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2022-2023学年小学六年级思维拓展举一反三精编讲义
专题07 用“组合法”解工程问题
知识精讲
在解答工程问题时，如果对题目提供的条件孤立、分散、静止地看，则难以找到明确
的解题途径，若用“组合法”把具有相依关系的数学信息进行恰当组合，使之成为一个新
的基本单位，便会使隐蔽的数量关系立刻明朗化，从而顺利找到解题途径。
典例分析
【典例分析01】一项工程，甲、乙两队合作15天完成，若甲队做5天，乙队做3天，只
能完成工程的，乙队单独完成全部工程需要几天？
【思路导航】此题已知甲、乙两队的工作效率和是，只要求出甲队货乙队的工作效率，则
问题可解，然而这正是本题的难点，用“组合法”将甲队独做5天，乙队独
做3天，组合成甲、乙两队合作了3天后，甲队独做2天来考虑，就可以求
出甲队2天的工作量－×3＝，从而求出甲队的工作效率。所以
1÷【－（－×3）÷（5－3）】＝20（天）
答：乙队单独完成全部工程需要20天。
【典例分析02】一项工程，甲队独做12天可以完成。甲队先做了3天，再由乙队做2天，
则能完成这
项工程的。现在甲、乙两队合做若干天后，再由乙队单独做。做完后发现两段所用时
间相等。求两段一共用了几天？
【思路导航】此题很容易先求乙队的工作效率是：（－×3）÷2＝；再由条件“做完后发
现两段所用时间相等”的题意，可组合成由两个乙队和一个甲队合做需若干
天完成，即可求出相等的时间。
（1） 乙队每天完成这项工程的
（－×3）÷2＝
（2） 两段时间一共是1÷（×2+）×2＝6（天）
答：两段时间一共是6天。
【典例分析03】移栽西红柿苗若干棵，如果哥、弟二人合栽8小时完成，先由哥哥栽了3
小时后，又由弟弟栽了1小时，还剩总棵数的没有栽，已知哥哥每小时比弟弟每小时多栽
7棵。共要移栽西红柿苗多少棵？
【思路导航】把“哥哥先栽了3小时，弟弟又栽了1小时”组合成“哥、的合栽了1小时
后，哥哥又独做了2小时”，就可以求出哥哥每小时栽总数的几分之几。
哥哥每小时栽总数的几分之几
（1－－×1）÷（3－1）＝
一共要移栽的西红柿苗多少棵
7÷【－（－）】＝112（棵）
答：共要移栽西红柿苗112棵。
【典例分析04】一项工作，甲、乙、丙3人合做6小时可以完成。如果甲工作6小时后，
乙、丙合做2小时，可以完成这项工作的；如果甲、乙合做 3小时后，丙做6小时，也可
以完成这项工作的。如果由甲、丙合做，需几小时完成？
【思路导航】将条件“甲工作6小时后，乙、丙合做2小时，可以完成这项工作的”组合
成“甲工作4小时，甲、乙、丙合做2小时可以完成这项工作的”，则求出
甲的工作效率。同理，运用“组合法”再求出丙的工作效率。
甲每小时完成这项工程的几分之几
（－×2）÷（6－2）＝
丙每小时完成这项工程的几分之几
（－×3）÷（6－3）＝
甲、 丙合做需完成的时间为：
1÷（+）＝7（小时）
【典例分析05】一条公路，甲队独修24天可以完成，乙队独修30天可以完成。先由甲、乙两队合修4天，
再由丙队参加一起修7天后全部完成。如果由甲、乙、丙三队同时开工修这条公路，几天
可以完成？
【思路导航】将条件“先由甲、乙两队合修4天，再由丙队参加一起修7天后全部完成”
组合成“甲、乙两队各修（4+7）＝11天后，再由丙队单独修了7天才全部完
成。”就可以求出丙队的工作效率。
丙队每天修这条公路的
【1－（+）】×（4+7）＝
三队合修完成时间为
1÷（++）＝10（天）
答：10天可以完成。
真题演练
一．选择题（共5小题，满分10分，每小题2分）
1．（2分）（2019•防城港模拟）A、B、C、D四人一起完成一件工作，D做了一天就因病
请假了，结果A做了6天，B做了5天，C做了4天，D作为休息的代价，拿出48元给
