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强化提升-数资 3
（笔记）
主讲教师：谭丽娟
授课时间：2024.05.03
粉笔公考·官方微信强化提升-数资 3（笔记）
质数列（除了1 及本身之外无其他约数）
合数列（除了质数之外的自然数）
【注意】数字推理：分为三种数推（基础、特征、非特征数列）。基础数列：
简单，江苏几乎不会直接考查，等差（如公差为 2 的等差数列）、等比（如公比
为2的等比数列）、质数列、合数列。
1.质数列（除了 1及本身之外无其他约数）：2、3、5、7、11、13、17、19……。
2.合数列（除了质数之外的自然数）：4、6、8、9、10……。
多重数列
题型特征：数列项数较多，一般在 7项或 7项以上（包括未知项）
解题思路：先交叉再分组
（1）交叉：奇数项和偶数项分别成规律
示例1：2，3，3，6，4，12，5，（ ）
1（2）分组：两两分组或三三分组（9项、12项）
（分组后看组内的加、减、乘、除等运算关系）
示例2：2，1，5，1，8，4，17，（ ）
【注意】多重数列：
1.题型特征：数列项数较多，一般在 7项或 7项以上（包括未知项）。
2.解题思路：先交叉、再分组。
（1）交叉：奇数项和偶数项分别成规律。
示例1：2，3，3，6，4，12，5，（ ）
答：奇数项为 2、3、4、5；偶数项：3、6、12，存在明显的倍数关系，相
邻两项之间存在2倍关系，（ ）=12*2=24。
（2）分组：两两分组（更多）或三三分组（9项、12项）（分组后看组内的
加、减、乘、除等运算关系）。
示例2：2，1，5，1，8，4，17，（ ）
答：两两分组，（2、1），（5、1），（8、4），[17、（ ）]，组内加和：3、6、
12，存在2倍关系，下一项为 12*2=24，（ ）=24-17=7。
机械划分数列
题型特征：1.出现特殊符号（小数点、“+”、“√ ”等分隔符）
2.多位数：三位数、四位数
解题思路：
①小数：整数与小数先分开找规律、再一起找规律
②根式：形式统一，先分开、再一起
③三位数：数字内部关系、数字加和
四位数：对半对称拆成两个数，先分开、再一起；
引例：
①2.3，3.6，5.9，7.12，（ ）
②1.1，1.3，2.4，3.5，（ ）
③253，165，374，286，（ ）
④389，569，479，587，299，（ ）
2⑤1103，2205，3307，4409，（ ）
⑥1113，2325，1820，3436，（ ）
【注意】机械划分数列：
1.题型特征：
（1）出现特殊符号（小数点、“+”、“√ ”等分隔符）。
（2）多位数：三位数、四位数。
2.解题思路：
（1）小数：整数与小数先分开找规律、再一起找规律。
（2）根式：形式统一，先分开、再一起。
（3）三位数：数字内部关系、数字加和；四位数：对半对称拆成两个数，
先分开、再一起。
3.引例：
（1）2.3，3.6，5.9，7.12，（ ）
答：分开看，小数点前：2、3、5、7，为质数列，下一项为 11；小数点后：
3、6、9、12，是公差为 3的等差数列，下一项为 12+3=15，（ ）=11.15。
（2）1.1，1.3，2.4，3.5，（ ）
答：分开看无规律，考虑一起看，通过加减乘除四则运算找规律，1+1=2、
1+3=4、2+4=6、3+5=8，下一项为10，结合选项找加和为10的。
（3）253，165，374，286，（ ）
答：考虑数字内部关系，发现 2+3=5、1+5=6、3+4=7、2+6=8。
（4）389，569，479，587，299，（ ）
答：内部无规律，考虑各位数字加和，发现 3+8+9=20、5+6+9=20、4+7+9=20、
5+8+7=20、2+9+9=20，结合选项找各位数字加和为 20的。
（5）1103，2205，3307，4409，（ ）
答：四位数分为两部分，11|03，22|05，33|07，44|09，前半部分：11、22、
33、44，下一项为55；后半部分：03、05、07、09，下一项为 11，（ ）=5511。
（6）1113，2325，1820，3436，（ ）
答：一起看，发现 13-11=2、25-23=2、20-18=2、36-34=2，结合选项找后
半部分-前半部分为 2的。
3分数数列
题型特征：全部或大部分是分数
解题思路：观察分子，分母是否依次递增或递减
是：
①分开看：分子，分母分别成规律
②一起看：两分数之间四则运算
否：反约分转化为单调递增或递减，再找规律
引例：1/2，3/5，7/10，13/17，21/26，（ ）
A.31/47 B.5/7
C.65/97 D.31/37
【注意】分数数列：几乎每年都考。
1.题型特征：全部或大部分（有一半）是分数。
2.解题思路：观察分子，分母是否依次递增或递减。
（1）是：
①分开看：分子，分母分别成规律。
②一起看：两分数之间四则运算（前一项的分子、分母经过加减乘除得到后
一项的分子、分母）。
（2）否：反约分转化为单调递增或递减，再找规律。如 1/2、1、5/4：不
