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第五章 工程问题.................................................................................................................................................1
第六章 几何问题.................................................................................................................................................7
第七章 容斥原理.............................................................................................................................................. 17
第八章 最值问题.............................................................................................................................................. 21
专项练习二 ......................................................................................................................................................... 25第五章 工程问题
1、完工时间型
（1）普通完工时间型
完工时间型
特征：多个主体的完工时间
方法
第一步：赋值总量（公倍数）
第二步：求效率
第三步：列表或列方程求解
【例1】（2020江苏）一项工程由甲、乙工程队单独完成，分别需50天和80天。若甲、
乙工程队合作20天后，剩余工程量由乙、丙工程队合作需12天完成，则丙工程队单独完成
此项工程所需的时间是
A.40天
B.45天
C.50天
D.60天
【例2】（2023北京）甲、乙两个工程队被安排实施某个工程。甲工程队先施工，用了
15 天完成了一半，剩下部分甲、乙合作，比前一半的用时短了 9 天。则乙工程队独立完成
整个工程需要多少天？
A.10
B.15
C.16
D.20
1（2）复杂方程的完工时间型
复杂方程的完工时间型
不会算，就不要瞎算，带入选项来验证
【例3】（2023联考）轨道交通公司定期进行轨道检修工作，甲、乙两个工程队合作进
行需4小时完成，甲队单独完成比乙队单独完成快15小时，则甲队单独完成需要的时间是：
A.5小时
B.6小时
C.7小时
D.8小时
（3）多个工程的完工时间型
特征：多个工程的完工时间型
方法：列多个工程
计算：好算为原则
【例4】（2022联考）甲、乙、丙三个工程队接到A、B 两个工程的施工任务，若由甲
单独完成B工程需要30天；若甲乙两队合作施工，则完成A工程需要30天，完成B工程
需要20天；乙丙合作完成A工程则需要24天。现在三个工程队合作完成A、B两个工程，
多少天可以完工？（不足1天按1天计算）
A.24
B.25
C.26
D.27
22、效率比例型
效率比例的形式
一、直接给：甲:乙=3:4；甲的效率是乙的2.5倍；甲的效率比乙高25%。
二、间接给：工作量相等，以工作量推效率关系
1、甲4天的工作量等于乙3天的工作量
2、甲、乙两个工程队合作完成某工程需36天，若甲工程队先做10天，剩下的工程再由两队
合作30天完成
三、给具体人数或机器数：
50个工人修路，80台挖掘机
赋值每个人/每台机器效率为1
1
【例5】（2022江苏）出版社安排甲、乙、丙三人校对一本书，甲完成总任务的 后，剩
8
3
下的分配给乙和丙。若乙的工作效率是丙的 ，且两人完成工作所用时间相同，则乙的工作
4
量是总任务的：
3
A.
8
21
B.
32
7
C.
16
1
D.
2
【例6】（2023四川）在某应急救援作业中，假设每台机器工作效率相同，如果两台机
器配合作业，效率分别提高25%，而三台机器同时合作，每台效率各自提高50%。甲、乙、
丙三台机器依次投入救援，直到救援完成。已知甲救援时间为60分钟，乙救援时间为甲的
1 1
，而丙救援时间为乙的 ，问仅有一台机器完成该救援作业需要多少分钟？
2 3
3A.120
B.125
C.130
D.150
【例7】（2023国考）甲和乙两个工程队共同承担某项工程的施工任务。两队合作时各
自的效率均比单独施工时高 20%。已知两队合作施工需要 25 天完工；如甲先施工 15 天后
乙加入，两队合作15天后剩余工作乙单独施工还需要10天完成。问甲队的效率是乙队的多
少倍？
3
A.
2
4
B.
3
1
C.
2
2
D.
