文档内容
第 23 讲 计数综合二（教师版）
内容概述
涉及整数知识，具有教字或数阵图形式的计数问题．解题中需要灵活应用已学的各种计
数方法，并注意结合题目的具体形式．
典型问题
兴趣篇
1．同时能被6、7、8、9整除的四位数有多少个？
答案：18个。
详解：6、7、8、9的最小公倍数是504，9999以内504的倍数有19个，1000以内504的倍
数有1个，因此满足条件的四位数有19—1=18个。
2．从1，2，3，…，9这9个数中选出2个数，请问：
(1)要使两数之和是3的倍数，一共有多少种不同的选法？
(2)要使两数之积是3的倍数，一共有多少种不同的选法？
答案：（1） 12种； （2）21种。
解析：（1）分情况讨论：第一种情况，取出的两个数都是3的倍数有3种；第二种情况，
取出的两个数都不是3的倍数，则必一个除以3余1，另一个除以3余2，有9种。因此共
有3+9=12种。
（2）两数之积是3的倍数，则至少有一个数是3的倍数，有3+18=21种。
3．在所有由1、3、5、7、9中的3个不同数字组成的三位数中，有多少个是3的倍数？
答案：24个。
解析：3的倍数特征是数字和是3的倍数。这5个数中选出的3个数可能有4种情况，因此
共有4*6=24个
4．用0至5这6个数字可以组成多少个能被5整除且各位数字互不相同的五位数？
答案：216个。
解析：能被5整除的数的特征是个位数字是0或5.当个位是0时，有5*4*3*2=120个，个
位是5时，有4*4*3*2=96个，因此共有120+96=216个。
5．个位比十位大的两位数共有多少个？个位比十位大，十位比百位大的三位数共有多少个？
答案：36个，84个。
解析：十位为1时，个位有8种可能，十位为2时，个位有7种可能，依此下去，共有
8+7+6+5+4+3+2+1=36个。和第一问方法相同，共有28+21+15+10+6+3+1=84个。
6．如果称能被8整除或者含有数字8的自然数为“吉利数”，那么在l至200这200个自然数中有多少个“吉利数”？
答案：56个。
解析：1至200中能被8整除的数有25个，含有数字8的有40个，出去重复的9个，共有
25+40—9=56个。
7．一个正整数，如果从左到右看和从右到左看都是一样的，那么称这个数称为“回文数”，
例如：1331，7，202，66都是回文数，而220则不是“回文数”，请问：从一位到六位的“回
文数”一共有多少个？其中第1997个“回文数”是什么？
答案：1998个，998899。
解析：一位回文数有9个，两位回文数有9个，三位回文数有90个，四位回文数有90个，
五位回文数有900个，六位回文数有900个，共有9+9+90+90+900+900=1998个，第1997
个为998899。
8. 有一些四位数的4个数字分别是2个不同的奇数和2个不同的偶数，而且不含有数字0，
这样的四位数有几个？
答案：1440个。
解析： 个。
9．把2005、2006、2007、2008、2009这5个数分别填人图23-1的东、南、西、北、中5
个方格内，使横、竖3个数的和相等，一共有多少种不同的填法？
答案：24种
解析：这5个数中3个奇数，2个偶数。北+南=西+东
则中必为奇数，即有3种可能，共有3*8=24种。
10．从1至7中选出6个数字填入图23.2的的表中，使得相邻的两个方框内，下面的数字
比上面大，右边的数字比左边大．请先给出一种填法，然后考虑一共有多少种填法？
答案：14种。
解析：枚举法即可。
拓展篇
1．分子小于6，分母小于20的最简真分数共有多少个？
答案：58个。
解析：分子为1时，有18个，分子为2时，有9个，分子为3时，有11个，分子为4时，
有8个，分子为5时，有12个，共有18+9+11+8+12=58个。
2．从l、2、3、4、5、6、7这7个数中选出3个数，请问：(1)要使这3个数的乘积能被3整除，一共有多少种不同的选法？
(2)要使这3个数的和能被3整除，一共有多少种不同的选法？
答案：（1）25种（2）13种
解析：（1）至少有一个是3的倍数，共有25种。（2）这7个数除以3的余数分别为
1,2,0,1,2,0,1.有13种。
3．小明的衣服口袋中有10张卡片，分别写着1，2，3，…，10.现从中拿出两张卡片，使
得卡片上两个数的乘积能被6整除，这样的选法共有多少种？（注：9不能颠倒当作6来使
用，6也不能颠倒当作9来使用）
答案：17种。
解析：分两种情况讨论，有6时，有9种，无6时，有8种，共有17种。
4．六位数123475能被11整除，如果将这个六位数的6个数字重新排列，还能排出多少个
能被1 1整除的六位数？
答案：71个。
解析：这 6个数字和为 22，根据 11的倍数特征知，奇偶数位数字和都必为 11，共有
6*3*2*2=72个，72—1=71个。
5．三个2，两个1和一个0可以组成多少个不同的六位数？求所有符合条件的六位数的和．
答案：50个，8711104.
