23-24学年黄埔区苏元学校九年级（上）12月考数学试卷（含答案）_广州九上月考+期中+期末+一模二模+中考真题_初三上十月十二月考

2023-2024 学年广东省广州市黄埔区苏元学校九年级（上）月考数学试卷 （12 月份） 一、选择题（每小题3分，共10题，满分30分．在每小题给出的四个选项，只有一项符合题目要求．） 1．（3分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( ) A． B． C． D． 2．（3分）下列事件中，为必然事件的是( ) 学 A．购买一张彩票，中奖 升 B．一个袋中只装有2个黑球，从中摸出一个球是黑球 哥 C．抛掷一枚硬币，正面向上 D．打开电视，正在播放广告水 3．（3分）用配方法解方程x2 8x90，下列变形正确的是( ) A．(x4)2 25 B．(x4)2 7 C．(x8)2 73 D．(x4)2 25 4．（3分）如图，二次函数ya(x2)2 k的图象与x轴交于A，B(1,0)两点，则下列说法正确的是( ) A．a0 B．点A的坐标为(4,0) C．当x0时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴为直线x2 5．（3分）如图，学校课外生物小组试验园地的形状是长40米、宽34米的矩形，为便于管理，要在中间 开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为960平方米．则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米， 第1页（共29页）则根据题意，列方程为( ) A．(402x)(34x)960 B．403440x34x2x2 960 C．(40x)(342x)960 D．403440x234x960 6．（3分）如图，正五边形ABCDE内接于O，P为DE上的一点（点P不与点D重合），则CPD的度 数为( ) 学 A．30 B．36 C．升 60 D．72 7．（3分）已知二次函数ykx2 2(k1) 哥 xk的图象与x轴无交点，则k的取值范围是( ) 1 水 1 A．k  B．k 2 C．k 2 D．k  且k 0 2 2 8．（3分）如图，ABC 中，ACB90，AC BC 3，点D是AB边上一点，且AD:BD1:2，将ACD 绕点C顺时针旋转至BCE ，连接DE，则线段DE的长为( ) A．3 2 B．2 3 C． 10 D．2 5 9．（3分）如图，在O中，AB，AC为互相垂直且相等的两条弦，OD AB，OE  AC ，垂足分别为 点D，E，若AC 2cm，则O 的半径为( ) 第2页（共29页）A．1 cm B．2 cm C． 2 cm D．4 cm 1 1 10．（3分）如图，直线y x2与y轴交于点A，与直线y x交于点B，若抛物线y(xh)2 k的 2 2 1 顶点在直线y x上移动，且与线段AB、BO都有公共点，则h的取值范围是( ) 2 学 升 A．1.5 h 0.5 B．2 h 0.5 哥C．1.5 h 1.5 D．2 h 1.5 二．填空题（本题共有6小题， 水 每小题3分，共18分） 11．（3分）如图，四边形ABCD内接于O，若A50，则C  ． 12．（3分）有5张仅有编号不同的卡片，编号分别是1，2，3，4，5．从中随机抽取一张，编号是偶数的 概率等于 ． 13．（3分）建设美图城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元， 现假定每年投入资金的增长率相同．设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，则所列方程 为 ． 14．（3分）如图为一个A30的三角板RtABC，BC 6，小洋同学将三角板绕AC旋转一周，则所得 到的几何体的侧面积为 ．（结果保留) 第3页（共29页）15．（3分）二次函数yx2 4x7，当1 x4时，y的取值范围为 ． 16．（3分）已知在平面直角坐标系中A(4,0)、B(3,0)、C(0,3)，点P在x轴上运动，当点P与点A，B， C三点中任意两点构成直角三角形时，点P的坐标为 ． 三．解答题（共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（4分）解一元二次方程：x2 9x80． 18．（6分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，ABC 在平面直角坐标系中的位置如 图所示． （1）将ABC向上平移3个单位后，得到△ABC ，请画出△ABC ，并直接写出点A的坐标； 1 1 1 学1 1 1 1 （2）将ABC 绕点O顺时针旋转90，请画出旋转后升的△A B C ，并求点B所经过的路径长（结果保留)． 