3
3、具体单位型
【例8】（2023浙江）收割一片稻田，可选择甲、乙、丙3台农机。用丙收割的用时比
用甲短4小时，比用乙长2小时。已知甲、乙的收割速度分别为5亩/小时和9亩/小时，那
么丙的收割速度在以下哪个范围内？
A.小于6亩/小时
B.6~7亩/小时
C.7~8亩/小时
D.大于8亩/小时
44、日期、周期工程问题
【例9】（2020山东）甲、乙两个工程队共同完成某项工程需要12天，其中甲单独完成
需要20天。现8月15日开始施工，由甲工程队先单独做5天，然后甲、乙两个工程队合作
3天，剩下的由乙工程队单独完成，问工程完成的日期是：
A.9月5日
B.9月6日
C.9月7日
D.9月8日
【例 10】（2021 四川下）某项工程，甲、乙、丙三个工程队如单独施工，分别需要 12
小时、10小时和8小时完成。现按“甲—乙—丙—甲······”的顺序让三个工程队轮班，每队施
工1小时后换班，问该工程完成时，甲工程队的施工时间共计：
A.2小时54分
B.3小时
C.3小时54分
D.4小时
5、牛吃草问题
【例11】（2020浙江）火车站售票窗口一开始有若干乘客排队购票，且之后每分钟增加
排队购票的乘客人数相同。从开始办理购票手续到没有乘客排队，若开放3个窗口，需耗时
90分钟，若开放5个窗口，则需耗时45分钟。问如果开放6个窗口，需耗时多少分钟？
A.36
B.38
C.40
D.42
5【例12】（2022江苏）某疫苗接种点市民正在有序排队等候接种。假设之后每小时新增
前来接种疫苗的市民人数相同，且每个接种台的效率相同，经测算：若开8个接种台，6小
时后不再有人排队；若开 12 个接种台，3 小时后不再有人排队。如果每小时新增的市民人
数比假设的多25%，那么为保证2小时后不再有人排队，需开接种台的数量至少为：
A.14个
B.15个
C.16个
D.17个
【例 13】（2023 广东）某牧场的草，匀速生长。如果 20 头牛来吃，20 天可将草吃光；
如果 10 头牛和 10 只羊来吃，30 天可以恰好吃光。已知一头牛每天的吃草量是一只羊的 2
倍，则30只羊吃该牧场的草，多少天可以吃光？
A.10
B.20
C.30
D.40
答案：1-5:DDADA；6-10：BDCBC；11-13:ADC
6第六章 几何问题
1、几何公式
✓ 周长类
n°
正方形周长=4a 长方形周长=2(a+b) 圆形周长=2πr 弧长= 2πr
360°
✓ 面积类
正方形面积=a2 长方形面积=ab 平行四边形面积=底×高
1 n°
三角形面积= 底×高 圆形面积=πr2 扇形面积= πr2
2 360°
1 1
梯形面积= (a+b) ×h 菱形面积= 对角线乘积
2 2
✓ 表面积类
正方体表面积=6a2 长方体表面积= 2(ab+bc+ac)
圆柱体表面积=2πR2+2πRh 球体表面积=4πR2
✓ 体积类
正方体体积=a3 长方体体积= abc 长方体体对角线=√𝑎2+𝑏2+𝑐2
1 4
柱体体积= Sh 锥体体积= Sh 球体体积= πR3
3 3
【例1】（2023联考）如下图所示，某地计划修建一个长50米，宽40米的长方形观光
园。现在需要在观光园中修建几条鹅卵石小道供游客行走，其中一条是长为 50 米，宽为 2
米的水平直线型小路，另外两条修成斜线型，并且要求这两条斜线型小路任何地方的水平方
向宽度都是1米，问修完小路后观光园剩下部分的面积是多少平方米？
A.1862
B.1880
C.1950
D.1960
7【例2】（2023江苏）一个A型4G基站的地面覆盖半径为1~3千米，一个B型5G基
站的地面覆盖半径为100~200米。按此计算，一个A型4G基站的地面覆盖面积为B型5G
基站的（ ）
A.100~225倍
B.100~900倍
C.25~225倍
D.25~900倍
【例3】（2023广东）某工厂加工出一批正方体奶酪,抽检时质检员从奶酪中切下了一个
厚度为2厘米的长方体（如图所示）。如果剩余奶酪的体积为144立方厘米，则奶酪原本的
边长为（ ）厘米。
A.4
B.6
C.8
D.10
【例4】（2023国考）一个圆柱体零件A和一个圆锥体零件B分别用甲、乙两种合金铸
造而成。A的底面半径和高相同，B的底面半径是高的2倍，两个零件的高相同，质量也相
同。问甲合金的密度是乙合金的多少倍？（质量=密度×体积）
4
A.