呈现递增、递减趋势，考虑反约分，转化递增、递减趋势再找规律，分母在 2
和4之间，只能为3，1反约分为3/3。
3.引例：
（1）1/2，3/5，7/10，13/17，21/26，（ ）
A.31/47 B.5/7
C.65/97 D.31/37
答：分子、分母均呈现递增趋势，考虑分开看，分母：2、5、10、17、26，
无明显特征，后项-前项：3、5、7、9，下一项为 11，（ ）分母=26+11=37，只
有D项满足。
（2）1/4，5/4，9/20，29/180，（ ）
4答：分子、分母一起看，发现 1+4=5、1*4=4；5+4=9、5*4=20；以此类推找
答案即可。
作商数列
题型特征：相邻两项之间有倍数关系
解题思路：两两作商
注意：
（1）作商时注意方向一致；
（2）商有正有负，有整数、有小数、有分数。
【注意】作商数列：
1.题型特征：相邻两项之间有倍数关系（有明显的约数）。
2.解题思路：两两作商。
3.注意：
（1）作商时注意方向一致（要么前/后、要么后/前）。
（2）商有正有负，有整数、有小数、有分数；小数和分数常见，如 1.5。
幂次数列
题型特征：数字本身是幂次数或在幂次数附近
解题思路：普通幂次：直接转化成 an找规律
修正幂次：先转化为 an±修正项，再找规律
引例1：8、27、64、（ ）、216
引例2：9、28、65、（ ）、217
【注意】幂次数列：
1.题型特征：数字本身是幂次数或在幂次数附近。
2.解题思路：
（1）普通幂次：直接转化成 an找规律。如64、27、36、49、81等。
（2）修正幂次：先转化为 an±修正项，再找规律。出现在81、49、25、64
附近，就可以考虑是否为修正幂次。
3.例：
5（1）引例1：8、27、64、（ ）、216
（2）引例2：9、28、65、（ ）、217
答：发现65=64+1、28=27+1、修正项为“+1”，217=216+1=6³+1，9=8+1=2³+1，
28=3³+1，65=4³+1，则（ ）=5³+1=126。
多级数列
题型特征：无其他明显特征，数列变化平缓
解题思路：两两作差（一次、两次）
作和（江浙特色）
注意点：
方向性：要么后减前，要么前减后。
【注意】多级数列：万金油，考查最多。
1.题型特征：无其他明显特征，数列变化平缓。
2.解题思路：
（1）两两作差（一次、两次）。
（2）作和（江浙特色）：给出一串数，没有特征，小数字较多，且正负交替，
可以优先考虑作和。
3.注意点（方向性）：要么后减前，要么前减后。
递推数列
题型特征：无明显特征，非多级数列
解题思路：
1.圈三个数（圈中间的不大不小的三个数）
2.找规律。缓慢递增、递减：加和、倍数递推，a+nb=c、na+b=c、n*（a+b）
=c；陡增（变幅很大）：乘积、幂次递推，a*b=c、a*b+n=c、a²+b=c、a+b²=c
3.做验证
【注意】递推数列：较难（遇难跳过，保四争五）。
1.题型特征：无明显特征，非多级数列。
2.解题思路：
6（1）圈三个数（圈中间的不大不小的三个数）。
（2）找规律（往往是凑大数）。缓慢递增、递减：加和、倍数递推，a+nb=c、
na+b=c、n*（a+b）=c；陡增（变幅很大）：乘积、幂次递推，a*b=c、a*b+n=c、
a²+b=c、a+b²=c。
（3）做验证。
做题逻辑：
1.先观察有无特征
2.若有，则重点分析特征；若无，则优先多级，不行再递推。
【注意】数字推理：先观察有无特征（多重、机械划分、分数数列特征比较
明显；作商、幂次特征不太明显），若有，则重点分析特征；若无，则优先多级，
不行再递推（如果时间不够，就剩余 1题，可以先跳过）。
1.（2023深圳）2，13，25，39，56，（ ）
A.66 B.77
C.78 D.89
7【解析】1.观察数列，无明显特征，项数不多，不是分数，不在幂次数附近，
不存在明显的倍数关系，优先考虑多级数列，后项-前项进行作差：11、12、14、
17，无明显特征，再次作差：1、2、3，下一项为 4，一次差下一项为 17+4=21，
（ ）=56+21=77，对应 B项。【选B】
2.（2021江苏）2√2，√17，2√6，√37，4√3，（ ）
A.3√7 B.√65
C.6√2 D.4√5
【解析】2.数列有明显的特征，出现根号，优先考虑机械划分数列。根式要
化统一，发现√17、√37无法开根号，故统一转化为根号内，数列转换为：√8、
√17、√24、√37、√48，根号内：8、17、24、37、48。
方法一：全部在幂次数附近，48=49-1、37=36+1、24=25-1、17=16+1、8=9-1，
为修正幂次数列，依次为 3²-1、4²+1、5²-1、6²+1、7²-1，下一项为 8²+1=65，
（ ）=√65，对应B 项。
方法二：观察数列，无明显特征，考虑多级数列，后项-前项：17-8=9、24-17=7、
37-24=13、48-37=11，无明显规律；考虑作和：16、20、24，是公差为 4的等差