2 2 2 哥 水 19．（6分）如图，COD是AOB绕O点旋转40后所得的图形，点C 恰好在AB上，AOD90，求B 的度数． 第4页（共29页）20．（6分）一个不透明的口袋中装有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外其他均相同，其中白球有1 3 个．若从中随机摸出一个球，这个球是红球的概率为 ． 4 （1）求袋子中红球的个数（请通过列式或列方程解答）； （2）随机摸出两个球，求两次摸到不同颜色小球的概率． 21．（8分）2021年随着神舟十二号飞船搭载“太空出差三人组”成功返回地球，航天模型、航天玩具引 起青少年的追捧．某公司今年国庆期间在网络平台上进行直播销售神舟飞船纪念章，已知神舟飞船纪念章 的成本价格为8元/枚，经销售发现：每日销售量y（枚)与销售单价x（元/枚）满足一次函数关系，下 表记录的是有关数据．销售单价不低于成本价且不高于20元枚．设公司销售神舟飞船纪念章的日获利为w 学 （元)． 升 x（元/枚） 9 10 11 哥 y（枚) 2100 2000 1900 水 （1）请求出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式； （2）当销售单价定为多少时，销售这种神舟飞船纪念章的日获利w最大？最大利润为多少元？ 22．（8分）已知关于x的一元二次方程(ac)x2 2bxac0，其中a，b，c为ABC 的三边． （1）若x1是方程的根，判断ABC 的形状，并说明理由； （2）若方程有两个相等的实数根，判断ABC的形状，并说明理由． 23．（10分）如图，RtABC，ABC 90，点O在AB上，ADCO交CO延长线于点D，DAOACO， 以点O为圆心，OB为半径作圆． （1）求证：AC 是O 的切线； （2）已知CB6，AB8，求OC 的长？ 第5页（共29页）1 7 24．（12分）如图，抛物线y x2 bxc过点A(3,2)，且与直线yx 交于B、C两点，点B的坐 2 2 标为(4,m)． （1）求抛物线的解析式； （2）点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE  x轴交直线BC于点E，点P为对称轴上 一动点，当线段DE的长度最大时，求PDPA的最小值； 学 （3）设点M 为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q，使AQM 45？若存在，求点Q的坐标；若不 升 存在，请说明理由． 哥 25．（12分）在正方形ABCD中，边长为2．点E是线段BC上的动点，以AE为直角边在直线BC的上方 水 作等腰直角三角形AEF ，AEF 90，其中EF 交CD于点P，AF 交CD于点Q，连接CF． 1 （1）如图1，①若BE  时，求线段CF 的长； 2 ②当点E在线段BC上运动时，求证：QEF FEC ． （2）如图2，过点B作BG AE 交EQ于点G，过点D作DH CF 所在的直线于点H ，求HG 的最小值． 第6页（共29页）2023-2024 学年广东省广州市黄埔区苏元学校九年级（上）月考数学试卷 （12 月份） 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题3分，共10题，满分30分．在每小题给出的四个选项，只有一项符合题目要求．） 1．（3分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( ) A． B． C． D． 学 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 升 【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误； 哥 B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； C、不是轴对称图形，也不是中水心对称图形，故此选项错误； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确． 故选：D． 【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部 分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 2．（3分）下列事件中，为必然事件的是( ) A．购买一张彩票，中奖 B．