文档内容
讲义题本
2025 数量关系
拿分稳稳班
强化训练
超格教育目录
（8月23日上传讲义）
第一章 倍数特性·····························（8月26日）
第二章 方程问题·····························（8月28日）
第三章 等差数列和等比数列························（8月30日）
第四章 周期问题·····························（9月2日）
（8月30日上传讲义）
第五章 工程问题·····························（9月4日）
第六章 几何问题·····························（9月6日）
第七章 容斥原理问题···························（9月9日）
第八章 最值问题·····························（9月11日）
（9月6日上传讲义）
第九章 年龄问题·····························（9月13日）
第十章 溶液问题·····························（9月14日）
第十一章 植树和方阵问题························（9月18日）
第十二章 经济利润问题·························（9月20日）
（9月13日上传讲义）
第十三章 行程问题···························（9月23日）
第十四章 排列组合问题·························（9月25日）
第十五章 概率问题···························（9月27日）
第十六章 数量易拿分小题型·······················（9月29日）
更多资料 公众号：叛逆小樱桃前言
为了进一步加强学习效果，夯实基础，提升做题能力，特设置《2025 数量
关系拿分稳稳班-强化训练》课程，本课程是衔接《高照 2025 数量关系拿分
稳稳班》的，根据高照老师在正课中所设的 16 节大课各设置一次对应知识点
的强化训练。
为了获得更好的学习效果，同学们每次听课前务必要做好两项任务：
（1）提前完成《高照 2025 数量关系拿分稳稳班》对应章节的学习，《强
化训练班》课上不再系统讲解理论知识；
（2）提前做完《强化训练班》对应章节的题目，再跟着直播进行学习，
课上不单独留做题时间。
课上认真听课，课下做好“3+2 作业”。
数学的学习是能够获得及时的成就感的，每个题型其实并没有一开始我们
想象得那么难，只需要我们一个一个的攻破。超格教育学员专用
数量关系
『第一章 倍数特性』
1
课程答疑（小红书：超格明阳）超格教育学员专用
【例1】（2023联考）某医院因工作出现特殊情况需要从外科抽调医护人员支援呼吸科，如果少去4名护
士，那么参与支援的护士与参与支援的医生人数一样多，如果少去2名医生，那么参与支援的护士人数
是参与支援的医生人数的3倍，则外科参与支援呼吸科的医护人员总数是：
A.8
B.10
C.12
D.14
【例2】（2021上海）公司购买某设备24套，现要登记单价，但是数据上没有标注单价，且总价第一位
和最后一位模糊不清，只看到是☆579△元。则☆可能是：
A.3
B.5
C.7
D.9
【例3】（2023湖北选调）单位小陈每天都在手机APP上学习英语。有一天，他的学习天数已有200多天，
是3的倍数，且第二天的天数是5的倍数，第三天的天数是7的倍数。问第几天的天数将是13的倍数？
A.9
B.10
C.11
D.12
【例4】（2019江苏）一群学生分小组在户外活动，如3人一组还多2人，5人一组还多3人，7人一组还多
4人，则该群学生的最少人数是：
A.23
B.53
C.88
D.158
22
课程答疑（小红书：超格明阳）超格教育学员专用
【例5】（2021联考）不超过100名的小朋友站成一列。如果从第一人开始依次按1，2，3，···，9的顺序
循环报数，最后一名小朋友报的是7；如果按1，2，3，···，11的顺序循环报数，最后一名小朋友报的
是9，那么一共有多少名小朋友？
A.98
B.97
C.96
D.95
【例6】（2019江苏）某机关事务处集中采购了一批打印纸，分发给各职能部门。如果按每个部门9包分
发，则多6包；如果按每个部门11包分发，则有1个部门只能分到1包。这批打印纸的数量是：
A.87包
B.78包
C.69包
D.67包
【例7】（2019江苏）某地区有甲、乙、丙、丁4个派出所。已知上月甲、乙2个派出所的合计出警次数
是95次，乙、丙、丁3个派出所的合计出警次数是140次，乙派出所的出警次数占4个派出所合计出警次
7
数的 ，则上月甲派出所的出警次数是：
40
A.55次
B.60次
C.68次
D.75次
【例8】（2017吉林）古希腊数学家丢番图（Diophantus）的墓志铭：过路人！这儿埋葬着丢番图，他生
命的六分之一是童年；再过了一生的十二分之一后，他开始长胡须；又过了一生的七分之一后他结了
婚；婚后五年他有了儿子，但可惜儿子的寿命只有父亲寿命的一半，儿子死后，老人再活了四年就结
束了余生。根据这个墓志铭，丢番图的寿命为：
A.77
B.63
C.60
D.84
3
课程答疑（小红书：超格明阳）超格教育学员专用
【例9】（2020国考）某单位从理工大学、政法大学和财经大学总计招聘应届毕业生三百多人。其中从
理工大学招聘人数是政法大学和财经大学之和的80%，从政法大学招聘的人数比财经大学多60%。问该
单位至少再多招聘多少人，就能将从这三所大学招聘的应届生平均分配到7个部门？
A.6
B.5
C.4
D.3
【例10】（2021上海事业单位）某小区进行绿化改造，为居民提供了A、B两套方案。最初支持方案A的
人数比支持方案B的人数多四分之一，后来有6位选择方案A的居民改选了方案B，最后方案B以多出方
案A两票胜出，则参与投票的共有（ ）位居民。
A.85
B.90
C.95
D.100
1 3
【例11】（2019黑龙江）学校买来四种教材，语文教材是其余三种的 ，数学教材是其余三种的 ，英
4 7
7
语教材是其余三种的 ，科学教材比数学教材少30本，则数学教材有：
13
A.30本
B.60本
C.100本
D.200本
【例12】（2020上海）甲、乙、丙、丁四人一起去踏青，甲带的钱是另外三个人总和的一半，乙带的钱
1 1
是另外三个人的 ，丙带的钱是另外三个人的 ，丁带了91元，他们一共带了多少元？
3 4
A.364
B.380
C.420
D.495
答案：1-5：DCBBB；6-10：BBDAB；11-12：BC
44
课程答疑（小红书：超格明阳）超格教育学员专用
『第二章 方程问题』
5
课程答疑（小红书：超格明阳）超格教育学员专用
【例1】（2022联考）某单位四个党史宣讲小组各有若干组员，现增加2人并重新分配，使得四个小组人
数相等。此时与原先相比，第一小组人数增加10人，第二小组人数减少1人，第三小组人数增加一倍，
第四小组人数减半。则原先人数最多的小组与人数最少的小组之间相差：
A.15人
B.21人
C.24人
D.32人
【例2】（2023四川）某地交警大队原有甲、乙两个中队，随着城区的扩张，现在需要改编为3个新的交
1 1 1
警中队。改编的方案是将原来甲中队的 队员与乙中队的 队员组成新的一中队，原甲中队的 队员
3 4 4
1
和原乙中队的 队员组成新的二中队，余下的30人组成新的三中队。如果新组建的一中队人数比二中
3
队人数多10%，那么新组建的三中队有多少名队员来自原甲中队？
A.12
B.15
C.18
D.20
【例3】（2020深圳）某快递集散点有一批包裹，由甲、乙、丙三名快递员各自独立完成送达。其中有
93件不是甲派送的，92件不是乙派送的，91件不是丙派送的，则甲派送了多少件？
A.44
B.45
C.46
D.47
【例4】（2020联考）春节期间，省图书馆邀请多位书法老师免费为读者书写春联。现场书写的春联中
有188幅不是A老师书写的，有219幅不是B老师书写的，A、B两位老师今年一共书写了311副春联。问
B老师今年一共书写了多少副春联？
A.208
B.171
C.140
D.126
66
课程答疑（小红书：超格明阳）超格教育学员专用
【例5】（2020浙江）某会务组租了20多辆车将2220名参会者从酒店接到活动现场。大车每次能送50人，
小车每次能送36人，所有车辆送2趟，且所有车辆均满员，正好送完，则大车比小车：
A.多5辆
B.多2辆
C.少2辆
D.少5辆
【例6】（2018联考）某储蓄所两名工作人员，一天内共办理了122件业务，其中小王经手的有84%是现
金业务，小李经手的有25%为非现金业务，小李当天办理了多少件现金业务？
A.36
B.42
C.48
D.54
【例7】（2023北京）某个品牌的洗洁精分为大瓶、小瓶两种包装，5大瓶洗洁精的总容量与12小瓶相同，
8大瓶洗洁精的总容量比20小瓶少320毫升，则一大瓶洗洁精的容量是多少毫升？
A.960
B.1000
C.1080
D.1200
【例8】（2019广东选调）一项考试共有35道试题，答对一题得2分，答错一题扣1分，不答则不得分。
一名考生一共得了47分，那么，他最多答对多少道题？
A.26
B.27
C.29
D.30
7
课程答疑（小红书：超格明阳）超格教育学员专用
【例9】（2019福建事业单位）甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件，共需325元；若购甲4
件、乙10件、丙1件，共需410元。那么购甲、乙、丙各1件，共需多少元？
A.100
B.125
C.135
D.155
【例10】（2020上海）某果品公司计划安排6辆汽车运载A、B、C三种水果共32吨进入某市销售，要求
每辆车只装同一种水果且必须装满，根据下表提供的信息，则有（ ）种安排车辆的方案。
水果种类 A B C
每辆汽车运载量（吨） 6 5 4
A.1
B.2
C.3
D.4
【例11】（2020上海）M小区停车收费，小型车辆每天5元，中型车辆每天8元，大型车辆每天10元。某
天小区总共停了20辆车，共收费153元，那么当天大型车辆可能有（ ）辆。
A.8
B.9
C.10
D.11
【例12】（2018国考）某新能源汽车企业计划在A、B、C、D四个城市建设72个充电站，其中在B市建
1
设的充电站数量占总数的 ，在C市建设的充电站数量比A市多6个，在D市建设的充电站数量少于其他
3
任一城市，则至少要在C市建设多少个充电站？
A.22
B.21
C.20
D.18
答案：1-5：CDBCA；6-10：DABDA；11-12：CB
88
课程答疑（小红书：超格明阳）超格教育学员专用
『第三章 等差数列和等比数列』
9
课程答疑（小红书：超格明阳）超格教育学员专用
【例1】（2019江西法检）王老师一家有5人，父亲、母亲、妻子、女儿和他本人，今年母亲、王老师和
女儿年龄之和为135岁，而且他们三人的年龄正好构成等差数列，那么今年王老师多少岁？
A.42
B.45
C.48
D.50
【例2】（2017广州）有100根水管需要堆放在仓库。水管只能堆放为下图这种上少下多的形式，且堆叠
层高不超过8层。在占地面积尽可能少的前提下，如果100根水管全部都堆成一堆，占地面积会比将100
根水管分成每20根一堆的占地面积节省：
1
A.
