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专练 53 条件概率、全概率公式、相互独立事件的概率
授课提示：对应学生用书111页
[基础强化]
一、选择题
1．把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现反面”为
事件B，则P(B|A)＝( )
A． B．
C． D．
答案：A
解析：P(A)＝，P(AB)＝，
∴P(B|A)＝＝.
2．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，
事件B＝“取到的2个数均为偶数”；则P(B|A)＝( )
A． B．
C． D．
答案：B
解析：P(A)＝＝，P(AB)＝＝，
∴P(B|A)＝＝＝.
3．打靶时甲每打10次，可中靶8次；乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击一个
目标，则他们都中靶的概率是( )
A． B．
C． D．
答案：D
解析：由题意可知甲中靶的概率P＝＝，
1
乙中靶的概率P＝，
2
又两人中靶相互独立，
∴他们都中靶的概率P＝PP＝×＝.
1 2
4．[2024·山东栖霞模拟]一道竞赛题，A，B，C三人单独解出的概率依次为，，，则
三人独立解答仅有1人解出的概率为( )
A． B．
C． D．1
答案：B
解析：由题意知，仅有1人解出的概率为P＝×·＋××(1－)＋×＝＋＋＝.故选B.
5．[2024·山东济南模拟]已知某种生物由出生算起活到20岁的概率是0.8，活到25岁
的概率是0.4，则现为20岁的这种动物活到25岁的概率是( )
A．0.6 B．0.5
C．0.4 D．0.32
答案：B
解析：设“这种动物从出生起活到 20岁”为事件A，“这种动物从出生起活到 25
岁”为事件B.则P(A)＝0.8，P(B)＝0.4
由于AB＝B，则P(AB)＝P(B)
则P(B|A)＝＝＝＝0.5.故选B.
6．5G指的是第五代移动通信技术，是最新一代蜂窝移动通信技术．某公司研发5G项
目时遇到一项技术难题，由甲、乙两个部门分别独立攻关，已知甲部门攻克该技术难题的
概率为0.8，乙部门攻克该技术难题的概率为0.7，则该公司攻克这项技术难题的概率为(
)
A．0.56 B．0.86
C．0.94 D．0.96
答案：C
解析：设事件A表示“甲部门攻克该技术难题”，事件B表示“乙部门攻克该技术难
题”，
P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，
则该公司攻克这项技术难题的概率为：
P＝1－(1－P(A))(1－P(B))＝1－0.2×0.3＝0.94，故选C.
7．[2023·全国甲卷(理)]某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，
70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪．在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑
雪，则该同学也爱好滑冰的概率为( )
A．0.8 B．0.6
C．0.5 D．0.4
答案：A
解析：方法一 如图，左圆表示爱好滑冰的学生所占比例，右圆表示爱好滑雪的学生
所占比例，A表示爱好滑冰且不爱好滑雪的学生所占比例，B表示既爱好滑冰又爱好滑雪
的学生所占比例，C表示爱好滑雪且不爱好滑冰的学生所占比例，则0.6＋0.5－B＝0.7，所
以B＝0.4，C＝0.5－0.4＝0.1.所以若该学生爱好滑雪，则他也爱好滑冰的概率为＝＝0.8，
故选A.
方法二 令事件A，B分别表示该学生爱好滑冰、该学生爱好滑雪，事件C表示该学
生爱好滑雪的条件下也爱好滑冰，则P(A)＝0.6，P(B)＝0.5，P(AB)＝P(A)＋P(B)－0.7＝
0.4，所以P(C)＝P(A|B)＝＝＝0.8，故选A.
8．某大街在甲、乙、丙三处设有红、绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别
为，，，则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为( )
A． B．
C． D．
答案：D
解析：设汽车分别在甲、乙、丙三处因遇绿灯而通行为事件 A，B，C，则P(A)＝，
P(B)＝，P(C)＝，停车一次即为事件ABC＋ABC＋ABC的发生，故概率P＝××＋××＋××＝.
故选D.9．(多选)[2023·新课标Ⅱ卷]在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，
收到1的概率为α(0<α<1)，收到0的概率为1－α；发送1时，收到0的概率为β(0<β<1)，
收到1的概率为1－β. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号
只发送1次；三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：
单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例
如，若依次收到1，0，1，则译码为1).
A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为(1－α)(1
－β)2
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为β(1－β)2
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β(1－β)2＋(1－β)3
D．当0<α<0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输
方案译码为0的概率
答案：ABD
解析：由题意，发0收1的概率为α，发0收0的概率为1－α；发1收0的概率为β，
发1收1的概率为1－β.对于A，发1收1的概率为1－β，发0收0的概率为1－α，发1收
1的概率为1－β，所以所求概率为(1－α)(1－β)2，故A选项正确．对于B，相当于发了1，
1，1，收到1，0，1，则概率为(1－β)β(1－β)＝β(1－β)2，故B选项正确．对于C，相当于
发了1，1，1，收到1，1，0或1，0，1或0，1，1或1，1，1，则概率为Cβ(1－β)2＋C(1
－β)3＝3β(1－β)2＋(1－β)3，故C不正确．对于D，发送0，采用三次传输方案译码为0，相
当于发0，0，0，收到0，0，1或0，1，0或1，0，0或0，0，0，则此方案的概率P ＝
1
Cα(1－α)2＋C(1－α)3＝3α(1－α)2＋(1－α)3；发送0，采用单次传输方案译码为0的概率P ＝
2
1－α，当0<α<0.5时，P －P ＝3α(1－α)2＋(1－α)3－(1－α)＝α(1－α)(1－2α)>0，故D选项
1 2
正确．综上，选ABD.
