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第2讲 整除
【兴趣篇】
1.下面有9个自然数：14，35，80，152，650，434，4375，9064，24125.在这些自然数中
请问：
（1）有哪些数能被2整除？哪些能被4整除？那些能被8整除？
（2）有哪些数能被5整除？那些数能被25整除？哪些能被125整除？
【分析与解】主要考察整除的性质：
（1）能被2整除的有 14，80，152，650，434，9064；
能被4整除的有 80，152，9064；
能被8整除的有 80，152，9064.
（2）能被5整除的有 35，80，650，4375，24125
能被25整除的有650，4375，24125
能被125整除的有4375，24125.
2．有如下9个三位数：452，387，228，975，525，882，715，775，837，这些数中那些
能被3整除？哪些能被9整除？那些能同时被2和3整除？
【分析与解】
主要考察整除的性质：能被3整除的数有：387，228，975，525，882，837
能被9整除的数有：387，882，837
能同时被2和3整除的数有：228，882
3.一个三位数 的十位数字未知。请分别根据下列要求找出“□”中合适的取值：
（1）如果要求这个三位数能被3整除，“□”可能等于多少？
（2）如果要求这个三位数能被4整除，“□”可能等于多少？
（3）这个三位数有没有可能同时被3和4整除，如果有可能，“□”可能等于多少？
【分析与解】
（1） 这个数能被3整除，则6+□+4=12或15或18，所以□=2或5或8；
（2） 若 能被四整除，则这个数的末两位能被四整除，所以□=0，2，4，6，8；
（3） 通过（1）和（2）得，当□=2，8时，能同时被3和4整除。
4.新学年开学了，同学们要改穿新的校服。小悦收课 9位同学的校服费（每人交的一样
多）交给老师。老师给了小悦一张纸条，上面写着“交来校服费 元”，其中有一滴
墨水，把方格处的数字污染的看不清了。东东看了看，很快就算出了方格处的数字。聪明
的读者们，你们能算出这个数字是多少吗？
【分析与解】9位同学交的钱数一样多，共 元，说明 能被9整除，
即2+□+3+8=13+□能被9整除，并且□是一位数，所以□=5.5.四位数 能同时被3和5整除，求出所有满足条件的四位数。
【分析与解】能被5整除，则个位数为0或者5；
当个位数为0时，2+□+9+0=11+□能被3整除，并且□为0～9的数字，
所以□=1，4，7；
当个位数字为5时，2+□+9+5=16+□能被3整除，并且□为0～9的数字，
所以□=2，5，8；
综上得满足题意的四位数为：2190，2490，2790，2295，2595，2895。
6.四位偶数 能被11整除，求出所有满足条件的四位数。
【分析与解】 是偶数，所以个位是0，2，4，6，8，并且能被11整除，则偶数位上
的数字之和与奇数位上的数字之和的差是 11的倍数，当个位是0时，6+4-□=10-□是11
的倍数，无解；当个位是2时，6+4-□-2=8-□=0，所以□=8；依次验证当□=4，6，8时，
得□=6，4，2.所以满足题意的四位数为6842，6644，6446，6248.
7.多位数 1能被11整除，满足条件的n的最小值是多少？
【分析与解】若 1 能被 11 整除，则 1+ -（ ）
=1+3n-2n=1+n·（3-2）=1+n是11的倍数，若使n最小，则1+n=11，所以n=10.
8.一天，王经理去电信营业厅为公司安装一部电话。服务人员告诉他，目前只有形如
“1234□6□8”的号码可以申请。也就是说，在申请号码时，方框内的两个数字可以随意
选择，而其余的数字不可得改动。王经理打算申请一个能同时被8和11整除的号码。请问：
他申请的号码可以是多少？
【分析与解】“1234□6□8”能被8整除，则这个数的后三位6□8能被8整除，则□=0，
4，8，当十位的□=0时，2+4+6+8-（1+3+□）=16-□是11的倍数，且□为0～9的数字，
则□=5；同理当□=4，8时，得□=1，8，所以他申请的电话号码可以是 12345608，
12341648，12348688。
9.一个各位数字互不相同的四位数能被9整除，把它的个位数字去掉后剩下一个三位数，
这个三位数字能被4整除。这个数字最大是多少？
【分析与解】设这个四位数为 ，要使这四位数字最大，则最高位的数字应该最大，
则A=9;且 能被4整除，也就是 能被4整除，并且与A的数字不同，最大为84，
所以D最大为6，这个四位数字为9846.