3
2
B.
5
4
C.
9
7
D.
15
【例3】（2017江苏）某一梯一户住宅楼共17层，电梯费按季缴纳，分摊规则为：第一层的住户不缴纳；
第三层及以上的住户，每层比下一层多缴纳10元。若一季度该住宅楼某单元的电梯费共计1904元，则
该单元第7层住户一季度应缴纳的电梯费是：
A.72元
B.82元
C.84元
D.94元
1100
课程答疑（小红书：超格明阳）超格教育学员专用
【例4】（2017黑龙江）有一根9节的竹子，其任意节与相邻节的长度成等差数列，上面4节的长度共3尺，
下面3节的长度共4尺，则从上到下第6节的长度为多少尺？
66
A.
65
65
B.
66
33
C.
37
37
D.
33
【例5】（2017国考）某人租下一店面准备卖服装，房租每月1万元，重新装修花费10万元。从租下店面
到开始营业花费3个月时间。开始营业后第一个月，扣除所有费用后的纯利润为3万元。如每月纯利润
都比上月增加2000元而成本不变，问该店在租下店面后第几个月内收回投资？
A.7
B.8
C.9
D.10
【例6】（2017重庆）电梯在竖直的矿井内匀速下降。王工程师对电梯开始下降后每分钟的海拔高度数
值进行记录（将开始下降后第n分钟的读数记为a ，海拔高度在0以下时记为负数），发现a +a ＞
n 5 6
a -a ，a +a ＜a -a 。问：电梯是在开始下降后的哪个时间段内降到海拔高度0以下的？
7 8 5 7 8 10
A.第6分钟之前
B.第6到第7分钟
C.第7到第8分钟
D.第8分钟之后
【例7】（2016上海）某大型社区提供巴士换乘地铁服务，规定车满载后直达地铁站，中间站不再停留
上客。如果巴士共有座位48个，第一站上来1人，第二站2人，第三站3人，按照这个规律，第（ ）站
司机将不再停车。
A.8
B.9
C.10
D.11
11
课程答疑（小红书：超格明阳）超格教育学员专用
【例8】（2016江苏）从1开始的自然数在正方形网格内按如图所示规律排列，第1个转弯数是2，第2个
转弯数是3，第3个转弯数是5，第4个转弯数是7，第5个转弯数是10，……，则第22个转弯数是：
A.123
B.131
C.132
D.133
【例9】（2016联考）某商店10月1日开业后，每天的营业额均以100元的速度上涨，已知该月15日这一
天的营业额为5000元，问该商店10月份的总营业额为多少元？
A.163100
B.158100
C.155000
D.150000
【例10】（2016广东）大型体育竞赛开幕式需要排队列，共10排。导演安排演员总数的一半多1人站在
第一排，安排剩下演员人数的一半多1人站在第2排……，依此类推，如果第10排恰好将演员排完，那
么参与排队列的演员共有（ ）人。
A.2000
B.2008
C.2012
D.2046
1122
课程答疑（小红书：超格明阳）超格教育学员专用
【例11】（2015四川）商店本周从周一到周日出售A、B两种季节性商品，其中A商品每天销量相同，而
B商品每天的销量都是前一天的一半。已知周五和周六，A、B两种商品的销量之和分别为220件和210
件，问从周一到周日A商品总计比B商品多卖出多少件？
A.570
B.635
C.690
D.765
【例12】（2015北京）某公司计划通过四周的市场活动为其官方微博拉动人气。第一周该公司微博的关
注人数增加了300人，往后三周每周的关注人数增量都是上一周增量的两倍。活动结束时该公司微博的
关注人数是活动之前的4倍。则该公司活动前微博的关注人数是多少？
A.1200
B.1500
C.1800
D.2100
答案：1-5：BDDDA；6-10：BDDBD；11-12：DB
13
课程答疑（小红书：超格明阳）超格教育学员专用
『第四章 周期问题』
1144
课程答疑（小红书：超格明阳）超格教育学员专用
【例1】（2020上海）一条街上有90棵树，其中有些树已经挂上了彩灯，这时，要选择在一棵未挂彩灯
的树上悬挂红旗，有趣的是，无论将红旗挂在哪棵树上都与挂了彩灯的树相邻，那么至少有（ ）棵
树挂了彩灯。
A.35
B.30
C.25
D.20
【例2】（2018北京）有一种电子钟，每到整点就响一次铃，每走9分钟亮一次灯。正午12点时，它既亮
灯又响铃，它下一次既响铃又亮灯是下午几点钟？
A.1点钟
B.2点钟
C.3点钟
D.4点钟
【例3】（2017江苏）一个圆盘上按顺时针方向依次排列着编号为1~7的七盏彩灯，通电后每个时刻只有
三盏彩灯亮着，每盏亮6秒后熄灭，同时其顺时针方向的下一盏开始亮，如此反复。若通电时编号为1，
3，5的三盏彩灯先亮，则200秒后亮着的三盏彩灯的编号是：
A.1，3，6
B.1，4，6
C.2，4，7
D.2，5，7
【例4】（2017联考）如图，正方形的迷你轨道边长为1米，1号电子机器人从点A以1米/秒的速度顺时针
绕轨道移动，2号电子机器人从点A以3米/秒的速度逆时针绕轨道移动，则它们的第2017次相遇在：
A.点D
B.点C
C.点B
D.点A
15
课程答疑（小红书：超格明阳）超格教育学员专用
【例5】（2017上海）王老师在整理书籍，将15本社科类书、10本数学类书、12本哲学类书放进有5层格
子的书橱，一层格子可放8本书，每层按从左至右，层数按从下至上的顺序排放书籍，先放社科类的全
部书籍，再放数学类、最后哲学类。则从下到上的第4层左边第一本为：
A.社科类书
B.数学类书
C.哲学类书
D.空
【例6】（2017国考）为维护办公环境，某办公室四人在工作日每天轮流打扫卫生，每周一打扫卫生的
人给植物浇水。7月5日周五轮到小玲打扫卫生，下一次小玲给植物浇水是哪天？
A.7月15日
B.7月22日
C.7月29日
D.8月5日
【例7】（2017重庆/四川）将100名运动员编上从1~100的号码，从中选出号码尾数为3、6和9的人。剩
下的人按原来的号码从小到大，重新编上从1开始的号码。小刘发现自己两次得到的号码都是7的倍数。
问在第二次编号中，有多少个人的号码比小刘的大？
A.10
B.14
C.20
D.21
【例8】（2016国考）某新建小区计划在小区主干道两侧种植银杏树和梧桐树绿化环境。一侧每隔3棵银
杏树种1棵梧桐树，另一侧每隔4棵梧桐树种1棵银杏树，最终两侧各栽种了35棵树。问最多栽种了多少
棵银杏树？
A.33
B.34
C.36
D.37
1166
课程答疑（小红书：超格明阳）超格教育学员专用
【例9】（2016上海）老张准备完成一项任务需耗时100个工作日，他周一至周五每天坚持工作，周六和
周日休息，他从周四开始工作。则他完成任务的那天是：
A.周一
B.周二
C.周三
D.周五
【例10】（2016上海）文化广场上从左到右一共有5面旗子，分别代表中国、德国、美国、英国和韩国。
如果将5面旗子从左到右分别记作A、B、C、D、E，那么从中国的旗子开始，按照
ABCDEDCBABCDEDCBA……的顺序数，数到第313个字母时，是代表（ ）的旗子。
A.英国
B.德国
C.中国
D.韩国
【例11】（2016广州）标有a、b、c、d、e、f记号的六盏灯按序排成一行。每盏灯装有开关，现有b、d
两盏灯亮着，其余灯是灭的。某测试人员拉动a灯开关，并按序拉动b、c、d、e、f灯开关，再按此顺序
循环拉下去。则当测试人员拉动2023次后，亮着的灯应该是：
A.b、c
B.a、b、d
C.a、c、e
D.c、e、f
