2008年北京市中考数学试题与答案_中考真题_2.数学中考真题2015-2024年_地区卷_北京中考数学05-23

2008 年北京市高级中等学校招生考试 数 学 试 卷 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷共2页，第Ⅱ卷共8页．全卷共九道大 考 题，25道小题． 生 2．本试卷满分120分，考试时间120分钟． 须 3．在试卷（包括第Ⅰ卷和第Ⅱ卷）密封线内准确填写区（县）名称、毕业学 知： 校、姓名、报名号和准考证号． 4．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（机读卷 共32分） 考 生 1．第Ⅰ卷从第1页到第2页，共2页，共一道大题，8道小题． 须 2．考生须将所选选项按要求填涂在答题卡上，在试卷上作答无效． 知： 一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分） 下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．用铅笔把“机读答题卡”上对应题目答案的相应字母处涂黑． 1． 的绝对值等于（ ） A． B． C． D． 2．截止到2008年5月19日，已有21 600名中外记者成为北京奥运会的注册记者，创历届奥运会之最．将21 600用科 学记数法表示应为（ ） A． B． C． D． 3．若两圆的半径分别是1cm和5cm，圆心距为6cm，则这两圆的位置关系是（ ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 4．众志成城，抗震救灾．某小组7名同学积极捐出自己的零花钱支援灾区，他们捐款的数额分别是（单位：元）：50，20， 50，30，50，25，135．这组数据的众数和中位数分别是（ ） A．50，20 B．50，30 C．50，50 D．135，50 5．若一个多边形的内角和等于 ，则这个多边形的边数是（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 6．如图，有5张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别印有北京奥运会的会徽、吉祥物（福娃）、火炬和奖牌等四种不 同的图案，背面完全相同．现将这5张卡片洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面图案恰好是 吉祥物（福娃）的概率是（ ） A． B． C． D． 7．若 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 8．已知 为圆锥的顶点， 为圆锥底面上一点，点 在 上．一只蜗牛从 点出发，绕圆锥侧面爬行，回到 点时 所爬过的最短路线的痕迹如右图所示．若沿 将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（ ）O O O O O P P P P P M M M M M M M M M A． B． C． D． 2008 年北京市高级中等学校招生考试 数 学 试 卷 第Ⅱ卷（非机读卷 共88分） 考 生 1．第Ⅱ卷从第1页到第8页，共8页，共八道大题，17道小题． 须 知： 2．除画图可以用铅笔外，答题必须用黑色或蓝色钢笔、圆珠笔或签字笔． 二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分） 9．在函数 中，自变量 的取值范围是 ． A D E B C 10．分解因式： ． 11．如图，在 中， 分别是 的中点， 若 ，则 cm． 12．一组按规律排列的式子： ， ， ， ，…（ ），其中第7个式子是 ，第 个式子是 （ 为正整数）． 三、解答题（共5道小题，共25分） 13．（本小题满分5分） 计算： ． 解：14．（本小题满分5分） 解不等式 ，并把它的解集在数轴上表示出来． 解： 32 1 0 1 2 3 15．（本小题满分5分） 已知：如图， 为 上一点，点 分别在 两侧． ， ， ． A 求证： ． C B E 证明： D 16．（本小题满分5分） 如图，已知直线 经过点 ，求此直线与 轴， 轴的交点坐标． 解： y kx3 y M 1 x 2 O 117．（本小题满分5分） 已知 ，求 的值． 解： 四、解答题（共2道小题，共10分） 18．（本小题满分5分） 如图，在梯形 中， ， ， ， ， ，求 的长． 解： A D B C 19．（本小题满分5分） 已知：如图，在 中， ，点 在 上，以 为圆心， 长为半径的圆与 分别交于点 ，且 ． （1）判断直线 与 的位置关系，并证明你的结论； C （2）若 ， ，求 的长． 解：（1） D A B O E （2）五、解答题（本题满分6分） 20．为减少环境污染，自2008年6月1日起，全国的商品零售场所开始实行“塑料购物袋有偿使用制度”（以下简称 “限塑令”）．