A、B、C三人作为报酬，若按天数计算劳务费，则这48元中A就分（ ）元．
A．18 B．19.2 C．20 D．32
【思路点拨】根据题意可知：他们一共做了6+5+4+1＝16天，那么平均算下来，16÷4
＝4天，一个人就要做四天，但D做了一天因病请假，他做了一天，就少做了3天，则A
多做了6﹣4＝2天，B多做了一天，那么那48元是给多做天数的报酬，一共多做了 3天，
就用报酬费48÷3＝16元，一天就要给16元，A多做了2天，就用16×2＝32元即可解
决．
【规范解答】解：一共做的天数：6+5+4+1＝16（天），
平均每人做的天数：16÷4＝4（天），
A多做的天数：6﹣4＝2（天），
B多做的天数：5﹣4＝1（天），
一共多做的天数：2+1＝3（天），
A应得48÷3×2＝32（元），
答：这48元应分给A32元．
故选：D。【考点评析】解答此题的关键是先求出一共做的天数，从而知道平均每人要做的天数，
再求出A多做了几天，就把D少做3天的酬劳平均分成3份，即可求出．
2．（2分）（2017春•江汉区期末）甲、乙、丙三个工程队单独完成某项工程所需时间分
别为4天、5天、6天，如果这项工程丙队先工作1天，剩下的由甲、乙两队合做，求还
需要多少天完成？下面算式中列式正确的是（ ）
A．（1﹣ ）÷（ + ） B．（1﹣ ）÷（ + ）
C．（1﹣ ）÷（ + ） D．1÷（ + ﹣ ）
【思路点拨】把工作总量看成单位“1”，甲、乙、丙三个工程队单独完成某项工程所
需时间分别为4天、5天、6天，那么这三个工程队的工作效率分别是 ， ， ，先用
工作总量减去丙一天完成的工作量 ，求出剩下的工作量，再用剩下的工作量除以甲乙
的工作效率和即可求出需要的时间．
【规范解答】解：（1﹣ ）÷（ + ）
＝ ÷
＝ （天）
答：求还需要 天完成．
故选：C．
【考点评析】解决本题先把工作总量看成单位“1”，分别表示出三个工程队的工作效
率，再根据工作时间、工作量和工作效率三者之间的关系求解．
3．（2分）（2022•南岸区）甲每分钟能洗3个盘子或者9个碗，乙每分钟能洗2个盘子或
者7个碗，甲、乙两人合作。20分钟后，两人共洗了151个盘子和碗。其中盘子最多洗
了（ ）个。
A．60 B．75 C．76 D．79
【思路点拨】用假设法：假设甲乙洗的都是盘子，则洗了 20×（2+3）＝100（个），
少了 151﹣100＝51（个）；用置换法：9﹣3＝6（个）甲少用一分钟洗盘，就会多洗6
个碗，7﹣2＝5（个），乙少用一分钟洗盘，就会多洗5个碗，因为51＝6×6+5×3，则甲用了6分钟洗碗，乙用了3分钟洗碗正好多洗出51个。然后进一步解答即可。
【规范解答】解：假设20分钟都洗盘子，则可洗（2+3）×20＝100（个）
共少洗了151﹣100＝51（个）
甲如果洗1分钟碗，数量就要多9﹣3＝6（个）
乙如果洗1分钟碗，数量就要多7﹣2＝5（个）
因为6×6+5×3＝51
所以甲用了6分钟洗碗，乙用了3分钟洗碗正好多洗出51个，
所以洗碗的个数是6×9+3×7＝75（个）
故选：B。
【考点评析】本题有一定的难度，比较复杂，解答此题用了假设法和置换法。
4．（2分）（2019•株洲模拟）王师傅计划加工一批零件，如果实际工作时效率比计划提
高20%，那么可提前1小时完成任务；如果王师傅要想比计划提前2小时完成任务，那
么王师傅的工作效率就要比计划提高（ ）
A．40% B．50% C．60% D．70%
【思路点拨】从开始提高20%，那么工作效率是原来的1+20%＝ ，工作时间与工作效
率成反比例，工作时间是原来的 ，工作时间提前了 ，它对应的时间是1小时，由此
求出原来用的时间；如果王师傅要想比计划提前2小时完成任务，可以求出现在的工作