【例12】（2016四川）某工厂有3条无人值守生产线a、b和c。a生产线每生产2天检修1天，b生产线每生
产3天检修1天，c生产线每生产4天检修1天。2017年（不是闰年）元旦三条生产线正好都检修，则当年
3月有（ ）天只有1条生产线保持生产状态。
A.3
B.4
C.5
D.6
答案：1-5：BCAAB；6-10：CDBCC；11-12：DB
17
课程答疑（小红书：超格明阳）超格教育学员专用
『第五章 工程问题』
1188
课程答疑（小红书：超格明阳）超格教育学员专用
【例1】（2023四川）在某应急救援作业中，假设每台机器工作效率相同，如果两台机器配合作业，效
率分别提高25%，而三台机器同时合作，每台效率各自提高50%。甲、乙、丙三台机器依次投入救援，
1 1
直到救援完成。已知甲救援时间为60分钟，乙救援时间为甲的 ，而丙救援时间为乙的 ，问仅有一
2 3
台机器完成该救援作业需要多少分钟？
A.120
B.125
C.130
D.150
【例2】（2021重庆选调）一项工程，甲单独完成需要15天，乙单独完成需要30天，丙单独完成需要60
天，如果按照甲乙丙的顺序交替进行每人做一天，那么需要（ ）天能完成。
A.25
B.26
C.27
D.28
【例3】（2022联考）甲、乙二人合作计划30天完成一项工程，甲的工作效率是乙的2倍。两人合作10天
后，甲的效率提升25%，乙的效率提升50%。又合作10天后，乙因其他任务撤出，甲单独完成剩余任务。
问最终工作比预计时间：
A.早2天
B.晚2天
C.早4天
D.晚4天
【例4】（2020联考）某医疗器械公司为完成一批口罩订单生产任务，先期投产了A和B两条生产线，A
和B的工作效率之比为2：3，计划8天可完成订单生产任务，两天后公司又对这批订单投产了生产线C，
A和C的工作效率之比为2：1，问该批口罩订单任务将提前几天完成？
A.1
B.2
C.3
D.4
19
课程答疑（小红书：超格明阳）超格教育学员专用
【例5】（2023国考）工厂生产甲、乙两种设备，需要用到A、B、C三种零件。其中生产1台甲设备需要
5个A零件和11个B零件，生产1台乙设备需要4个B零件和9个C零件。工厂某日生产的一批设备共用A、
B、C三种零件不超过200个，其中C零件的用量超过100个。问最多可能生产了多少台甲设备？
A.1
B.2
C.3
D.4
【例6】（2020江苏）某装配式建筑企业接到一个生产1033套楼板的订单。甲班组生产5天后，乙班组再
生产4天，刚好完成任务。若甲班组比乙班组每天多生产23套，则甲班组生产楼板的套数是：
A.625套
B.645套
C.535套
D.515套
【例7】（2021重庆选调）制药厂有一条疫苗生产线、一座仓库和若干相同的货车、流水线，每天的产
量不变，产品均存入仓库。仓库的疫苗可供19辆货车送货24天，或17辆货车送货30天，那么用（ ）
辆货车送货6天后，坏了4辆车，剩下的货车又送了2天刚好把所有的疫苗送完。
A.30
B.40
C.50
D.60
【例8】（2020新疆）某新型建材生产车间计划生产480个建材，当生产任务完成一半时，暂时停止生产，
对器械进行维修清理，用时20分钟。恢复生产后工作效率提高了三分之一，结果完成任务时间比原计
划提前了40分钟。问：对器械进行维修清理后每小时生产多少个建材？
A.80
B.87
C.94
D.102
2200
课程答疑（小红书：超格明阳）超格教育学员专用
【例9】（2021四川乡镇、选调）某工程队计划每天修路560米，恰好可按期完成任务。如每天比计划多
修80米，则可以提前2天完成，且最后1天只需修320米。问：如果要提前6天完成，每天至少要比计划
多修多少米？
A.160
B.240
C.320
D.400
【例10】（2020广东）某政务服务大厅开始办理业务前，已经有部分人在排队等候领取证书，且每分钟
新增的人数一样多。从开始办理业务到排队等候的人全部领到证书，若同时开5个发证窗口就需要1个
小时；若同时开6个发证窗口就需要40分钟。按照每个窗口给每个人发证需要1分钟计算，如果想要在
20分钟内将排队等候的人的证书全部发完，则需同时开（ ）个发证窗口。
A.7
B.8
C.9
D.10
【例11】（2019联考）某河道由于淤泥堆积影响到船只航行安全，现由工程队使用挖沙机进行清淤工作，
清淤时上游河水又会带来新的泥沙（假定每天的泥沙量恒定）。若使用1台挖沙机300天可完成清淤工
作，使用2台挖沙机100天可完成清淤工作。为了尽快让河道恢复使用，上级部门要求工程队25天内完
成河道的全部清淤工作，那么工程队至少要有多少台挖沙机同时工作？
A.4
B.5
C.6
D.7
答案：1-5：BAAAB；6-10：ABABC；11：D
21
课程答疑（小红书：超格明阳）超格教育学员专用
『第六章 几何问题』
2222
课程答疑（小红书：超格明阳）超格教育学员专用
【例1】（2023联考）某村拟建造一个容积为144立方米，深度为4米的长方体无盖蓄水池。经测算，蓄
水池底部造价为260元/平方米，侧面造价为180元/平方米。那么该水池的最低总造价为：
A.11440元
B.25920元
C.26640元
D.31680元
【例2】（2023浙江）一只闹钟的秒针顶点距离表盘圆心4厘米，分针顶点距离表盘圆心3厘米。小王烧
开一壶水的时间内，秒针顶点累计移动了40π厘米。那么这一时间段内，分针顶点与表盘圆心的连线扫
过的扇形面积为多少平方厘米？
A.0.5π
B.0.75π
C.π
D.1.5π
【例3】（2023北京）一块正方形田地的周长是240米，另一块长方形田地的周长比这块正方形田地长60
米，面积与这块正方形田地一样。则长方形田地的长比宽长多少米？
A.60
B.70
C.80
D.90
【例4】（2019联考）将一个表面积为72平方米的正方体平分为两个长方体，再将这两个长方体拼成一
个大长方体，则大长方体的表面积是多少平方米？
A.56
B.64
C.72
D.84
23
课程答疑（小红书：超格明阳）超格教育学员专用
【例5】（2020联考）野外生存需要用一个简易的圆锥型过滤器（如下图所示）装满溪水进行过滤。过
滤器的底面直径为20厘米，高为6厘米。问全部过滤完毕后，在不考虑损耗的情况下，可使底面半径为
5厘米，高为15厘米圆柱型容器的水面高度达到：
A.4厘米
B.6厘米
C.8厘米
D.12厘米
【例6】（2023联考）下图所示是一种帐篷屋顶的示意图，底面是一个长4米宽3米的长方形，屋顶高1米，
上棱长2米且平行于底面，那么该帐篷屋顶的体积是：
A.5立方米
B.11立方米
C.12立方米
D.24立方米
2244
课程答疑（小红书：超格明阳）超格教育学员专用
【例7】（2020国考）一个无盖长方体饮料盒如下图所示，其底面为正方形，高为23厘米，若插入一根
足够细的不可弯折的吸管与底部接触，已知插入饮料盒内的吸管长度最大为27厘米，问饮料盒底面边
长为多少厘米？
A.5 2
B.8
C.10
D.10 2
【例8】（2019江苏）长方形花坛的周长为20米，若长与宽各增加3米，则增加的面积是：
A.42平方米
B.24平方米
C.28平方米
D.39平方米
【例9】（2021北京）A地在B地正北方x千米处，甲从A地出发以4千米/小时的速度向南行走，同时乙从
B地出发以8千米/小时的速度向西慢跑，出发20分钟后，甲与乙的距离为x千米。问x的值为：
5
A.
3
B.6
C.3
10
D.