二、填空题
10．某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果
第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去
A餐厅的概率为0.8，则王同学第2天去A餐厅用餐的概率为________．
答案：0.7
解析：设A＝“第1天去A餐厅用餐”，
1
B ＝“第1天去B餐厅用餐”，
1
A＝“第2天去A餐厅用餐”，
2
Ω＝A∪B ，且A 与B 互斥．
1 1 1 1
根据题意得
P(A )＝P(B )＝0.5，P(A |A)＝0.6，P(A |B )＝0.8.
1 1 2 1 2 1
由全概率公式得
P(A )＝P(A )P(A |A)＋P(B )P(A |B )
2 1 2 1 1 2 1
＝0.5×0.6＋0.5×0.8
＝0.7
故王同学第2天去A餐厅用餐的概率为0.7.
11．已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、
乙两球都落入盒子的概率为________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为________．
答案：
解析：依题意得，甲、乙两球都落入盒子的概率为×＝，甲、乙两球都不落入盒子的
概率为×＝，则甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为1－＝.12．一盒中放有大小相同的10个小球，其中8个黑球、2个红球，现甲、乙二人先后
各自从盒子中无放回地任意取2个小球，已知甲取到了2个黑球，则乙也取到2个黑球的
概率是________．
答案：
解析：记事件“甲取到2个黑球”为A，“乙取到2个黑球”为B，则有P(B|A)＝＝
＝.即所求事件的概率是.
[能力提升]
13．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，
每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的
球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的
球的数字之和是7”，则( )
A．甲与丙相互独立
B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立
D．丙与丁相互独立
答案：B
解析：P(甲)＝，P(乙)＝，P(丙)＝，P(丁)＝＝，
P(甲丙)＝0≠P(甲)P(丙)，P(甲丁)＝＝P(甲)P(丁)，
P(乙丙)＝≠P(乙)P(丙)，P(丙丁)＝0≠P(丁)P(丙)，
故选B.
14．(多选)从甲口袋内摸出1个白球的概率是，从乙口袋内摸出1个白球的概率是，如
果从两个口袋内各摸出一个球，那么下列说法正确的是( )
A.2个球都是白球的概率为
B．2个球都不是白球的概率为
C．2个球不都是白球的概率为
D．2个球恰好有一个球是白球的概率为
答案：ACD
解析：∵2个球不都是白球的对立事件是2个球都是白球，从甲口袋摸出白球和从乙口
袋摸出白球两者是相互独立的，∴2个球都是白球的概率为×＝，∴2个球不都是白球的概率
是1－＝，故A，C正确；甲口袋摸出的球不是白球的概率为，乙口袋摸出的球不是白球的
概率为，故2个球都不是白球的概率为×＝，B错误；2个球恰有一个球是白球的概率为×＋
×＝，D正确．故选ACD.
15．某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手
与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p，p，p，且p>p>p>0.记该棋手连胜两盘的概率为
1 2 3 3 2 1
p，则( )
A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关
B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大
D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
答案：D
解析：设第二盘与甲比赛，则p ＝2[pp(1－p)＋(1－p)pp]＝2p(p＋p－2pp).设第
甲 2 1 3 2 1 3 1 2 3 2 3
二盘与乙比赛，则p ＝2[pp(1－p)＋(1－p)pp]＝2p(p＋p－2pp).设第二盘与丙比赛，
乙 2 1 3 1 2 3 2 1 3 1 3
则p ＝2[pp(1－p)＋(1－p)pp]＝2p(p ＋p －2pp).p －p ＝2p(p －p)<0，p －p ＝
丙 3 1 2 1 2 3 3 1 2 1 2 甲 乙 3 1 2 甲 丙
2p(p－p)<0，p －p ＝2p(p－p)<0，故p >p >p 选D.
2 1 3 乙 丙 1 2 3 丙 乙 甲．16．(多选)设同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1，2，3，4的正四面体一次，记
事件A＝{第一个四面体向下的一面为偶数}，事件B＝{第二个四面体向下的一面为奇数}，
C＝{两个四面体向下的一面同时为奇数或者同时为偶数}，则下列说法正确的是( )
A．P(A)＝P(B)＝P(C)
B．P(AB)＝P(AC)＝P(BC)
C．P(ABC)＝
D．P(A)P(B)P(C)＝
答案：ABD
解析：依题意P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，故AD正确；
P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝，P(AC)＝，P(BC)＝，故B正确；事件A，B，C不可能同时
发生，所以P(ABC)＝0，故C错误．故选ABD.