时间和工作效率，对比计划的效率即可求出现在比计划提高了多少．
【规范解答】解：1+20%＝
因为工作总量一定，工作效率与工作时间成反比，所以工作时间变为原来的
计划用的时间：1÷（1﹣ ）＝6（小时）
现在的时间：6﹣2＝4（小时）
现在的工作效率：1÷4＝
计划的工作效率：1÷6＝
×100%＝50%
所以工作效率比计划提高了50%．
故选：B．【考点评析】本题主要考查工程问题，解决本题的关键是先根据第一次效率提高20%求出计划完成全
部工作量需要的时间．
5．（2分）（2019春•湘潭月考）一项工程，甲、乙合作完成了全工程的 ，剩下的由甲
单独完成，甲一共做了10 天．这项工程由甲单独做需要15天，如果由乙单独做需要
（ ）天．
A．18 B．19 C．20 D．21
【思路点拨】把这项工程的工作总量看成单位“1”，甲单独做需要15天，则甲的工作
效率为 ，甲、乙合作完成了全工程的 ，剩下的由甲单独完成，则甲独做了全部的
1﹣ ，所以甲单独做了（1﹣ ）÷ 天，又甲一共做了10 天，所以甲乙合作了
10 ﹣（1﹣ ）÷ ＝6天，则乙做了全部工程的 ﹣ ×6，所以乙的工作效率
是：（ ﹣ ×6）÷6，据此即能求出乙独做需要多少天．
【规范解答】解：10 ﹣（1﹣ ）÷
＝10 ﹣
＝10 ﹣
＝6（天）
1÷[（ ﹣ ×6）÷6]
＝1÷[（ ﹣ ）÷6]
＝1÷（ ÷6）
＝1÷
＝20（天）答：乙独做需要20天．
故选：C．
【考点评析】首先根据已知条件求出甲后来独做的天数是完成本题的关键．
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）6．（2分）（2019•成都模拟）甲乙两项工程分别由一二两个工程队负责完成。晴天时一
队完成甲工程需要12天，二队完成乙工程需要15天；雨天时，一队的工作效率是晴天
的60%，二队的工作效率是晴天的80%，结果两队同时开工并同时完成各自的工程，则
在施工期内，雨天有 1 5 天。
【思路点拨】晴天时，一队完成甲工程需要12天，二队完成乙工程需要15天，则两队
的工作效率分别为 ， ；雨天时，一队的工作效率是原来的60%，二队的工作效率
是原来的80%，则在雨天两队的效率分别为 ×60%＝ ， ×80%＝ ，设雨天共
有x天，则两队在不是雨天完成的工作量分别为1﹣ x，1﹣ x，又结果两队同时完
成这项工程，即两队在不是雨天的工作时间也是一样的，由此可得方程：（1﹣ x）
÷ ＝（1﹣ x）÷ 。
【规范解答】解： ×60%＝
×80%＝
设雨天有x天，可得方程：
（1﹣ x）÷ ＝（1﹣ x）÷
12 x＝15 x
x＝3
x＝15
答：雨天有15天。
故答案为：15。
【考点评析】在求出雨天效率的基础上根据“两队同时完成这项工程”这一条件列出等
量关系式是完成本题的关键。
7．（2分）（2019春•武侯区期中）食品工厂有两台包饺子机，每一台每分钟能包60个饺子．一天这个工厂接到一批包18000个饺子的订单，于是开动两台机器包饺子．但包了
20分钟后，其中一台机器因故障无法工作，经过 30分钟准备，经理组织了男工和女工
共20人也加入包饺子的工作，这样，又经过了40分钟，完成了这批订单．如果女工每
分能包15个饺子，男工每分能包12个，另一台机器始终正常工作，那么包饺子的女工
有 1 5 人．
【思路点拨】根据题意，设女工有x人，则男工有（20﹣x）人，根据工作总量＝工作效率×工作时间，先计算饺子机一共包了多少个：60×
（20+20+30+40）＝6600（个）；所以这些工人共包的个数为：18000﹣6600＝11400
（个）．则有方程：15x+12×（20﹣x）＝11400÷40，解方程即可求出女工人数．
【规范解答】解设女工有x人，则男工有（20﹣x）人，