3
【例10】（2020联考）甲乙丙丁四人通过手机的位置共享，发现乙在甲正南方向2公里处，丙在乙北偏
西60°方向2公里处，丁在甲北偏西75°方向。若丁与甲、丙的距离相等，则该距离为：
A.1公里
B. 2 公里
C. 3公里
D.2公里
25
课程答疑（小红书：超格明阳）超格教育学员专用
【例11】（2024国考）设计师将一个正方形的大厅分成如下图所示的几个区域，已知所有的三角形都是
等腰直角三角形，梯形都是等腰梯形，且所有三角形和梯形面积均相等。在三角形的区域铺设地砖，
在中间的正方形区域铺设木地板。问地砖和木地板的面积比是多少？
A.2∶3
B.4∶3
C.8∶9
D.16∶9
【例12】（2024浙江）一块空地如下图所示，AD、BC均与EF垂直，三角形ACD为等腰直角三角形，且
AG、DE、CF长度均相等。现在图中阴影部分种上草皮。已知DF长80米，BC长160米，那么草皮面积
为多少平方米？
A.3200
B.3600
C.4000
D.4800
答案：1-5：CBDDC；6-10：ACDDB；11-12：CA
2266
课程答疑（小红书：超格明阳）超格教育学员专用
『第七章 容斥原理问题』
27
课程答疑（小红书：超格明阳）超格教育学员专用
【例1】（2023国考）农科院在某村287名淡水鱼养殖人员中开展防病培训和育种培训。已知参加防病培
训的养殖人员中，参加育种培训的人数比未参加的多21%；参加育种培训的养殖人员中，参加防病培
训的人数比未参加的多76人。问共有多少人未参加任何一项培训？
A.21
B.23
C.25
D.27
【例2】（2019新疆兵团）某机关开展红色教育月活动，三个时间段分别安排了三场讲座。该机关共有
139人，有42人报名参加第一场讲座，51人报名参加第二场讲座，88人报名参加第三场讲座，三场讲座
都报名的有12人，只报名参加两场讲座的有30人。问没有报名参加其中任何一场讲座的有多少人？
A.12
B.14
C.24
D.28
【例3】（2024国考）某高校外国语学院中，会俄语的学生都会英语，其中一半还会法语；会英语的学
生中有一半会法语；这三种语言都会的学生有50人，只会其中两种语言的有100人，只会其中一种语言
的有150人。问会法语的学生有多少人？
A.50
B.100
C.150
D.200
【例4】（2024深圳）某高校法学院对学生毕业后就职于司法机关、律所、企业的意愿进行调查，共725
名学生参与调查，可选其中0至3项。结果显示，选择司法机关、律所、企业的学生分别有360人、380
人、237人，3项都选的学生有60人，3项都不选的学生有8人，则仅选择其中1项的学生有（ ）人。
A.517
B.516
C.515
D.514
2288
课程答疑（小红书：超格明阳）超格教育学员专用
【例5】（2019河北）某班参加学科竞赛人数40人，其中参加数学竞赛的有22人，参加物理竞赛的有27
人，参加化学竞赛的有25人，只参加两科竞赛的有24人，参加三科竞赛的有多少人？
A.2
B.3
C.5
D.7
【例6】（2017广州）某班共有46人参加了一次数学测验，其中35人做对了第一题，28人做对了第二题，
有3人都做错了这两道题，那么该班有（ ）人只做对了第二题。
A.8
B.11
C.15
D.18
【例7】（2017江西）某乡有32户果农，其中有26户种了柚子树，有24户种橘子树，还有5户既没有种柚
子树也没有种橘子树，那么该乡同时种植柚子树和橘子树的果农有：
A.23户
B.22户
C.21户
D.24户
【例8】（2021深圳）某翻译团队中，每名译员都擅长英语、日语、俄语中的至少一门语言。经统计，
擅长英语的有17人，擅长日语的有21人，擅长俄语的有23人；擅长英语和日语的有7人，擅长英语和俄
语的有6人，擅长日语和俄语的有6人；擅长三门语言的仅占总人数的十五分之一，则仅擅长英语的译
员有（ ）人。
A.4
B.5
C.6
D.7
29
课程答疑（小红书：超格明阳）超格教育学员专用
【例9】（2017陕西）在一次调研中，有问卷调研、当面访谈和电话访谈三种形式，其中参与问卷调研
的有27人、电话访谈的有21人，三种都参与的有5人，既参与问卷调研又参与当面访谈的有9人，既参
与问卷调研又参与电话访谈的有12人，既参与当面访谈又参与电话访谈的有7人，已知，只参与当面访
谈的人数占总数的20%，则总共参与调研的有（ ）人？
A.45 B.50 C.55 D.60
E.65 F.70 G.75 H.80
【例10】（2017江苏）某单位有72名职工，为丰富业余生活，拟举办书法、乒乓球和围棋培训班，要求
每个职工至少参加一个班。已知三个班报名人数分别为36、20、28，则同时报名三个班的职工数至多
是：
A.6人
B.12人
C.16人
D.20人
【例11】（2018深圳）甲、乙、丙三名质检员对一批依次编号为1~100的电脑进行质量检测，每个人均
从随机序号开始，按顺序往后检测，如检测到编号为100的电脑，则该质检员的检测工作结束。某一时
刻，甲检测了76台电脑，乙检测了61台电脑，丙检测了54台电脑，则甲、乙、丙三人均检测过的电脑
至少有（ ）台。
A.12
B.15
C.16
D.18
【例12】（2018辽宁）有4种情况：只会唱歌，只会乐器演奏，唱歌和乐器演奏都会，唱歌和乐器演奏
都不会。现已知会唱歌的有22人，会乐器演奏的有15人，两种都会的人数是两种都不会的5倍。这个班
至多有（ ）人。
A.27
B.30
C.33
D.36
答案：1-5：AADAC；6-10：AADAA；11-12：BC
3300
课程答疑（小红书：超格明阳）超格教育学员专用
『第八章 最值问题』
31
课程答疑（小红书：超格明阳）超格教育学员专用
【例1】（2015下事业单位）某公司有38名男员工，27名女员工。现要参加集团组织的羽毛球比赛，如
采取自由报名的形式，至少有多少名员工报名才能保证一定能从报名者中选出男女选手各8名参赛？
A.65
B.46
C.35
D.16
【例2】（2014北京）某单位五个处室分别有职工5、8、18、21和22人，现有一项工作要从该单位随机
抽调若干人，问至少要抽调多少人，才能保证抽调的人中一定有两个处室的人数和超过15人？
A.34
B.35
C.36
D.37
【例3】（2013河南）某单位安排职工参加百分制业务知识考试，小周考了88分，还有另外2人的得分比
他低。若所有人的得分都是整数，没有人得满分，且任意5人的得分不完全相同，问参加考试的最多有
多少人？
A.38
B.44
C.50
D.62
【例4】（2010江西）有20位运动员参加长跑，他们的参赛号码分别是1、2、3、……、20，至少要从中
选出多少个参赛号码，才能保证至少有两个号码的差是13的倍数？
A.12
B.15
C.14
D.13
3322
课程答疑（小红书：超格明阳）超格教育学员专用
【例5】（2022北京）九宫格中为从1到9不重复的9个整数，虚线上角的数字为虚线所经过区域的数字之
和，则灰色格子中的数字最大可能是：
A.7
B.6
C.5
D.4
【例6】（2014国考）某连锁企业在10个城市共有100家专卖店，每个城市的专卖店数量都不同。如果专
卖店数量排名第5多的城市有12家专卖店，那么专卖店数量排名最后的城市，最多有几家专卖店？
A.2
B.3
C.4
D.5
【例7】（2021下四川）某公司开展爱心捐款活动，50名员工人均捐款81.5元。已知任2名员工捐款金额
相差不超过10元，问该公司捐款83元及以上的员工最多可能有多少人？
A.40
B.42
C.44
D.46
【例8】（2021国考）某地10户贫困农户共申请扶贫小额信贷25万元。已知每户申请金额都是1000元的
整数倍，申请金额最高的农户申请金额不超过申请金额最低农户的2倍，且任意2户农户的申请金额都
不相同。问：申请金额最低的农户最少可能申请多少万元信贷？
A.1.5
B.1.6
C.1.7
D.1.8
33
课程答疑（小红书：超格明阳）超格教育学员专用
【例9】（2016陕西）某班共有42名同学，喜欢读小说的有25人，喜欢读诗歌的有30人，既喜欢读小说
又喜欢读诗歌的最少有多少人？
A.8 B.9 C.10 D.11
E.12 F.13 G.14 H.15
【例10】（2015广东）阅览室有100本杂志。小赵借阅过其中75本，小王借阅过70本，小刘借阅过60本，
则三人共同借阅过的杂志最少有（ ）本。
A.5
B.10
C.15
D.30
【例11】（2010联考）某社团共有46人，其中35人爱好戏剧，30人爱好体育，38人爱好写作，40人爱好
收藏，问这个社团至少有多少人以上四项活动都喜欢？
A.5
B.6
C.7
D.8
【例12】（2019国考）有100名员工去年和今年均参加考核，考核结果分为优、良、中、差四个等次。
今年考核结果为优的人数是去年的1.2倍，今年考核结果为良及以下的人员占比比去年低15个百分点。
问：两年考核结果均为优的人数至少为多少人？
A.55
B.65
C.75
D.85
答案：1-5：BBCCD；6-10：CBBFA；11-12：AB
3344
课程答疑（小红书：超格明阳）超格教育学员专用
『第九章 年龄问题』
35
课程答疑（小红书：超格明阳）超格教育学员专用
【例1】（2018广西）姐弟俩相差3岁，2000年姐弟两人年龄之和是妈妈年龄的四分之一，2006年姐弟两
人年龄之和是妈妈年龄的二分之一。问：哪一年姐弟两人年龄之和等于妈妈的年龄？
A.2012
B.2018
C.2024
D.2027
【例2】（2018江西）一家三口，妈妈比儿子大26岁，爸爸比儿子大33岁。1995年，一家三口的年龄之
和为62。那么，2018年儿子、妈妈和爸爸的年龄分别是：
A.23，51，57
B.24，50，57
C.25，51，57
D.26，52，58
【例3】（2017江西）3年前张三的年龄是他女儿的17倍，3年后张三的年龄是他女儿的5倍，那么张三的
女儿现在：
A.2岁
B.3岁
C.4岁
D.5岁
【例4】（2017河南）张老师家四代同堂，且从父亲、张老师、儿子到孙子，每两代人的年龄差相同。5
年前张老师父亲的年龄是儿子的3倍，8年后张老师的年龄是孙子的5倍。问今年四个人的年龄之和为：
A.168岁
B.172岁
C.176岁
D.180岁
3366
课程答疑（小红书：超格明阳）超格教育学员专用
【例5】（2017北京）张先生比李先生大8岁，张先生的年龄是小王年龄的3倍，9年前李先生的年龄是小
王年龄的4倍。则几年后张先生的年龄是小王年龄的2倍？
A.10
B.13
C.16
D.19
【例6】（2015山东）一家三口人的属相和生日都相同，父母的岁数之和是儿子的6倍，而儿子尚未满15
岁。问妈妈可能多少岁？
A.30岁
B.36岁
C.40岁
D.42岁
【例7】（2015国考）小李的弟弟比小李小2岁，小王的哥哥比小王大2岁、比小李大5岁。1994年，小李
的弟弟和小王的年龄之和为15。问2014年小李和小王的年龄分别为多少岁？
A.25，32
B.27，30
C.30，27
D.32，25
【例8】（2015河北）小强的爸爸比小强的妈妈大3岁，全家三口的年龄总和是74岁，9年前这家人年龄
总和是49岁，那么小强的妈妈今年多少岁？
A.32
B.33
C.34
D.35
37
课程答疑（小红书：超格明阳）超格教育学员专用
【例9】（2015甘肃）小王与父亲属相相同，小王的母亲比他父亲小4岁，某个蛇年小王的母亲年龄正好
是小王的3倍（年龄按阴历年份计算，出生当年算0岁）。则小王的属相可能是：
A.蛇
B.马
C.羊
D.猴
【例10】（2014天津）张先生今年70岁，他有三个孙子，长孙20岁，次孙13岁，幼孙7岁。问多少年后，
三个孙子年龄之和与祖父的年龄相同？
A.10
B.15
C.18
D.20
【例11】（2014下重庆）上一个虎年老王和小赵的年龄和为54岁，上上个虎年老王年龄是小赵年龄的6
倍多。如两人年龄均按出生的阴历年份计算，且出生的当个阴历年为0岁，则老王出生于：
A.鼠年
B.虎年
C.龙年
D.马年
【例12】（2014联考）一家四口人的年龄之和为149岁，其中外公年龄、母亲年龄以及两人的年龄之和
都是平方数，而父亲7年前的年龄正好是孩子年龄的6倍，问外公年龄上一次是孩子年龄的整数倍是在
几年前？
A.2
B.4
C.6
D.8
答案：1-5：DBDCD；6-10：BBACB；11-12：AD
3388
课程答疑（小红书：超格明阳）超格教育学员专用
『第十章 溶液问题』
39
课程答疑（小红书：超格明阳）超格教育学员专用
【例1】（2021山东）X千克甲盐水和Y千克乙盐水中的含盐量相同。将X千克乙盐水与X千克甲盐水混
合，并蒸发掉X千克水之后，得到溶液浓度是乙盐水的Z倍。问乙盐水的浓度是甲盐水的多少倍？
1
A.
Z1
1
B.