3
3
B.
4
2
C.
3
3
D.
2
82、三角形
常考点：a2+b2=c2、特殊角三角形三边关系
1.特殊勾股数：（3、4、5）、（6、8、10）、（5、12、13）
2、边长的放缩
3.特殊角三角形三边关系
1 1
1
2
30、60、90
①短直角边是斜边的一半
②长直角边是短直角边的√3倍
45、45、90（等腰直角三角形）
①直角边相等
②斜边是直角边的√2倍
4. 等边三角形
边长：a 高： √3 𝑎 面积:S= √3 𝑎2
2 4
5. 正六边形:
由6个等边三角形构成
6.圆中的直角
①不在同一直线的三个点确定一个圆
②圆的直径所对的角是直角（ 90°）
97.三角形同底或者同高
考法：多个面积
方法：底相同，面积之比等于高之比
（1）直角三角形
【例5】（2023国考）在一块正方形土地中，画一条经过某个顶点的规划线，将其分割
为三角形和梯形两块土地，且梯形土地的面积正好是三角形土地的2倍。问三角形和梯形土
地的周长之比是多少？
A.1：2
B.5：7
C.（1+√5）：（2+√5）
D.（5+√13）：（7+√13）
【例6】（2023江苏）如图所示，纸片ABC的形状为直角三角形，AB=10厘米，BC=8
厘米。若将纸片沿AD折叠直角边AC恰好与斜边AB重叠，则△ABD的面积为（ ）
A.15平方厘米
B.16平方厘米
C.18平方厘米
D.21平方厘米
10【例7】（2022北京）一个圆形水库的半径为1千米。一艘船从水库边的A点出发，直
线行驶1千米后到达水库边的B点，又从B点出发直线行驶2千米后到达水库边的C点。
则C点与A点的直线距离最短可能为多少千米？
A.不到1千米
B.1—1.3千米之间
C.1.3—1.6千米之间
D.超过1.6千米
（2）坐标构造
【例8】（2022联考）兔子和乌龟举行一场跑步比赛，终点位于起点正北方500米处。
兔子和乌龟同时出发，均保持匀速奔跑，且兔子的速度是乌龟的5倍。兔子先向正东方跑了
一会后发现自己跑错了方向，马上直奔终点，速度不变，结果兔子和乌龟同时到达终点。那
么兔子发现跑错方向时已经跑了多少米？
A.600
B.1200
C.2400
D.3000
【例9】（2020国考）部队前哨站的雷达监测范围为100千米。某日前哨站侦测到正东
偏北30°100 千米处，一架可疑无人机正匀速向正西方向飞行。前哨站通知正南方向150 千
米处的部队立即向正北方向发射无人机拦截，匀速飞行一段时间后，正好在某点与可疑无人
机相遇。问我方无人机速度是可疑无人机的多少倍？
2
A. √5
3
4
B. √3
3
C.√3+1
D.3(√3−1)
11（3）三角形应用：高度测量
【例10】（2023联考）厦门鼓浪屿海滨覆鼎岩上屹立着一尊郑成功雕像。为了测量石像
的高度，某测量小组选取的测量点A与覆鼎岩底部D在同一水平线上，如下图所示。已知
覆鼎岩高CD为24米，在A处测得石像头顶部B的仰角为45°，石像底部C的仰角为31°
（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60），则石像BC的高度约为：
A.20米
B.18米
C.16米
D.14米
（4）三角形同底或者同高
【例 11】（2023 联考）为推动产业园和产业集聚区加快转型，某地计划在三角形 ABC
区域内建设新能源产业园区（如下图所示），三角形 DEF 是中央工厂区，已知 BD：DE：
EC=1：2：3，F为AE的中点，则新能源产业园区总面积是中央工厂区面积的：
12A.7倍
