文档内容
第 4 讲 数阵图初步
内容概述
各种较为基本的数阵图问题，了解重数的概念，并以此进行分析；学会分析特殊位置
上的数值；某些情况下还需要考虑对称性。
典型问题
兴趣篇
1. 在图4-1中的三个圆圈内填入三个不同的自然数，使得三角形每条边上的三个数之和都
等于11.
【答案】：
【分析与解】：先如下图将空白处标上字母：
根据题意：a＝11－2－5＝4；b＝11－4－1＝6；c＝11－2－6＝3.
2. 请分别将1，2，4，6这四个数填在图4-2中的各空白区域内，使得每个圆圈里四个数之
和都等于15.【答案】：
【分析与解】：如下图，先将空白区域标上字母
根据题意：上面圆内四个数之和等于15，可得a＋d＝15－5－7＝3＝1＋2；
同理，b＋d＝15－5－3＝7＝1＋6；c＋d＝15－7－3＝5＝1＋4。由于d属于三个圆的公共
部分，经对比发现可得：d＝1；a＝2；b＝6；c＝4.
3. 如图4-3所示，请在三个空白圆圈内填入三个数，使得每条直线上三个数之和都相等。
【答案】：
【分析与解】：如下图：
因为8＋9＋a＝b＋a＋7可得b＝10；那么每条线的和＝8＋3＋10＝21；那么a＝21－8－9
＝4；c＝21－8－7＝6.
4. 把1至8分别填入图4-4的八个方格内，使得各列上两个数之和都相等，各行四个数之和也相等。
【答案】：
1 7 6 4
8 2 3 5
【分析与解】：因为1＋2＋3＋……＋8＝36；所以每行的和等于36÷2＝18；每列的和＝
36÷4＝9；从列入手，可将1~8这八个数分为和等于9的四组：1＋8＝2＋7＝3＋6＝4＋5。
再调整使行和等于18：我们发现1＋4＝2＋3；8＋5＝6＋7.经过调整可得答案。
5. 把1至12分别填入图4-5的圆圈内，使图中三个小三角形三条边上的六个数之和相等。
【答案】：
【分析与解】：经过观察发现，此图是个具有对称性的图案；若使三个小三角形的三边之
和相等；只需要使得图中每条边上的两个数之和相等即可。因此可将 1~12对称性地分为六
组如下：1＋12＝2＋11＝3＋10＝4＋9＝5＋8＝6＋7.
6. 在如图4-6所示的3×3方格表内填入1、2、3这三个数字各三次，使得每行每列以及两
条对角线上的三个数字之和都相等。
【答案】：1 3 2
3 2 1
2 1 3
【分析与解】：
利用此图的对称性；可将中间数2填入此图的正中心；然后利用每行每列都是1、2、3并
注意使对角线的和等于6可将此图填写完整。
7. 把1至6分别填入图4-7的六个圆圈内，使得每个正方形四个顶点的数之和都为13.
【答案】：
【分析与解】：如下图所示：
根据题意有：a＋b＋c＋d＝13；c＋d＋e＋f＝13
将上述两个算式相加可得：（a＋b＋c＋d＋e＋f）＋c＋d＝26；也就是21＋c＋d＝26；得
到：
c＋d＝5＝1＋4＝2＋3；a＋b＝e＋f＝13－5＝8；而8＝2＋6＝3＋5只有这两种组成方式；
因此排除掉c＋d＝2＋3；所以c＋d＝1＋4。
8. 把1至6分别填入图4-8的六个方格内，使得横行三个数之和与竖列四个数之和相等. 这
个和最大是多少？最小是多少？
【答案】：最大13；最小11
【分析与解】：如下图标上字母，并且设两条线上的和均为k。a b c
d
e
f
依据题意有：a＋b＋c＝k；b＋d＋e＋f＝k；将这两个等式相加可得：
（a＋b＋c＋d＋e＋f）＋b＝2k；21＋b＝2k。由奇偶性可得：b只能取1、3、5；分别对应
k的值为11、12、13.可知和最大为13，最小为11.