某班同学于6月上旬的一天，在某超市门口采用问卷调查的方式，随机调查了“限塑令”实施前后，顾客 在该超市用购物袋的情况，以下是根据100位顾客的100份有效答卷画出的统计图表的一部分： “限塑令”实施后，使用各种 “限塑令”实施前，平均一次购物使 购物袋的人数分布统计图 用不同数量塑料购物袋的人数统计图 其它 人数／位 5% 收费塑料购物袋 _______％ 40 37 35 30 26 押金式环保袋 25 24% 20 15 11 9 10 4 5 3 自备袋 0 1 2 3 4 5 6 7 46% 塑料袋数／个 图1 图2 “限塑令”实施后，塑料购物袋使用后的处理方式统计表 处理方式 直接丢弃 直接做垃圾袋 再次购物使用 其它 选该项的人数占 5% 35% 49% 11% 总人数的百分比 请你根据以上信息解答下列问题： （1）补全图1，“限塑令”实施前，如果每天约有2 000人次到该超市购物．根据这100位顾客平均一次购物使用塑料购 物袋的平均数，估计这个超市每天需要为顾客提供多少个塑料购物袋？ （2）补全图2，并根据统计图和统计表说明，购物时怎样选用购物袋，塑料购物袋使用后怎样处理，能对环境保护带来积 极的影响． 解：（1） （2） 六、解答题（共2道小题，共9分） 21．（本小题满分5分）列方程或方程组解应用题： 京津城际铁路将于2008年8月1日开通运营，预计高速列车在北京、天津间单程直达运行时间为半小时．某次试车时， 试验列车由北京到天津的行驶时间比预计时间多用了6分钟，由天津返回北京的行驶时间与预计时间相同．如果这次试 车时，由天津返回北京比去天津时平均每小时多行驶40千米，那么这次试车时由北京到天津的平均速度是每小时多少 千米？ 解： 22．（本小题满分4分） 已知等边三角形纸片 的边长为 ， 为 边上的点，过点 作 交 于点 ． 于点 ， 过点 作 于点 ，把三角形纸片 分别沿 按图1所示方式折叠，点 分别落在 点 ， ， 处．若点 ， ， 在矩形 内或其边上，且互不重合，此时我们称 （即图中阴影部分） 为“重叠三角形”． A A D G D G A B ECBF C A 图1 B E CBF C 图2（1）若把三角形纸片 放在等边三角形网格中（图中每个小三角形都是边长为1的等边三角形），点 恰好落在网格图中的格点上．如图2所示，请直接写出此时重叠三角形 的面积； （2）实验探究：设 的长为 ，若重叠三角形 存在．试用含 的代数式表示重叠三角形 的面积，并写 出 的取值范围（直接写出结果，备用图供实验，探究使用）． A A B C B C 备用图 备用图 解：（1）重叠三角形 的面积为 ； （2）用含 的代数式表示重叠三角形 的面积为 ； 的取值范围为 ． 七、解答题（本题满分7分） 23．已知：关于 的一元二次方程 ． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）设方程的两个实数根分别为 ， （其中 ）．若 是关于 的函数，且 ，求这个函数的解析式； （3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量 的取值范围满足什么条件时， ． （1）证明： y 4 3 （2）解： 2 1 x -4-3-2 -1 O 1 2 3 4 -1 -2 （3）解： -3 -4 八、解答题（本题满分7分） 24．在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于 两点（点 在点 的左侧），与 轴交于点 ，点 的坐标为 ，将直线 沿 轴向上平移3个单位长度后恰好经过 两点． （1）求直线 及抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为 ，点 在抛物线的对称轴上，且 ，求点 的坐标； （3）连结 ，求 与 两角和的度数． y 解：（1） 4 3 2 1 x -2 -1O 1 2 3 4 （2） -1 -2 （3） 九、解答题（本题满分8分） 25．请阅读下列材料： 问题：如图1，在菱形 和菱形 中，点 在同一条直线上， 是线段 的中点，连结 ．若 ，探究 与 的位置关系及 的值． 小聪同学的思路是：延长 交 于点 ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决． C C D D P G P F F G A B A E B E 图2 图1 请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题： （1）写出上面问题中线段 与 的位置关系及 的值； （2）将图1中的菱形 绕点 顺时针旋转，使菱形 的对角线 恰好与菱形 的边 在同一条直线 上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明． （3）若图1中 ，将菱形 绕点 顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出 的值（用含 的式子表示）． 解：（1）线段 与 的位置关系是 ； ． （2） 2008年北京市高级中等学校招生考试 数学试卷答案及评分参考 阅卷须知： 1．一律用红钢笔或红圆珠笔批阅，按要求签名． 2．第Ⅰ卷是选择题，机读阅卷． 3．第Ⅱ卷包括填空题和解答题．为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可．若考 生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给分．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 第Ⅰ卷 （机读卷 共32分） 一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D C C B B B D 第Ⅱ卷 （非机读卷 共88分） 二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分） 题号 9 10 11 12 答案 4 三、解答题（共5道小题，共25分） 13．