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2020 年吉林长春中考数学真题及答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为（ ）
A．﹣1 B．﹣1.5 C．﹣3 D．﹣4.2
2．（3分）为了增加青少年的校外教育活动场所，长春市将建成面积约为 79000平方米的
新少年宫，预计 2020 年 12 月正式投入使用．79000 这个数用科学记数法表示为
（ ）
A．79×103 B．7.9×104 C．0.79×105 D．7.9×105
3．（3分）下列图形是四棱柱的侧面展开图的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）不等式x+2≥3的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（3分）比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示，设塔项中心点为点 B，塔
身中心线AB与垂直中心线AC的夹角为∠A，过点B向垂直中心线AC引垂线，垂足为点
D．通过测量可得AB、BD、AD的长度，利用测量所得的数据计算∠A的三角函数值，进
而可求∠A的大小．下列关系式正确的是（ ）A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．sinA＝
6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BDC＝20°，则∠AOC的大小为（
）
A．40° B．140° C．160° D．170°
7．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＞AC．按下列步骤作图：
①分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；
②作直线MN，与边AB相交于点D，连结CD．
下列说法不一定正确的是（ ）
A．∠BDN＝∠CDN B．∠ADC＝2∠BC．∠ACD＝∠DCB D．2∠B+∠ACD＝90°
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，2），AB⊥x轴于点B，点C是
线段OB上的点，连结AC．点P在线段AC上，且AP＝2PC，函数y＝ （x＞0）的图象经
过点P．当点C在线段OB上运动时，k的取值范围是（ ）
A．0＜k≤2 B． ≤k≤3 C． ≤k≤2 D． ≤k≤4
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）长春市净月潭国家森林公园门票的价格为成人票每张30元，儿童票每张15元
若购买m张成人票和n张儿童票，则共需花费 元．
10．（3分）分解因式：a2﹣4＝ ．
11．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为
．
12．（3分）正五边形的一个外角的大小为 度．
13．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，以点C为圆心，线段CA的长
为半径作 ，交CB的延长线于点D，则阴影部分的面积为 （结果保留π）．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，
2）．若抛物线y＝﹣ （x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD＝
AB，则k的值为 ．三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）先化简，再求值：（a﹣3）2+2（3a﹣1），其中a＝ ．
16．（6分）现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“神舟首飞”，第三张
卡片的正面图案为“保卫和平”，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片
背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．
请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率．
（图案为“神舟首飞”的两张卡片分别记为A、A，图案为“保卫和平”的卡片记为
1 2
B）
17．（6分）图①、图②、图③均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个
小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的
网格中，按下列要求以AB为边画△ABC．
要求：
（1）在图①中画一个钝角三角形，在图②中画一个直角三角形，在图③中画一个锐角
三角形；
（2）三个图中所画的三角形的面积均不相等；
（3）点C在格点上．18．（7分）在国家精准扶贫的政策下，某村企生产的黑木耳获得了国家绿色食品标准认
证，绿标的认证，使该村企的黑木耳在市场上更有竞争力，今年每斤黑木耳的售价比去
年增加了20元．预计今年的销量是去年的3倍，年销售额为360万元．已知去年的年销
售额为80万元，问该村企去年黑木耳的年销量为多少万斤？
19．（7分）如图，在 ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别
▱
为点E、F．
（1）求证：OE＝OF．
（2）若BE＝5，OF＝2，求tan∠OBE的值．
20．（7分）空气质量按照空气质量指数大小分为六个级别，分别为：一级优、二级良、
三级轻度污染、四级中度污染、五级重度污染、六级严重污染．级别越高，说明污染的
情况越严重，对人体的健康危害也就越大．空气质量达到一级优或二级良的天气为达标
天气，如图是长春市从2014年到2019年的空气质量级别天数的统计图表．
2014﹣2019年长春市空气质量级别天数统计表
空气质量级别 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染
天数
年份
2014 30 215 73 28 13 6
2015 43 193 87 19 15 8
2016 51 237 58 15 5 0
2017 65 211 62 16 9 2
2018 123 202 39 0 1 0
2019 126 180 38 16 5 0
根据上面的统计图表回答下列问题：
（1）长春市从2014年到2019年空气质量为“达标”的天数最多的是 年．
（2）长春市从2014年到2019年空气质量为“重度污染”的天数的中位数为 天，
平均数为 天．
（3）长春市从2015年到2019年，和前一年相比，空气质量为“优”的天数增加最多
的是 年，这一年空气质量为“优”的天数的年增长率约为 （精确到1%）．
（ 空 气 质 量 为 “ 优 ” 的 天 数 的 增 长 率 ＝
×100%）
（4）你认为长春市从2014年到2019年哪一年的空气质量好？请说明理由．
21．（8分）已知A、B两地之间有一条长240千米的公路．甲车从A地出发匀速开往B地，
甲车出发两小时后，乙车从B地出发匀速开往A地，两车同时到达各自的目的地．两车
行驶的路程之和y（千米）与甲车行驶的时间x（时）之间的函数关系如图所示．
（1）甲车的速度为 千米/时，a的值为 ．
（2）求乙车出发后，y与x之间的函数关系式．
（3）当甲、乙两车相距100千米时，求甲车行驶的时间．
22．（9分）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．
1．把一张矩形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？
【问题解决】如图①，已知矩形纸片ABCD（AB＞AD），将矩形纸片沿过点D的直线折叠，
使点A落在边DC上，点A的对应点为A′，折痕为DE，点E在AB上．求证：四边形
AEA′D是正方形．
【规律探索】由【问题解决】可知，图①中的△A′DE为等腰三角形．现将图①中的点A′沿DC向右平移至点Q处（点Q在点C的左侧），如图②，折痕为PF，点F在DC上，
点P在AB上，那么△PQF还是等腰三角形吗？请说明理由．
【结论应用】在图②中，当QC＝QP时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点C与点P重合，
折痕为QG，点G在AB上．要使四边形PGQF为菱形，则 ＝ ．
23．（10分）如图①，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3．点P从点A出发，沿折
线AB﹣BC以每秒5个单位长度的速度向点C运动，同时点D从点C出发，沿CA以每秒2
个单位长度的速度向点A运动，点P到达点C时，点P、D同时停止运动．当点P不与点
A、C重合时，作点P关于直线AC的对称点Q，连结PQ交AC于点E，连结DP、DQ．设点
P的运动时间为t秒．
（1）当点P与点B重合时，求t的值．
（2）用含t的代数式表示线段CE的长．
（3）当△PDQ为锐角三角形时，求t的取值范围．
（4）如图②，取PD的中点M，连结QM．当直线QM与△ABC的一条直角边平行时，直接
写出t的值．24．（12分）在平面直角坐标系中，函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象与y轴交于点
A．
（1）求点A的坐标．
（2）当此函数图象经过点（1，2）时，求此函数的表达式，并写出函数值y随x的增
大而增大时x的取值范围．
（3）当x≤0时，若函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象的最低点到直线y＝2a的距
离为2，求a的值．
（4）设a＜0，Rt△EFG三个顶点的坐标分别为E（﹣1，﹣1）、F（﹣1，a﹣1）、G
（0，a﹣1）．当函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象与△EFG的直角边有交点时，
交点记为点P．过点P作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为P′（P′与P不重
合），过点A作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为A′．若AA′＝2PP′，直接
写出a的值．