B.6倍
C.5倍
D.4倍
3、最短路径
考察方式：求AB两点到直线距离之和最短
解题原理：两点之间，线段最短
解题技巧：两点异侧，直接连线
两点同侧，镜面对称后连线
【例12】（2019浙江）A点、B点与墙的位置如右图所示，现从A点出发以5米/秒的
速度跑向墙，接触到墙后再跑到B点，问最少要多少秒到达B点？
A. 30
B. 34
C. 38
D. 42
134、几何最值
1、立体最值
（1）立体图形中，若表面积一定，越接近于球，体积越大。
（2）立体图形中，若体积一定，越接近于球，表面积越小。
2、平面最值
（1）平面图形中，周长一定，越接近于圆，面积越大；
（2）平面图形中，面积一定，越接近于圆，周长越小。
长方形最值：
（1）四边形周长一定时，正方形面积最大。
（2）四边形面积一定时，正方形周长最小
【例13】（2023联考）某村拟建造一个容积为144立方米，深度为4米的长方体无盖蓄
水池。为节约成本，侧面积最小为多少平方米？
A.24
B.36
C.96
D.132
【例14】（2023联考）某村拟建造一个容积为144立方米，深度为4米的长方体无盖蓄
水池。经测算，蓄水池底部造价为260元/平方米，侧面造价为180元/平方米。那么该水池
的最低总造价为：
A.11440元
B.25920元
C.26640元
D.31680元
145、同比例放缩
若将一个图形尺度变为原来的N倍，则
1、对应角度不变
2、周长变为原来的N倍，增长了N-1倍
3、面积变为原来的N2倍，增长了N2-1倍
4、体积变为原来的N3倍，增长了N3-1倍
【例15】（2019四川下）如图，沙漏计时器由上下两个大小相同、相互连通且底面互相
平行的圆锥组成，下面的圆锥内装有细沙，计时开始时，将沙漏倒置，已知上面圆锥中细沙
全部流下恰好需要1小时，则细沙高度下降一半所需的时间是：
A. 30分钟
B. 45分钟
C. 47.5分钟
D. 52.5分钟
【例16】（2023联考）某餐馆承诺25分钟内上齐一桌菜，若超时则未上的菜品免单。
每张餐桌上都有一个装满后正好25分钟漏完的圆锥形沙漏（如下图所示）。某位顾客在等待
的过程中发现沙漏内上方沙子的高度为原先的一半，此时还差一道菜未上，则再过多久还未
上菜，这位顾客将享受免单服务？
15A.不到3分钟
B.3-4分钟之间
C.4-5分钟之间
D.超过6分钟
6、生活中的几何小游戏
【例17】（2023山东）在边长为2正方形中投入若干石子（石子大小忽略不计），问至
少投几个石子才能使这些石子中一定存在距离不超过√2的两个石子？
A.5
B.6
C.7
D.8
答案：1-5:ADBAD；6-10：ADBBC；11-17:BACCDBA
16第七章 容斥原理
1、两集合
【例1】（2022广东）某单位计划从全部80名员工中挑选专项工作组成员，要求该组成
员须同时有基层经历和计算机等级证书。已知，单位内有40人有基层经历，有46人有计算
机等级证书，既没有基层经历又未获得计算机等级证书的有10人。那么能够进入工作组的
员工有（ ）人。
A.16
B.40
C.46
D.54
【例2】（2022联考）某社区积极为某受灾地区捐款捐物，其中30%的人员捐赠了物品，
70%的人员捐了款，总计有80%的人员进行了捐赠。问该社区既捐赠物品又捐款的人员占该
社区人员的比例为：
A.15%
B.20%
C.21%
D.25%
【例3】（2023浙江）某班级对70多名学生进行数学和英语科目摸底测验，有12%的学
2