Z-1
1
C. X
Z
Y
1
D. Y
Z
X
【例2】（2019上海）有一瓶浓度为15%的盐水500克，每次加入34克浓度为60%的盐水，则至少加（ ）
次该盐水，使这瓶盐水的浓度超过30%。
A.6
B.7
C.8
D.9
【例3】（2019河北）将300克浓度为95%的酒精与若干浓度为60%的酒精，混合成浓度为75%的酒精，
需要浓度为60%的酒精多少克？
A.225
B.240
C.380
D.400
【例4】（2019青海）实验室有A、B、C三个实验试管，分别装有10克、15克、20克的水，小明把含有
一定浓度的10克药水倒进A试管中，混合后取出10克倒入B试管中，再次混合后，从B试管中取出10克
倒入C试管中，最后用化学仪器检测出C试管中药水浓度为2%。试计算刚开始倒入A试管中药水的浓度
是多少？
A.10%
B.20%
C.30%
D.40%
4400
课程答疑（小红书：超格明阳）超格教育学员专用
【例5】（2018江苏）某化学实验室有A、B、C三个试管分别盛有10克、20克、30克水，将某种盐溶液
10克倒入试管A中，充分混合均匀后，取出10克溶液倒入B试管，充分混合均匀后，取出10克溶液倒入
C试管，充分混合均匀后，这时C试管中溶液浓度为1%，则倒入A试管中的盐溶液浓度是：
A.40%
B.36%
C.30%
D.24%
【例6】（2017广西）有甲、乙两种不同浓度的盐水，取3克甲盐水和1克乙盐水混合可以得到浓度为x%
的盐水；用1克甲盐水和3克乙盐水混合可以得到丙盐水。问：用多少克甲盐水和1克丙盐水混合可以得
到浓度为x%的盐水？
A.2
B.4
C.6
D.8
【例7】（2017上海）实验室使用浓度为2%的盐水和蒸馏水，配制浓度为1%的淡盐水。现在有1000克蒸
馏水和500克浓度为2%的盐水，则最多可配制（ ）克浓度为1%的淡盐水。
A.500
B.1000
C.1500
D.2000
【例8】（2017联考）某饮料店有纯果汁（即浓度为100%）10千克，浓度为30%的浓缩还原果汁20千克。
若取纯果汁、浓缩还原果汁各10千克倒入10千克纯净水中，再倒入10千克的浓缩还原果汁，则得到的
果汁浓度为：
A.40%
B.37.5%
C.35%
D.30%
41
课程答疑（小红书：超格明阳）超格教育学员专用
【例9】（2017江苏）A、B两个容器装有质量相同的酒精溶液，若从A、B中各取一半溶液，混合后浓度
1 1 1 4
为45%；若从A中取 、B中取 溶液，混合后浓度为40%。若从A中取 、B中取 溶液，则混合后
2 4 5 5
溶液的浓度是：
A.48%
B.50%
C.54%
D.60%
【例10】（2017广东）现有浓度为15%和30%的盐水若干，如要配出600克浓度为25%的盐水，则分别需
要浓度15%和30%的盐水（ ）克。
A.100、300
B.200、400
C.300、600
D.400、800
【例11】（2017北京）某种鸡尾酒的酒精浓度为20%，由A种酒、B种酒和酒精浓度（酒精重量÷酒水总
重量）10%的C种酒按1∶3∶1的比例（重量比）调制成。已知B种酒的酒精浓度是A种酒的一半，则A
种酒的酒精浓度是：
A.36%
B.30%
C.24%
D.18%
【例12】（2017江西）有A、B两瓶混合液，A瓶中水、油、醋的比例为3∶8∶5，B瓶中水、油、醋的比
例为1∶2∶3，将A、B两瓶混合液倒在一起后，得到的混合液中水、油、醋的比例可能为：
A.4∶5∶2
B.2∶3∶5
C.3∶7∶7
D.1∶3∶1
4422
课程答疑（小红书：超格明阳）超格教育学员专用
【例13】（2016江苏）有A、B、C三支试管，分别装有10克、20克、30克的水，现将某种盐溶液10克倒
入A管均匀混合，并取出10克溶液倒入B管均匀混合，再从B管中取出10克溶液倒入C管。若这时C管中
溶液浓度为2.5%，则原盐溶液的浓度是：
A.60%
B.55%
C.50%
D.45%
【例14】（2016上四川）甲杯有浓度为10%的盐水600克，乙杯有浓度为15%的盐水400克。将甲杯盐水
1
的 倒入乙杯，充分混合后又将乙杯的部分盐水倒入甲杯，使两杯中盐的含量相同。此时，乙杯盐水
3
的浓度在下列哪一范围？
A.5%～7%
B.8%～10%
C.11%～14%
D.15%～18%
【例15】（2016江苏）有两瓶质量均为100克且浓度相同的盐溶液，在一瓶中加入20克水，在另一瓶中
加入50克浓度为30%的盐溶液后，它们的浓度仍然相等，则这两瓶盐溶液原来的浓度是：
A.36%
B.64%
C.50%
D.60%
答案：1-5：BCDCD；6-10：ABACB；11-15：ACACD
43
课程答疑（小红书：超格明阳）超格教育学员专用
『第十一章 植树和方阵问题』
4444
课程答疑（小红书：超格明阳）超格教育学员专用
【例1】（2024广东选调）一座大桥总长360米，从起点到终点每隔30米安装一盏路灯，现计划在每两盏
路灯之间安装一盏路灯，则在安装后位于大桥最中间的是第（ ）盏路灯。
A.11
B.13
C.15
D.17
【例2】（2023湖北事业单位）育才中学有一条150米长的小道，学校准备在小道的两边分别按照一棵梧
桐树、一棵桦树、一棵梧桐树……的顺序依次种树，已知同一边两棵树的间隔为3米，小道的起点、终
点均要求种树，且起点均为梧桐树。总共需要种（ ）棵梧桐树。
A.26
B.50
C.52
D.54
【例3】（2023湖北事业单位）某圆形建筑的外围计划摆放绿萝、蝴蝶兰和帝王花，已知圆形建筑的外
围周长为200米，每隔5米放一盆绿萝，相邻的绿萝中间摆放两盆蝴蝶兰和一盆帝王花，且帝王花必须
摆在两盆蝴蝶兰中间，则分别需要绿萝、蝴蝶兰和帝王花各（ ）盆。
A.41、82、41
B.40、78、39
C.39、78、39
D.40、80、40
【例4】（2022下事业单位联考）在一条100米笔直的路上种树，已知该路的两端分别已经各种了一棵树。
现要求每次在已种树的中点位置新种一棵，保证两两树之间的距离相等且大于5米。问这条路上最多有
多少棵树？
A.16
B.17
C.18
D.19
45
课程答疑（小红书：超格明阳）超格教育学员专用
【例5】（2020山东）马拉松组委会在赛道中设置18个水站，将赛道平均分为19段。送水车下午14:00从
起点出发匀速行驶，每到一个站点停1分钟时间卸下瓶装水，到达终点之后原速返回起点且不再停站。
已知14:27，送水车卸完第9个站的瓶装水，问：如果其到达终点后立刻返回，什么时间能重新回到起点？
A.15:30
B.15:32
C.15:34
D.15:36
【例6】（2018联考）一条笔直的林荫道两旁种植着梧桐树，同侧道路每两棵梧桐树间距50米。林某每
天早上七点半穿过林荫道步行去上班，工作地点恰好在林荫道尽头。经测试，他每分钟步行70步，每
步大约50厘米，每天早上八点准时到达工作地点。那么，这条林荫道两旁栽种的梧桐树共有多少棵？
A.21
B.22
C.42
D.44
【例7】（2017广东）施工队给一个周长为40米的圆形花坛安装护栏。刚开始，每隔1米挖一个洞用于埋
栏杆。后来发现洞的间隔太远，决定改为每隔0.8米挖一个洞。那么，至少需要再挖（ ）个洞。
A.39
B.40
C.41
D.42
【例8】（2019国考）园丁将若干同样大小的花盆在平地上摆放为不同的几何图形，发现如果增加5盆，
就能摆成实心正三角形。如果减少4盆，就能摆成每边多于1个花盆的实心正方形。问：将现有的花盆
摆成实心矩形，最外层最少有多少盆花？
A.22
B.24
C.26
D.28
4466
课程答疑（小红书：超格明阳）超格教育学员专用
【例9】（2017上海）现有一批正方形的地砖，如拼成一个大正方形则可余62块；若每边都再增加一块，
则缺少37块，这批地砖共有（ ）块。
A.2433
B.2459
C.2463
D.2475
【例10】（2015新疆）某校计算机学院学生组成正方形实心方阵参加学校体育节开幕式，能组成的最大
方阵最外层人数为48人。问该学院的学生人数在以下哪个范围内？
A.144到155之间
B.156到168之间
C.169到195之间
D.大于195
【例11】（2015江苏）参加某运动会的全体运动员在开幕式上恰好排成一个正方形队列，有两行两列的
运动员离场后，运动员人数减少64人，则参加该运动会的运动员人数为：
A.225
B.256
C.289
D.324