数列，下一项为24+4=28，作差下一项为 28-11=17，（ ）根号内=48+17=65，（ ）
=√65，对应B项。【选 B】
3.（2020江苏）1，3/2，11/16，1/4，21/256，（ ）
A.13/512 B.15/512
C.13/256 D.15/256
【解析】3.观察数列，除1以外均为分数，优先考虑分数数列，明显的发现
“1/4”影响了递增、递减趋势，需要进行反约分，结合分子、分母找规律。
方法一：从分母入手进行反约分，16和256 之间是16倍关系，中间隔了一
个分数，猜测依次是4倍关系，1/4的分母变为16*4=64，则1/4反约分为16/64，
3/2 反约分为 6/4，1 反约分为 1/1；原数列转化为 1/1，6/4，11/16，16/64，
821/256，（ ）分母=256*4=1024，分子：是公差为 5的等差数列，（ ）分母=21+5=26，
（ ）=26/1024=13/512，对应A项。
方法二：从分子入手进行反约分，11和21 相差10，猜测依次相差 5，则1/4
反约分为16/64；选择 A项。【选A】
4.（2021重庆选调）10，24，50，80，122，168，（ ）
A.223 B.224
C.225 D.226
【解析】4.方法一：观察数列，24、50、80均在幂次数附近，80=81-1、50=49+1、
24=25-1、10=9+1，优先考虑修正幂次数列；122=121+1、168=169-1，原数列依
次为 3²+1、5²-1、7²+1、9²-1、11²+1、13²-1，底数：3、5、7、9、11、13，
下一项为15；指数均为 2，修正项“+1、-1”循环，（ ）修正项为+1，（ ）=15²+1=226，
对应D项。
方法二：无明显特征，考虑多级数列。后项-前项：14、26、30、42、46，
一次差无规律，再次作差，后项-前项：12、4、12、4，是周期循环数列，下一
项为12，一次差下一项为 46+12=58，（ ）=168+58=226，对应D项。【选 D】
补充：因数分解数列
题型特征：大部分数字都是合数，且趋势统一
解题思路：拆分成 2个数相乘
例：（2011江苏）4，12，24，36，50，（ ）
A.64 B.72
C.86 D.98
【注意】因数分解数列：多级、递推均无规律。
1.题型特征：大部分数字都是合数（两者相乘），且趋势统一（变大或变小）。
2.解题思路：拆分成 2个数相乘。
3.例：（2011江苏）4，12，24，36，50，（ ）
A.64 B.72
C.86 D.98
9答：因式分解优先从大数（50）入手，50=5*10=2*25，拆分出 2 太小、25
太大，优先按照“50=5*10”进行拆分，“36=4*9”与“50=5*10”存在规律，则
24=3*8，12=2*6，4=1*4，乘号看成分隔符，机械划分数列，乘号前：1、2、3、
4、5，为自然数列，下一项为 6；乘号后：4、6、8、9、10，是合数列，下一项
为12，（ ）=6*12=72，选择B项。
4.质数列：除了 1及本身之外无其他约数；合数列：除 1和本身外还有约数。
5.（2019山东黄委会）10，21，44，65，（ ）
A.122 B.105
C.102 D.90
【解析】5.无明显规律，多级、递推也无法求解，考虑因式分解。65=5*13、
44=4*11、21=3*7、10=2*5，乘号前：2、3、4、5，下一项为6；乘号后：5、7、
11、13，为质数列，下一项为 17，（ ）=6*17=102，对应 C项。【选C】
1.（2022江苏）7，23，-1，35，-19，（ ）
A.62 B.67
C.72 D.77
【解析】1.观察数列，35在36附近，但其余项不在幂次数附近，优先考虑
多级数列，两两作差，后项-前项：16、-24、36、-54，不考虑负号，发现相邻
两项存在约数，考虑对数字作商，后项/前项：1.5、1.5、1.5，下一项为 1.5，
符号“+、-”循环，作差下一项为 1.5*54=81，（ ）=-19+81=62，对应 A项。【选
10A】
【注意】小经验：当出现 16、24、36、54、81，考虑 1.5 倍关系→江苏小
特色。
【拓展1】（2021 江苏）11，27，51，87，141，（ ）
A.222 B.231
C.259 D.286
【解析】拓展1.无明显特征，考虑作差，后项-前项：16、24、36、54，是
公比为 1.5 的等比数列，下一项为 54*1.5=81，（ ）=141+81=222，对应 A 项。
【选A】
【拓展2】（2021 江苏）7，23，47，83，137，（ ）
A.209 B.218
C.262 D.265
【解析】拓展2.无明显特征，考虑作差，后项-前项：16、24、36、54，是
公比为 1.5 的等比数列，下一项为 54*1.5=81，（ ）=137+81=218，对应 B 项。
【选B】
2.（2022江苏）2.5，2.4，8.9，56.13，560.22，（ ）
A.5600.36 B.6140.35
C.6720.36 D.7280.35