10. (1)一个多位数（两位及两位以上），它的各位数字互不相同，并且含有数字0.它能
被11整除，那么这个多位数最小是多少？
（2）一个多位数，它的各位数字之和为13，如果它能被11整除，那么这个多位数最
小是多少？
【分析与解】（1）若为两位数，且含有数字0，则这个数只能为10，20，30…90这样的数
字，但是他们都不是11的倍数；若为3位数，且给位数字都不相同，所以0不能在最高位，
也不能在个位（若在个位，十位与百位的数字必须相同才能被 11整除，这样与题意不符），
所以0只能在十位，既为 这种形式，A+B=11，A最小为2，所以B=9，所以这个多位数
最小为209.
（2 ）这个数不可能为两位数，若为三位数，设这个数为 ，则 A+B-C=11,且
A+B+C=13,所以B=1,A+B=12,A最小为3，所以这个数为319.
【拓展篇】
1. 判断下面11个数的整除性:
23487,3568,8875,6765,5880,7538,198954,6512,93625,864,407.
(1)这些数中，有哪些数能被4整除？有哪些数能被8整除？
(2)哪些数能被25整除？哪些数能被125整除？
(3)哪些数能被3整除？哪些数能被9整除？
(4)哪些数能被11整除？
【分析与解】
本题主要考察数整除的性质。数整除的性质一定要牢记。
（1）能被4整除的数（末两位能被4整除则这个数就能被4整除）有：3568，5880，
6512，864；
能被8整除的数（末三位能被 8整除则这个数就能被 8整除）有：3568，5880，
6512，864；
（2）能被25整除的数（末两位能被25整除则这个数就能被25整除）有：8875，93625；
能被125整除的数（末三位能被 125整除则这个数就能被 125整除）有：8875，
93625；
（3）能被3整除的数（各位数字之和能被 3整除则这个数就能被 3整除）有：23487，
6765，5880，198954，864；
能被9整除的数（各位数字之和能被 9整除则这个数就能被 9整除）有：198954，
864；
（4）能被11整除的数（奇数位数字之和与偶数位数字之和的差是11的倍数）有：6765，
6512，407.
2. 是一个四位数。数学老师说：“我在其中的方格内先后填入3个数字，得到3个
四位数，依次能被9，11，8整除。”问：数学老师在方格中先后填入的3个数字之和是多
少？
【分析与解】
能被9整除，则1+7+3+□=11+□是9的倍数则□=7，则这个四位数是1737；
能被11整除，则7+□-1-3=3+□是11的倍数则□=8，则这个四位数是1738；能被8整除，则 是8的倍数，则□=6，则这个四位数是1736；
所以□内填入的三个数分别是7，8，6，和为21.
3. 五位数 能同时被11和25整除。这个五位数是多少？
【分析与解】
能被25整除，则后两位 能被25整除，则 为75，这个五位数为 ，同
时这个数能被11整除，则□+7-3-5-0=□-1=0，□=1，所以这个五位数是31075.
4. 牛叔叔给45名工人发完工资后，将总钱数记在一张纸上。但是记账的那张纸被香烟烧
了了两个洞，上面只剩下“ ”，其中方框表示被烧出的洞。牛叔叔记得每名工人的
工资都一样，并且都是整数元。请问：这45名工人的总工资有可能是多少元呢？
【分析与解】
通过题意得， 能被45整除，45=5×9，所以 能同时被5和9整除；这个数
能被5整除，则这个数的末位能被 5整除，所以末位可以是0或者是5；当末位是0时，
6+7+8+□=21+□能被9整除，则□=6；当末位是5时，6+7+8+□+5=26+□能被9整除，则
□=1，
这45名工人的总工资有可能是67680或67185.
5. 六位数 能同时被9和11整除。这个六位数是多少？
【分析与解】
设这个六位数为 ，这个数能被9整除，则A+2+8+B=10+A+B=18或27，既A+B=8或
17 （1），同时这个数能被11整除，则A+8-2-B=A+6-B=0或11 （2）；（1）与（2）联立
得A=1，B=7，所以这个六位数为120087.