（本小题满分5分）解： 4分 ． 5分 14．（本小题满分5分） 解：去括号，得 ． 1分 移项，得 ． 2分 合并，得 ． 3分 系数化为1，得 ． 4分 不等式的解集在数轴上表示如下： 32 1 0 1 2 3 5分 15．（本小题满分5分） 证明： ， ． 2分 在 和 中， ． 4分 ． 5分 16．（本小题满分5分） 解：由图象可知，点 在直线 上， 1分 ． 解得 ． 2分 直线的解析式为 ． 3分 令 ，可得 ． 直线与 轴的交点坐标为 ． 4分 令 ，可得 ． 直线与 轴的交点坐标为 ． 5分 17．（本小题满分5分）解： 2分 ． 3分 当 时， ． 4分 原式 ． 5分 四、解答题（共2道小题，共10分） 18．（本小题满分5分） 解法一：如图1，分别过点 作 于点 ， 于点 ． 1分 A D B C E F 图1 ． 又 ， 四边形 是矩形． ． 2分 ， ， ， ． ． ， 4分 在 中， ， ． 5分 解法二：如图2，过点 作 ，分别交 于点 ． 1分 ，． A D E B C F 图2 ， ． 在 中， ， ， ， 2分 在 中， ， ， ， ． ． 4分 在 中， ， ． 5分 19． （本小题满分5分） 解：（1）直线 与 相切． 1分 证明：如图1，连结 ． ， ． ， ． C D A B O E 图1 又 ， ． ． 直线 与 相切． 2分 （2）解法一：如图1，连结 ． 是 的直径， ． ，． 3分 ， ， ． 4分 ， ． 5分 解法二：如图2，过点 作 于点 ． ． ， C D H A B O 图2 ． 3分 ， ， ． 4分 ， ． 5分 五、解答题（本题满分6分） 解：（1）补全图1见下图． 1分 “限塑令”实施前，平均一次购物使 用不同数量塑料购物袋的人数统计图 人数／位 40 37 35 30 26 25 20 15 9 11 10 10 4 5 3 0 1 2 3 4 5 6 7 塑料袋数／个 图1（个）． 这100位顾客平均一次购物使用塑料购物袋的平均数为3个． 3分 ． 估计这个超市每天需要为顾客提供6000个塑料购物袋． 4分 （2）图2中，使用收费塑料购物袋的人数所占百分比为 ． 5分 根据图表回答正确给1分，例如：由图2和统计表可知，购物时应尽量使用自备袋和押金式环保袋，少用塑料购物袋；塑 料购物袋应尽量循环使用，以便减少塑料购物袋的使用量，为环保做贡献． 6分 六、解答题（共2道小题，共9分） 21．解：设这次试车时，由北京到天津的平均速度是每小时 千米，则由天津返回北京的平均速度是每小时 千米． 1分 依题意，得 ． 3分 解得 ． 4分 答：这次试车时，由北京到天津的平均速度是每小时200千米． 5分 22．解：（1）重叠三角形 的面积为 ． 1分 （2）用含 的代数式表示重叠三角形 的面积为 ； 2分 的取值范围为 ． 4分 七、解答题（本题满分7分） 23．（1）证明： 是关于 的一元二次方程， ． 当 时， ，即 ． 方程有两个不相等的实数根． 2分 （2）解：由求根公式，得 ． 或 ． 3分 ， ． ， ， ． 4分． 即 为所求． 5分 y 4 y2m(m0) 3 2 2 y (m0) 1 m x -4-3 -2 -1 O 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 （3）解：在同一平面直角坐标系中分别画出 与 的图象． 6分 由图象可得，当 时， ． 7分 八、解答题（本题满分7分） 24．解：（1） 沿 轴向上平移3个单位长度后经过 轴上的点 ， ． 设直线 的解析式为 ． 在直线 上， ． 解得 ． 直线 的解析式为 ． 1分 抛物线 过点 ， 解得 抛物线的解析式为 ． 2分（2）由 ． y 4 3 C 2 P E 1 A B x -2 -1O 1 2F 3 4 -1 D -2 P 图1 可得 ． ， ， ， ． 可得 是等腰直角三角形． ， ． 如图1，设抛物线对称轴与 轴交于点 ， ． 过点 作 于点 ． ． 可得 ， ． 在 与 中， ， ， ． ， ． 解得 ． 点 在抛物线的对称轴上， 点 的坐标为 或 ． 5分 （3）解法一：如图2，作点 关于 轴的对称点 ，则 ． 连结 ，可得 ， ． y 4 3 C 2 1 A A B x -1O 1 2F 3 4 -1 D -2 图2 由勾股定理可得 ， ． 又 ， ． 是等腰直角三角形， ， ． ． ． 即 与 两角和的度数为 ． 7分 y 4 3 C 2 1 A B x -2 -1O 1 2F 3 4 -1 D -2 图3 解法二：如图3，连结 ． 同解法一可得 ， ． 在 中， ， ， ． 在 和 中，， ， ． ． ． ． ， ． 即 与 两角和的度数为 ． 7分 九、解答题（本题满分8分） 25．解：（1）线段 与 的位置关系是 ； ． 2分 （2）猜想：（1）中的结论没有发生变化． 证明：如图，延长 交 于点 ，连结 ． 是线段 的中点， ． 由题意可知 ． C D H G P F A B E ． ， ． ， ． 四边形 是菱形， ， ． 由 ，且菱形 的对角线 恰好与菱形 的边 在同一条直线上， 可得 ． ． 四边形 是菱形， ． ． ． ， ．． 即 ． ， ， ， ． ． 6分 （3） ． 8分