【例12】（2012下河南/福建）用红、黄两色鲜花组成的实心方阵（所有花盆大小完全相同），最外层是
红花，从外往内每层按红花、黄花相间摆放。如果最外层一圈的正方形有红花44盆，那么完成造型共
需黄花：
A.48盆
B.60盆
C.72盆
D.84盆
47
课程答疑（小红书：超格明阳）超格教育学员专用
【例13】（2012广东）有绿、白两种颜色且尺寸相同的正方形瓷砖共400块。将这些瓷砖铺在一块正方
形的地面上：最外面的一周用绿色瓷砖铺，从外往里数的第二周用白色瓷砖铺，第三周用绿色瓷砖，
第四周用白色瓷砖……这样依次交替铺下去，恰好将所有瓷砖用完。这块正方形地面上的绿色瓷砖共
有（ ）块。
A.180
B.196
C.210
D.220
【例14】（2009江苏）有一队士兵排成若干层的中空方阵，外层人数共有60人，中间一层共44人，则该
方阵士兵的总人数是（ ）。
A.156人
B.210人
C.220人
D.280人
答案：1-5：BCDBC；6-10：DBACC；11-14：CBDC
4488
课程答疑（小红书：超格明阳）超格教育学员专用
『第十二章 经济利润问题』
49
课程答疑（小红书：超格明阳）超格教育学员专用
【例1】（2021广东乡镇）某帮扶项目以每千克9元的价格从农民手中收购了一批苹果，并以每千克12元
（包邮）的价格在网上销售。售出总量的80%后，价格下调为每千克10元（包邮）。运费成本为每千克
0.1元。全部售完后，扣除收购成本和运费的总收益为2.5万元，则这批苹果为（ ）吨。
A.5
B.10
C.15
D.20
【例2】（2021北京）某电商平台开通会员费用为99元/年，全年最多可免240元运费，且会员在购买服饰
类、非服饰类商品时可分别享受9折和95折优惠。小王去年在该平台上未开通会员，全年购买的服饰类、
食品类、家电类和其他商品分别花费1480元、3200元、3600元、1500元，运费花费235元，如果她去年
开通会员，则在该平台支付总金额可减少：
A.不到500元
B.500-750元之间
C.750-1000之间
D.1000以上
【例3】（2021北京）一种设备打九折出售，销售12件与原价出售销售10件时的获利相同。已知这种设
备的进价为50元/件，其它成本为10元/件，问如打八折出售，1万元最多可以买多少件？
A.80
B.83
C.86
D.90
【例4】（2021山东）某种商品第1天原价销售，第2天开始每天的价格比上一天下降原价的10%。在最
后一天之前，每天的销量比上一天提高100%，最后一天的销量与第3天相同，总共6天，全部卖完。如
这种商品的成本为原价的60%，问销售这种商品的总利润为总成本的：
A.不到10%
B.10%～20%之间
C.20%～30%之间
D.30%以上
5500
课程答疑（小红书：超格明阳）超格教育学员专用
【例5】（2021浙江）由于采用了新的种植技术，某种农产品的产量和品质都得到了提升。在平均每亩
增产25%的同时，每千克售价也增加了20%。尽管每亩生产成本增加了35%，但每亩利润也增加了100%。
问：采用新种植技术后，每亩利润占每亩销售收入的比例在以下哪个范围内？
A.不到25%
B.25%～35%
C.35%～45%
D.超过45%
【例6】（2021浙江）超市采购一批食用油，其中玉米油每桶进价比花生油低20%，若花生油利润定为
进价的24%，玉米油利润定为进价的30%，则花生油比玉米油每桶售价高10元。问：玉米油每桶比花生
油进价低多少元？
A.10
B.15
C.24
D.25
【例7】（2021江苏）超市销售某种水果，第一天按原价售出总量的60%，第二天原价打八折售出剩下
的一半，第三天按成本价全部售出。若销售全部该水果的利润率为34%，则该水果按原价销售的利润
率为：
A.68%
B.51%
C.50%
D.36%
【例8】（2021江苏）某科技公司向银行申请甲、乙两种一年期的贷款总计5000万元，两种贷款的年利
率分别为5.6%和6.2%。若该公司向银行支付的总贷款利息为295.6万元，则甲种贷款的金额是（ ）。
A.2250万元
B.2400万元
C.2650万元
D.2800万元
51
课程答疑（小红书：超格明阳）超格教育学员专用
【例9】（2020国考）某个项目由甲、乙两人共同投资，约定总利润10万元以内的部分甲得80%，10万
元～20万元的部分甲得60%，20万元以上的部分乙得60%。最终乙分得的利润是甲的1.2倍。问如果总
利润减半，甲分得的利润比乙：
A.少1万元
B.多1万元
C.少2万元
D.多2万元
【例10】（2017重庆选调）某市电费标准是，若月用电量不超过100千瓦时，则每千瓦时电费0.5元，若
月用电量超过100千瓦时，则超过部分每千瓦时0.8元。今年9月份，小玲家比小桃家多交电费6.3元，那
么小桃家这个月用电量是（ ）千瓦时。
A.89
B.91
C.93
D.95
【例11】（2017下天津）某商店出售A商品，若每天卖100件，则每件可获利6元。根据经验，若A商品
每件涨1元钱，每天就少卖10件。为使每天获利最大化，A商品应涨价：
A.6元
B.4元
C.2元
D.10元
【例12】（2015天津）某汽车坐垫加工厂生产一种汽车坐垫，每套的成本是144元，售价是200元。一个
经销商订购了120套这种汽车坐垫，并提出：如果每套坐垫的售价每降低2元，就多订购6套。按经销商
的要求，该加工厂获得最大利润需售出的套数是：
A.144
B.136
C.128
D.142
答案：1-5：BBBBB；6-10：ACBBA；11-12：CA
5522
课程答疑（小红书：超格明阳）超格教育学员专用
『第十三章 行程问题』
53
课程答疑（小红书：超格明阳）超格教育学员专用
【例1】（2021广东）上午7点，A、B市干部同时乘车前往省城参观学习，汽车时速均为每小时80公里。
但由于突发状况，B市干部在路上停留了2个小时。最终，A市干部于当天上午9点到达省城；B市干部
于当天下午3点到达。则如果从A市出发，途经省城到达B市，总路程为（ ）公里。
A.720
B.640
C.320
D.280
【例2】（2020浙江）一辆汽车第一天和第二天的行驶时间之比为3∶4，第二天与第三天行驶路程相同，
第三天行驶时间为5小时，第一天行驶400km，三天全程的平均速度为80km/h。问：第二天的平均速度
是多少km/h？
A.70
B.75
C.80
D.85
【例3】（2020北京）一辆汽车在高速公路上以60千米/时的速度匀速行驶，此时司机开始以固定的加速
度进行加速，加速后50秒内，汽车行驶了1千米。则汽车从开始加速，到加速至高速公路的速度上限120
千米/时需要多长时间？
A.100秒
B.125秒
C.150秒
D.180秒
【例4】（2020新疆）A、B两地相距600千米，甲车上午9时从A地开往B地，乙车上午10时从B地开往A
地，到中午13时，两辆车恰好在A、B两地的中点相遇。如果甲、乙两辆车都从上午9时由两地相向开
出，速度不变，到上午11时，两车还相距多少千米？
A.100
B.150
C.200
D.250
5544
课程答疑（小红书：超格明阳）超格教育学员专用
【例5】（2020深圳）深圳市民老李周末去郊游，他从家出发匀速骑行2小时到达梧桐山，游玩4小时后
沿原路以原速返回，已知老李离开家5.5小时后，其子小李驾车以30千米/时的速度从家出发沿同一路线
接老李，两人在距离梧桐山10千米路程处相遇，则老李的骑行速度是（ ）千米/时。
A.20
B.18
C.16
D.15
【例6】（2020深圳）小王和小李从甲地去往相距15km的乙地调研。两人同时出发且速度相同。15min
后，小王发现遗漏了重要文件遂立即原路原速返回，小李则继续前行；小王取到文件后提速20%追赶
小李，在小李到达乙地时刚好追上，假设小王取文件的时间忽略不计，则小李的速度为（ ）km/h。
A.4
B.4.5
C.5
D.6
【例7】（2021四川）在周长为300米的环形跑道的某处，甲、乙两人分别以6米/秒、3米/秒的速度同时
同向出发，沿跑道奔跑。甲每次追上乙后都减速0.5米/秒，直至他们两人的速度相同。问他们在出发后
30分钟内，甲和乙以相同速度跑过的路程为多少米？
A.990
B.1080
C.1530
D.1800
【例8】（2020江苏）两人在环形跑道上匀速跑步，同向跑每3分钟相遇一次，相向跑每1分钟相遇一次。
则速度较慢者每圈用时是：
A.3分钟
B.4分钟
C.5分钟