【解析】2.出现小数点，考虑机械划分数列；整数部分：2、2、8、56、560，
相邻两项存在明显的倍数关系，考虑作商数列，后项/前项：1、4、7、10，是公
差为3的等差数列，下一项为 13，（ ）整数部分=560*13=尾80，结合选项，只
有D项符合。【选D】
【注意】小数部分：5、4、9、13、22，发现 5+4=9、4+9=13、9+13=22，（ ）
小数部分=13+22=35。
113.（2023浙江）2，2，2，9/5，5/3，（ ）
A.3/2 B.7/3
C.11/6 D.12/7
【解析】3.含所求项有一半为分数，优先考虑分数数列，9/5→5/3 下降，
且前三项均为“2”，需要考虑反约分，5/3 反约分为 10/6，分母：5、6，猜测
前三项为 2、3、4，则分子依次为 4、6、8、9、10，原数列转化为 4/2、6/3、
8/4、9/5、10/6，分母：2、3、4、5、6，下一项为 7，只有D项符合；分子：4、
6、8、9、10，为合数列，下一项为 12，（ ）=12/7。【选D】
4.（2022深圳）-8，10，-7，12，-5，（ ）
A.18 B.16
C.14 D.11
【解析】4.无明显特征，优先考虑多级数列，小数字居多，且正负交替，优
先考虑作和：2、3、5、7，为质数列（除 1 及本身无其他约数的数列；合数列：
除1及本身有其他约数），下一项为 11，（ ）=16，对应B项。【选B】
【注意】1不是质数，也不是合数。
补充-图形数阵
题型特征：三角形、圆形
解题思路：
三角形、圆形：
①有中心凑中心
②无中心凑相等（对角线、横、竖）
例：
12（1）
（2）
【注意】图形数阵：浙江、上海常考。
1.题型特征：三角形、圆形。
2.解题思路：三角形、圆形。
（1）有中心凑中心。
（2）无中心凑相等（对角线、横、竖）。
3.例：
（1）
答：有中心、凑中心，图 1：发现4*3-（2+5）=5；图2：6*4-（4+2）=24-6=18；
图3：？=3*6-（7+2）=18-9=9。
（2）
答：无中心、凑相等。图 1：对角线无规律，横着找规律，发现 20/4=6-1=5；
13图2：8/4=4-2=2；图 3：3/1=5-2=3；图4：10/2=？-2=5，则？=7。
5.（2020浙江）
A.1/5 B.1/3
C.3/5 D.1
【解析】5.无中心、凑相等。图 1：对角线不好凑，考虑横着找规律，发现
12*4=6*8=48；图2：10*2=5*4=20；图 3：4*4=8*2=16；图 4：1*3=5*？=3，则？
=3/5，对应C项。【选 C】
【注意】
1.对角线相除。图 1：12/8=6/4；图 2：10/4=5/2；图 3：4/2=8/4；图 4：
1/？=5/3，则？=3/5。
2.结合以往考查，对角线规律考查较多，其次是横着、竖着找规律。
1.（2022上海）√2+√3，5，√6+√15，2√2+√21，（ ）
A.√10+5 B.√10+3√3
C.2√3+3√2 D.5√5+3
14【解析】1.出现分隔符“+”，优先考虑机械划分数列，统一形式，2√2=√8。
“+”前：√2、？、√6、√8，猜测？=√4，则所求项的“+”前为√10；5=√4+√9。
“+”后：√3、√9、√15、√21，根号内：3、9、15、21，是公差为 6 的等差数
列，下一项为27，则所求项的“+”后为√27=3√3，则（ ）=√10+3√3，对应B
项。【选B】
2.（2022江苏）1，3，7/2，5/2，31/24，（ ）
A.8/15 B.21/40
C.127/120 D.5
【解析】2.观察数列，大部分为分数，为分数数列。不存在递增、递减的趋
势，考虑反约分；大部分分数数列有 2个可以作为参考不需要反约分（7/2、31/24
作为参考），24 和 2 存在 12 倍关系，12=3*4，倍数依次相差越来越多，则 5/2
反约分为15/6，猜测倍数依次为 1、2、3、4，则 1=1/1、3=3/1，倍数下一项为
5，（ ）分母=24*5=120；分子：1、3、7、15、31，后项-前项：2、4、8、16，
存在2倍关系，下一项为 16*2=32，（ ）分子=31+32=63，（ ）=63/120=21/40，
对应B项。【选B】
【注意】5/2 可以转化的分数包括 10/4、15/6、20/8、25/10，结合前后项
选择适合的形式。
3.（2022事业单位）4.2，8.2，16.4，64.4，256.16，4096.16，（ ）
A.84401.256 B.65536.256
C.9534.32 D.74915.64
【解析】3.观察数列，存在明显的小数，先分开、再一起。小数点前：4、8、
16、64、256、4096，存在倍数关系，考虑作商，后项/前项：2、2、4、4、16，
发现依次对应小数点后的值，第一项整数*第一项小数=第二项整数，（ ）整数
部分=4096*16，最终尾数是 6，排除 A、C、D 项，对应 B项；小数点后：第一项
整数/第一项小数=第二项小数，（ ）对应的小数部分=4096/16=256，对应 B项。