解析：最高位为1时，有5*4=20个，最高位为2时，有30个，共有20+30=50个。所有符
合条件的六位数的和是8711104.
6．有一种“上升数”，这些数的数字从左往右依次增大，将所有的四位“上升数”按从小到大
的顺序排成一行：1234，1235，1236，…，6789.请问：此列数中的第100个数是多少？
答案：3479。
解析：千位为1时，有56个，千位为2时，有35个。56+35=91个，依此下去，知第100
个数是3479。
7．有一些三位数的相邻两位数字为2和3，例如132、235等等，这样的三位数一共有多少
个？
答案：36个。
解析：分两种情况讨论：2，3在百位和十位，有 2*10=20个；2,3在十位和个位，有
2*9=18个，除去重复的323,232，因此共有20+18— 2=36个。
8．在图23—3的方框内填入3、4、5、6中的一个数字，使得竖式成立．请问：所填的九个数字之和是多少？一共有多少种填法？
答案：45, 30种。
解析：分析知，个位数字和是15，十位数字和是18，百位数字和是8，千位是4，共45.个
位两个数有10种填法，十位两个数有3种，共有30种。
9．在1000，1001，…，2000这1001个自然数中，可以找到多少对相邻的自然数，满足它
们相加时不进位？
答案：156对。
解析：考虑从1000到1999，这些数中，个位为0、1、2、3、4且十位为0、1、2、3、4且
百位为0、1、2、3、4时，不发生进位，否则会发生进位。还有，末位为9、99、999时，
也不发生进位。因此从1000到1999（实际是2000，即最后一对是【1999、2000】）中，
共有：
5×5×5 + 5×5 + 5 + 1= 156对。
10．将1至7分别填入图234中的7个方框中，使得每行每列中既有奇数又有偶数，一共
有多少种不同的填法？
答案：432种。
解析：右上角和左下角就是个突破口。右上和左下，最多有一个是奇数，因为两个都是奇
数，与他们相邻的共四个数，根据题意就都是偶数，而偶数只有3个，所以右上和左下，
最多有一个是奇数。1、假如右上是奇数，有4种填法，则与相邻的两个框一个有3种、一
个有两种填法，那么左下筐只有一种填法了，则剩下三个筐都是奇数，剩余 3个奇数全排
列有3×2×1=6种根据乘法原理得：4×3×2×1×6=144种；2、因为是对称的，所以当左
下筐是奇数也有144种；3、当右上和左下都是偶数时，则中间筐必是偶数，其余4个筐都
是奇数
则有A(3 3)×A(4 4)=3×2×1×4×3×2×1=144种
所以总共有144+144+144=432种。
11．在图23。5的空格内各填人一个一位数，使同一行内左边的数比右边的数大，同一列
内下面的数比上面的数大，并且方格内的6个数字互不相同，例如图23—6就是一种填法，
请问：一共有多少种不同的填法？
答案：30种。
解析：以下一行的两个空为突破口，分情况讨论，有30种填法。
12．用l、2、3、4这四个数字组成四位数，至多允许有1个数字重复两次．例如1234、
1233和2414是满足条件的，而1212、3334和3333都不满足条件．请问：一共能组成多少
个满足条件的四位数?