15x+12×（20﹣x）＝[18000﹣60×（20+20+30+40）]÷40
15x+240﹣12x＝[18000﹣6600]÷40
3x＝45
x＝15
答：包饺子的女工有15人．
故答案为：15．
【考点评析】本题主要考查工程问题，关键利用工作总量、工作效率和工作时间之间的
关系做题．
8．（2分）（2021秋•温州期末）一项工程，甲队单独做每天能 完成这项工程的 ，乙
队单独做每天能完成这项工程的 ，两队共同合作需要 1 2 天完成。
【思路点拨】把这项工程工作总量看作单位“1”，工作总量÷工作效率＝工作时间。
工作总量÷工作效率和＝合作的时间。
【规范解答】解：1÷（ + ）
＝1÷
＝
＝12（天）
答：两队共同合作需要12天完成。
故答案为：12。
【考点评析】把工作总量看成单位“1”是解决本题的关键。
9．（2分）（2021•广东模拟）一支工程队铺一段铁路，原计划每天铺 3.2km，实际每天比
原计划多铺25%，实际铺完这段铁路用了12天．原计划用 1 5 天才能铺完。
【思路点拨】把原计划的工作效率看作单位“1”，实际每天比原计划多铺25%，则实际
每天的工作效率是原计划的（1+25%＝125%），已知原计划每天铺3.2km，所以实际每天铺3.2×（1+25%）＝4（千米），根据工作总量＝工作效率×工作时间，
用12×4＝48（千米），即这段路全长48千米，再根据工作时间＝工作总量÷工作效率，
即可求得原计划用多少天才能铺完。
【规范解答】解：3.2×（1+25%）
＝3.2×1.25
＝4（千米）
12×4＝48（千米）
48÷3.2＝15（天）
答：原计划用15天才能铺完。
故答案为：15。
【考点评析】本题的关键是先求得实际每天的工作效率。
10．（2分）（2020秋•鼓楼区校级期中）搬运一个仓库的货物，甲需要10小时，乙需要
12小时，丙需要15小时。有同样的仓库A和B，甲和丙在A仓库，乙在B仓库同时搬运
货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运，最后同时搬完两个仓库的货物。丙
帮助乙搬运了 5 小时。
【思路点拨】据题意可以看做三个人一共完成了两个仓库的任务，那么因为三人自始至
终都在工作，那么用的时间是2÷（ ）＝8小时，在这个时间甲完成了一
个仓库的 ×8＝ ，那么丙运了这个仓库的1﹣ ＝ ，丙帮助甲用了 ÷ ＝3小
时，则帮助乙的工作用了8﹣3＝5小时。
【规范解答】解：三人搬完仓库用时：2÷（ ）＝8（小时）
甲完成了一个仓库的： ×8＝
则丙运了这个仓库的：1﹣ ＝
且用时了 ÷ ＝3小时
丙帮助乙的工作用时：8﹣3＝5（小时）
答：丙帮助乙搬运了5小时。
故答案为：5。【考点评析】将两个仓库的任务看作是由三个人共同完成，然后求出完成任务的时间是
解决本题的关键。11．（2分）（2021•天心区模拟）放满一个水池，如果同时打开1、2号阀门，则12分钟
可以完成；如果同时打开1、3号阀门，则15分钟可以完成；如果单独打开1号阀门，
则20分钟可以完成；那么如果同时打开1、2、3号阀门 1 0 分钟可以完成。
【思路点拨】根据时间求出各个阀门的工作效率，然后用工作总量÷工作效率之和＝工
作时间。
【规范解答】解：1÷12＝
1
1
1÷（ ）＝10（分钟）
故答案为：10。
【考点评析】本题考查了工作总量、工作时间和工作效率之间的关系。
12．（2分）（2020•长沙）A电池的广告语是“一节更比六节强”，意义是A电池比其它
电池更耐用.我们就假定1节A电池的电量是B电池的6倍，有两种耗电速度一样的时钟，
现在同时在甲钟里装了4节A电池，在乙钟里装了3节B电池，结果乙时钟正常工作2
个月电池就耗尽了，那么甲时钟的正常工作时间比乙时钟多 1 4 个月.