生两个科目均不及格。已知有 的学生英语及格，数学及格的学生比英语多10人，那两科均
3
及格的学生有多少人？
17A.31
B.37
C.41
D.44
2、三集合
【例4】（2020新疆）某单位共有240名员工，其中订阅A期刊的有125人，订阅B期
刊的有126人，订阅C期刊的有135人，订阅A、B期刊的有57人，订阅A、C期刊的有
73 人，订阅3 种期刊的有 31 人，此外，还有 17 人没有订阅这三种期刊中的任何一种。问
订阅B、C期刊的有多少人？
A.57
B.64
C.69
D.78
【例5】（2019河北）某班参加学科竞赛人数40人，其中参加数学竞赛的有22人，参
加物理竞赛的有27人，参加化学竞赛的有25人，只参加两科竞赛的有24人，参加三科竞
赛的有多少人？
A.2
B.3
C.5
D.7
183、画图法
【例6】（2023广东）某单位共有员工200人，其中订阅杂志的人数比只订阅报纸的人
数多88%。则报纸和杂志均未订阅的员工有（ ）人。
A.36
B.56
C.76
D.96
【例7】（2023国考）农科院在某村287名淡水鱼养殖人员中开展防病培训和育种培训。
已知参加防病培训的养殖人员中，参加育种培训的人数比未参加的多21%；参加育种培训的
养殖人员中，参加防病培训的人数比未参加的多76人。问共有多少人未参加任何一项培训？
A.21
B.23
C.25
D.27
4、容斥原理结合不定方程（最值）
【例8】（2021四川）为实现产业振兴，农科院对某县的所有自然村进行了调研，结果
发现，适合种植A作物的自然村占 。适合种植B作物的自然村有25个，同时适合种植
两种作物的自然村占总数的 ，则在该县，不适合种植两种作物的自然村至少有多少个?
A.57
19B.67
C.114
D.134
【例9】（2022北京）单位组织职工前往甲、乙、丙三个爱国主义教育基地学习，要求
每名职工至少去 1 个基地。已知有 48 人去了甲基地，有 42 人未去乙基地，去丙基地的人
中，去1个、2个、3 个基地的人数比为3：2：1。如仅去2个基地和去3个基地的职工分
别有x人和y人，则x和y的关系为：
A.x=4y+6
B.x=4y-6
C.x=3y+6
D.x=3y-6
【例10】（2023北京）某公司有80人报名参加会计、法律和技术三项培训中的一项或
多项，三项培训的报名人数比为6：5：4。已知同时参加会计和法律培训的人数，和同时参
加法律和技术培训的人数，分别是同时参加会计和技术培训的人数的 70％和 80%，且无人
同时参加3项培训，则只参加技术培训的有多少人？
A.4
B.6
C.8
D.10
答案：1-5:ABDBC；6-10：BACAD
20第八章 最值问题
1、最不利构造
特征：至少……保证、无论如何至少
方法：最坏+1
【例1】（2022联考）有200人参加招聘会，其中法学70人，经济学60人，工业设计
50人，统计学20人，至少有（ ）人找 到工作才能保证一定有50人的专业相同。
A.167
B.168
C.170
D.175
【例2】（2023山东）一个袋子里装了50个苹果，5个香蕉，30个橘子和50个梨，若
每次从袋子里随机取出1个水果，问至少需要取多少次能肯定拿出10个相同种类的水果？
A.10
B.35
C.33
D.32
【例3】（2023浙江）某部门举行年会抽奖活动。抽奖箱里有80个抽奖券，共20个不
同的数字，每个数字均出现4次，且分别对应一份礼品，不同的数字对应的礼品不同。每人
当天限抽1次。那么最少多少人当天参加抽奖活动，才能保证至少有3人领取的礼品相同?