9. 把1至7这七个数分别填入图4-9中各圆圈内，使每条直线上三个圆圈内所填数之和都相
等，如果中心圆内填入数相等，那么就视为同一种填法，请写出所有可能的填法。
【 答 案 】 ：
【分析与解】：如下图所示标上字母，并设每条线的和为k。根据题意有：a＋b＋c＝k；a＋d＋e＝k；a＋f＋g＝k；将三式相加可得：
（a＋b＋c＋d＋e＋f＋g）＋2a＝3k；28＋2a＝3k；经过分析可知：
当a＝1时，k＝10；当a＝4时，k＝12；当a＝7时，k＝14。
10.在图4-10的6个圆圈内分别填入不同的自然数，使得每一个数都是与它相连的上面两个
数之和，那么最下面那个数最小是几？
【答案】：8
【分析与解】：根据题意可知；只要上面三个数确定，那么下面三个数也就确定了；若使
最下面数最小，那么必须使最上面三个数最小，并且将最小数放在最中间；经过尝试有如
下填法：
拓展篇
1. 将1至9分别填入图4-11中的圆圈内，可以使得图中所有三角形（共七个）的三个顶点
上的数之和都等于15. 现在已经填好了其中三个，请你在图中填出剩下的数.
【答案】：
【分析与解】：先标上字母：c＝15－5－6＝4；同理可得：b＝2；a＝7；d＝3；e＝8；f＝1.
2. 在图4-12中的八个圆圈内分别填入八个不同的自然数，使得正方形每条边上三个数的和
相等. 现在如果已经填好了五个数，那么每条边上各数之和应该是多少？并将其补充完整。
【答案】：
【分析与解】：先标上字母：
有1＋16＋a＝a＋9＋b；可得b＝8；和＝7＋6＋8＝21；c＝21－1－7＝
13.
3. 图4-13是由四个交叠的长方形组成的，在交点处有八个小圆圈. 请你把1、2、3、4、5、
6、7、8这八个自然数分别填入这些小圆圈内，使得每个长方形上的四个数之和都相等。【答案】：
【分析与解】：先标上字母：
我们发现：a与b总是在一起；同样：c与d；e与f；g与h也总是在
一起；考虑将1~分为4组：1＋8＝2＋7＝3＋6＝4＋5.
4. 在图4-14中的方格内填入三个0、两个2、两个3、两个4，使得每个箭头所指的列中各
方格内数字之和都是6，并且使得从上到下第二行与第三行的数字之和都是7.
【答案】：
↓
↓ 4 ↓
3 2 2
0 3 0 4 0
【分析与解】：先标上字母有：
↓
↓ a ↓
b c d
e f g h i
总和＝2×（2＋3＋4）＝18；而中间三列之和＝6×3＝18；所以e＝i＝0。同样第二、三行之
和＝7×2＝14；所以a＝18－14＝4。则可以根据和依次填出其他方框内数字。
5. 请在图4-15的每个小圆圈内填入1或2，使得每个大圆圈上四个数之和两两不同，那么所填数的总和是多少？
【答案】：9
【分析与解】：观察得知：每个圆上面均有四个小圆圈；经过试验可填出：
；此时所有圆圈内所填数之和等于9。
6. 把1至8分别填入图4-16的八个圆圈内，使得任意两个有线段直接相连的圆圈内的数字之
差都不等于1.
【答案】：
【分析与解】：先标上字母如下：
发现b与除了d之外的所有格子相连，意味着在1~8范围内，与b相差1的只有d；同样的道理，与c相差1的只有a；那么可以推出a＝7，c＝8；b＝
1，d＝2；进而可以推出其它位置。
7. 在图4-17的七个圆圈内填入七个连续自然数，使得每两个相邻圆圈内所填数之和都等于
它们连线上的已知数. 请问：标有★ 的圆圈内填的数是多少？
【答案】：5
【分析与解】：从和最小的4入手；4＝1＋3。若4的上面填1下面填3，可以利用线上的
和算下去发现所填的数并不是7个连续的自然数；所以4的上面填3下面填1，此时可推断
出★＝5.
8. 小悦是8月11日15点整出生的，她想把1，2，3，4，5，6，7这七个数填入图4-18的
七个方框里，每个数只填一次，使三条直线上的三个数之和恰好是 8，11，15，问：在圆
上的三个数的乘积最大可能是多少？
【答案】：168
【分析与解】：先标上字母如下：
可知：a＋b＋c＝8；a＋d＋e＝11; a＋f＋g＝15;将三式相加有：
（a＋b＋c＋d＋e＋ f＋g）＋2a＝34；解得a＝3；则b＋c＝5＝1＋4；若使圆上乘积最大，
则c＝4；同理可得：d＝2；e＝6；f＝5；g＝7.此时圆上上个数的乘积为4×6×7＝168.