15【选B】
【注意】出现小数：先分开找规律，再一起找；相邻项有明显倍数关系：考
虑作商。
4.（2023上海）（3，5），（5，7），（11，13），（17，19），（29，31），（ ）
A.（41，43） B.（57，59）
C.（61，65） D.（71，73）
【解析】4.观察数列，项数多，为多重数列，用括号已经分好组，组内找规
律，组内作差（后项-前项）：5-3=2、7-5=2、13-11=2、19-17=2、31-29=2，组
内后项-前项=2，结合选项，A、B、D项符合，排除 C项。发现所给项均为质数，
结合选项，57=3*19，57不是质数，属于合数，排除 B项；按照质数排列，2、3、
5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43，找相邻两项相差 2 的作为一
组，31和37差6、37 和41差4 不符合，41和 43差2满足，对应 A项。【选 A】
5.（2023事业单位）1，2，3，8，27，（ ），5945
A.70 B.85
C.200 D.220
【解析】5.观察数列，无明显的倍数关系，但变化很大，无需考虑多级数列，
优先考虑递推。圈仨数：3、8、27；发现 3*8+3=27，猜测规律为①*②+①=③，
验证：2*3+2=8、1*2+1=3，（ ）=8*27+8=216+8=224，无对应的选项；发现修正
项为常数“+1、+2、+3”，下一项为+4，（ ）=8*27+4=216+4=220，对应 D 项。
【选D】
【注意】出现陡增情况：考虑乘积、幂次递推。
16复习建议：
1.每天10～20个
2.真题刷3～5遍
3.特殊考点积累
考场建议：
1.平均一道题30～40s，一个题不要纠结太长时间；保 4争5；
2.先看有无明显特征——多级数列——递推数列——pass
【注意】
1.复习建议：
（1）每天10～20个。
（2）真题刷3～5遍，真题刷完再刷模拟题。
（3）特殊考点积累：图形数阵、因式分解。
2.考场建议：
（1）平均一道题 30～40s，一个题不要纠结太长时间；保 4争5（如果递推
很难，可以跳过）。
（2）先看有无明显特征（有特征按照特征做）——多级数列（作差、作和）
——递推数列——pass。
3.递推没有固定的规律，是自行推导规律，只是推导规律的过程分为三步：
圈仨数、找规律、做验证，如果满足规律就按照规律求出答案。
数学运算
17【注意】代入排除法：可以通过范围判定是否可以用代入排除。
1.范围：
（1）典型题：年龄问题、不定方程问题、多位数、余数问题。
（2）看选项：
①选项为一组数：问甲和乙分别为多少，A项为2、3，B项为4、5，选项为
一组数。
②选项可以转化为一组数：问乙是多少，已知甲=乙+2，代入选项可以得到
甲。
（3）剩两项：也可以用代入排除法。
2.方法：根据尾数、奇偶、倍数排除选项，然后再代入。
（1）最值：问最大，从最大的选项开始代入；问最小，从最小的开始代入。
（2）好算：选项分别为 150、200、100、80，优先从100、200代入。
1.（2021 事业单位）今年小华一家四口的年龄之和为 110 岁，其中哥哥比
小华大2岁，爸爸比妈妈大 2岁，14年前全家的年龄之和为 55岁，则哥哥今年
多少岁？
A.15 B.16
C.17 D.18
【解析】1.方法一：年龄问题，考虑代入排除法。A 项：今年哥哥 15 岁，
小华15-2=13岁，爸爸+妈妈=110-15-13=82岁。14年前，小华0岁，哥哥 15-14=1
岁，爸爸+妈妈=82-14=54 岁，0+1+54=55，符合题干条件，当选。
方法二：今年全家年龄为 110 岁，14 年前全家年龄为 110-14*4=110-56=54
岁，与55岁差1岁，说明小华 14年前没有出生，小华今年 13岁，哥哥 13+2=15
18岁，对应A项。【选 A】
2.（2022 事业单位）一些篮球爱好者包下了一个篮球场地，包场费用按第
一个小时 420 元，不足一小时按一小时计，之后每 10 分钟增加 70 元，不足 10
分钟的按10分钟计。比赛结束后，恰好人均付费 63元，那么最少有多少人参加
比赛？
A.20 B.15
C.10 D.5
【解析】2.假设超出 n 个 10 分钟，总费用=420+70n=63*人数，结合选项排
除。420 尾数为 0，70n 尾数为 0，说明 63*人数尾数也是 0，人数的尾数一定为
0，排除 B、D 项。剩二代一，问最少，代入 C 项：63*10=420+70n，解得 n=3，
符合题干条件，当选。【选C】
【注意】倍数特性法：
1.基础：即整除型倍数特性，重点是判定能否整除。
（1）若A=B*C，则 A能被B或C整除，前提是 B、C均为整数。
（2）判定：
19①口诀：
a.3 和 9 看各位数字之和：如 23697，若 2+3+6+9+7 是 3 的倍数，则 23697
就能被3整除。
b.5的倍数尾数为 0或者5。
c.4 的倍数看末两位：如 3038，3038=3000+38，3000 一定能被 4 整除