A.41
B.42
C.61
D.62
21【例4】（2020浙江选调）箱子内有标号分别为1、2、3······25的25个乒乓球，问至少
需要取出多少个乒乓球才能保证有两个的标号之差为6的倍数？
A.6
B.7
C.9
D.10
【例5】（2021联考）某草莓经销商有201箱的草莓要分配给若干个水果店，要求无论
选用怎样的分配方式，都要有水果店至少分到8箱，则水果店至多有：
A.20个
B.21个
C.28个
D.29个
2、构造数列
【例6】（2022上海）某单位进行了一次绩效考评打分，满分为100分。有5位员工的
平均分为90分，而且他们的分数各不相同，其中分数最低的员工得分为77分，那么排第二
名的员工至少得（ ）分。（员工分数取整数）
A.90
B.92
C.94
D.96
【例7】（2023联考）某小区物业准备了230盒口罩免费派发给10栋楼，要求任意两栋
楼派发的口罩数量都不相同，但最多相差不超过1倍。假设口罩不拆盒发放，那么派发口罩
22数量最少的那栋楼最少可派发口罩：
A.18盒
B.15盒
C.14盒
D.12盒
【例8】（2020联考）从某物流园区开出6辆货车，这6辆货车的平均装货量为62吨。
已知每辆货车载重量各不相同且均为整数，最重的装载了71吨，最轻的装载了54吨。问这
6辆货车中装货第三重的卡车最少要装多少吨？
A.59
B.60
C.61
D.62
【例9】（2022联考）某单位有甲、乙、丙三个存放着电脑的库房，已知甲库房比乙库
房多4台电脑，乙库房比丙库房多2台，丙库房和甲库房共22台。现在要将三个库房的所
有电脑发放给单位不同部门，要求每个部门获得的电脑数量均不相同，那么最多可以发放给
几个部门？
A.6
B.7
C.8
D.9
233、多集合反向构造
【例10】（2022江苏）某机构对全运会收视情况进行调查，在1000名受访者中，观看
过乒乓球比赛的占87%，观看过跳水比赛的占75%，观看过田径比赛的占69%。这1000名
受访者中，乒乓球、跳水和田径比赛都观看过的至少有：
A.310人
B.440人
C.620人
D.690人
【例11】（2021广东选调）某单位在网上办公系统传阅了15份文件，甲阅读了9份，
乙阅读了12份，丙阅读了10份，则甲、乙、丙三人共同阅读过的文件至少有（ ）份。
A.0
B.1
C.2
D.3
答案：1-5:BCABC；6-11：BCBBAB
24专项练习二
【例1】（2021重庆选调）一项工程，甲单独完成需要15天，乙单独完成需要30天，
丙单独完成需要60天，如果按照甲乙丙的顺序交替进行每人做一天，那么需要（ ）天能
完成。
A.25
B.26
C.27
D.28
【例2】（2021江苏）为发展乡村旅游，某地需建设一条游览线路，甲工程队施工，工
期为60天，费用为144万元；若由乙工程队施工，工期为40天，费用为158万元。为在旅
游旺季到来前完工，工期不能超过30天，为此需要甲、乙两工程队合作施工，则完成此项
工程的费用最少是：
A.156万元
B.154万元
C.151万元
D.149万元
【例3】（2022联考）甲、乙二人合作计划30天完成一项工程，甲的工作效率是乙的2
倍。两人合作10天后，甲的效率提升25%，乙的效率提升50%。又合作10天后，乙因其他
任务撤出，甲单独完成剩余任务。问最终工作比预计时间：
A.早2天
B.晚2天
C.早4天
D.晚4天
【例4】（2020联考）某医疗器械公司为完成一批口罩订单生产任务，先期投产了A和
B 两条生产线，A和B 的工作效率之比为2：3，计划 8天可完成订单生产任务，两天后公
司又对这批订单投产了生产线 C，A 和 C 的工作效率之比为 2：1，问该批口罩订单任务将
25提前几天完成？
A.1
B.2
C.3
D.4
【例5】（2023国考）一项工作甲独立完成需要3小时，乙独立完成的用时比其与甲合
作完成多4小时，且乙和丙合作完成需要4小时。问丙独立完成需要多少小时？
A.10
B.12
C.6
D.8
【例6】（2023国考）工厂生产甲、乙两种设备，需要用到A、B、C三种零件。其中生
