文档内容
年吉林省中考数学试卷
2008
一、选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）
1．（3分）（2008•吉林）下列计算正确的是（ ）
A．2a2•a2=2a2 B．（2a）2=2a2 C．a6÷a2=a3 D．（﹣a2）3=﹣a6
2．（3分）（2008•吉林）某班数学活动小组7位同学的家庭人口数分别为：3，2，3，3，4，3，3．设这组数据的平均数为a，
中位数为b，众数为c，则下列各式正确的是（ ）
A．a=b＜c B．a＜b＜c C．a＜b=c D．a=b=c
3．（3分）（2008•吉林）某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为49万元．设每月的平均增长率为x，则可
列方程为（ ）
A．49（1+x）2=36 B．36（1﹣x）2=49C．36（1+x）2=49 D．49（1﹣x）2=36
4．（3分）（2011•成都）如图所示的几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）（2009•兰州）如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）（2008•吉林）若a+b=3，则2a2+4ab+2b2﹣6的值是（ ）
A．12 B．6 C．3 D．0
二、填空题（共10小题，每小题2分，满分20分）
7．（2分）（2008•吉林）三个小球上的有理数之和等于 ________ _ ．
8．（2分）（2008•吉林）某地区人口约为1 370 000人，这个数据用科学记数法表示为 ________ _ ．
9．（2分）（2010•郴州）不等式3x+1＜﹣2的解集是 ________ _ ．
10．（2分）（2008•吉林）方程 的解x= ________ _ ．
11．（2分）（2008•吉林）反比例函数y= 在第二象限内的图象如图所示，则k= ________ _ ．12．（2分）（2008•吉林）如图，点D，B，C点在同一条直线上，∠A=60°，∠C=50°，∠D=25°，则∠1= ________ _ 度．
13．（2分）（2008•吉林）如图，在△ABC中，D，E，F，分别时AB，BC，AC，的中点，若平移△ADF平移，则图中能与它
重合的三角形是 ________ _ ．（写出一个即可）
14．（2分）（2009•西宁）如图，如将飞镖投中一个被平均分成6份的靶子，则落在阴影部分的概率是 ________ _ ．
15．（2分）（2008•吉林）如图，点C，D点在以AB为直径的⊙O上，若∠BDC=28°，则∠ABC= ________ _ 度．
16．（2分）（2008•吉林）如图，在 ▱ABCD中，BC=4m，E为AD的中点，F、G分别为BE、CD的中点，则FG=
_________ m．
三、解答题（共12小题，满分82分）
17．（5分）（2008•吉林）先化简，再求值 ，其中x=2，y=1．
18．（5分）（2008•吉林）如图所示，小强和小红一起搭积木，小强所搭的小塔高度为23cm，小红所搭的小树高度为
22cm，设每块A型积木的高为x cm，每块B型积木高y cm，请求出x和y的值．19．（5分）（2008•吉林）将图中的三张扑克背面朝上放到桌面上，从中随机摸出两张，并用这两张扑克上的数字组成
一个两位数，请你用画树状图或列表的方法求：
（1）组成的两位数是偶数的概率；
（2）组成的两位数是6的倍数的概率．
20．（5分）（2008•吉林）在5×5的正方形网络①中，用三张长为3，宽为1的矩形纸片拼接成阴影部分．
（1）阴影部分的周长为多少；
（2）请用三张纸再拼接两种，（全等的属于同一种）与阴影部分周长相等，但不全等的图形，分别画在网格②，③中．
21．（6分）（2008•吉林）某同学根据图①所示的程序计算后，画出了图②中y与x之间的函数图象．
（1）当0≤x≤3时，y与x之间的函数关系式为 ________ _ ；
（2）当x＞3时，求出y与x之间的函数关系式．
22．（6分）（2008•吉林）如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=45°，AB=BC．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）设阴影部分的面积分别为，a，b，⊙O的面积为S，请直接写出S与a，b的关系式．
（答案不唯一）23．（6分）（2008•吉林）在甲，乙两城市中个抽取300户家庭，进行家庭住房状况是否满意的问卷调查，根据甲城市的
统计数据绘制成扇形统计图①，根据乙城市的统计数据绘制成条形统计图②．
（1）补全扇形统计图和条形统计图；
（2）甲城市中满意家庭数是 ________ _ ；满意家庭数在图①占得圆心角是多少度？
24．（8分）（2008•吉林）如图，在△ABC中，AB=AC，DE=EC，DH∥BC，EF∥AB，HE的延长线与BC的延长线相交于
点M，点G在BC上，且∠1=∠2，不添加辅助线，解答下列问题：
（1）找出一个等腰三角形；（不包括△ABC）
（2）找出三对相似三角形；（不包括全等三角形）
（3）找出两对全等三角形，并选出一对进行证明．
25．（8分）（2008•吉林）如图所示，张伯伯利用假日在某钓鱼场钓鱼，风平浪静时，鱼漂露出水面部分AB=6cm，微风
吹来，假设铅垂P不动，鱼漂移动了一段距离BC，且顶端恰好与水面齐平，（即PA=PC）水平l与OC的夹角α为8°
（点A在OC上），求铅锤P处的水深h．（参考数据：sin8°≈ ，cos8°≈ ，tan8°≈ ）26．（8分）（2008•吉林）如图，某花园的护栏是用直径80cm的条形刚组制而成，且每增加一个半圆形条钢，半圆护栏
长度增加acm，（a＞0）设半圆形条钢的个数为x（x为正整数），护栏总长为ycm
（1）当a=60时，y与x之间的函数关系式为 ________ _ ；
（2）若护栏总长度为3380cm，则当a=50时，所用半圆形条钢的个数为 ________ _ ；
（3）若护栏总长度不变，则当a=60时，用了n个半圆形条钢，当a=50时用了（n+k）个半圆形条钢，请求出n，k之间的
关系式．
27．（10分）（2008•吉林）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（0，3），C（﹣1，0），将矩形OABC绕原点
O顺时针方向旋转90度，得矩形OA′B′C′矩形设直线BB’与x轴交于点M，与y轴交于点N，抛物线经过点C，M，N
点．
解答下列问题：
（1）设直线BB′表示的函数解析式为y=mx+n，求m，n；
（2）求抛物线表示的二次函数的解析式；
（3）在抛物线上求出使S
△PB′C′
=S矩形OABC 的所有点P的坐标．
