C错误．
对于D，因为当x∈(2，＋∞)时，y＝lg 单调递减，同理当x∈(－∞，2)时，y＝lg 单
调递增，当x→＋∞时，y→0，当x→－∞时，y→0，
故f(x)没有最小值．故D正确．
15．(多选)[2023·新课标Ⅰ卷]噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的
强弱，定义声压级L＝20×lg ，其中常数p(p>0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为
p 0 0
不同声源的声压级：
声源 与声源的距离/m 声压级/dB
燃油汽车 10 60～90
混合动力汽车 10 50～60
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m 处测得实际声压分别为p，p，
1 2
p，则( )
3
A．p≥p B．p>10p
1 2 2 3
C．p＝100p D．p≤100p
3 0 1 2
答案：ACD解析：
16．已知函数f(x)＝log (－x＋1)(a>0且a≠1)在[－2，0]上的值域是[－1，0]，若函数
a
g(x)＝ax＋m－3的图象不经过第一象限，则m的取值范围为________．
答案：[－1，＋∞)
解析：∵函数f(x)＝log (－x＋1)(a>0且a≠1)在[－2，0]上的值域是[－1，0]，而f(0)＝
a
0，∴f(－2)＝log 3＝－1，∴a＝，∴g(x)＝－3，令g(x)＝0，得x＝－m－1，则－m－1≤0，
a
求得m≥－1，故m的取值范围为[－1，＋∞).
