文档内容
第 3 讲 质数与合数
内容概述
掌握质数与合数的概念；熟悉常用的质数，并掌握质数的判定方法；能够利用分解质
因数的方法解决相关的整数问题；学会计算乘积末尾零的个数．
典型问题
兴趣篇
1．(1)如果两个质数相加等于16，这两个质数有可能等于多少？
(2)如果两个质数相加等于25，这两个质数有可能等于多少？
(3)如果两个质数相加等于29，这样的两个质数存在吗？
答案：（1）3,13或5,11。 （2）2,23 （3）不存在
详解：利用奇偶性。奇数+奇数=偶数，奇数+偶数=奇数。两个质数和为奇数，必有质数2
2．有人说：“任何7个连续整数中一定有质数．”请你举一个例子，说明这句话是错的．
答案：90,91,92,93,94,95,96
3．请写出5个质数，使得它们正好构成一个公差为12的等差数列．
答案：5,17,29,41,53
4．请把下面的数分解质因数：(1) 160；(2) 598；(3) 211.
答案：（1）160=
（2）
（3）211是质数
5．三个自然数的乘积为84，其中两个数的和正好等于第三个数，请求出这三个数．
答案：3,4,7
详解：分解质因数84= ，两个数的和等于第三个数，因此三个数分别为3,4,7
6．用一个两位数除330，结果正好能整除，请写出所有可能的两位数．
答案：11,22,33,55,66,10,15,30
详解：分解质因数330= ，结果是两位数，枚举即可
7．三个连续自然数的乘积等于39270.这三个连续自然数的和等于多少？
答案：102
详解：分解质因数39270= = ，三个数和为102
8．请将2、5、14、24、27、55、56、99这8个数分成两组，使得这两组数的乘积相等．
答案：5,14，24和99为一组；2,27,55和56为一组
详解：分别分解质因数，讲质因子平均分到两组即可
9．请问：算式l x2 x3×…×15的计算结果的末尾有几个连续的0?答案：3个
详解：连乘结果末尾0的个数取决于有几个10相乘，10= ，2的个数明显要多于5的
个数，因此只要算出有几个5即可。[15 ]=3,因此有3个连续的0
10．请问：连续两个两位数乘积的末尾最多有几个连续的0?
答案：2个
详解：连续两个两位数最多分解出2个2 ，如
拓展篇
1．一个两位质数的两个数字交换位置后，仍然是一个质数，请写出所有这样的质数．
答案：11,13,17,31,37,71,73,79,97
2．9个连续的自然数中，最多有多少个质数？
答案：4个
详解：自然数越大，质数的密度越小。1~9,2~10,3~11,5~13,11~19，这些范围内，都可得到
4个质数
3．(1)两个质数的和是39，这两个质数的差是多少？
(2)三个互不相同的质数相加，和为40，这三个质数分别是多少？
答案：（1）35 （2）2,7和31
详解：利用奇偶性，奇数+奇数=偶数，奇数+偶数=奇数。两个质数和为奇数，必有质数
2。
（1）39=2+37,37-2=35；（2）40=2+38+2+7+31
4．一请把下面的数分解质因数：(1) 360; (2) 539; (3) 373; (4) 12660.