【思路点拨】按题意，甲和乙时钟装的电池数分别是4节A电池和3节B电池，其电池
量比可以求出，最后即可求的正常工作的时间比。
【规范解答】根据分析，A与B每节电池的电量比为6：1，A、B电池数量比为4：3，则
总电量之比为（6×4）：（1×3）＝8：1，两个时钟的耗电速度一样，
工作时间与总电量成正比，乙时钟工作了2个月，甲时钟可正常工作时间为：8×2＝16
（个），
比乙时钟多：16﹣2＝14（个）。
故答案是：14。
【考点评析】本题考查了比的应用，利用工作时间与总工作量成正比，求得甲的工作时
间，再求差值。
13．（2分）（2022•温江区）一项工程，由甲队承担，需工期80天，工程费用100万；由
乙队承担，需工期100天，工程费用80万。为了节省工期和费用，实际施工时，甲、
乙两队合作若干天后，撤出一个队，由另一个队继续到工程完成。结算时，共支出工程费用86.5万元。那么甲、乙两队合作了 2 6 天。【思路点拨】本题设甲乙合干的天数是x天，其实甲乙各干了x天，就可以表示出甲的
工作量，从而也可以求出乙的工作量，在相应的工作量下可以表示出各自的费用，把费
用加在一起就是86.5万元，依此即可求解。
【规范解答】解：设甲乙合干的天数是x天，则甲队工作x天，则甲队完成的工作量
，乙队完成的工作量是（1﹣ ），
100× +80×（1﹣ ）＝86.5
x+80﹣x＝86.5
x＝86.5﹣80
x＝6.5
x＝6.5×4
x＝26
（1﹣ ） ＝67.5
67.5＞26
答：甲乙共合做了26天。
故答案为：26。
【考点评析】本题考查了学生的分析应变能力，在这儿表示出甲的工作量，其实乙的工
作量也就可以表示出来，再表示出各自的费用，问题就解决了。
三．应用题（共15小题，满分75分，每小题5分）
14．（5分）（2022秋•道县期末）甲、乙两人同时分别加工同样多的一种零件，当甲做了
他的 时，乙还有46个没有做。这时甲效率提高20%，乙效率不变。当甲又做了余下的
时，乙还有 没有做完。两人一共要加工零件多少个？
【思路点拨】根据在相同时间内甲乙工作总量可得甲乙工作量的比，再根据比求得乙在
甲做他的 时乙的工作量，然后求出乙做46个零件时的工作量，就可得甲乙总的工作量。
【规范解答】解：甲做余下的 相当于用原工作效率做了零件的（1﹣ ）× ÷
（1+20%）＝ 。甲乙在相同时内的工作量的比是：（ + ）：（1﹣ ）＝8：9
甲做他的 时，乙的工作量是： ÷ ＝
甲乙加工零件总数：46÷（1﹣ ）×2＝128（个）
答：两人一共要加工零件128个。
【考点评析】明确相同时间内甲乙两人工作量的比是解决本题的关键。
15．（5分）（2022秋•渝中区期末）甲、乙两人合作完成一项工作，由于配合默契，甲的
工效比单独做时提高了 ，乙的工效比单独做时提高了 ，甲、乙合作6小时完成此项
工作。已知甲单独做需要12小时，那么乙单独做需要多少小时？
【思路点拨】将工作总量看作单位“1”，时间分之一可以看作效率，将甲单独做的效
率看作单位“1”，甲单独做的效率×（1+ ）＝两人合作甲的效率；两人合作的效率
和﹣两人合作甲的效率＝两人合作乙的效率，两人合作乙的效率÷（1+ ）＝乙单独做
的效率；工作总量÷乙单独做的效率＝乙单独做需要的时间，据此列式解答。
【规范解答】解：甲合作时工效：
×（1+ ）
＝ ×
＝
乙合作时工效： ＝
乙单独做时工效： ÷（1+ ）
＝ ÷
＝ ×＝
乙单独做用时：1÷ ＝ （小时）
答：乙单独做需要 小时。
【考点评析】关键是理解工作效率、工作时间、工作总量之间的关系。16．（5分）（2021•宁波模拟）甲、乙、丙三人分别搬运同一个仓库的货物，甲用 10小
时，乙用12小时，丙用15小时。第二天三人又到同样的A、B两个仓库工作。甲在A仓
库，乙在B仓库，丙先帮甲后帮乙，共用了16个小时将两个仓库同时搬完。丙在A仓库
搬了多长时间？
【思路点拨】把第一个仓库的工作量看作单位“1”，那么甲的工作效率是 ，那么乙
的工作效率是 ，那么丙的工作效率是 。那么丙在A仓库比B仓库少做了（
×16﹣ ×16）÷ ＝4小时，再根据和差问题的解法，求出丙在A仓库做的时间，
即（16﹣4）÷2＝6（小时）。
【规范解答】解：（ ×16﹣ ×16）÷
＝ ×15
＝4（小时）
（16﹣4）÷2＝6（小时）