产1台甲设备需要5个A零件和11个B零件，生产 1台乙设备需要4个B零件和9个C
零件。工厂某日生产的一批设备共用A、B、C三种零件不超过200个，其中C零件的用量
超过100个。问最多可能生产了多少台甲设备？
A.1
B.2
C.3
D.4
【例7】（2020江苏）某装配式建筑企业接到一个生产1033套楼板的订单。甲班组生产
5 天后，乙班组再生产 4 天，刚好完成任务。若甲班组比乙班组每天多生产 23 套，则甲班
组生产楼板的套数是
A.625套
B.645套
C.535套
D.515套
【例8】（2021重庆选调）制药厂有一条疫苗生产线、一座仓库和若干相同的货车、流
26水线，每天的产量不变，产品均存入仓库。仓库的疫苗可供19辆货车送货24天，或17辆
货车送货30天，那么用（ ）辆货车送货6天后，坏了4辆车，剩下的货车又送了2天刚
好把所有的疫苗送完。
A.30
B.40
C.50
D.60
【例9】（2023浙江）一只闹钟的秒针顶点距离表盘圆心4厘米，分针顶点距离表盘圆
心3厘米。小王烧开一壶水的时间内，秒针顶点累计移动了40π厘米。那么这一时间段内，
分针顶点与表盘圆心的连线扫过的扇形面积为多少平方厘米？
A.0.5π
B.0.75π
C.π
D.1.5π
【例10】（2023北京）一块正方形田地的周长是240米，另一块长方形田地的周长比这
块正方形田地长60米，面积与这块正方形田地一样。则长方形田地的长比宽长多少米？
A.60
B.70
C.80
D.90
【例11】（2020联考）野外生存需要用一个简易的圆锥型过滤器（如下图所示）装满溪
水进行过滤。过滤器的底面直径为20厘米，高为6厘米。问全部过滤完毕后，在不考虑损
耗的情况下，可使底面半径为5厘米，高为15厘米圆柱型容器的水面高度达到：
27A. 4厘米
B. 6厘米
C. 8厘米
D. 12厘米
【例12】（2023联考）下图所示是一种帐篷屋顶的示意图，底面是一个长4米宽3米的
长方形，屋顶高1米，上棱长2米且平行于底面，那么该帐篷屋顶的体积是：
A.5立方米
B.11立方米
C.12立方米
D.24立方米
【例 13】（2020 国考）一个无盖长方体饮料盒如下图所示，其底面为正方形，高为 23
厘米，若插入一根足够细的不可弯折的吸管与底部接触，已知插入饮料盒内的吸管长度最大
为27厘米，问饮料盒底面边长为多少厘米？
28A.5√2
B. 8
C. 10
D.10√2
【例14】（2019江苏）长方形花坛的周长为20米，若长与宽各增加3米，则增加的面
积是：
A. 42平方米
B. 24平方米
C. 28平方米
D. 39平方米
【例15】（2021北京）A地在B地正北方x千米处，甲从A地出发以4千米/小时的速
度向南行走，同时乙从B地出发以8千米/小时的速度向西慢跑，出发20分钟后，甲与乙的
距离为x千米。问x的值为：
5
A.
3
B.6
C.3
10
D.
3
【例16】（2020联考）甲乙丙丁四人通过手机的位置共享，发现乙在甲正南方向2公里
处，丙在乙北偏西 60°方向 2 公里处，丁在甲北偏西 75°方向。若丁与甲、丙的距离相等，
则该距离为：
A. 1公里
B.√2公里
C.√3公里
D. 2公里
【例17】（2019联考）将一个表面积为72平方米的正方体平分为两个长方体，再将这
两个长方体拼成一个大长方体，则大长方体的表面积是多少平方米？
29A. 56
B. 64
C. 72
D. 84
【例18】（2020联考）学校有300个学生选择参加地理兴趣小组、生物兴趣小组或者两
个小组同时参加，如果80%学生参加地理兴趣小组，50%学生参加生物兴趣小组。问同时参
加地理和生物兴趣小组的学生人数是多少？
A.240
B.150
C.90
D.60
【例19】（2022联考）某班期末考试结束后统计，物理、化学均不及格的人数占全班的
14%，物理及格的人数比化学及格的人数多 10 人，且化学及格的人数占全班人数的 60%。
已知全班人数不超过70人，问物理及格的人中化学也及格的有多少人？
A.25
B.26
C.27
D.28
【例20】（2018重庆选调）一社区居委会为丰富居民的业余生活，专门设立了多个俱乐