D.2分钟
55
课程答疑（小红书：超格明阳）超格教育学员专用
【例9】（2020国考）丙地为甲、乙两地之间高速公路上的一个测速点，其与甲地之间的距离是与乙地
之间距离的一半。A、B两车分别从甲地和乙地同时出发匀速相向而行，第一次迎面相遇的位置距离丙
地500米。两车到达对方出发地后立刻原路返回，第二次两车相遇也为迎面相遇，问第二次相遇的位置
一定：
A.距离甲地1500米
B.距离乙地1500米
C.距离丙地1500米
D.距离乙、丙中点1500米
【例10】（2019下四川）A、B两点间有一条直线跑道，甲从A点出发，乙从B点出发，两人同时开始匀
速在两点之间往返跑步。第一次迎面相遇时离A点1000米，第三次迎面相遇时离B点200米，此时甲到
达B点两次，乙到达A点一次。问：A、B两点间跑道的长度是多少米？
A.1400
B.1500
C.1600
D.1700
【例11】（2020北京）甲、乙两船分别从上游的A地和下游的B地同时出发相向匀速行驶。甲船2小时后
到达B地，随后立刻返航以原功率行驶，在3小时后与乙船同时到达A地。则两船如果同时从A地出发前
往B地，甲船比乙船提前到达的时间在以下哪个范围内？
A.低于半小时
B.半小时～1小时之间
C.1小时～1个半小时之间
D.高于1个半小时
【例12】（2020广东）A、B两座港口相距300千米且仅有1条固定航道，在某一时刻甲船从A港顺流而下
前往B港，同时乙船从B港逆流而上前往A港，甲船在5小时之后抵达了B港，停留了1小时后开始返回A
港，又过了6小时追上了乙船。则乙船在静水中的时速为多少千米？
A.20
B.25
C.30
D.40
答案：1-5：BABDA；6-10：CAABC；11-12：BC
5566
课程答疑（小红书：超格明阳）超格教育学员专用
『第十四章 排列组合问题』
57
课程答疑（小红书：超格明阳）超格教育学员专用
【例1】（2022下四川）甲、乙、丙3名消费者在某餐厅排队，各自拿取两位数字的等位号。已知3个等
位号的个位数字和十位数字恰好由1、2、3、4、5、6六个不重复的数字组成，乙的等位号正好与3人等
位号的平均数相同，且甲的等位号数字最小。问三人的等位号组合有多少种不同的可能性？
A.3
B.6
C.8
D.12
【例2】（2022上海）小李进行健身运动，计划运动时间不少于1小时且不多于2小时，有以下备选项目：
30分钟自行车、30分钟划船、40分钟慢跑、1小时羽毛球、1.5小时步行，每个项目限选一次且最多可以
选择三项，那么小李的运动计划共有（ ）种。
A.8
B.12
C.16
D.24
【例3】（2023联考）某高校学生会选拔乡村支教志愿者，初试合格者中，语文类5名，数学类6名，文
体类4名，从中选取9名志愿者，但每类至少要选2名。问就9名志愿者科目类别构成而言，共有几种选
拔方式？
A.6
B.7
C.8
D.9
【例4】（2023国考）某次会议邀请4所高校每所各2位学者作报告。在某日上午、下午和晚上的三个时
间段分别安排3位、3位和2位学者依次作报告，且同一所高校的2位学者不安排在同一时间段内作报告。
问8人的报告次序有多少种不同的安排方式？
A.不到5000种
B.5000~10000种之间
C.10001~20000种之间
D.超过20000种
5588
课程答疑（小红书：超格明阳）超格教育学员专用
【例5】（2023国考）将5个相邻的铺位出租给2家餐厅和2家水果店。要求租完不能有空余铺位，每家餐
厅可以租用1个铺位，也可以租用并打通2个相邻的铺位作为其营业场所，每家水果店只能租用1个铺位，
且相同类型的两个租户之间至少要间隔1个铺位。问有多少种不同的安排方式？
A.24
B.48
C.8
D.16
【例6】（2022山东）一种电子表在10点5分8秒时，显示的时间为10:05:08。问在10:00:00到10:30:00之间，
电子表上显示时间的6个数字彼此都不相同的情形总共有多少种？
A.45
B.90
C.120
D.210
【例7】（2023北京）现有6根钢筋，长度分别为4尺、7尺、8尺、9尺、10尺和12尺。现每次抽取3根首
尾相连组成一个三角形，则一共能组成多少个不同的三角形？
A.20
B.19
C.18
D.17
【例8】（2023联考）在一次“互联网+现代农业”培训会后，为了交流拓展农村电商产业路径，要求各
地参会代表一周内每两人互通一次电话，已知他们一周内共打了120次电话，这次参与培训交流的人数
是：
A.20人
B.18人
C.16人
D.15人
59
课程答疑（小红书：超格明阳）超格教育学员专用
【例9】（2022广东）甲、乙、丙3个单位订阅同一款报刊，已知3个单位共订了12份，其中每个单位订
阅数量不少于3份，但不超过5份，则这3个单位的报刊订阅数量可能有（ ）种组合。
A.2
B.6
C.7
D.9
【例10】（2022江苏）某单位拟开展3场文化交流活动，安排给3个部门进行策划。若每个部门最多承担
2场活动的策划，每场活动只安排给1个部门，则不同的安排方法共有：
A.16种
B.24种
C.32种
D.48种
【例11】（2015上事业单位联考）某单位共有十多名职员，男职员的人数比女职员少40%。该单位要选
出先进工作者以及“三八”红旗手各一人（不能是同一人选），问有多少种推选方案？
A.144
B.150
C.160
D.240
【例12】（2022青海）某市举办世界遗产大会，开幕式会场需要从6组志愿者中选出4组分别从事防疫协
助、嘉宾引导、英语翻译、物资发放四项不同的工作，其中甲、乙组不能从事英语翻译工作，丙组只
能从事防疫协助工作，则派选方案有：
A.36种
B.72种
C.108种
D.144种
6600
课程答疑（小红书：超格明阳）超格教育学员专用
【例13】（2023联考）某空军基地举行飞行训练，有8架歼击机、3架预警直升机、2架反潜直升机参与
训练，每架飞机编号不同。训练时，需派出3架歼击机、2架预警直升机、1架反潜直升机进行起降飞行。
若每次只能起飞1架飞机，其中3架歼击机必须相邻起飞，2架预警直升机不能相邻起飞，那么不同的起
飞方式有多少种？
A.504
B.4032
C.8064
D.24192
【例14】（2023北京）某车库有10个并排的车位，有3辆不同的车要停进这10个车位之中，而且彼此不
能相邻，则有多少种不同的停放方法？
A.336
B.246
C.156
D.66
【例15】（2023联考）在一个3×3的表格（如下图所示）中，分别填入5个数字0和4个数字1，若要求灰
色方格中不能同时填入数字1，问有多少种填法：
A.98
B.100
C.120
D.126
答案：1-5：CBDCD；6-10：BCCCB；11-15：BCDAC
61
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『第十五章 概率问题』
6622
课程答疑（小红书：超格明阳）超格教育学员专用
【例1】（2023联考）某种商品有小、中、大三种包装规格，每箱分别装有10件、20件和30件这种商品。
如果订货量为10的整数倍，则商家在所有总件数等同于订货件数的整箱组合中随机选择一种发货。已
知某笔订单订购了70件这种商品，则该商家发出的货物中包含至少1箱大包装的概率为：
A.62.5%
B.50%
C.37.5%
D.25%
【例2】（2023国考）某单位有甲和乙2个办公室，分别有职工5人和4人。每周从这9名职工中随机抽取1
人下沉社区担任志愿者（同一人有可能被连续、重复选中）。问7月前2周的志愿者均来自甲办公室的
概率在以下哪个范围内？
A.不到25%
B.25%～35%之间
C.35%～45%之间
D.超过45%
【例3】（2022联考）清朝乾隆皇帝曾出上联“客上天然居，居然天上客”，纪昀以“人过大佛寺，寺
佛大过人”对出下联，这副对联既可以顺读也可以逆读，被称作回文联。数学中也有类似回文数，如
212、37473等，则三位数中回文数是奇数的概率为：
2 1 4 5
A. B. C. D.
9 3 9 9
【例4】（2023国考）某次招标活动中，甲、乙、丙、丁、戊和己6家投标企业依次对自己的设计进行讲
解。已知甲和乙均不能安排在第一个或最后一个，丙只能安排在第三个或第四个，如在满足以上条件
的次序中随机选择一个，则丁和戊的讲解次序相邻的概率为：
2 1 2 1
A. B. C. D.
9 5 7 4
63
课程答疑（小红书：超格明阳）超格教育学员专用
