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广东实验中学教育集团 2024-2025 学年第一学期教学质量监测
九年级数学
注意事项：
1．本试卷共4页，25小题，满分120分，不允许使用计算器；
2．选择题使用2B铅笔填涂，非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔在指定区域内作答，不
允许使用涂改液，否则作答无效．
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 用配方法解方程 ，下列配方正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 方程 的根是（ ）
A. 9 B. 1 C. 9或1 D. 4或5
4. 把抛物线 的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是
（ ）
A. B.
C. D.
的
5. 关于二次函数 ，下列说法错误 是（ ）
A. 图象的开口方向向上 B. 函数的最小值为
C. 图象的顶点坐标为 D. 当 时， 随 的增大而减小
6. 如图，在 ABC中，以C为中心，将 ABC顺时针旋转34°得到 DEC，边ED，AC相交于点F，若∠A
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△ △ △
学科网（北京）股份有限公司＝30°，则∠EFC的度数为（ ）
A. 60° B. 64° C. 66° D. 68°
7. 如图，点A、B、C、D在 上， ，那么 是（ ）
A. B. C. D.
8. 二次函数 与一次函数 在同一坐标系中的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
9. 如图， 是 的直径， 是 的切线，切点为D， 与 的延长线交于点C，若
，则 的长度为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
10. 如图，抛物线 与 轴交于点 和点 ，以下结论：① ；②
；③ 为任意实数，则 ；④当 时， ．其中，正确结论的个数
是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题（每小题3分，共18分）
11. 已知点 与点 关于原点对称，则 ___________．
12. 如图， 中， ， ， ，把 绕着点 逆时针旋转 得到
，连接 ，则 的长是______．
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学科网（北京）股份有限公司13. 若 是方程 的解，则代数式 的值为______．
14. 如图， 分别切 于A、B， ，C是劣弧 上的点（不与点A、B重合），过点
C的切线分别交 于点E、F．则 的周长为_______ ．
15. 已知点 ， ， 都在二次函数 （a是常数，且 ）的
图象上，则 ， ， 的大小关系（用“ ”连接）是______．
16. 如图，已知 ， ， ， ，点 在 所在直线上运动，以
为边作等边三角形 ．在点 运动过程中， 的最小值_____．
三、解答题（共9题，共72分）
17. 解方程：
（1） ；
（2） ．
的
18. 如图：在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形 边长为1个单位长度，已知 ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）作出 以O为旋转中心，顺时针旋转 的 （只画出图形）．
的
（2）请在y轴上找一点P，使 值最小，并直接写出点P的坐标．
19. 如图， 中，弦 ， 相交于点 ， ．
（1）比较 与 的长度，并证明你的结论；
（2）求证： ．
20. 如图，二次函数 的图象与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与一次函数
的图象交于A，C两点．
（1）求b的值；
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学科网（北京）股份有限公司（2）求 的面积；
（3）根据图象，直接写出当 时x的取值范围．
21. 已知关于x 的一元二次方程 ．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两实根为 、 ，且 ，求 的值．
22. 如图， 是 的直径， 是 延长线上的一点，点 在 上， ，交 的延长线
于点 ， 交 于点 ，且点 是 的中点．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求 的半径．
23. 如图1所示是一座古桥，桥拱截面为抛物线，如图2， ， 是桥墩，桥的跨径 为 ，此时
水位在 处，桥拱最高点 离水面6m，在水面以上的桥墩 ， 都为 ．以 所在的直线为x
轴、 所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，其中 是桥拱截面上一点距桥墩 的水平距离，
是桥拱截面上一点距水面 的距离．
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学科网（北京）股份有限公司的
（1）求此桥拱截面所在抛物线 表达式；
（2）有一艘游船，其左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在河中航行．当水
位上涨 时，水面到棚顶的高度为 ，遮阳棚宽 ，问此船能否通过桥洞？请说明理由，
24. 【问题提出】如图1，在 中， ， ， 是等边三角形，点 在
边 上，探究 与 的数量关系．
【问题探究】（1）先将问题特殊化，如图1，当点E在边 上时，猜想 和 数量关系，并加以证
明；
（2）再探究一般情形，如图2，当点E在 内部时，证明（1）中的结论仍然成立．
【问题拓展】（3）如图3，当点E在 外部时， 于点H，过点E作 ，交线段
的延长线于点G， ， ．直接写出 的长．
25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 交 轴于 ， 两点（点 在点 的左
边），交 轴负半轴于点 ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）如图1， ，
①直接写出 ， ， 三点的坐标；
②抛物线上存在点 ，使得 ，直接写出 点的坐标；
（2）如图2，设经过 ， ， 三点的 交 轴于另外一点 ， ，经过点 的直线
交抛物线于 ， 两点，若 的长等于 的直径长，求 的值．
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