（100/4=25），只需要看 38是否能被4整除即可，38不能被4整除，则 3038不
能被4整除。
d.8的倍数看末三位：如 1125，1125=1000+125，1000一定能被8 整除，只
需要看125能否被8 整除即可。
②因式分解：如判断一个数能否被 45 整除，不太好看，可以将 45 分解为
5*9，若该数既能被 5整除，又能被9整除，则该数能被 45整除。
③拆分：如判断 82能否被7 整除，82=70+12，70一定是7的倍数，12不是
7的倍数，说明82不是 7的倍数。
2.余数型：平均分组有剩余，如一堆苹果每人分 5 个剩 3 个，总数=5n+3，
可以转化为总数-3=5 的倍数，结合选项验证。
3.比例型：题干出现很多比值、倍数、小数、百分数、分数，都可以考虑比
例型倍数特性。
（1）A/B=m/n，A 是 m 的倍数，B 是 n 的倍数，A+B 是 m+n 的倍数，A-B 是
m-n的倍数。如男生人数/女生人数=4/7，则男生人数是 4的倍数，女生人数是 7
的倍数，总人数是4+7=11 的倍数，女生人数-男生人数是7-4=3的倍数。
（2）前提：A、B均为整数，m/n为最简整数比。
3.（2023北京）某单位 3个部门共有员工 50人，拥有中级工程师职称的人
员比重为 40%。其中甲、乙两个部门拥有中级工程师职称的人员比重分别为 45%
和32%，则丙部门拥有中级工程师职称的人员比重为：
A.60% B.52%
C.44% D.36%
【解析】3.拥有中级工程师职称人数=50*40%=20 人，出现百分数，考虑比
例型倍数特性。甲部门拥有中级工程师职称的人数/甲部门人数=45/100=9/20，
20乙部门拥有中级工程师职称的人数/乙部门人数=32/100=8/25，求的是丙部门拥
有中级工程师职称的人数/丙部门人数。丙部门人数=50-甲部门人数-乙部门人数，
甲部门人数是 20 的倍数，乙部门人数是 25 的倍数，由于总人数是 50 人，则甲
部门人数是20人、乙部门人数是 25人，丙部门人数=50-20-25=5人。甲部门拥
有中级工程师职称的人数为 9人，乙部门拥有中级工程师职称的人数为 8人，丙
部门拥有中级工程师职称的人数=20-9-8=3，所求=3/5=60%，对应 A 项。【选 A】
4.（2024浙江网友回忆版）某公司招聘员工，来应聘的男、女人数比是 18：
17，最后被录取的有 280 人，其中男、女人数比是 3：4，未被录取的男、女人
数比是6：5。则来应聘的共有多少人？
A.630 B.720
C.1050 D.1400
【解析】4.问的是来应聘的总人数，已知“来应聘的男、女人数比是 18：
17”，来应聘的总人数是 18+17=35的倍数，35=5*7，选项尾数均为0，即选项均
为 5 的倍数，720 不是 7 的倍数，则 720 不是 35 的倍数，排除 B 项。已知“最
后被录取的有280人”，来应聘的总人数-280=未被录取的人数。已知“未被录取
的男、女人数比是 6：5”，未被录取的人数是 6+5=11 的倍数。选项-280 应该是
11 的倍数，A、C、D 项减 280 分别为 350、770、1120，只有 770 是 11 的倍数，
C项当选。【选C】
【注意】方程法：
1.普通方程：都会做，找等量关系列方程，通常设未知数上有难度。
（1）设小不设大：避免分数。如甲是乙的 2倍，设小的乙为x，甲为 2x。
21（2）设中间量：方便列式。如甲比乙多 3、比丙少2，甲是中间量，设甲为
x，乙=x-3，丙=x+2。
（3）求谁设谁：避免陷阱。
（4）出现比例：设份数。如甲：乙=3：4，直接按照比例设未知数，设甲为
3x、乙为4x。
2.不定方程：通过代入排除解题，先排除再代入。
（1）奇偶特性：系数一奇一偶。如 3x+4y=13，系数 3和4一奇一偶，考虑
奇偶特性，4y一定是偶数，13是奇数，说明 3x是奇数，x一定是奇数。
（2）倍数特性：系数与常数有公因子。如 3x+4y=15，系数 3 和常数 15 有
公因子 3，考虑倍数特性，3x、15 均为 3 的倍数，说明 4y 一定是 3 的倍数，4
不是3的倍数，则y 是3的倍数。
（3）尾数特性：系数尾数为 0 或 5。如 3x+10y=23，10y 尾数一定为 0，23
尾数为3，说明3x尾数一定是 3，x尾数为1。
（4）直接代入选项。
5.（2023事业单位）某旅行团有游客 58人，将他们按照年龄划分为甲、乙、
丙、丁四档，其中乙档人数比甲档人数的 3倍少 2人，丙档人数是甲档人数的 2
倍，甲档人数是丁档人数的 1.5倍，则这个旅行团中年龄属于乙档的人数为多少
人？
A.25 B.26
C.27 D.28
【解析】5.方法一：甲、乙、丙、丁四挡人数之间的关系已知，且已知总人
数，考虑方程法。设最少的丁档人数为 2x（避免小数），甲档人数为 3x，丙档人
数为 6x，乙档人数为 9x-2。列式：3x+9x-2+6x+2x=58，20x-2=58，20x=60，解
得x=3。求的是乙档人数，9x-2=9*3-2=25，对应 A项。