一个袋中只装有2个黑球，从中摸出一个球是黑球 C．抛掷一枚硬币，正面向上 D．打开电视，正在播放广告 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件． 【解答】解：A、购买一张彩票，中奖是随机事件，故A错误； B、一个袋中只装有2个黑球，从中摸出一个球是黑球是必然事件，故B正确； C、抛掷一枚硬币，正面向上是随机事件，故C错误； 第7页（共29页）D、打开电视，正在播放广告是随机事件，故D错误； 故选：B． 【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事 件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随 机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 3．（3分）用配方法解方程x2 8x90，下列变形正确的是( ) A．(x4)2 25 B．(x4)2 7 C．(x8)2 73 D．(x4)2 25 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案． 【解答】解：x2 8x90， x2 8x9， x2 8x16916，即(x4)2 7， 学 故选：B． 【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次升方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解 法，解题的关键是根据方程的特点选择合哥适、简便的方法求解． 4．（3分）如图，二次函数ya(水x2)2 k的图象与x轴交于A，B(1,0)两点，则下列说法正确的是( ) A．a0 B．点A的坐标为(4,0) C．当x0时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴为直线x2 【分析】因为图象开口方向向上，所以a0，故A错误，因为图象对称轴为直线x2，且过B(1,0)， 所以A点坐标为(3,0)，故B错误，D正确，当x0时，由图象可知y随x的增大先减小后增大，故C错 误，即选D． 【解答】解：二次函数ya(x2)2 k的图象开口方向向上， a0， 故A错误， 第8页（共29页）图象对称轴为直线x2，且过B(1,0)， A点的坐标为(3,0)， 故B错误，D正确， 由图象知，当x0时，由图象可知y随x的增大先减小后增大， 故C错误， 故选：D． 【点评】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图形性质是解题的关键． 5．（3分）如图，学校课外生物小组试验园地的形状是长40米、宽34米的矩形，为便于管理，要在中间 开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为960平方米．则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米， 则根据题意，列方程为( ) 学 升 A．(402x)(34x)960 B．403440x34x2x2 960 哥 C．(40x)(342x)960 D．403440x234x960 水 【分析】根据题意和图形，可以将小路平移到最上端和对左端，则阴影部分的长为(402x)米，宽为(34x) 米，然后根据长方形的面积长宽，即可列出相应的方程． 【解答】解：由题意可得， (492x)(34x)960 ， 故选：A． 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是把原图形可以与平移后的图形建立 关系，将复杂问题简单化． 6．（3分）如图，正五边形ABCDE内接于O，P为DE上的一点（点P不与点D重合），则CPD的度 数为( ) A．30 B．36 C．60 D．72 第9页（共29页）【分析】连接OC，OD．求出COD的度数，再根据圆周角定理即可解决问题； 【解答】解：如图，连接OC，OD． ABCDE是正五边形， 360 COD 72， 5 1 CPD COD36， 2 故选：B． 【点评】本题考查正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题 型． 学 7．（3分）已知二次函数ykx2 2(k1)xk的图象升与x轴无交点，则k的取值范围是( ) 1 1 A．k  B．k 2 哥 C．k 2 D．k  且k 0 2 2 水 【分析】根据△4(k1)2 4k2 0，解出k的范围即可求出答案． 