文档内容
第 8 讲数论综合一
内容概述
运用已学过的数论知识，解决综合性较强的各类数论问题；学会利用简单代数式处理数论问题．
典型问题
兴趣篇
1．如果某整数同时具备如下三条性质：
①这个数与1的差是质数；
②这个数除以2所得的商也是质数；
③这个数除以9所得的余数是5．
那么我们称这个整数为“幸运数”，求出所有的两位幸运数．
2．一个五位数 ，空格中的数未知，请问：
(1)如果该数能被72整除，这个五位数是多少？
(2)如果该数能被55整除，这个五位数是多少？
3．在小于5000的自然数中，能被11整除、并且所有数字之和为13的数共有多少个？
4．一个各位数字均不为0的三位数能被8整除，将其百位数字、十位数字和个位数字分别划去后可以得到
三个两位数（例如，按此方法由247将得到47、27、24）．已知这些两位数中一个是5的倍数，另一个是
6的倍数，还有一个是7的倍数．原来的三位数是多少？
5 ．26460的所有约数中，6的倍数有多少个？与6互质的有多少个？
6．一个自然数N共有9个约数，而N-1恰有8个约数，满足条件的自然数中，最小的和第二小的分别是多
少？
7．一个自然数，它最大的约数和次大的约数之和是111，这个自然数是多少？
8．有一个算式6×5×4×3×2×l.小明在上式中把一些“×”换成“÷”，计算结果还是自然数，那么这个自然数
最小是多少？
9．一个两位数分别除以7、8、9，所得余数的和为20.问：这个两位数是多少？
10．信息在战争中是非常重要的，它常以密文的方式传送．对方能获取密文却很难知道破译密文的密码，
这样就达到保密的作用．有一天我军截获了敌军的一串密文：A3788421C，字母表示还没有被破译出来的
数字．如果知道密码满足如下条件：
①密文由三个三位数连在一起组成，每个三位数的三个数字互不相同；
②三个三位数除以12所得到的余数是三个互不相同的质数；
③三个字母表示的数字互不相同且不全是奇数．
你能破解此密文吗？
拓展篇
1．已知 × 是495的倍数，其中a、b、c分别代表不同的数字．请问：三位数 是多少？2. 11个连续两位数乘积的末4位都是0，那么这11个数的总和最小是多少？
3．有一个算式9×8×7×6×5×4×3×2×l.小明在上式中把一些“×”换成“÷”，计算结果还是自然数，那么
这个自然数最小是多少？
4．有15位同学，每位同学都有个编号，他们的编号是 1号到15号．1号同学写了一个自然数，2号说：
“这个数能被2整除”，3号接着说：“这个数能被3整除”……依此下去，每位同学都说，这个数能被他的编号
数整除．1号一一作了验证：只有两个同学（他们的编号是连续的）说得不对，其余同学都对．问：
(1) 说的不对的两位同学他们的编号是哪两个连续的自然数？
(2)如果1号同学写的自然数是一个五位数，那么这个自然数为多少？
5．有2008盏灯，分别对应编号为1至2008的2008个开关．现在有编号为1至2008的2008个人来按动这
些开关．已知第1个人按的开关的编号是1的倍数（也就是说他把所有开关都按了一遍），第2个人按的
开关的编号是2的倍数，第3个人按的开关的编号是3的倍数……依此做下去，第2008个人按的开关的编
号是2008的倍数，如果刚开始的时候，灯全是亮着的，那么这2008个人按完后，还有多少盏灯是亮着的？
6．狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳 米，黄鼠狼每次跳 米，它们每秒钟都只跳一次，在比
赛道路上，从起点开始每隔 米设有一个陷阱．请问：当它们之中有一个掉进陷阱时，另一个跳了多少
米？
7．一个偶数恰有6个约数不是3的倍数，恰有8个约数不是5的倍数．请问：这个偶数是多少？
8．一个合数，其最大的两个约数之和为1164.求所有满足要求的合数．
9．已知a与b是两个正整数，且a>b．请问：
(1)如果它们的最小公倍数是36，那么这两个正整数有多少种情况？
(2)如果它们的最小公倍数是120，那么这两个正整数有多少种情况？
10．已知a与b的最大公约数是14，a与c的最小公倍数是350，b与c的最小公倍数也是350.满足上述条
件的正整数a、b、c共有多少组？
11．已知两个连续的两位数除以5的余数之和是5，除以6的余数之和是5，除以7的余数之和是1．求这
两个两位数．
12．如图8-1，在一个圆圈上有几十个孔（不到100个）．小明像玩跳棋那样从A孔出发沿着逆时针方向，
每隔几个孔跳一步，希望一圈以后能跳回到A孔，他先试着每隔2个孔跳一步，结果只能跳到B孔，他又
试着每隔4个孔跳一步，也只能跳到B孔．最后他每隔6个孔跳一步，正好回到A孔．问：这个圆圈上共
有多少个孔？超越篇
1．有6个互不相同且不为0的自然数，其中任意5个数的和都是7的倍数，任意4个数的和都是6的倍数．
请问：这6个数的和最小是多少？
2．设N= 301×302×…×2005×2006，请问：
(1)N的末尾一共会出现多少个连续的数字“0”？
(2)用N不断除以12，直到结果不能被12整除为止，一共可以除以多少次12？
3．老师告诉贝贝和晶晶一个小于5000的四位数，这个四位数是5的倍数．贝贝计算出它与5！的最小公
倍数，晶晶计算出它与10！的最大公约数，结果发现贝贝的计算结果恰好是晶晶的5倍．锖问：这个四位
数是多少？
4．一个正整数，它分别加上75和48以后都不是120的倍数，但这两个和的乘积却能被120整除．这个正
整数最小是多少？
5．a、b、c是三个非零自然数．a和b的最小公倍数是300，c和a、c和b的最大公约数都是20，且
a>b>c．请问：满足条件的a、b、c共有多少组？
6．有一类三位数，它们除以2、3、4、5、6所得到的余数互不相同（可以含0）．这样的三位数中最小的
三个是多少？
7．有一个自然数除以15、17、19所得到的商与余数之和都相等，并且商和余数都大于 1，那么这个自然
数是多少？
8．有4个互不相同的三位数，它们的首位数字相同，并且它们的和能被它们之中的3个数整除，请写出这
4个数。