答：丙在A仓库做了6小时。
【考点评析】此题解答的关键在于表示出三人的工作效率，求出丙在A仓库比B仓库少
做的时间，进而解决问题。
17．（5分）（2021•宁波模拟）甲、乙、丙三队要完成A、B两项工程，B工程的工作量是
A工程的 倍，如果让甲、乙、丙三队单独做，完成A工程所需要的时间分别是20天、
24天、30天。现在让甲队做A工程，乙队做B工程，为了同时完成这两项工程，丙队先
与乙队合作B工程若干天，然后与甲队合作A工程若干天。问：丙队与乙队合作了多少
天？
【思路点拨】把A工程看作“1”，B工程的工作量是A工程的 倍；于是可以求总工作
时间；B工程减去乙单独的工作量，即为丙队与乙队合做的工作量，然后除以丙的工作
效率，就是丙队与乙队合做的时间。
【规范解答】解：把A工程看作“1”，则B工程为则总工作量：1+ ＝
工作时间： ÷（ + ）
＝＝18（天）
丙队与乙队合做了：（ ﹣ ×18）÷ ＝15（天）
答：丙队与乙队合做了15天。
【考点评析】解决此题的关键是把A工程看作“1”，先求出总时间，进而利用工作量、
工作时间和工作效率之间的关系，求出问题的答案。
18．（5分）（2022春•麻阳县期中）一个水池可以容水36立方米，有两个注水管注水，
如果单开甲管6小时可以注满，如果单开乙管4小时可以注满，现在同时打开两个注水
管向这个水池注水，几小时后可以注满这个水池的 ？此时，甲管注水多少立方米？
【思路点拨】把这个水池的总量看作单位“1”，甲开一个小时注水占总量的 ，乙开
一个小时注水占总量的 ，然后根据 ÷甲乙水管注水工作效率之和＝合作时间，求出
几小时后可以注满这个水池的 ，再用总的合作时间乘 得到甲注的水量占的水池的分
率；在用36乘甲注的水量占的水池的分率得到甲管注水多少立方米。
【规范解答】解： ÷（ + ）
＝ ÷
＝2（小时）
2× ＝
36× ＝12（立方米）
答：2小时后可以注满这个水池的 ；此时，甲管注水12立方米。
【考点评析】解答此题的关键是根据工作总量、工作时间和工作效率的关系计算出合作
时间，进而求出甲管的注水量。
19．（5分）（2021•江北区校级开学）三名工人师傅张强、李辉和王充分别加工 200个零
件，他们同时开始工作，当李辉加工 200个零件的任务全部完成时；张强才加工了 160
个，王充还有48个没有加工，当张强加工200个零件的任务全部完成时，王充还有多少个零件没有加工？
【思路点拨】因为他们同时开始工作，所以在时间相同的情况下，李辉加工200个零件，张强才加工
了160个，王充加工了（200﹣48）个，因此可以求出时间相同的情况下，张强与王充
的工作量的比；然后通过两人工作量的比，张强加工200个零件，求出王充加工了多少
个零件，从而求出王充还有多少个零件没有加工。
【规范解答】解：张强：王充＝160：（200﹣48）＝20：19
王充：200÷20×19
＝10×19
＝190（个）
200﹣190＝10（个）
答：当张强加工200个零件的任务全部完成时，王充还有10个零件没有加工。
【考点评析】这一题考查了工程问题和按比例分配这两个知识点的灵活运用。
20．（5分）（2022•南昌）市政工程队维修一条道路，由甲、乙两个组合作完成。其中甲
组每天能完成这条道路的 ，乙组每天能完成这条道路的 ，两组合作6天后，甲组
离开另修别的道路，那么乙组还要工作几天才能完成维修任务？
【思路点拨】用甲的工作效率加乙的工作效率，求出两人工作效率的和，再乘6，就是
两队合作6天完成这条路的几分之几，用总工作量1减去两人合作完成的，求出剩下这
项工程的几分之几，再根据工作时间＝工作量÷工作效率，除以乙的工作效率，就是还
要需要的天数；据此解答即可。
【规范解答】解：[1﹣（ + ）×6]÷
＝[1﹣ ×6]÷
＝ ÷
＝15（天）
答：乙组还要工作15天才能完成维修任务。
【考点评析】本题主要考查了学生对工作量、工作时间、工作效率三者之间关系的掌握
情况。
21．（5分）（2021•宁波模拟）甲、乙两人共同加工一批零件，8小时可以完成任务。如
果甲单独加工，需要12小时完成。现在甲、乙两人共同加工了2 小时后，甲被调走做其它工作，由乙继续加工了420个零件才完成任务。问：乙一共加工了多少个零件？
【思路点拨】乙单独加工，每小时加工 ﹣ ＝。甲调走后，剩下工作乙需做（1﹣2 × ）÷ ＝ （时），所以乙每小时加工零