方法二：乙档人数=甲档人数*3-2，乙档人数+2=甲档人数*3，甲档人数/丁
档人数=1.5=3/2，设甲档人数为 3n，乙档人数+2=3n*3，即乙档人数+2 应该是9
的倍数。选项+2分别为 27、28、29、30，只有 27是 9的倍数，A项当选。【选A】
226.（2022 事业单位）某单位举办员工运动会，包括跑步、跳高、跳绳、拔
河、掷铅球 5 个比赛项目，共 42 人参加了项目，每人只参加一项，已知有 12
人参加跑步项目，参加跳高和跳绳项目人数相同，参加拔河项目人数最多，参加
掷铅球项目人数最少仅有 5人。参加拔河项目的人数为多少人？
A.13 B.14
C.15 D.16
【解析】6.等量关系明显（总人数为 42 人），设未知数、列方程。设跳高、
跳绳人数均为x，拔河人数为 y，列式：12+x+x+y+5=42，2x+y=25，为不定方程，
系数 2 和 1 一奇一偶，考虑奇偶特性，25 是奇数，2x 是偶数，说明 y 是奇数，
求的就是 y，观察选项，排除 B、D 项。剩二代一，无任何要求，从 A 项代入即
可。A 项：y=13，2x+13=25，解得 x=6，符合“参加拔河项目人数最多”、“参加
掷铅球项目人数最少仅有 5人”，符合题干所有条件，当选。【选A】
【注意】C 项：y=15，2x+15=25，解得 x=5，不符合“参加掷铅球项目人数
最少仅有5人”。
不定方程组：a x+by+cz=m，ax+by+cz=n。
1 1 1 2 2 2
1.第一类：未知数一定是整数。消元法：消未知数转化为不定方程，再按不
定方程求解。
2.第二类：未知数可以是小数。赋值法：赋其中一个未知数为零。
【注意】不定方程组：ax+by+cz=m，a x+by+cz=n。
1 1 1 2 2 2
1.第一类：未知数一定是整数。消元法：消未知数转化为不定方程，再按不
定方程求解。如3x+7y+z=325①，4x+10y+z=410②，若未知数为人数（一定是整
数），考虑消元法。②-①可以消去 z，得到 x+3y=85，为不定方程，按照不定方
程求解即可。
2.第二类：未知数可以是小数（钱、时间）。赋值法：赋其中一个未知数为
零。
第二类：未知数不一定是整数。
231.方法：特值法（一般赋零），可以赋其中一个未知数为零，进而快速计算
出其他未知数。
2.引例：（2018 北京）老张购买学习和生活用品捐赠给山区贫困小学生。3
个笔盒、2个皮球和 4个杯子一共 89元，5个笔盒、6个皮球和7 个杯子一共 127
元。如果笔盒、皮球、杯子各买一个共多少元？
A.26 B.27
C.28 D.29
【注意】第二类：未知数不一定是整数。
1.方法：特值法（一般赋零），可以赋其中一个未知数为零，进而快速计算
出其他未知数。
2.引例：（2018 北京）老张购买学习和生活用品捐赠给山区贫困小学生。3
个笔盒、2个皮球和 4个杯子一共 89元，5个笔盒、6个皮球和7 个杯子一共 127
元。如果笔盒、皮球、杯子各买一个共多少元？
A.26 B.27
C.28 D.29
答：设笔盒、皮球、杯子的价格分别为 x、y、z，求的是 x+y+z，列式：
3x+2y+4z=89①，5x+6y+7z=127②，未知数是钱数，不一定是整数，说明取值有
很多，x+y+z一定是一个定值，即无数组解对应的答案唯一，为了计算方便，可
以将其中一个未知数赋值为 0。赋值z=0，得到一个普通方程组，求出 x、y，再
加上z=0就是正确答案。
7.（2021 黑龙江公检法司）幼儿园需采购春联、窗花、小狗玩偶三种新年
用品。已知大班采购春联 7 副、窗花 12 对、小狗玩偶 5 个，共花费 200 元；中
班采购春联 9 副、窗花 19 对、小狗玩偶 5 个，共花费 224 元。则小班采购春联
10副、窗花10对、小狗玩偶10 个需花费多少元？
A.170 B.176
C.340 D.352
【解析】7.设春联、窗花、小狗玩偶的单价分别为 x、y、z，列式：7x+12y
+5z=200，9x+19y+5z=224。
24方法一：求的是 10*（x+y+z），未知数为钱数，不一定是整数，考虑赋零法。
赋值系数较大的 y 为 0，7x+5z=200①，9x+5z=224②，②-①得：2x=24，解得 x
=12，代入①得：5z=200-7*12=116。10x+10y+10z=10*12+0+2*116=352，对应 D
项。
方法二：列式：7x+12y+5z=200①，9x+19y+5z=224②，①*2得：14x+24y+1
0z=400③，③-②得：5x+5y+5z=400-224=176，所求=176*2=352，对应 D项。【选
D】
【注意】工程问题；
1.给完工时间型：赋总量（赋值完工时间的公倍数），算效率，根据工作过
程列式求解。
2.给效率比例型：根据比例赋值效率，算总量，根据工作过程列式求解。
3.给具体单位型：直接设未知数，找等量关系列方程。
8.（2022 事业单位）一批试卷分配给甲、乙两人评阅。如果甲单独评阅，
需30小时才能完成任务。乙单独评阅，需 40 小时才能完成任务。现在他们两人