【解答】解：由题意可知：△4(k1)2 4k2 0， 4k2 8k44k2 0， 48k 0， 1 k  ， 2 故选：A． 【点评】本题考查二次函数与x轴的交点，解题的关键是正确列出△4(k1)2 4k2 0，本题属于基础题 型． 8．（3分）如图，ABC 中，ACB90，AC BC 3，点D是AB边上一点，且AD:BD1:2，将ACD 绕点C顺时针旋转至BCE ，连接DE，则线段DE的长为( ) 第10页（共29页）A．3 2 B．2 3 C． 10 D．2 5 【分析】由旋转的性质可知：ACDBCE，得ACBE 45，从而DBE 90，利用勾股定理可 求出DE的长． 【解答】解：在ABC 中，ACB90，AC BC 3， AB3 2 ，AABC 45， AD:BD1:2， 学 1 2 AD AB 2，BD AB2 2， 3 3 升 由旋转的性质可知：ACDBCE， 哥 ACDBCE，ADBE  2，ACBE 45， 水 DBE ABCCBE 90， DE BD2( 2)2  10 ， 故选：C． 【点评】本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，证明DBE 90是解 题的关键． 9．（3分）如图，在O中，AB，AC为互相垂直且相等的两条弦，OD AB，OE  AC ，垂足分别为 点D，E，若AC 2cm，则O 的半径为( ) A．1 cm B．2 cm C． 2 cm D．4 cm 【分析】首先证明四边形ADOE为正方形，且边长为1，对角线AO的长即为半径． 第11页（共29页）【解答】解：OD AB， 1 ADBD AB． 2 1 同理AE CE  AC． 2 AB AC ，AD AE 连接OA，OD AB OE  AC AB AC， OEAAODA90， 四边形ADOE为矩形． 又AD AE，ADOE 为正方形， OA 12 12  2(cm)． 故选：C． 学 升 哥 【点评】本题考查垂径定理、勾股定理、正方形的判定和性质等知识，解此类题一般要把半径、弦心距、 水 弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解． 1 1 10．（3分）如图，直线y x2与y轴交于点A，与直线y x交于点B，若抛物线y(xh)2 k的 2 2 1 顶点在直线y x上移动，且与线段AB、BO都有公共点，则h的取值范围是( ) 2 A．1.5 h 0.5 B．2 h 0.5 C．1.5 h 1.5 D．2 h 1.5 1 1 1 【分析】把x0代入y x2求得对应的y的值，从而可得到点A的坐标，然后将y x2与y x 2 2 2 1 联立求得方程组的解，从而可得到点B的坐标，接下来，依据抛物线的顶点在直线y x上可得到h与k 2 第12页（共29页）1 的关系，则抛物线的解析式可变形为 y(xh)2  h，最后，求得当抛物线恰好与线段AB、BO都有公 2 共点时h的值，从而可得到h的取值范围． 1 【解答】解：把x0代入y x2得： y2， 2 A(0,2)． 1 1 将y x2与y x联立，解得：x2，y1， 2 2 B(2,1)． 1 抛物线y(xh)2 k的顶点在直线y x上， 2 1 抛物线的顶点坐标为(h,k)且k  h． 2 1 抛物线的解析式为y(xh)2  h． 2 当抛物线经过点O时，抛物线恰好与BO、AB均有交点， 学 1 1 1 将点C(0,0)代入y(xh)2  h得：h2  h0，解得h0（舍去）或h ． 2 2 2 升 当抛物线经过点B时，抛物线恰好与BO、AB均有交点， 哥 此时点B恰好为抛物线的顶点， h2． 水 1 当2 h 时，抛物线与线段AB、BO都有公共点． 2 故选：B． 【点评】本题主要考查的是二次函数的应用，解答本题主要应用了函数与方程的关系，求得抛物线与线段 AB、BO恰好都有公共点时h的值是解题的关键． 二．填空题（本题共有6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）如图，四边形ABCD内接于O，若A50，则C  130 ． 【分析】由圆内接四边形的对角互补，即可得到答案． 【解答】解：四边形ABCD内接于O， AC 180 第13页（共29页）A50， C 130． 故答案为：130． 【点评】本题考查圆内接四边形的性质，关键是掌握圆内接四边形的对角互补． 12．（3分）有5张仅有编号不同的卡片，编号分别是1，2，3，4，5．从中随机抽取一张，编号是偶数的 2 概率等于 ． 5 【分析】根据题目中的数据，可以计算出从中随机抽取一张，编号是偶数的概率． 