件420÷ ＝25（个），则2 小时加工25×2 ＝60（个），所以乙一共加工零件
420+60＝480（个）。
【规范解答】解： ﹣ ＝
（1﹣2 × ）÷ ＝ （时）
420÷ ＝25（个）
420+25×2 ＝480（个）
答：乙一共加工零件480个。
【考点评析】本题考查工程问题。工作量＝效率×时间。
22．（5分）（2020秋•玉环市期末）修一段公路，甲工程队单独修30天完成，乙工程队
单独修20天完成。
（1）两队合修几天可以完成这段路的 ？
（2）如果先由甲队单独做若干天后，再由乙队接着单独做完，前后共用了22天完成。
甲队做了几天？
【思路点拨】（1）把修路总任务看作单位“1”，则甲队的工作效率是 ，乙队的工
作效率是 ，再根据工作时间＝工作总量÷甲乙的工作效率和，即可求出两队合修几
天可以完成这条公路的 ；
（2）本题已知甲、乙两队共用了22天，无法知道各自单独做了几天，因此可以类比鸡
兔同笼问题，运用假设法来解答；首先把这件工作的总量看作单位“1”，假设22天都
是乙队做的，就会比单位“1”多做，可利用“多做的工作量÷每天多做的工效”求得
甲队做的天数即可。
【规范解答】解：（1） ÷（ + ）＝ ÷
＝10（天）
答：两队合修10天可以完成这段路的 。
（2）假设22天都是乙做的，那么：乙队就会多做：
×22﹣1
＝ ﹣1
＝
乙队每天就会多做：
﹣ ＝
甲队做的天数：
÷ ＝6（天）
答：甲队做了6天。
【考点评析】本题主要考查工程问题和鸡兔同笼，解题关键是要把修路的总任务看作单
位“1”，利用工作时间＝工作总量÷甲乙的工作效率和，求出完成的时间。
23．（5分）（2021春•鹿城区校级期中）一个居民小区计划用40名民工，两周时间完成
天然气管道的铺设任务。民工工作了2天后，又增加了20人，若每个民工的工作效率
一样，这个小区的居民可以提前几天用上天然气？
【思路点拨】两周就是14天，40名工人14天完成工作任务，每天可以完成总工作量的
，又增加了20名工人，若每名工人的工作效率相同，则 20名工人每天可完成总任
务 ×（20÷40），用14天减去40名工人做的两天，再减去剩下的工作量60名工人
所用的天数就是提前的天数。
【规范解答】解：7×2＝14（天）
1﹣ ×2
＝1﹣
＝
+ ×（20÷40）＝ +
＝÷ ＝8（天）
14﹣2﹣8
＝14﹣10
＝4（天）
答：这个小区的居民可以提前4天用上天然气。
【考点评析】本题主要考查的是工程问题，解题的关键是明确工作量÷工作效率＝工作
时间。
24．（5分）（2022•大渡口区模拟）用甲、乙、丙三个排水管排水，甲管排出1立方米水
的时间，乙管能排出1.25立方米的水，丙管能排出1.5立方米的水．现在要排完某个
水池的水，先开甲管，2小时后开乙管，几小时后再开丙管，到下午4时正好把水排完，
且各个排水管排出的水量正好相等．问什么时候打开的丙管？
【思路点拨】要使排水量相等，甲管和乙管用的时间比是1.25：1＝5：4，所以单独开
乙管需要2÷（5﹣4）×4＝8小时．乙管和丙管的时间比是1.5：1.25＝6：5，所以单
独开丙管需要8÷6×5＝ 小时，即6小时40分，到下午4时正好把水排完，所以丙
管打开的时刻是10时20分．
【规范解答】解：解法一：
由它们的排水量可知，排相同的水量，甲、乙、丙所用时间的比是：
1.5：1.25：1＝6：5：4
则单独开乙管需要2÷（5﹣4）×4＝8（小时）．
单独开丙管需要8÷6×5＝ （小时），即6小时40分．
所以丙管打开的时刻是9时20分．
解法二：乙管先开2小时，比甲管多排2×1.25＝2.5立方米；
所以甲管用了2.5÷（1.25﹣1）＝10小时；
甲管10小时放水量丙管需要10×1÷1.5＝ 小时，即6小时40分；
所以丙管打开的时刻是9时20分．
答：丙管打开的时刻是9时20分．
【考点评析】本题主要是通过它们排水的比求出排相同所用时间的比进行解答的．25．（5分）（2021•宁波模拟）我们规定两人轮流做一个工程是指，第一个人先做一个小
时，第二个人做一个小时，然后再由第一个人做一个小时，然后又由第二个人做一个小
时，如此反复，做完为止．如果甲、乙轮流做一个工程需要9.8小时，而乙、甲轮流做