9. 把1至6这六个数字填入图4-19六个圆圈内，使得三角形每条边上三个数之和都相等，那么这个和最小是多少？最大是多少？
【答案】：最小是9，最大是12
【分析与解】：标注字母如下图；并设每条线的和为k：
根据题意有：a＋b＋d＝k; b＋f＋c＝k; a＋e＋c＝k；将三式相加：
（a＋b＋c＋d＋e＋f）＋（a＋b＋c）＝3k；21＋（a＋b＋c）＝3k；若使k最小，则使a＋b
＋c最小；此时a＋b＋c＝1＋2＋3＝6；k＝9.若使k最大，则使a＋b＋c最大；此时a＋b＋
c＝4＋5＋6＝15；k＝12.
10. 把1至11填入图4-20中“六一”图形的十一个空格内，使得每一条直线上的两个或三个数
之和都相等。
【答案】：
【分析与解】：标注字母如下图，并且设每条线上的和为m：
有：a＋c＋d＝m；b＋c＝m；e＋f＝m；g＋h＝m；i＋j＋k＝m;
五式相加得：（a＋b＋c＋d＋e＋f＋g＋h＋i＋j＋k）＋c＝5m；66＋c＝5m；设c＝4，m＝
14；进而可得出上图结果。
11. 请将1至6填入图4-21的六个圆圈内，使得四条直线上的数字之和都相等。
【答案】：
【分析与解】：标注字母如下图，且设每条线上的和为k：
有：a＋b＋c＝k；a＋d＋f＝k；c＋d＋e＝k；e＋f＝k；将上述算式相
加有：
2（a＋b＋c＋d＋e＋f）－b＝4k；42－b＝4k。解得b＝6，k＝9，则e＝4；f＝5；a＝1；b
＝2.
12. 如图4-22，有一座长方形城堡，四周有十个掩体，守城的士兵有十件武器，各种武器的
威力数如下表.为了使城堡四条边上的武器威力总数都相同，并且尽量大，应如何在十个掩
体中配备武器？
武器 手枪 步枪 自动步枪 冲锋枪 轻机枪
威力数 1 2 3 4 5
武器 重机枪 迫击炮 火箭筒 加农炮 榴弹炮
威力数 6 7 8 9 10【答案】：
【分析与解】：标注字母，并且设每条边上的和为m如下图：
有：a＋b＋c＋d＝m；a＋e＋f＝m；f＋g＋h＋i＝m；d＋i
＋j＝m将上述算式相加有：（a＋b＋c＋d＋e＋f＋g＋h＋i＋j）＋（a＋d＋f＋i）＝4m;也
就是：
55＋（a＋d＋f＋i）＝4m;若使m最大，必须使a＋d＋f＋i最大。但是当a＋d＋f＋i＝7＋8
＋9＋10时m无整数解。所以可解得：a＋d＋f＋i＝6＋8＋9＋10时，m＝22取得最大值。
经计算和实验，可填出如上图答案。
超越篇
1. 如图4-23，四个圆共被分成十二个区域，其中已有六个区域内填有数，请将1至12中的
另六个数填入其他区域内，使得每个圆中四个数之和都是28.
【答案】：
【分析与解】：由最下面的圆可知：空白两处所填数之和＝28－2－5＝21＝9＋12；由最右
面的圆可知：空白两处所填数之和＝28－7－8＝13＝12＋1，因此下面的圆与右边的圆公共
部分为12.依次类推，可将图形补充完整。2. 如图4-24，请在三个圆圈内分别填入三个数，使得每条直线上三个数之和都等于大圆上
三个数之和.
【答案】：
【分析与解】：标准字母如图， 根据题意有：a＋1＋9＝b＋9＋9＝9
＋7＋c＝a＋b＋c可解得：a＝12；b＝4；c＝6.
3. 把1至8填入图4-25中正方体八个顶点处的圆圈内，使得正方体每个面上的四个数之和
都相等。
【答案】：
【分析与解】：由正方体的对称性可将四条高分为1＋8＝2＋7＝3＋6＝4＋5＝9，每个面的和为18；适当调整每条高上的两个数的位置，使其也满足上下两面为18.