一起同时开始评阅，经过 25 小时评卷结束。评卷期间甲休息了 7 小时，则乙在
评卷期间休息了多少小时？
A.6 B.7
C.8 D.9
25【解析】8.工程问题，给出两个完工时间，属于给完工时间型。（1）赋总量：
赋值总量为完工时间 30、40 的公倍数 120。（2）算效率：甲的效率=120/30=4，
乙的效率=120/40=3。（3）根据工作过程列式求解：设乙休息了 x 小时，120=4*
（25-7）+3*（25-x），120=72+75-3x，3x=27，解得 x=9，对应D项。【选 D】
9.（2021 北京）农场使用甲、乙两款收割机各 1 台收割一片麦田。已知甲
的效率比乙高 25%，如安排甲先工作 3 小时后乙加入，则再工作 18 小时就可以
完成收割任务。如果增加 1 台效率比甲高 40%的丙，3 台收割机同时开始工作，
完成收割任务的用时在以下哪个范围内？
A.8小时以内 B.8～10小时之间
C.10～12小时之间 D.12小时以上
【解析】9.已知“甲的效率比乙高 25%”，给出效率关系，甲的效率=乙的效
率*（1+25%），甲的效率/乙的效率=1.25=5/4。（1）赋效率：赋值甲的效率为 5、
乙的效率为4。（2）算总量：3*甲的效率+18*（甲的效率+乙的效率）=总量，总
量=3*5+18*（5+4）=177。（3）根据工作过程列式求解：丙的效率=5*（1+40%）
=7，177/（5+4+7）=177/16=11+，对应C项。【选 C】
10.（2023 事业单位）一项工程由甲、乙两种设备完成，2 台甲设备的工作
量恰好是 5 台乙设备的工作量。5 台甲设备和 10 台乙设备工作 4 天后，剩余的
工作量恰好是 2 台乙设备 5 天的工作量。那么 10 台甲设备和 5 台乙设备工作 2
天，可完成总工作量的比例是多少？
A.40% B.50%
C.60% D.70%
【解析】10.2*甲的效率=5*乙的效率，甲的效率/乙的效率=5/2，属于给效
率比例型。（1）赋效率：赋值甲的效率为 5、乙的效率为 2。（2）算总量：总量=
（5*甲的效率+10*乙的效率）*4+2*乙的效率*5=20*甲的效率+50*乙的效率
=20*5+50*2=200。（3）根据工作过程列式求解：（10*5+5*2）*2=60*2=120，所求
=120/200=60%，对应 C项。【选C】
26牛吃草问题：
1.特征：排比句；有增长、有消耗。
引例：原有一块均匀自然生长的草地，5 头牛10天可以吃完，7头牛 6天可
以吃完，问8头牛多少天可以吃完？
2.公式：y=（n-x）*t，y 为原有草量，n 为牛的头数，x 为草生长速度，t
为时间。
3.常见形式：下雨抽水、排队检票、挖沙清淤。
11.（2020广东）某政务服务大厅开始办理业务前，已经有部分人在排队等
候领取证书，且每分钟新增的人数一样多。从开始办理业务到排队等候的人全部
领到证书，若同时开 5个发证窗口就需要1个小时，若同时开 6个发证窗口就需
要40分钟。按照每个窗口给每个人发证书需要 1分钟计算，如果想要在 20分钟
内将排队等候的人的证书全部发完，则需同时开多少个发证窗口？
A.7 B.8
C.9 D.10
【解析】11.本题可以理解为窗口吃证书，窗口数对应的是牛的头数，每分
钟新增人数为 x，代入公式：（5-x）*60=（6-x）*40，15-3x=12-2x，解得 x=3，
回代得：y=120。已知 t=20，求 n，120=（n-3）*20，n-3=6，解得 n=9，对应 C
项。【选C】
【注意】y=（n-x）*t，y为原有草量，n 为牛的头数（如下雨抽水，抽水机
的数量相当于牛的头数；排队检票，检票口的数量相当牛的头数），x 为草生长
速度，t为时间。
12.（2022江苏）某疫苗接种点市民正在有序排队等候接种。假设之后每小
时新增前来接种疫苗的市民人数相同，且每个接种台的效率相同，经测算：若开
8个接种台，6小时后不再有人排队；若开 12个接种台，3小时后不再有人排队。
如果每小时新增的市民人数比假设的多25%，那么为保证2小时后不再有人排队，
需开接种台的数量至少为：
27A.14个 B.15个
C.16个 D.17个
【解析】12.出现“若开8个接种台，6小时后不再有人排队；若开 12个接
种台，3 小时后不再有人排队”，为排比句，接种台相当于牛，原有排队等候的
市民人数为 y，每小时新增排队的市民人数为 x。列式：（8-x）*6=（12-x）*3，
16-2x=12-x，解得x=4，回代得：y=（8-4）*6=24。x’=4*（1+25%）=5，24=（n-5）
*2，n-5=12，解得n=17，对应D项。【选D】
【注意】作业：梳理本节课题目，下节课课前 10 分钟答疑，下节课题目要
做一下。
【答案汇总】
数字推理（一）1-5：BBADC
数字推理（二）1-5：ADDBC
数字推理（三）1-5：BBBAD
数学运算1-5：ACACA；6-10：ADDCC；11-12：CD
28遇见不一样的自己
Be your better self
29