【解答】解：从编号分别是1，2，3，4，5的卡片中，随机抽取一张有5种可能性，其中编号是偶数的可 能性有2种可能性， 2 从中随机抽取一张，编号是偶数的概率等于 ， 5 2 故答案为： ． 5 学 【点评】本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率． 13．（3分）建设美图城市，改造老旧小区．某市201 升 9年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元， 现假定每年投入资金的增长率相同．设该哥市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，则所列方程为 1000(1x)2 1440 ． 水 【分析】根据利用2021年投入资金金额2019年投入资金金额(1年平均增长率）2，即可得出关于x的 一元二次方程． 【解答】解：依题意得：1000(1x)2 1440， 故答案为：1000(1x)2 1440． 【点评】本题考查从实际问题抽象出一元二次方程，找出等量关系是解答本题的关键． 14．（3分）如图为一个A30的三角板RtABC，BC 6，小洋同学将三角板绕AC旋转一周，则所得 到的几何体的侧面积为 72 ．（结果保留) 【分析】将三角板绕AC旋转一周所得到的几何体是圆锥，根据圆锥的侧面积公式计算即可． 第14页（共29页）【解答】解：A30，C 90，BC 6， AB2BC 12， 将三角板绕AC旋转一周所得到的几何体是底面圆的半径为6，母线长为12的圆锥， 所得到的几何体的侧面积为61272， 故答案为：72． 【点评】本题主要考查了圆锥的有关计算，解题的关键是熟练掌握圆锥的侧面积底面半径母线长． 15．（3分）二次函数yx2 4x7，当1 x4时，y的取值范围为 3 y12 ． 【分析】将二次函数解析式化为顶点式，根据抛物线开口方向及顶点坐标求解． 【解答】解：yx2 4x7(x2)2 3， 抛物线开口向上，对称轴为直线x2，顶点坐标为(2,3)． 函数最小值为3． 将x1代入yx2 4x7得y14712， 学 升 将x4代入yx2 4x7得y161677， 哥 当1 x4时，y的取值范围是3 y12． 故答案为：3 y12． 水 【点评】本题主要考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．掌握二次函数与不 等式的关系． 16．（3分）已知在平面直角坐标系中A(4,0)、B(3,0)、C(0,3)，点P在x轴上运动，当点P与点A，B， 9 C三点中任意两点构成直角三角形时，点P的坐标为 (0,0)或( ,0)或(3,0) ． 4 【分析】因为点P、A、B在x轴上，所以P、A、B三点不能构成三角形．再分RtPAC和RtPBC两 种情况进行分析即可． 【解答】解：点P、A、B在x轴上， P、A、B三点不能构成三角形． 设点P的坐标为(m,0)．当PAC 为直角三角形时， ①APC 90，易知点P在原点处坐标为(0,0)； ②ACP90时， ACP90， AC2PC2  AP2 ， 第15页（共29页）42 32 m2 32 (4m)2， 9 解得m ， 4 9 点P的坐标为( ,0)． 4 当PBC 为直角三角形时， ①BPC 90，易知点P在原点处坐标为(0,0)； ②BCP90时， BCP90，COPB， POBO3， 点P的坐标为(3,0)． 9  综上所述点P的坐标为0,0或  ,0 或3,0． 4  学 【点评】本题考查了勾股定理及其逆定理，涉及到了数形结合和分类讨论思想．解题的关键是不重复不遗 升 漏的进行分类． 哥 三．解答题（共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 水 17．（4分）解一元二次方程：x2 9x80． 【分析】使用因式分解法解方程即可． 【解答】解：因式分解得： (x8)(x1)0， x80或x10， 解得：x 8，x 1． 1 2 【点评】本题考查了一元二次方程的解，解题关键是“分解常数项和二次项，使分解后的数相乘相加的和 等于一次项”即十字相乘法． 18．（6分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，ABC 在平面直角坐标系中的位置如 图所示． （1）将ABC向上平移3个单位后，得到△ABC ，请画出△ABC ，并直接写出点A的坐标； 1 1 1 1 1 1 1 （2）将ABC 绕点O顺时针旋转90，请画出旋转后的△A B C ，并求点B所经过的路径长（结果保留)． 2 2 2 第16页（共29页）【分析】（1）根据ABC向上平移3个单位，得出对应点位置，即可得出A 的坐标； 1 （2）得出旋转后的△A B C ，再利用弧长公式求出点B所经过的路径长． 