文档内容
2024 年长春市初中学业水平考试
数学
本试卷包括三道大题，共6页．全卷满分为120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本
试卷和答题卡一并交回．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形
码区域内．
2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无
效．
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
的
1. 根据有理数加法法则，计算 过程正确 是（ ）
A. B. C. D.
2. 南湖公园是长春市著名旅游景点之一，图①是公园中“四角亭”景观的照片，图②是其航拍照片，则图
③是“四角亭”景观的（ ）．
A. 主视图 B. 俯视图 C. 左视图 D. 右视图
的
3. 在剪纸活动中，小花同学想用一张矩形纸片剪出一个正五边形，其中正五边形 一条边与矩形的边
重合，如图所示，则 的大小为（ ）A. B. C. D.
4. 下列运算一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 不等关系在生活中广泛存在．如图， 、 分别表示两位同学的身高， 表示台阶的高度．图中两人的
对话体现的数学原理是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ， ，则
C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则
6. 2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火
箭上升到点 时，位于海平面 处的雷达测得点 到点 的距离为 千米，仰角为 ，则此时火箭距海平
面的高度 为（ ）
.
A 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米
7. 如图，在 中， 是边 的中点．按下列要求作图：
①以点 为圆心、适当长为半径画弧，交线段 于点 ，交 于点 ；②以点 为圆心、 长为半径画弧，交线段 于点 ；
③以点 为圆心、 长为半径画弧，交前一条弧于点 ，点 与点 在直线 同侧；
④作直线 ，交 于点 ．下列结论不一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 如图，在平面直角坐标系中，点 是坐标原点，点 在函数 的图象上．将直
线 沿 轴向上平移，平移后的直线与 轴交于点 ，与函数 的图象交于点 ．若
，则点 的坐标是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
9. 单项式 的次数是_____．10. 计算： ____．
11. 若抛物线 （ 是常数）与 轴没有交点，则 的取值范围是________．
12. 已知直线 （ 、 是常数）经过点 ，且 随 的增大而减小，则 的值可以是________．
（写出一个即可）
13. 一块含 角的直角三角板 按如图所示的方式摆放，边 与直线 重合， ．现将
该三角板绕点 顺时针旋转，使点 的对应点 落在直线 上，则点A经过的路径长至少为________ ．
（结果保留 ）
14. 如图， 是半圆的直径， 是一条弦， 是 的中点， 于点 ，交 于点 ，
交 于点 ，连结 ．给出下面四个结论：
① ；
② ；
③当 ， 时， ；
④当 ， 时， 的面积是 ．
上述结论中，正确结论的序号有________．三、解答题：本题共10小题，共78分．
15. 先化简，再求值： ，其中 ．
16. 2021年吉林省普通高中开始施行新高考选科模式，此模式有若干种学科组合，每位高中生可根据自己
的实际情况选择一种．一对双胞胎姐妹考入同一所高中且选择了相同组合，该校要将所有选报这种组合的
学生分成 、 、 三个班，其中每位学生被分到这三个班的机会均等．用画树状图（或列表）的方法，
求这对双胞胎姐妹被分到同一个班的概率．
17. 《九章算术》被历代数学家尊为“算经之首”．下面是其卷中记载的关于“盈不足”的一个问题：今
有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？这段话的意思是：今有人
合伙买金，每人出400钱，会剩余3400钱；每人出300钱，会剩余100钱．合伙人数、金价各是多少？请
解决上述问题．
18. 如图，在四边形 中， ， 是边 的中点， ．求证：四边
形 是矩形．
19. 某校为调研学生对本校食堂的满意度，从初中部和高中部各随机抽取 名学生对食堂进行满意度评分
（满分 分），将收集到的评分数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．高中部 名学生所评分数的频数分布直方图如下图：（数据分成4组： ， ，
， ）b．高中部 名学生所评分数在 这一组的是：
c．初中部、高中部各 名学生所评分数的平均数、中位数如下：
平均 中位
数 数
初中
部
高中
部
根据以上信息，回答下列问题：
的
（1）表中 值为________；
（2）根据调查前制定的满意度等级划分标准，评分不低于 分为“非常满意”．
①在被调查的学生中，设初中部、高中部对食堂“非常满意”的人数分别为 、 ，则 ________ ；
（填“>”“<”或“=”）
②高中部共有 名学生在食堂就餐，估计其中对食堂“非常满意”的学生人数．
20. 图①、图②、图③均是 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格
点．点A、 均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作四边形 ，使其是
轴对称图形且点 、 均在格点上．（1）在图①中，四边形 面积为2；
（2）在图②中，四边形 面积为3；
（3）在图③中，四边形 面积为4．
21. 区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段
上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测速路
段，从该路段起点开始，他先匀速行驶 小时，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），
当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时．汽车在区间测
速路段行驶的路程 （千米）与在此路段行驶的时间 （时）之间的函数图象如图所示．
（1） 的值为________；
（2）当 时，求 与 之间的函数关系式；
（3）通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．（此路段要求小型汽车行驶速度不
得超过120千米/时）
22. 【问题呈现】
小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边 中， ，点 、 分别在边、 上，且 ，试探究线段 长度的最小值．
【问题分析】
小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而
解决上述几何问题．
【问题解决】
如图②，过点 、 分别作 、 的平行线，并交于点 ，作射线 ．在【问题呈现】的条件下，
完成下列问题：
（1）证明： ；
（2） 的大小为 度，线段 长度的最小值为________．
【方法应用】
某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图③．小明收集了该房屋的相关数据，并画出了
示意图，如图④， 是等腰三角形，四边形 是矩形， 米， ．
是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点 在 上，点 在 上．在调整钢丝绳端点位
置时，其长度也随之改变，但需始终保持 ．钢丝绳 长度的最小值为多少米．
23. 如图，在 中， ， ．点 是边 上的一点（点 不与点 、 重合），
作射线 ，在射线 上取点 ，使 ，以 为边作正方形 ，使点 和点 在直线
同侧．（1）当点 是边 的中点时，求 的长；
（2）当 时，点 到直线 的距离为________；
（3）连结 ，当 时，求正方形 的边长；
（4）若点 到直线 的距离是点 到直线 距离的3倍，则 的长为________．（写出一个即
可）
24. 在平面直角坐标系中，点 是坐标原点，抛物线 （ 是常数）经过点 ．点 、
是该抛物线上不重合的两点，横坐标分别为 、 ，点 的横坐标为 ，点 的纵坐标与点 的
纵坐标相同，连结 、 ．
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
的
（2）求证：当 取不为零 任意实数时， 的值始终为2；
（3）作 的垂直平分线交直线 于点 ，以 为边、 为对角线作菱形 ，连结 ．
①当 与此抛物线的对称轴重合时，求菱形 的面积；
②当此抛物线在菱形 内部的点的纵坐标 随 的增大而增大时，直接写出 的取值范围．