答案：（1）360=
（2）539=
（3）373是质数
（4）12660=
5．有一些最简真分数，它们的分子与分母的乘积都等于 140．把所有这样的分数从小到大
排列，其中第三个分数是多少？
答案：
详解：分解质因数140= ，分数从小到大为 ， ，
6．冬冬在做一道计算两位数乘以两位数的乘法题时，把一个乘数中的数字 5看成了8，由
此得乘积为1104．正确的乘积是多少？
答案：1035详解：分解质因数：1104= =48 ，把8改成5,得45 =1035
7．甲、乙、丙三人打靶，每人打三枪．三人各自中靶的环数之积都是 60，且环数是不超
过10的自然数．把三个人按个人总环数由高到低排列，依次是甲、乙、丙．请问：靶子上
4 环的那一枪是谁打的？
答案：丙
详解：分解质因数60= ，枚举得1+6+10=17,10+2+3=15,2+6+5=13,3+4+5=12环数最
低为丙的成绩
8．975×935×972×□，要使这个连乘积的最后4个数字都是0，方框内最小应填什么数？
答案：20
详解：分别分解得：975= ；935= ，972= 。结果有4个0，需要2和
5分别至少有4个。还少两个2和一个5，因此 =20
9．(1)算式1×2×3×…×29×30的计算结果的末尾有几个连续的0？
(2)算式31×32×33×…×150的计算结果的末尾有几个连续的0？
答案：（1）7个；（2）30
详解：连乘结果末尾0的个数取决于有几个10相乘，10= ，2的个数明显要多于5的
个数，因此只要算出有几个5即可。
（1）[30 ]=6,[6 ]=1,6+1=7
(2) 先计算 1×2×3×…×150 的末尾有几个连续的 0，[150 ]=30,[30 ]=6,[6
]=1,30+6+1=37(个)；再计算1×2×3×…×29×30末尾有几个连续的0，[30 ]=6,[6
]=1,6+1=7（个）。作差：37-7=30（个）
10．把从l开始的若干个连续的自然数1，2，3，…，乘到一起．已知这个乘积的末尾13
位恰好都是0．请问：在相乘时最后出现的自然数最小应该是多少？
答案：55
详解： ，11+2=13.因此最小应为55
11．168乘以一个大于0的整数后正好是一个平方数．乘的这个整数至少是多少？所得乘
积又是多少的平方？
答案：这个整数至少是42，乘积是84的平方。
详解：分解质因数168= 。结果为平方数，所有质因数必须要有偶数个，因此另一
个因数为 =42.所有质因数平均分得
12．(1) 60乘以一个三位数后，正好得到一个平方数．这个三位数至少是多少？
(2) 72乘以一个三位数后，正好得到一个立方数．这样的三位数一共有多少个？答案：（1）135；（2）3个
详解：（1）分解质因数60= ，结果为平方数，所有质因数必须要有偶数个，
不是三位数，因此
（2）分解质因数72= ， 结果可以为三位数，因此有三个
超越篇
1．如图3-1，三张卡片上各印有一个数字．从这三张卡片中选取一张或多张（每张最多选
1次）拼成质数，一共可以拼成多少个不同的质数？
答案：5个
详解：分别为：7,97,79,89,67
2．用l、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数字组成若干质数，要求每个数字恰好使用一次．
请问：最多能组成多少个质数？请找出一种满足要求的组法，
答案：6个
详解：2,3,5,89,41,67
3．三个质数的乘积恰好等于它们和的5倍，这三个质数分别是多少？
答案：2,5,7
详解：abc=5（a+b+c），因此必有一个数为5.试算得三个数分别为2,5,7
4．在射箭运动中，每射一箭得到的环数都是不超过 10的自然数．甲、乙两名运动员各射
了5箭，每人5箭得到的环数的积都是1764，但是甲的总环数比乙少4环．求甲、乙各自
的总环数．
答案：甲24环，乙28环
详解：分解质因数1764= ，枚举得： （和24），
（和 27）， （和 25）， （和 28）， （和
27）
5．两名运动员进行一场乒乓球比赛，采取三局两胜制，每局先得 11分者为胜，如果打到
10平，则先多得2分者为胜．结果三局比赛下来，单方最高得分都不超过20分，把每人每
局得分乘在一起恰为480480.请问：各局的比分分别是多少？（按大比小的方式写出）
答案：16:14,15:13，11:1
详解：
6．如图3-2，把13、12、15、25、20这5个数依次排列．它们每相邻的两个数相乘得 4个
数，这4个数每相邻的两个数相乘得3个数，这3个数每相邻的两个数相乘得2个数，这2
个数相乘得1个数，请问：最后这个数从个位起向左数，可以连续地数出几个0？
答案：10个
详解：5的个数比2多，因此只看2即可7．从l !，2！，3！，…，100！这100个数中去掉一个数，使得剩下各数的乘积是一个完
全平方数．请问：被去掉的那个数是什么？
答案：50！
详解： ，其中2,4,6,8，,100有奇数个，提出
公因数2，得 ，因此去掉50！
8．已知对任意正整数n，都有公式： ，求分数
化成最简分数后的分母。
答案：72
详解：原式=
=
=
分母
分子中共有因数2的个数为：50+25+12+6+3+1=97个
分子中共有因数3的个数为：33+11+2+34+12+4+2=98个
约分后分母为