2 2 2 学 【解答】解：（1）如图所示： 升 A的坐标为：(3,6)； 1 哥 水 （2）如图所示： BO 12 42  17， 90 17 17  BB   ． 2 180 2 第17页（共29页）【点评】此题主要考查了弧长公式的应用以及图形的旋转与平移变换，根据已知得出对应点位置是解题关 键． 19．（6分）如图，COD是AOB绕O点旋转40后所得的图形，点C 恰好在AB上，AOD90，求B 的度数． 【分析】先根据旋转的性质得AOC BOD40，OAOC ，则根据等腰三角形的性质和三角形内角 1 和定理可计算出A (180A)70，再利用互余计算出AOB90BOD50，然后在AOB中 2 利用三角形内角和计算B的度数． 【解答】解：COD是AOB绕点O顺时针方向旋转40后所得的图形，点C 恰好在AB上， 学 AOC BOD40，OAOC， 升 OAOC， 哥 AOCA， 1 水 A (18040)70， 2 AOD90， AOB90BOD50， 在AOB中，B180AAOB180705060． 【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于 旋转角；旋转前、后的图形全等．本题的关键是灵活应用等腰三角形的性质． 20．（6分）一个不透明的口袋中装有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外其他均相同，其中白球有1 3 个．若从中随机摸出一个球，这个球是红球的概率为 ． 4 （1）求袋子中红球的个数（请通过列式或列方程解答）； （2）随机摸出两个球，求两次摸到不同颜色小球的概率． x 3 【分析】（1）设袋子中红球有x个，根据题意得：  ，求解x即可； 1x 4 （2）画出树状图求解即可． 【解答】解：（1）设袋子中红球有x个， 第18页（共29页）x 3 根据题意得：  ， 1x 4 解得：x3， 经检验，x3是原分式方程的解，袋子中红球有3个； （2）画树状图得： 共有16种等可能的结果，两次都摸到不同颜色的小球的有12种情况， 3 两次都摸到不同颜色的小球的概率为： ． 学 4 【点评】本题考查了概率，画树状图，熟记“一个事件发生的可能性极为该事件的概率，画树状图需要确 升 定所有结果是否是等可能的结果”是解题关键． 哥 21．（8分）2021年随着神舟十二号飞船搭载“太空出差三人组”成功返回地球，航天模型、航天玩具引 水 起青少年的追捧．某公司今年国庆期间在网络平台上进行直播销售神舟飞船纪念章，已知神舟飞船纪念章 的成本价格为8元/枚，经销售发现：每日销售量y（枚)与销售单价x（元/枚）满足一次函数关系，下 表记录的是有关数据．销售单价不低于成本价且不高于20元枚．设公司销售神舟飞船纪念章的日获利为w （元)． x（元/枚） 9 10 11 y（枚) 2100 2000 1900 （1）请求出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式； （2）当销售单价定为多少时，销售这种神舟飞船纪念章的日获利w最大？最大利润为多少元？ 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）由题意可得w关于x的二次函数，将其写成顶点式，然后根据二次函数的性质可得答案． 【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为ykxb(k 0)， 把x9，y2100和x10，y2000代入得： 9kb2100  ， 10kb2000 第19页（共29页）k 100 解得 ， b3000 日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为y100x3000(8 x 20)； （2）由题意得： w(x8)(100x3000)100x2 3800x24000100(x19)2 12100， 1000，8 x 20， 当x19时，w有最大值为12100元． 当销售单价定为19元时，销售这种神舟飞船纪念章日获利w最大，最大利润为12100元． 【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握待定系数法、二次函 数的性质及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 22．（8分）已知关于x的一元二次方程(ac)x2 2bxac0，其中a，b，c为ABC 的三边． （1）若x1是方程的根，判断ABC的形状，并说明理由；学 （2）若方程有两个相等的实数根，判断ABC的形状，并说明理由． 