答案：168个。解析：
超越篇
1．甲、乙、丙、丁四人各有一个作业本混放在一起，四人每人随便拿了一本．问：
(1)甲拿到自己作业本的拿法有多少种？(2)恰有一人拿到自己作业本的拿法有多少种？
(3)至少有一人没拿到自己作业本的拿法有多少种？(4)谁也没拿到自己作业本的拿法有多少
种？
答案：（1） 6 种 （2） 8种 （3）23种，（4）9种。
详解：⑴甲拿到自己的,那么剩下三个人随便,有3*2*1=6种.⑵恰有一人拿到自己的,是谁
不知道4种,剩下的分配方法只有2种(三个人中,先让第一个人拿,有2种,再让第二个(第
一个拿谁的就谁去拿)人拿,他只能拿第三个人的,所以是2种，所以这样有4*2=8种。⑶对
立情况是都拿到自己的,1种所以应该有4*3*2*1-1=23种。⑷第一个人拿,有3种.第二人如
果拿第一个人的,那么只有1种;如果第二个人拿了三\四当中的一个,有2种.所以共有
3*3=9种。
2．一种电子表在6时24分30秒时的显示为6:24 ，那么从5时到7时这段时间里，此表的
30
5个数字都不相同的时刻一共有多少个？
答案：2100个
详解：从5时到7时，第一个数只有5,6,这3中可能。当第一个数为5时，有5*4*7*6=840
个，当第一个数为6时，有6*5*7*6=1260个，所以有840+1260=2100个。
3．各位数字均不大于5，且能被99整除的六位数共有多少个？
答案：575个。
详解：99=11*9，根据 11 和 9 的倍数特征知，奇偶数位数字和都为 9，分析后有
6+3+6+1+3+6=25个，25*25=625个，625—50=575个。
4．在一次合唱比赛中，有身高互不相同的8个人要站成两排，每排4个人，且前后对齐．
而且第二排的每个人都要比他身前的那个人高，这样才不会被挡住．一共有多少种不同的
排队方法?
答案：2520种。
解析：根据题意，任意选出2个人，一定会有高低，所以 （种）
5．从0至9这10个数字中选出7个填入图23-8的方框中，使竖式成立，一共有多少种不
同的填法？
答案：44种。
详解：分析这个竖式知，有8*6=48种，48—4=44种。6. 从三个0、四个1、五个2中挑选出五个数字，能组成多少个不同的五位数?
答案：159个。
解析：三进制法（从 10000-22222），不能出现的有 10000，20000，11111，所以
个。
7．8个人站队，冬冬必须站在小悦和阿奇的中间(不一定相邻)，小慧和大智不能相邻，小
光和大亮必须相邻，满足要求的站法一共有多少种?
答案：2400种。
详解：根据题意，先排冬冬小悦和阿奇，然后再排没出现名字的那个人，再排小光和大亮（捆
绑，算一个人），最后再把小慧和大智插空排列，所以 （种）。
8．含有数字3，且能被3整除的五位数共有多少个？
答案：12504.
详解：由10000至99999这90000个五位数中,共有30000个能被3整除的数.含有数字3
的不好计算，因此反过来计算不含数字3的：逐位讨论数字可能的情况：在最高位上,不能
为0和3,因此有8种可能情况.在千、百、十位上不能为3,各有9种可能情况,在个位上,不
仅不能为3,还应使整个五位数被3整除,因此,所出现的数字应与前4位数字之和被3除的余
数有关：当余数为2时,个位上可为1,4,7中的一个；当余数为1时,个位上可为2,5,8中的
一个；当余数为0时,个位上可以为0,6,9中的一个.总之,不论前4位数如何,个位上都有3
种可能情况,所以由乘法原理知,这类五位数的个数为8×9×9×9×3=17496,
因此,含数字3而又被3整除的五位数有30000-17496=12504个.