6. 请从1，2，3，4，5，6，7这7个数字中选出5个组成一个五位数，使它是99的倍数。
这个五位数最大是多少？
【分析与解】
因为99=9×11，所以这个五位数能同时被9和11整除；首先要看能被9整除数的特点：选
出五位数使得他们的和是9的倍数，7+5+3+2+1=18 （1）或者6+5+4+2+1=18 （2）;当为
（1）时，同时这五个数满足能被11整除，所以技术为上的数字和与偶数位的数字和之差
为0，符合条件的最大的五位数为57321；同理满足条件（2）的最大的五位数为65241，
所满足条件的最大的五位数为65241.
7. 小悦写了一个两位数59，冬冬写了一个两位数89，他们让阿奇写了一个一位数放在
59和89之间拼成一个五位数 ，使得这个五位数能被7整除。请问：阿奇写的数是多少？
【分析与解】
考察能被7整除的数的特点。因为五位数 能被7整除，所以 －59= 是7的
倍数，所以□=6，这个五位数为59689.
8. 已知51位数 能被13整除，中间方格内的数字是多少？
【分析与解】
先看前25个5，我们可以先把它看做25位数，则这个数字除以13的余数是多少呢？我们
可以把六个5看做一组，则555555=555×1001，所以555555一定能被13整除，
25÷6=4…1，剩下一个5所以此时原书转化为 ，同理最后的24个9也能被13整
除，所以要是这个51位数能被13整除，则 能被13整除，所以□=5，既中间方格内的
数字是5.
9. 用数字6，7，8各两个数，要组成能同时被6，7，8整除的六位数。请写出一个满足
要求的六位数。
【分析与解】
能被8整除的数字为末三位数字能被8整除，则由这三个数字首先能想到的数字是678，并
且能被7整除，则末三位与前几位数字的差能被7整除，所以为678678，且这个数字能被
6整除。
10. 东东和阿奇玩一个数字游戏。冬冬先将一个三位数的百位数与个位数填好，然后阿奇
来填这个三位数的十位。如果最后这个三位数能被 11整除，那么阿奇获胜，否则东东
获胜。东东想了一会，想到一个必胜的办法。请问：冬冬想到的办法是什么？
【分析与解】
考察被11整除数的特点。设这个三位数为 ，A+B－C=0或者是11，若差为0，则
A+B=C
既A+B=C=1～9，若差为11时，A+B=C+11，则A+B=11～20，通过观察发现这两种情况没有
出现的是A+B=10的情况，所以东东想要获胜，只要让A+B的和是10就可以了。
11. 对于一个自然数 ，如果具有以下的性质就称为“破坏数”：把它添加到任何一个自
然数的右端，形成的新数都不能被 整除。请问：一共有多少个不大于 10的破坏
数？
【分析与解】
我们找的数是从1～10中的破坏数，只有10个数字，所以我们可以采取逐一尝试的方法。
当 =0时，则形成的新数个位数字是0，是个奇数，而 =1，任意数都能被1整除，所
以0不是一个破坏数；
当 =1时，则形成的新数个位数字是1，是个奇数，而 =2， 奇数一定不能被2整除，
所以1是一个破坏数；同理得到10以内的所有的破坏数为1，3，4，5，7，9，共6个。
12. 一个五位数，它的末三位为999.如果这个五位数能被23整除，那么这个五位数最小
是多少？
【分析与解】
首先推导一下能被23整除的数的特点：
因为：23×435＝10005，29×345=10005，
由此得到一个末四位隔开的方法
由于
所以 （mod23）
因此，判定一个数可否被23整除，只要将其末四位与前面隔开，看末四位与前面隔出数的
5倍的差（大减小）是否被23整除。
设这个数最小为 ， -5×B是23的倍数，验证得当B=2，A=0时是23的倍数，
所以这个五位数最小是20999.
【超越篇】
1. 在所有个位数字互不同的五位数中，能被45整除的数最小是多少？
【分析与解】
五个数字互不相同的五位数最小是 10234，但是还要考虑这个数能被 45 整除，因为
45=5×9，所以这个数能同时被5和9整除，所以个位应为5，这个数字可以为10235，又
因为能被9整除，则数字和最小为18，而10235为11，则还应该是某些数字变大，但还要
让这个数尽可能的小，则只能改变十位和百位，十位和百位的数字和应为 12，最小的组合
为39。所以这个五位数最小为10395.