同样的工程只需要9.6小时，那乙单独做这个工程需要多少小时？
【思路点拨】依题意可知，两次做每人所花时间为：甲乙轮流做一个工程，甲工作了5
小时，乙工作了4.8小时；乙甲轮流工作时，乙工作了5小时，甲工作了4.6小时．由
此可知甲工作0.4小时相当于乙工作 0.2小时，推出甲工作5小时相当于乙工作2.5小
时，故求出乙单独做此工程需要的时间，解决问题．
【规范解答】解：甲乙轮流做一个工程，甲工作了5小时，乙工作了4.8小时；乙甲轮
流工作时，乙工作了5小时，甲工作了4.6小时．
所以甲做0.4小时完成的工程等于乙做0.2小时，乙的效率是甲的0.4÷0.2＝2（倍），
甲做5小时完成的任务乙只要2.5小时就能完成．
所以乙单独完成这个工程要：2.5+4.8＝7.3（小时）．
答：乙单独做这个工程需要7.3小时．
【考点评析】此工程问题有一定难度，认真分析后，求出甲乙工作效率之间的倍数关系
是解答的关键．
26．（5分）（2021秋•长安区期末）某项工程，甲单独完成需要8天，乙单独完成需要10
天，丙单独完成需要20天，若甲先做2天，剩下的由乙、丙合作，那么完成这项工程
共用了多少天？
【思路点拨】已知甲单独做需要8天完成，乙单独做需要10天完成，丙单独完成需要
20天，则甲一天完成 ，乙一天完成 ，丙一天完成 ，现在有甲先做2天，则剩下
这项工程的（1﹣ ×2），再根据工作时间＝工作量÷工作效率进行解答即可。
【规范解答】解：（1﹣ ×2）÷（ + ）+2
＝ ÷ +2
＝5+2
＝7（天）
答：完成这项工程共用了7天。【考点评析】本题主要考查了学生对工作时间、工作量和工作效率之间数量关系的掌握
情况。27．（5分）（2022•长治模拟）甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要 20小时，
16小时。丙水管单独开，排一池水要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5
小时后，再打开排水管丙，问水池注满还是要多少小时？
【思路点拨】把一池水的水量看作单位“1”，5小时甲乙两水管共注水（ + ）×5
＝ ，离注满还有1﹣ ＝ ，这时打开两管，则注满水池需要的时间为 ÷（
+ ﹣ ）；据此求解即可。
【规范解答】解：[1﹣（ + ）×5]÷（ + ﹣ ）
＝[1﹣ ]÷
＝ ÷
＝35（小时）
答：水池注满还是要35小时。
【考点评析】本题主要考查了工程问题，此类问题需要掌握工作效率、工作时间和工作
总量之间的基本关系：工作总量÷工作效率＝工作时间。
28．（5分）（2022•重庆）有一项工程，由甲、乙、丙三个工程队每天轮流做。原计划按
甲、乙、丙次序轮流做，恰好整数天完成。如果按乙、丙、甲次序轮做，比原计划多用
0.5天；如果按丙、甲、乙次序做，比原计划多用 天。已知甲单独做13天完成。且3
个工程队的工效各不相同。这项工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？
【思路点拨】据题意可知，按甲、乙、丙次序轮做，恰好整天完工，其余两个方案都不
是整天完工，那么甲乙丙的方案，一定是甲或乙结尾，不可能是丙结束，丙结束就是整
数周期．所以按两种情况分析：第一种情况是甲结束，甲＝乙+丙× ＝丙+甲× ，丙
＝ ×甲，乙＝ ×甲，这样丙、乙的工作效率就相同了，据题意，三队的工作效率各
不相同，从而排除第一种情况；第二种情况，乙结束，甲+乙＝乙+丙+甲× ＝丙+甲+乙× ，丙＝甲× ＝乙× ，丙＝甲× ，乙＝甲× ，所以三个工程队合作的时间
是13÷（1+ + ）＝ （天）。
【规范解答】解：根据条件可从如下两种情况进等分析：
第一种情况是按甲、乙、丙次序轮做，甲结束：甲＝乙+丙× ＝丙+甲× ，丙＝ ×甲，乙＝ ×甲，
这样丙、乙的工作效率就相同了，据题意，三队的工作效率各不相同，从而排除第一种
情况；
第二种情况是按甲、乙、丙次序轮做，乙结束：
甲+乙＝乙+丙+甲× ＝丙+甲+乙× ，丙＝甲× ＝乙× ，丙＝甲× ，乙＝甲× ，
所以三个工程队合作的时间是13÷（1+ + ）＝ （天）。
答：那么这项工程由甲、乙、丙三个队合作要 天完成。
【考点评析】完成本题要据所给条件分两种情况以甲为1进行认真的分析，从而得出另
两个队的工作效率