【例5】（2022联考）张、王、刘、李、陈五人按照特定的规则随机分配给A、B、C、D四个任务组，要
求每组至少分配1人，张不分配在A组，李必须分配在C组，D组只分配1人。问张和王分配在同一组的
概率为：
A.不到5%
B.5%～10%之间
C.10%～15%之间
D.超过15%
【例6】（2022青海）某调研小组共有5人，需分配到3个不同的厂区进行调研工作，那么每个厂区至少
分到一人的概率为：
40 20 70 50
A. B. C. D.
81 27 81 81
【例7】（2022广东）某街道对辖内6个社区的垃圾分类情况进行考核评估，结果显示有2个社区的垃圾
分类考核不通过。如果从6个社区中随机抽取3个进行现场检查，则抽取的社区中，既有考核通过的又
有考核不通过的社区的概率为：
1 1 2 4
A. B. C. D.
5 2 3 5
【例8】（2022国考）某企业将5台不同的笔记本电脑和5台不同的平板电脑捐赠给甲、乙两所小学，每
所学校分配5台电脑。如在所有可能的分配方式中随机选取一种，两所学校分得的平板电脑数量均不超
过3台的概率为：
50 125 25 125
A. B. C. D.
63 126 63 252
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课程答疑（小红书：超格明阳）超格教育学员专用
【例9】（2022广东）某单位计划从行政部的2名员工和人事部的3名员工中，随机选择2人去参加在职培
训，则选出的2人都来自人事部的概率是（ ）。
A.10%
B.20%
C.30%
D.40%
【例10】（2022下四川）甲生产零件的效率比乙高50%，1小时内甲比乙多生产8个零件。现安排甲、乙
共同生产1小时，从生产的零件中抽取3件。问至少有1件是甲生产的概率在以下哪个范围内？
A.小于0.80
B.0.80~0.90之间
C.0.90~0.95之间
D.大于0.95
【例11】（2023上海）小圆设计了一款电子骰子，总共有A、B、C、D四种结果，其出现的概率之比为4∶
3∶2∶1。小圆共计掷了两次骰子，设事件甲为“两次中至少有一个A”，事件乙为“两次至少有一个
B”，事件丙为“两次没有一个是D”，事件丁为“两次中有A无D”，则发生概率从高到低排序，位
于第二位的是：
A.事件甲
B.事件乙
C.事件丙
D.事件丁
【例12】（2022江苏）小王和小李进行七局四胜的乒乓球比赛，两人水平相当，每局胜对方的概率
1 11
都是 。若前三局过后小王获胜的概率是 ，则她前三局的胜负情况是：
2 16
A.胜3局
B.胜2局、负1局
C.负3局
D.胜1局、负2局
答案：1-5：BBDAB；6-10：DDACC；11-12：AB
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『第十六章 数量易拿分小题』
6666
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【例1】（2015下事业单位联考）某人决定从西安到北京自驾游，可供他选择的道路如下图所示，如果
他每次只能由西南向东北方向行驶，则他到北京有多少种不同的行驶路线？
A.8
B.9
C.10
D.11
【例2】（2014山东）A、B、C三地的地图如下图所示，其中A在C正北，B在C正东，连线处为道路。
如要从A地到达B地，且途中只能向南、东和东南方向行进，有多少种不同的走法？
A.9
B.11
C.13
D.15
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【例3】（2012联考）12个啤酒空瓶可以免费换1瓶啤酒，现有101个啤酒空瓶，最多可以免费喝到的啤
酒为：
A.8瓶
B.9瓶
C.10瓶
D.11瓶
【例4】（2011山西党群）小李想把收集起来的粉笔头重新做成粉笔，如果5个粉笔头可以做成一支粉笔，
问125个粉笔头可以做成多少支粉笔？
A.21
B.25
C.31
D.35
【例5】（2009浙江）“红星”啤酒开展“7个空瓶换1瓶啤酒”的优惠促销活动。现在已知张先生在活
动促销期间共喝掉347瓶“红星”啤酒，问张先生最少用钱买了多少瓶啤酒？
A.296瓶
B.298瓶
C.300瓶
D.302瓶
【例6】（2013天津）某个公司有甲、乙、丙、丁，四个地方各有一个仓库，四个地方大致都在一条直
线上，之间分别相距6km，10km，18km，甲仓库有货物4吨，乙仓库有货物6吨，丙仓库有货物9吨，
丁仓库有货物3吨。如果把所有的货物集中到一个仓库，每吨货物每千米运费是100元，请问把货物放
在哪个仓库最省钱？
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
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【例7】（2009山西）妈妈给客人沏茶。洗开水壶需要1分钟，烧水需要15分钟，洗茶壶需要1分钟，洗
茶杯需要1分钟，拿茶叶需要2分钟，依照最合理的安排，要几分钟就能沏好茶？
A.16分钟
B.17分钟
C.18分钟
D.19分钟
【例8】（2020江苏）下图为某市一段地下水管道的分布图，箭线表示管道中水的流向，数值表示箭线
的长度（单位：千米）。水从S点流到T点最短的距离是：
A.20千米 B.22千米 C.23千米 D.24千米
【例9】（2011河北）一只天平有7克、2克砝码各一个，如果需要将140克的盐分成50克、90克各一份，
至少要称几次？
A.六
B.五
C.四
D.三
【例10】（2013陕西）4艘轮船负责6个码头之间的货物调配任务，已知这6个码头所需装卸工的数量分
别为12人、10人、6人、8人、3人、9人。现在让一部分装卸工跟随轮船移动，而不是在各自的码头等
待轮船到来后才开始工作，这样一来，可以使得6个码头所需装卸工的总数减少，则在不影响任务的前
提下，所需装卸工的最少人数为（ ）人。
A.48
B.39
C.45
D.31
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【例11】（2007国考）一个车队有三辆汽车，担负着五家工厂的运输任务，这五家工厂分别需要7、9、
4、10、6名装卸工，共计36名；如果安排一部分装卸工跟车装卸，那么不需要那么多装卸工，而只要
在装卸任务较多的工厂再安排一些装卸工就能完成装卸任务，则在这种情况下，总共至少需要多少名
装卸工才能保证各厂的装卸要求？
A.26
B.27
C.28
D.29
【例12】（2013江苏）张局长找甲、乙、丙三名处长谈话，准备与甲谈10分钟，与乙谈12分钟，与丙谈
8分钟。秘书带三人到局长办公室后对谈话的顺序做了合理安排，使三人谈话的时间与等待时间之和为
最短，则这个最短时间是：
A.46分钟
B.53分钟
C.54分钟
D.56分钟
【例13】（2017深圳）公用电话亭中有两部电话，六个人排队打电话，打完即走，他们的通话时间分别
为3分钟、5分钟、4分钟、13分钟、7分钟、8分钟，则大家在此公用电话亭逗留的总时间最少为（ ）
分钟。
A.60
B.66
C.72
D.78
答案：1-5：BDBCB；6-10：CABDB；11-13：ADB
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课程答疑（小红书：超格明阳）超格教育学员专用
同学们：
不知不觉我们又刷了200多道题，又上了16节课。
在这个过程中，我看到了你们的努力与坚持，看到了你们面对难题时的执着与勇气。
课程的结束并不意味着学习的终止，大家要坚持学习，直到考前。
愿你们在面对各种数量关系问题时，都能像在课堂上一样，冷静分析、巧妙解题。
无论是考试中的数学难题，还是生活中的实际问题，都能运用所学的数量关系知识，
找到最佳的解决方案。
同时，也希望你们能够将在数量关系课程中培养起来的逻辑思维能力和解决问题的能
力，运用到其他学科的学习和未来的工作中，为自己的人生开辟更加广阔的道路。
最后，祝愿同学们在未来的日子里，学习进步，事业有成，生活幸福！
相信你们一定能够创造出属于自己的精彩人生！
明阳老师
（关注老师的小红书，多和老师互动交流，老师也会分享更多有关数量关系的学习内容。）
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