升 【分析】（1）根据方程的解把x1代入方程得到cb0，即cb，于是由等腰三角形的判定即可得到 哥 ABC是等腰三角形； 水 （2）根据根的判别式得出a，b，c的关系，即可根据勾股定理的逆定理判断ABC的形状． 【解答】解：（1）把x1代入方程得， ac2bac0， 化简得cb， 则该三角形ABC的形状为等腰三角形． （2）由题意可得方程有两个相等的实数根， 则方程(ac)x2 2bxac0的判别式， △(2b)2 4a(ac)(ac)0， 4b2 4(c2 a2)0， 化简可得b2 a2 c2， 则该三角形ABC的形状为直角三角形． 【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程、等腰三角形的判定、直角三角形的判定，掌握一元二 次方程根的判别式是解题的关键． 第20页（共29页）23．（10分）如图，RtABC，ABC 90，点O在AB上，ADCO交CO延长线于点D，DAOACO， 以点O为圆心，OB为半径作圆． （1）求证：AC是O的切线； （2）已知CB6，AB8，求OC的长？ 【分析】（1）过点O作OM  AC，垂足为M ，根据垂直定义可得OMC D90，再利用等角的余角 相等可得DABBCD，从而可得BCDACO，然后证明OBC OMC，从而利用全等三角形的 性质可得OBOM ，即可解答； （2）先在RtABC中，利用勾股定理求出AC的长，再利用（学1）的结论可得BC CM 6，从而求出AM 的长，然后证明ABC∽AMO，从而利用相似三角形的性质求出OM 3，最后在RtOCM中，利用勾股 升 定理进行计算即可解答． 哥 【解答】（1）证明：过点O作OM  AC，垂足为M ， 水 OMC 90， ADCO， D90， DABAOD90， ABC 90， COBBCD90， AODCOB， DABBCD， DAOACO， BCDACO， ABC OMC 90，OC OC， OBCOMC(AAS)， OBOM ， 第21页（共29页）AC是O的切线； （2）解：ABC 90，CB6，AB8， AC AB2 BC2  62 82 10， 由（1）得：OBC OMC ， BC CM 6， AM  ACCM 1064， AMOABC 90，BAC OAM ， ABC∽AMO， AB BC   ， AM OM 8 6   ， 4 OM OM 3， 学 OC OM2 CM2  32 62 3 5， 升 OC的长为3 5． 哥 水 【点评】本题考查了切线的判定，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，根据 题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 1 7 24．（12分）如图，抛物线y x2 bxc过点A(3,2)，且与直线yx 交于B、C两点，点B的坐 2 2 标为(4,m)． 第22页（共29页）（1）求抛物线的解析式； （2）点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE  x轴交直线BC于点E，点P为对称轴上 一动点，当线段DE的长度最大时，求PDPA的最小值； （3）设点M 为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q，使AQM 45？若存在，求点Q的坐标；若不 存在，请说明理由． 学 7 7 1 1 【分析】（1）将点B的坐标为(4,m)代入yx ，m4  ，B的坐标为(4, )，将A(3,2)， 2升2 2 2 1 1 7 1 7 B(4, )代入y x2 bxc，解得b1，c ，因此抛物线的解析式 y x2 x ； 哥 2 2 2 2 2 1 7 7 （ 2 ） 设 水D(m, m2 m ) ， 则 E(m,m ) ， 2 2 2 1 7 7 1 1 DE ( m2 m )(m ) m2 2m (m2)2 2 ，当 m2时， DE 有最大值为 2，此时 2 2 2 2 2 7 D(2, )，作点A关于对称轴的对称点A，连接AD，与对称轴交于点P．PDPAPDPA AD ，此 2 时PDPA最小； （3）作AH 对称轴于点H ，连接AM 、AQ、MQ、HA、HQ，由M(1,4)，A(3,2)，可得AH MH 2， 1 H(1,2)因为AQM 45，AHM 90，所以AQM  AHM ，可知AQM 外接圆的圆心为H ，于 2 是QH HAHM 2设Q(0,t)，则 (01)2 (t2)2 2，t 2 3或2 3，求得符合题意的点Q的坐 标：Q(0,2 3)、Q (0，2 3)． 