4. 把1至12分别填入图4-26所示六角星图案的十二个圆圈内，使得每条直线上四个数之和
都相等.现在已经填好了六个数，那么每条直线上各数之和应该是多少？并把下图补充完整。
【答案】：
【分析与解】：观察图形可知，每个数都用两次，所以每条线上的和＝2（1＋2＋3＋……
＋12）÷6＝26；可将空白地方依次填出。
5. 把1至8填入图4-27的八个圆圈内，使得每个三角形三个顶点的数字之和相等，且小正
方形顶点的数字之和是大正方形顶点的数字之和的一半。
【答案】：
【分析与解】：标注字母如下：总和为1＋2＋3＋……＋8＝36；所以小正方形和为 36÷3＝
12；大正方形和为12×2＝24。再设每个小三角形的和为k；有：
a＋b＋h＝k；b＋c＋d＝k；h＋g＋f＝k；d＋e＋f＝k；将上述算式相加，可得k＝12.
c＋g＝36－（a＋b＋h）－（d＋e＋f）＝12；同理a＋e＝12；而12＝4＋8＝5＋7；因此可
得：
a＝8；b＝3；c＝7；d＝2；e＝4；f＝6；g＝5；h＝1.
6. 图4-28中一共有6条线段，请将九个连续的自然数（其中一个是6）填入其中的九个圆
圈内，使得每条直线上圆圈内的数加起来都等于23.
【答案】：
【分析与解】：标注字母如下
由题意有：2（6＋a＋b＋……＋h）－6＝138；解得这九个连
续的自然数为4、5、6、……、10、11、12；g＋h＝23＝12＋11；因为d＋f＋h＝g＋f＋e，
所以d与e相差1；同理a与b也相差1；又因为a＋b＝23－6＝17；可以解得a＝9；b＝
8；d＝5；e＝4；从而c＝10；f＝7.
7. 如图4-29，5×5的方格表被分成了五块，请你在每格中填入 1、2、3、4、5中的一个
（其中两个格子已经分别填入1和2），使得每行、每列、每条对角线的五个数各不相同，
且每块上所填数的和都相等，请问： 是多少？【答案】：14523
【分析与解】：根据题意易知，所有方格内所填数的总和＝5（1＋2＋3＋4＋5）＝75；所
以每一块的和等于15.
将图中空白方格内标上字母如下图：
（1）因为a＋b＋c＋1＋2＝15；且a＋b＋c＋1＋e＝15；所以e＝2.
（2）因为a＋d＋A＋i＋p＝15；且d＋A＋i＋p＋q＝15；所以a＝q
（3）因为m＋n＋s＋t＝15；可知这四个数一定有重复的，因为如果不重复的话，最大2＋
3＋4＋5＝14＜15.重复的话也只能n＝s，因为m与t在对角线上不可能重复。
15＝5＋5＋1＋4＝5＋5＋2＋3＝4＋4＋2＋5＝3＋3＋4＋5；因为对角线上e＝2，所以
第二组和第三组舍去。如果选择第四组的话，则m与t为4和5，n＝s＝3；再看a，所在的
行已经有了1、2，所在的对角线已经有了2、4、5，所以a＝3；由②知，q＝3.此时在第五
行，q＝3，s＝3，矛盾，故舍去。
所以n＝s＝5，m＝4，t＝1.
（4）再看第四列，g和D只剩下2和3了，因为e＝2，所以g＝3，D＝2.
（5）再看第五列，h和E只剩下3和4了，因为g＝3，所以h＝4，E＝3.
（6）再看右上角的黑框，f＝15－2－3－2－3－4＝1
（7）再看第二行，d只剩下5了。
（8）再看主对角线，a和C只剩下了3和5，但是考虑到d＝5，所以a＝3，C＝5.
（9）再看第一行，不难得到b＝5，c＝4.
（10）由（2）和（8）知，q＝3
（11）再看第二列，不难得到B＝4，j＝1
（12）第三行，A＝1.
所以可得： ＝14523.
8. 图4-30是奥林匹克五环标志，五个圆内共分成了九个部分，请在这九个部分中填入1至
9这九个数，使得每个圆环内的各数之和都相等，请问：这个和最大是多少？最小是多少？【答案】：最大为14，最小为11
【分析与解】：标注字母如下，并且设每个圆内的和为k：
依据题意有：
a＋e＝k；a＋f＋b＝k；b＋g＋c＝k；c＋h＋d＝k；d＋i＝k；将上述算式相加有：
（a＋b＋c＋d＋e＋f＋g＋h＋i）＋（a＋b＋c＋d）＝5k；45＋（a＋b＋c＋d）＝5k
①若使k最小，只需使a＋b＋c＋d最小，最小为1＋2＋3＋4＝10，k＝11；
②若使k最大，只需使a＋b＋c＋d最大，最大为6＋7＋8＋9＝30，k＝15；但是填不成功；
接下来只能使a＋b＋c＋d＝25，此时k＝14.
