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2024-2025 学年广东省广州五中九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A B.
.
C. D.
2. 已知关于 的一元二次方程 的两实数根分别为 ，则 的值为（ ）
A. B. 1 C. 5 D.
的
3. 如图， 是 直径， ，则 （ ）
A. B. C. D.
的
4. 某树主干长出若干数目 支干，每个支干又长出同样数目小分支，主干、支干、和小分支总数共
57．若设主干长出x个支干，则可列方程是（ ）
A. （1+x）2=57 B. 1+x+x2=57 C. （1+x）x=57 D. 1+x+2x=57
5. 如图， 切 于点A、B，直线 切 于点E，交 于F，交 于点G，若 ，
则 的周长是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
6. 小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小
的圆形镜子的碎片是（ ）
A. ① B. ② C. ③ D. 均不可能
7. 二次函数 的顶点坐标为 ，其部分图象如图所示．以下结论错误的是（
）
A. B.
C. D. 关于x的方程 无实数根
8. 往圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽 ，水的最大深度为16cm，则圆
柱形容器的截面直径为（ ）cm．
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学科网（北京）股份有限公司A. 10 B. 14 C. 26 D. 52
9. 为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于
轴对称， 轴， ，最低点 在 轴上，高 ， ，则右轮廓
所在抛物线的解析式为（ ）
A. B. C. D.
的
10. 如图，在平面直角坐标系中，四边形 顶点O在原点上， ，
， 轴，将四边形 绕点O逆时针旋转，每次旋转 ，第 2023 次旋转后点C
的坐标为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分.
11. 在平面直角坐标系中，点 关于原点对称的点为 ，则 _____．
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学科网（北京）股份有限公司12. 已知二次函数 的图象和x轴有交点，则k的取值范围____．
13. 用反证法证明“ ”时，应假设 ．
14. 在平面直角坐标系中，将抛物线 先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，
所得的抛物线的解析式是______．
15. 如图，⊙O是以原点为圆心，2 为半径的圆，点P是直线y＝－x＋8上的一点，过点P作⊙O的一
条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为__________．
16. 如图，设P是等边 内的一点， ， ， ，则 的度数是___________．
三、解答题：本大题共9小题，共72分.
17. 用适当的方法解下列方程．
（1） ；
（2） ．
18. 如图，在 中， ，将 绕点 逆时针旋转得到 ，使点 在 的延长
线上．求证： ．
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学科网（北京）股份有限公司的
19. 如图，在平面直角坐标系中， 三个顶点分别是 ， ， ．．
（1）将 向左平移6个单位长度得到 ，请画出 ，并写出点 ， 的坐标．
（2）请画出 关于原点O成中心对称的 ．
20. 如图，AB是半圆 的直径， 是半圆 上的两点， 为弧 的中点， 与 交于点 ．
（1）证明： ；
（2）若 ，求 的度数．
21. 关于 的方程 有两个不等的实数根．
（1）求 的取值范围；
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学科网（北京）股份有限公司（2）化简： ．
22. 如图是大广高速路上单向双车道某隧道的横截面，其形状是抛物线型，有关尺寸如图所示，现有一辆
车身宽为 的货车准备装一批货物途过此隧道前往某地，（根据高速公路管理规定：机动车在通过隧
道时只能在一条道上行驶）．
（1）建立适当的平面直角坐标系并求出此抛物线的解析式；
（2）这辆货车满载货物时限高为多少？
23. 某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额 （万元）与销售
量x（吨）的函数解析式为 ；成本 （万元）与销售量x（吨）的函数图象是如图所示的抛物线的
一部分，其中 是其顶点．
（1）求出成本 关于销售量x的函数解析式；
（2）当成本最低时，销售产品所获利润是多少？
（3）当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最大利润是多少？（注：利润 销售额 成本）
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学科网（北京）股份有限公司24. 如图1所示，等边三角形 内接于圆 ，点 是劣弧 上任意一点（不与 重合），连接 、
、 ，求证： ．
【初步探索】小明同学思考如下：将 与点 顺时针旋转 到 ，使点 与点 重合，可得
、 、 三点在同一直线上，进而可以证明 为等边三角形，根据提示，解答下列问题：
（1）根据小明的思路，请你完成证明．
（2）若圆的半径为8，则 的最大值为________．
【类比迁移】如图2所示，等腰 内接于圆 ， ，点 是弧 上任一点（不与 、
重合），连接 、 、 ，若圆的半径为8，试求 周长的最大值．
【拓展延伸】如图3所示，等腰 ，点 、 在圆 上， ，圆 的半径为8，连接
，则 的最小值为_________（直接写答案）．
25. 在平面直角坐标系 中，已知抛物线 和线段 ，其中点 ，点
，点C是抛物线L与y轴的交点，点D是抛物线L的顶点.
（1）求直线 的解析式；
（2）点Q在抛物线L上，且与点C关于对称轴对称，连接 ， ， ，求证： 为等腰直角
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学科网（北京）股份有限公司三角形；
（3）在（2）的条件下，射线 交x轴于点F，连接 ， ，四边形 是否能构成平行四边形？
如果能，请求m的值；如果不能，说明理由；
（4）若抛物线L与线段 只有一个交点，结合函数图象，直接写出m的取值范围为 .
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