部邀请居民自愿参加。统计结果如下：22人参加了棋类俱乐部、27人参加了音乐俱乐部、
50 人参加了戏剧俱乐部、10 人参加了棋类和音乐俱乐部、14 人参加了音乐和戏剧俱乐部、
10人参加了戏剧和棋类俱乐部、8人参加了这三个俱乐部。那么参与活动的居民人数是（ ）。
A.57
B.68
C.73
D.84
【例21】（2018陕西）有关部门对120种抽样食品进行化验分析，结果显示，抗氧化剂
30达标的有68种，防腐剂达标的有77种，漂白剂达标的有59种，抗氧化剂和防腐剂都达标
的有54种，防腐剂和漂白剂都达标的有43种，抗氧化剂和漂白剂都达标的有35种，三种
食品添加剂都达标的有30种，那么三种食品添加剂都不达标的有多少种？
A. 14
B. 16
C. 18
D. 20
【例22】（2018江西）某高校做有关碎片化学习的问卷调查，问卷回收率为90%，在调
查对象中有180人会利用网络课程进行学习，200人利用书本进行学习，100人利用移动设
备进行碎片化学习，同时使用三种方式学习的有50人，同时使用两种方式学习的有20人，
不存在三种方式学习都不用的人。那么，这次共发放了多少份问卷？
A.370
B.380
C.390
D.400
【例23】（2019新疆兵团）某机关开展红色教育月活动，三个时间段分别安排了三场讲
座。该机关共有139人，有42人报名参加第一场讲座，51人报名参加第二场讲座，88人报
名参加第三场讲座，三场讲座都报名的有12人，只报名参加两场讲座的有30人。问没有报
名参加其中任何一场讲座的有多少人？
A. 12
B. 14
C. 24
D. 28
【例24】（2019青海）一次期末考试，某班同学成绩统计如下表：
31求：这个班最多有多少人？
A. 45
B. 51
C. 53
D. 55
【例25】（2020联考）某会展中心布置会场，从花卉市场购买郁金香、月季花、牡丹花
三种花卉各20盆，每盆均用纸箱打包好装车运送至会展中心，再由工人搬运至布展区。问
至少要搬出多少盆花卉才能保证搬出的鲜花中一定有郁金香？
A.20盆
B.21盆
C.40盆
D.41盆
【例26】（2019重庆法检）某地区招聘卫生人才，共接到600份不同求职者的简历，其
中临床、口腔、公共卫生和护理专业分别有200人、160人、140人和100人。问至少有多
少人被录用，才能保证一定有140名被录用的人专业相同？
A.141
B.240
C.379
D.518
【例27】（2018四川）企业今年从全国6所知名大学招聘了500名应届生，从其中任意
2 所大学招聘的应届生数量均不相同。其中从 A 大学招聘的应届生数量最少且正好为 B 大
学的一半。从B大学招聘的应届生数量为6所大学中最多的。则该企业今年从A大学至少
招聘了多少名应届生？
A.48
32B.47
C.46
D.45
【例28】（2021国考）某地10户贫困农户共申请扶贫小额信贷25万元。已知每人申请
金额都是1000元的整数倍，申请金额最高的农户申请金额不超过申请金额最低农户的2倍，
且任意2户农户的申请金额都不相同。问申请金额最低的农户最少可能申请多少万元信贷？
A.1.5
B.1.6
C.1.7
D.1.8
【例29】（2017福建选调）一个班级一共有50 人，其中参加A 项目的有45 人，参加
B项目的有35人，参加C项目的有40人，请问这个班级中至少有多少人三个项目都参加？
A.10
B.20
C.30
D.35
【例30】（2018广东）某软件公司对旗下甲、乙、丙、丁四款手机软件进行使用情况调
查，在接受调查的1000人中，有68%的人使用过甲软件，有87%的人使用过乙软件，有75%
的人使用过丙软件，有82%的人使用过丁软件。那么，在这1000人中，使用过全部四款手
机软件的至少有（ ）人。
A.120
B.250
C.380
D.430
33答案：1-5：ACAAB；6-10：BABBD；11-15：CACDD
16-20：BDCCC；21-25：CDABD；26-30：DBBBA
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