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第 5 讲 竖式问题
内容概述
以字母或汉字表示数字的竖式问题，学会选择适当的突破口，
并逐步解决问题；能够将文字叙述的题目转化为数字谜形式，
便于直观地解决问题。
典型问题
兴趣篇
1.如图5-1所示，每个英文字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字，
其中“G”代表“5”，“A”代表“9”，“D”代表“0”，“H”代表“6”.问：
“I”代表的数字是多少？
分析：
A+D=D，所以,它们的和一定有进位，所以 C=4，A+E=H也一定有
进位，所以E=7，现在还剩1、2、3、8没有用，所以B、F分别是1、
2，I=3.
2. （1）在图5-2的加法竖式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代
表相同的数字，那么每个汉字各代表什么数字？
(2) 在图5-3的减法竖式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相
同的数字，那么每个汉字各代表什么数字？
分析：
（1）观察可得：车=1，卒
=0，兵+兵=卒，所以兵=5，马
+1=5，所以马=4，炮+炮=马，
所以炮=2
5240+5210=10450
（2）观察可得：炮=1，兵—兵=马，一定有借位，所以马=9，炮—兵=马，所以：兵=2，
1221—292=929
3. 在图5-4的竖式中，相同的汉字代表相同的
数字，不同的汉字代表不同的数字，如果 23+解
+数+字+谜=30，那么“ ”所代表的三
数字谜
位数是多少？4. 图5-5所示的竖式中，每个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字，
那么“ ”代表的四位数是多少？
北京奥运
分析：
观察可得：北=1，北+京+奥=0，所以可得要进位，所以；京=8，北+京+奥
+运=8，所以要进2位，所以：奥=0，运=9
北京奥运=1809
5. 已知图5-6所示的乘法竖式成立，那么 是多少？
6. (1) 在图 5-7的竖式中，相同的符号
代表相同的数字，不同的符号代表不同
的数字，那么☆、△、○分别代表什么
数字？
(2) 在图 5-8 的竖式中，相同的符号代
表相同的数字，不同的符号代表不同的
数字，那么☆、△、○分别代表什么数
字？
分析：
（1）△×△=△，所以△=1、5、9,三种可能，因为是三位数乘一位
数等于四位数，所以1排除，经分析：△=5，☆=2，○=1
（2）△=1、5、6三种可能，排除1，当△=5时，☆=4，○=2当△=6时，☆=5，○=3
7. 如图5-9，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字，那么
十个方框中数字之和是多少？
分析：
B×B=B，所以 B=1、5、6，三种可能，经分析 1 排除，A×B=B，
所以 B=5，A 为奇数，三位数乘 B 得三位数，所以第一个方格中添
1，一百多乘一位数得四位数，所以 A 只能是 7、9，当 A=7 时，
C=7，矛盾不成立；当A=9时，C=7，成立；
所以：195×95=18525 1+9+1+7+5+1+8+5+2+5=44
8. 在图5-10和图5-11中的方格内填入适当的数字，使下列除法竖式成立.
分析：
（1）除数×9=783，所以除数
=87,87×6=522，所以被除数=6003
6003÷87=69
（2）除数×8=232，所以除数=29,29×5=145，所以被除数=2465
2465÷29=85
9.在图5-12所示的除法竖式中填入合适的数字，使得竖式成立，那么其中的商
是多少？
分析：
除数×7=两位数，除数×另一个一位数=三位数，
且三位数的十位上是 2，所以除数只能是
14,14×7=98,14×9=126，所以除数=79
10. 有一个四位数，它乘以9后所得乘积恰好是将原来的四位数各位数字顺序
颠倒而得的新四位数，求原来的四位数.
拓展篇
1. 在图5-13和5-14中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数
字，求出它们使竖式成立的值.
分析：
（1）观察得：巧=1、语=5，四个
语相加得 20，进 2，所以三个英相加
得数的个位是 8，所以英得 6，向前进
2，所以学+学得数个位也是 8，所以
学=4 1465
（2）观察的奥+林有进1，所以奥=6，奥+林+匹进2，所以林=7，奥+林+匹
+克进3，所以匹=8，克=9 6789
2. 如图5-15，在这个算式中，相
同的字母代表相同的数字，不同
的字母代表不同的数字，那么数
字A、B、C分别是多少？
分析：
观察 C—A=A，C—B=B,所以 C—A 没有借位，C—B 有借位，
B—B=B，所以有借位且B=9，C=8，已知C—A=A，所以A=4
4、9、8
3. 在图5-16的竖式中，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的
数字，并且A<B<C<D. 问：竖式中的和是多少？
分析：
观察得A=2，B=3，C=4，D=52233+3344+4455=10032
4. 在图5-17的竖式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的
数字，那么“ ”所代表的七位数是多少？
携手上海世博会
分析：
观察得，黄金三角：携=1，手=0，上=9，个
位数的和肯定要进位，要使进 1 为，则博=7，所
以会只能是 2，海=4，假设百位向前进 2 位，办
=6，当世=3 时，在=8，成立，1094382 ；假设百位向前进 3 位，办
=5，当世=8时，在=3，成立，1094872；
5. 小悦写了一个四位数，冬冬把这个四位数的个位抹掉，变成了一个三位数，
阿奇又把这个三位数的个位抹掉，变成了一个两位数，最后把这三个数加起来，
结果刚好是7826. 小悦原来写的四位数是多少？
分析：
ABCD+ABC+AB=7826 利用位值原理
1000A+100B+10C+D+100A+10B+C+10A+B
=1110A+111B+11C+D=7826
当A=7时7826－7770=56 则B=0 当C=5时 56-55=1 则D=1
即7051
6. 一个各位数字互不相同的三位数，用它的三个数字组成一个最大的三位数，
再用这三个数字组成一个最小的三位数，组成的这两个三位数之差正好是原来
的三位数. 求原来的三位数.7. (1) 一个自然数的个位数字是 4，将这个4移到左边首位数字前面，所构成
的新数恰好是原数的4倍，那么原数最小是多少？
(2) 一个五位数，将它的各位数字顺序颠倒就可以得到一个新的五位数，而且
这个新的五位数恰好是原数的4倍，那么原来的五位数是多少/
（1）
（2）21978
8. 如图5-18，每一个英文字母代表 0，1，2……9中的一个数字，不同的字母
代表不同的数字，则字母A、Q、T、R、F分别代表什么数字？分析：
.........Q为5或6 当Q=5时A=2 T=1符合题意，当Q=6时AQ×Q不等
于TAQ
........AQ×T=AQ 则T=1
A=2，Q=5，T=1，R=7，F=3
所以
9. 图5-19中的竖式里，“江”、“峡”、“美”三个汉字分别代表三个各不
相同的数字，请把这个竖式写出来.