1 2 7 【解答】解：（1）将点B的坐标为(4,m)代入 yx ， 2 7 1 m4  ， 2 2 1 B的坐标为(4, )， 2 第23页（共29页）1 1 将A(3,2)，B(4, )代入y x2 bxc， 2 2  1  32 3bc2   2   1 42 4bc 1  2 2 7 解得b1，c ， 2 1 7 抛物线的解析式y x2 x ； 2 2 1 7 7 （2）设D(m, m2 m )，则E(m,m )， 2 2 2 1 7 7 1 1 DE ( m2 m )(m ) m2 2m (m2)2 2， 2 2 2 2 2 当m2时，DE有最大值为2， 7 此时D(2, )， 2 作点A关于对称轴的对称点A，连接AD，与对称轴交于点P学． 升 哥 水 PDPAPDPA AD ，此时PDPA最小， A(3,2)， A(1,2)， 7 3 AD (12)2 (2 )2  5， 2 2 3 即PDPA的最小值为 5； 2 （3）作AH 对称轴于点H ，连接AM 、AQ、MQ、HA、HQ， 第24页（共29页）1 7 抛物线的解析式y x2 x ， 2 2 M(1,4)， A(3,2)， AH MH 2，H(1,2) AQM 45， AHM 90， 学 1 AQM  AHM ， 2 升 可知AQM 外接圆的圆心为H ， 哥 水 QH HAHM  2 设Q(0,t)， 则 (01)2 (t2)2 2， t 2 3或2 3 符合题意的点Q的坐标：Q(0,2 3)或Q (0，2 3)． 1 2 【点评】本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的图象的性质与一次函数的性质以及圆周角定理是解题 的关键． 25．（12分）在正方形ABCD中，边长为2．点E是线段BC上的动点，以AE为直角边在直线BC的上方 第25页（共29页）作等腰直角三角形AEF ，AEF 90，其中EF 交CD于点P，AF 交CD于点Q，连接CF． 1 （1）如图1，①若BE  时，求线段CF 的长； 2 ②当点E在线段BC上运动时，求证：QEF FEC ． （2）如图2，过点B作BG AE 交EQ于点G，过点D作DH CF 所在的直线于点H ，求HG 的最小值． 1 【分析】（1）①由“AAS ”可证ABE ENF，可得BE FN  ，ABEN，即可求解； 2 ②由“SAS ”可证ABK ADQ，可得BAK DAQ，A学K  AQ，由“SAS ”可证AEK AEQ， 可得AEK AEQ，由余角的性质可求解； 升 （2）先求AH 的长，由“SAS ”可证ABE AGE，可得AB AG，则点G在以点A为圆心，AB长为 哥 半径的圆上，当点G在线段AH 上时，GH 有最小值，即可求解． 水 【解答】（1）①解：过点F 作FN 直线BC于N， AEF 是等腰直角三角形， AEEF，EAF 45，AEF ABE FNE 90， AEBBAE 90AEBFEN ， BAE FEN， ABEENF(AAS)， 1 BE FN  ，ABEN， 2 BC EN  AB， 第26页（共29页）1 CN BE  ， 2 又N 90， CFN是等腰直角三角形， 2 CF  2CN  ； 2 ②证明：如图，延长CB至K，使BK DQ，连接AK， BK DQ，ABK D90，AB AD， 学 ABK ADQ(SAS)， 升 BAK DAQ，AK  AQ， 哥 EAF 45， 水 BAEDAQ 45， BAEBAK 45EAK EAD， 又AE  AE， AEK AEQ(SAS)， AEK AEQ， AEF 90， FEQFEC ； （3）解：如图，连接AG，GH ，AH ，AC， 第27页（共29页）由（1）可知DCH 45，AEBAEG， 四边形ABCD是正方形， AB ADCD2，AC  2AD2 2，ACD45， 学 ACH 90， 升 DH CH ，DCH 45， 哥 DCH 是等腰直角三角形， 水 DC  2CH 2， CH  2 ， AH  AC2 CH2  82  10， BG AE，AEBAEG， EBGEGB， BE EG， 又AE  AE， ABEAGE(SAS)， AB AG， 点G在以点A为圆心，AB长为半径的圆上， 点G在线段AH 上时，GH 有最小值， GH 的最小值为 102． 【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质， 第28页（共29页）勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/8/3017:00:56；用户：初中数学；邮箱：gzthjj01@xyh.com；学号：41820495 学 升 哥 水 第29页（共29页）