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2021 年吉林长春中考数学真题及答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．﹣（﹣2）的值为（ ）
A． B．﹣ C．2 D．﹣2
2．据报道，我省今年前4个月货物贸易进出口总值为52860000000元人民币，比去年同期
增长28.2%．其中52860000000这个数用科学记数法表示为（ ）
A．0.5286×1011 B．5.286×1010
C．52.86×109 D．5286×107
3．如图是一个几何体的三视图，这个几何体是（ ）
A．圆锥 B．长方体 C．球 D．圆柱
4．关于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
5．如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．已知A、B两点间的距离为30米，∠A
＝α，则缆车从A点到达B点，上升的高度（BC的长）为（ ）
A．30sinα米 B． 米 C．30cosα米 D． 米
6．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，若∠BAC＝35°，则∠ACB的大小为（ ）A．35° B．45° C．55° D．65°
7．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB≠AC．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使
△ACD为等腰三角形．下列作法不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象上，过点A作
x轴的垂线，与函数y＝﹣ （x＞0）的图象交于点C，连结BC交x轴于点D．若点A的
横坐标为1，BC＝3BD，则点B的横坐标为（ ）
A． B．2 C． D．3
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．分解因式：a2+2a＝ a （ a + 2 ） ．10．不等式组 的所有整数解为 0 、 1 ．
11．将一副三角板按如图所示的方式摆放，点D在边AC上，BC∥EF，则∠ADE的大小为
7 5 度．
12．如图是圆弧形状的铁轨示意图，半径OA的长度为200米，圆心角∠AOB＝90°，则这
段铁轨的长度为 100π 米．（铁轨的宽度忽略不计，结果保留π）
13．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形AOB的斜边OA在y轴上，OA＝2，点B
在第一象限．标记点B的位置后，将△AOB沿x轴正方向平移至△AOB的位置，使AO
1 1 1 1 1
经过点B，再标记点B的位置，继续平移至△AOB的位置，使AO经过点B，此时点B
1 2 2 2 2 2 1 2
的坐标为 （ 3 ， 1 ） ．
14．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，4）在抛物线y＝ax2上，过点A作y轴的垂线，
交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于
E、F两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为 ﹣ 2+ 2 ．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）先化简，再求值：（a+2）（a﹣2）+a（1﹣a），其中a＝ +4．16．（6分）在一个不透明的口袋中装有三个小球，分别标记数字 1、2、3，每个小球除数
字不同外其余均相同．小明和小亮玩摸球游戏，两人各摸一个球，谁摸到的数字大谁获
胜，摸到相同数字记为平局．小明从口袋中摸出一个小球记下数字后放回并搅匀，小亮
再从口袋中摸出一个小球．用画树状图（或列表）的方法，求小明获胜的概率．
17．（6分）为助力乡村发展，某购物平台推出有机大米促销活动，其中每千克有机大米
的售价仅比普通大米多2元，用420元购买的有机大米与用300元购买的普通大米的重
量相同．求每千克有机大米的售价为多少元？
18．（7分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝4，BD＝8，点E在边
AD上，AE＝ AD，连结BE交AC于点M．
（1）求AM的长．
（2）tan∠MBO的值为 ．
19．（7分）稳定的粮食产量是人民幸福生活的基本保障，为了解粮食产量情况，小明查
阅相关资料得到如下信息：长春市2020年的粮食总产量达到960万吨，比上年增长约
9%．其中玉米产量增长约12%，水稻产量下降约2%，其他农作物产量下降约10%．
根据以上信息回答下列问题：
（1）2020年玉米产量比2019年玉米产量多 8 5 万吨．
（2）扇形统计图中n的值为 1 5 ．（3）计算2020年水稻的产量．
（4）小明发现如果这样计算2020年粮食总产量的年增长率： ＝
0，就与2020年粮食总产量比上年增长约9%不符，请说明原因．
20．（7分）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每
个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的
网格中找一格点M，按下列要求作图：
（1）在图①中，连结MA、MB，使MA＝MB；
（2）在图②中，连结MA、MB、MC，使MA＝MB＝MC；
（3）在图③中，连结MA、MC，使∠AMC＝2∠ABC．
21．（8分）《九章算术》中记载，浮箭漏（图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭
壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺
匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校STEAM小组仿制了一套浮箭漏，并从
函数角度进行了如下实验探究：
【实验观察】实验小组通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到如表：
供水时间x（小时） 0 2 4 6 8
箭尺读数y（厘米） 6 18 30 42 54
【探索发现】①建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示供水时间x．纵轴表示箭尺读
数y，描出以表格中数据为坐标的各点．
②观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求
出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由．
【结论应用】应用上述发现的规律估算：
①供水时间达到12小时时，箭尺的读数为多少厘米？
②如果本次实验记录的开始时间是上午8：00，那当箭尺读数为90厘米时是几点钟？
（箭尺最大读数为100厘米）22．（9分）实践与探究
操作一：如图①，已知正方形纸片ABCD，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落
在正方形ABCD的内部，点B的对应点为点M，折痕为AE，再将纸片沿过点A的直线折叠，
使AD与AM重合，折痕为AF，则∠EAF＝ 4 5 度．
操作二：如图②，将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点为点N．我们发现，当点
E的位置不同时，点N的位置也不同．当点E在BC边的某一位置时，点N恰好落在折痕
AE上，则∠AEF＝ 6 0 度．
在图②中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：
（1）设AM与NF的交点为点P．求证：△ANP≌△FNE；
（2）若AB＝ ，则线段AP的长为 2 ﹣ 2 ．
23．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，点D为边AC的中点．动点P
从点A出发，沿折线AB﹣BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P不与点A、C
重合时，连结PD．作点A关于直线PD的对称点A′，连结A′D、A′A．设点P的运动
时间为t秒．
（1）线段AD的长为 2 ；
（2）用含t的代数式表示线段BP的长；（3）当点A′在△ABC内部时，求t的取值范围；
（4）当∠AA′D与∠B相等时，直接写出t的值．
24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝2（x﹣m）2+2m（m为常数）的顶点为A．
（1）当m＝ 时，点A的坐标是 （ ， 1 ） ，抛物线与y轴交点的坐标是 （ 0 ，
） ；
（2）若点A在第一象限，且OA＝ ，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并写出
函数值y随x的增大而减小时x的取值范围；
（3）当x≤2m时，若函数y＝2（x﹣m）2+m的最小值为3，求m的值；
（4）分别过点P（4，2）、Q（4，2﹣2m）作y轴的垂线，交抛物线的对称轴于点M、
N．当抛物线y＝2（x﹣m）2+2m与四边形PQNM的边有两个交点时，将这两个交点分别记
为点B、点C，且点B的纵坐标大于点C的纵坐标．若点B到y轴的距离与点C到x轴的
距离相等，直接写出m的值．