分析：
先确定"美"是0,1,5,6中的一个，通过实验排除0,1,5，所以美=6
通过"美"确定"江"是2或4或8之一，又因为江峡美×江=□□江，则
4或8排除，所以江=2
由于江峡美×峡=□□□峡，则峡=8
10. 请把如图 5-20 所示的除
法竖式中空缺的数字补上，其
中的商是多少？
分析：
.........6□□×□=6□7 则除数个位是7，商的十位数字是1
.........6□7×□=□□61 则商的个位数字是3，除数的十位
数字是811. 请把图5-21中的除法竖式补充完整。
分析：
...........□□×□=□7 则商的百位数字是1，除数的个位数
字是7，十位数字是7或6，经试验可排除7
...........67×□=□□□ 则商的十位数字是0，个位数字是7
12. 在图5-22的字母竖式中，不同的字母代表不同的数字，请填同这个竖式.
分析：
M=3 ， H=8 ， G=7 ， T=6 ， E=2 ， I=1 ，
C=4，A=9，P=0
超越篇
1. 图 5-23 是一个加法竖
式，其中 E、F、I、N、
O、R、S、T、X、Y 表示 0
至 9 中的不同数字，且
F、S 不等于零，这个算式
的结果是多少？
[分析与解] 我们先看个位有Y+2N对应Y，从而N为0或5，再看十位有T+2E对应
T，从而有E为0或5，但是个位没有进位，不然T+2E+1，T的奇偶性不同，不可能对应
T．所以N只能为0，于是E为5．
千位上一定有进位，所以O加上百位的进位的和位I+10，此时I只可能为1或0，而已
经确定N为0，所以I只能为1，那么O只能为9，并且百位进2．
已确定E为5，十位上进1，因此对于百位有R+2T+1＝20+X，余下未确定的字母有
F，S，R，T，X，Y，它们在2，3，4，6，7，8中取值，且满足F+1＝S，R+2T+1＝
20+X．
由于R、T必大于5，所以F，S为2，3，4中连续的两个数，又知X小于5，所以X
为2或4，验证有X为4，F＝2，S＝3，R＝7，T＝8，Y＝6时满足题意，对应的竖式如下：
．
2. 澳门的拼音和英语写法为 AOMEN及MACAO， 我们规定这些字母表示 1至9中的不同数字，那么图5-24中竖式的计算结果最大是多少？
分析：
A=1,C=9,E=6,M=8,N=5,O=7
3. 华罗庚在与钱三强、赵九章等几位科学家聚会时对了一副美妙的对联；三强
韩赵魏，九章色股弦. “三强”不但指战国三强，还体现了钱三强的名字；
“九章”既指记录勾股定理的数学著作，又体现了赵九章的名字，我们来用这
副有趣的对联做下面的题目：
(1)在图5-25的竖式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的
数字，如果“三”代表3，“九”代表9，请将竖式补充完整. (只需要找出一
种解答)
(2) 在图5-26的竖式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的
数字，如果“ ”代表345，请将竖式补充完整.
勾股弦
分析：
(1)三=3，强=2，韩=0，赵=5，魏=8，九=9，章=6，勾=1，股=7，弦=4
4. 在图5-27的竖式中，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的
数字，那么 所代表的七位数是多少？
分析：
A=3,B=5，C=6，D=2，E=1，F=7，G=9
5. 请把图5-28中的除法竖式补充完整.
分析：
45073÷137=329
6. 在图5-29所示的除法竖式中，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字，请问：被除数是多少？
[分析与解] 由竖式中C－C＝Y或10+(C－1)－C＝Y得Y＝0或9．
若Y＝0，则由最后一个减式得L＝1，G＝9，R＝8，导致A＝R，矛盾．所以Y＝9；
仍由最后一个减式得L＝8，G＝0，R＝1，A＝2，从而用1989U÷8得除数中的I为
4．再由8914÷248S得商的首位C＝3，并且S＝7，即被除数是891437．
除法算式为891437÷2487＝358……1091．竖式如下：
．
7. 在图5-30的乘法竖式中，“二”代表除以3余2的数字，即2、5、8中的一
个；“—”代表除以3余1的数字，即1、4、7中的一个；“零”代表除以3余
0的数字，即0、3、6、9中的一个，请填出这个竖式.
分析：
251×29=7279
8. 在图5-31的加法竖式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不
同的数字，其中W=0. 请用合适的数字替换字母，使得竖式成立.
分析：
52371+52371+104+485+485=105816