2. 将自然数1，2，3，…，一次写下去形成一个多位数“123456789101112…”。当写到
某个数 时，形成的多位数恰好第一次能被90整除。请问： 是多少？
【分析与解】
这个数能被90整除，既90=9×10这个数的个位一定是0，当这个数是12345678910时，这
个数不能被 9整除；当这个数是 1234567891011121314151617181920时，各位数字和为
102，不是9的倍数；当这个数为123456…282930，各位数字和为165，仍不是9的倍数；
同理，当这个数为123456…787980时，各位数字和为648是9的倍数，所以 是80.
3. 小悦的爸爸买回来两箱杯子，两个箱子上个贴有一张价签，分别写着“总价
117.□△元”，“总价127.○◇元”（□，△，○，◇四个数字已辨认不清，但是他们互
不相同）。爸爸告诉小悦，其中一箱装了99只A型杯子，另一箱子装了75只B型杯子，
每只杯子的价格都是整数分。但是爸爸记不清每个价签具体是多少钱，也不记得那个箱子装的是A型杯子，哪个箱
子装的是B型杯子了。爸爸知道小悦的数学水平很厉害，于是他想考考小悦。
小悦看了看，说：“这课难不倒我，我刚好学了一些复杂的整除性质，这下可以派上用场
了。”
同学们，你能像小悦一样把价签的数分辨出来吗？
【分析与解】
由题意知，1+1+7+□+△=9+□+△是9的倍数，所以□+△是9的倍数，既□+△可能为
0+9=1+8=2+7=3+6=4+5，又1+7+△-（1+□）=7+△-□=0综合这两个条件得△=1，□=8；
127. ○◇是75的倍数，75=25×3，所以○◇=00或者25或者50或者75，又因为127.
○◇是3的倍数，所以1+2+7+○+◇=10+○+◇是3的倍数，也就是1+○+◇是3的倍数，
所以○◇=50，
这两个数分别是117.81，127.50.
4. 冬冬在一张纸上依次写下2，3，4，5，6，7这6个数字，形成一个六位数，阿奇把这
张纸条撕成三节。这三节纸上的数相加起来得到的和（如图 2-1，三条纸条上的和为
23+456+7=486）能被55整除。请问：阿奇可能是在什么位置撕段的这张纸条？
2 3 4 5 6 7
图2-1
【 分 析 与 解】
这3个数的和是55的倍数，55=5×11，所以这3个数的和同时是5和11的倍数，若为5的
倍数，则这个数的末尾为0或者是5，所以这3个数可能为2，3456，7或者23，45，67。
2+3456+7=3465，并且3465是11的倍数；23+45+67=135不是11的倍数，所以阿奇可能是
在2，3456，7撕段的这张纸条。
5. 将一个自然数 接在任一自然数的右边（例如将2接在13的右边得到132），如果所
得的新数都能被 整除，那么称 为“神奇数”。请求出所有的两位“神奇数”。
【分析与解】
本题考察数整除的特点，主要是末两位数的整除的特点。2，5都是看数的末位，所以
2×5=10，10是个神奇数；4，5看末两位，4×5=20，若一个数的末两位是20，则这个数
一定能被4和5同时整除，所以20也是一个神奇数；5×5=25，若一个数的末两位是25则
这个数一定能被25整除，所以25也是一个神奇数；2×5×5=50，也是一个神奇数；而能
被3，7，11整除的数的特点则不能确定，所以两位的神奇数只有10，20，25，50这四个
数。
6. 在六位数 中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被17和19整除。
【分析与解】
这个六位数能同时被17和19整除，所以这个数能被17×19=323整除，我们可以把这个题
转化为数字迷问题，也就是问323×？= ，把这个数字迷给写成竖式的形式，此题
就更容易了。首先看个位，积得个位是1，只有3×7=21，个位为1，323×7=2261，十位
的6加上5和的个位才为1，所以乘数的十位应为5，又因为乘积的最高位是1，所以乘数的百位为3，既323×357=115311,,方框内填的数应为53.
7. 多位数 由数字1，3，5，7，9组成，每个数字都可以重复出现但至少出现一次，而
且 可以被 中任意一个数字整除。求这样的 的最小值。
【分析与解】
117935
8. 有一些自然数，从左向右读与从右往左读史完全一样的，我们 将这样的数称作“回文
数”。比如2332，181，77都是回文数。如果一个六位回文数除以95的商也是回文数，那
么这个六位数是多少？
【分析与解】
527725
