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黄广中学 2024-2025 学年度第一学期期中考试
九年级数学试卷
命题教师：邓彬 初审教师：袁刘成 终审教师：邹燕萍
试卷满分120分 考试时长120分钟
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若方程 是一元二次方程，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
（2023沈阳中考改编）
2. 二次函数 图象的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
3. 若m，n分别为一元二次方程 的两个实数根，则 的值为（ ）
A. B. 12 C. D. 8
（2023年湖北省襄阳市中考）
4. 我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问
阔及长各几步．”意思是：长方形的面积是864平方步，宽比长少12步，问宽和长各是几步．设宽为x步，
根据题意列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
（2023年青海中考）
的
5. 如图， 是 弦，C是 上一点， ，垂足为D，若 ，则 （
）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
（2024广州中考）
6. 下列图案中，点 为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点 对
称的是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图， 的直径 ， 是 的弦， ，垂足为M， ，则 的
长为（ ）
.
A 8 B. 12 C. 16 D.
8. 在同一平面直角坐标系中，函数 与 的图象可能是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C.
D.
（2024广州中考）
9. 如图， 中，弦 的长为 ，点 在 上， ， ． 所在的平面内有
一点 ，若 ，则点 与 的位置关系是（ ）
A. 点 在 上 B. 点 在 内 C. 点 在 外 D. 无法确定
10. 如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，
﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc＞0 ②4a+2b+c＞0
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学科网（北京）股份有限公司③4ac﹣b2＜8a ④ ＜a＜ ⑤b＞c．其中含所有正确结论的选项是（ ）
A. ①③ B. ①③④ C. ②④⑤ D. ①③④⑤
二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分）
11. 若点 与点B关于原点对称，则点B的坐标为________．
（2022广东中考）
12. 若 是方程 的根，则 ____________．
（2024年广州市白云区一模）
13. 若点 ， ， 在抛物线 上，则 ， ， 的大小关系为
______（用“ ”连接）
14. 如图，△OAB绕点O顺时针旋转42°得到△ODC，点D恰好落在AB上，且∠AOC＝108°，则∠B度
数是 ______．
15. 如图，在 ABC中，AB=AC，∠B=30°，以点A为圆心，以3cm为半径作⊙A，当AB=_____cm时，
BC与⊙A相切．
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学科网（北京）股份有限公司16. 在矩形 中， ，点M是平面内一动点，且满足 ，N为 的中点，点
M运动过程中线段 长度的取值范围是 ____________________．
三、解答题（本大题共9小题，共72分．）
17. 解方程： ．
的
18. 已知抛物线 ．若抛物线与x轴有两个不同 交点，求k的取值范围．
19. 在平面直角坐标系中， 的三个顶点分别是 ， ，
（1）将 以点C为旋转中心顺时针旋转 ，画出旋转后对应的 ；平移 ，若点A
的对应点 的坐标为 ，画出平移后对应的 ；
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学科网（北京）股份有限公司（2）若将 绕某一点旋转可以得到 ，请直接写出旋转中心的坐标．
20. 如图，在平面内， 绕点A逆时针旋转 后得 ， ，连接 ．求证：
．
21. 成都市将在2022年举办第31届世界大学生夏季运动会，成都大运会吉祥物是一只名叫“蓉宝”的大熊
猫．某工厂生产“蓉宝”大熊猫，以30元的单价对外批发进行销售
（1）商场购进一批“蓉宝”的大熊猫，据市场分析，若每个“蓉宝”售价为60元，则每天可售出40个．
商场决定尽快减少库存，商店经过调研发现，如果每个“蓉宝”降价1元，那么平均每天可多售出8个，
若商店想平均每天盈利2000元，销售单价应定为多少元？
（2）商城销售总利润为w，当销售单价应定为多少元，销售总利润最大？
22. 如图，AB是⊙O的直径， ，E是OB的中点，连接CE并延长到点F，使EF=CE．连接AF
交⊙O于点D，连接BD，BF．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若OB=2，求BD的长．
23. 我们在八年级上册曾经探索：把一个直立的火柴盒放倒（如图1），通过对梯形ABCD面积的不同方法
计算，来验证勾股定理．a、b、c分别是 和 的边长，易知 ，这时我们把
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学科网（北京）股份有限公司关于x的形如 的一元二次方程称为“勾氏方程”．
请解决下列问题：
（1）方程 （填“是”或“不是”）“勾氏方程”；
（2）求证：关于x的“勾氏方程” 必有实数根；
（3）如图2， 的半径为10，AB、CD是位于圆心O异侧的两条平行弦， ．
若关于x的方程 是“勾氏方程”，连接AD，求 的度数．
24. 已知抛物线 与x轴交于点 ，点 ，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点P在抛物线的对称轴上，点Q在x轴上，是否存在以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边
形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到一个新的抛物线，问在y轴正半轴上是否存
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学科网（北京）股份有限公司在一点F，使得当经过点F的任意一条直线与新抛物线交于S，T两点时，总有 为定值？若存
在，求出点F坐标及定值，若不存在，请说明理由．
25. 如图1，在 中， ， ，点 ， 分别在边 上， ，连
的
接 ，点 ， ， 分别为 中点．
（1）观察猜想：图1中，线段 与 的数量关系是______，位置关系是______；
的
（2）探究证明：把 绕点 逆时针方向旋转到图2 位置，连接 ，判断
的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：把 绕点 在平面内自由旋转，若 ， ，请直接写出 面积的
最大值．
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