28．（10分）（2008•吉林）如图①，在长为6厘米，宽为3厘米的矩形PQMN中，有两张边长分别为二厘米和一厘米的
正方形纸片ABCD和EFGH，且BC且在PQ上，PB=1厘米，PF= 厘米，从初始时刻开始，纸片ABCD沿PQ以2厘
米每秒的速度向右平移，同时纸片EFGH沿PN以1厘米每秒的速度向上平移，当C点与Q点重合时，两张图片同时
停止移动，设平移时间为t秒时，（如图②），纸片ABCD扫过的面积为S ，纸片EFGH扫过的面积为S ，AP，PG，GA
1 2
所围成的图形面积为S（这里规定线段面积为零，扫过的面积含纸片面积）．解答下列问题：（1）当t= 时，PG= ________ _ ，PA= ________ _ 时，PA ________ _ PG+GA（填=或≠）；
（2）求S与t之间的关系式；
（3）请探索是否存在t值（t＞ ），使S +S =4S+5．若存在，求出t值；若不存在，说明理由．
1 22008 年吉林省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）
1．（3分）（2008•吉林）下列计算正确的是（ ）
A．2a2•a2=2a2 B．（2a）2=2a2 C．a6÷a2=a3 D．（﹣a2）3=﹣a6
考点： 同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
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分析： 根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；
同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
解答： 解：A、应为2a2•a2=2a4，故本选项错误；
B、应为（2a）2=4a2，故本选项错误；
C、应为a6÷a2=a4，故本选项错误；
D、（﹣a2）3=﹣a2×3=﹣a6，正确；
故选D．
点评： 本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握运算性质是解题的关键．
2．（3分）（2008•吉林）某班数学活动小组7位同学的家庭人口数分别为：3，2，3，3，4，3，3．设这组数据的平均数为a，
中位数为b，众数为c，则下列各式正确的是（ ）
A．a=b＜c B．a＜b＜c C．a＜b=c D．a=b=c
考点： 中位数；算术平均数；众数．
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专题： 应用题．
分析： 先把数据按大小排列，然后根据平均数、中位数和众数的意义求出a，b，c，最后比较大小．
解答： 解：因为a=（3+2+3+3+4+3+3）÷7=3；b=3；c=3，所以a=b=c．
故选D．
点评： 此题考查了平均数、中位数和众数的意义．
平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均
数），叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，可能出错．
一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
3．（3分）（2008•吉林）某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为49万元．设每月的平均增长率为x，则可
列方程为（ ）
A．49（1+x）2=36 B．36（1﹣x）2=49C．36（1+x）2=49 D．49（1﹣x）2=36
考点： 由实际问题抽象出一元二次方程．
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专题： 增长率问题．
分析： 本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设每月的平均增长率为x，根
据“三月份的营业额为49万元”，即可得出方程．
解答： 解：设每月的平均增长率为x，
∴由题意可得：36（1+x）2=49．故选C．
点评： 平均增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
4．（3分）（2011•成都）如图所示的几何体的主视图是（ ）A． B． C． D．
考点： 简单几何体的三视图．
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分析： 根据主视图是从正面看到的图形判定则可．
解答： 解：从正面看，是一个等腰梯形，故选C．
点评： 本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
5．（3分）（2009•兰州）如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是（ ）
A． B． C． D．
考点： 翻折变换（折叠问题）．
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专题： 压轴题；操作型．
分析： 结合空间思维，分析折叠的过程及打孔的位置，易知展开的形状．
解答： 解：当正方形纸片两次沿对角线对折成为一直角三角形时，在平行于斜边的位置上打3个洞，则直角顶
点处完好，即原正方形中间无损，且有12个洞．
故选：D．
点评： 本题主要考查学生抽象思维能力，错误的主要原因是空间观念以及转化的能力不强，缺乏逻辑推理能
力，需要在平时生活中多加培养．
6．（3分）（2008•吉林）若a+b=3，则2a2+4ab+2b2﹣6的值是（ ）
A．12 B．6 C．3 D．0
考点： 完全平方公式．
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专题： 压轴题．
分析： 对所求式子的前三项根据完全平方公式进行变形，然后把已知的数值整体代入求值即可．
解答： 解：∵2a2+4ab+2b2﹣6=2（a+b）2﹣6，
∴原式=2×32﹣6=18﹣6=12．
故选A．
点评： 本题的关键是根据完全平方公式的逆用，把式子转变成已知的式子的形式进行计算．
二、填空题（共10小题，每小题2分，满分20分）
7．（2分）（2008•吉林）三个小球上的有理数之和等于 ﹣ 2 ．
考点： 有理数的加法．
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分析： 根据有理数的加法法则计算．
解答： 解：2+1+（﹣5）=﹣2．
点评： 熟练运用有理数的加法法则．
8．（2分）（2008•吉林）某地区人口约为1 370 000人，这个数据用科学记数法表示为 1.37×1 0 6 ．
考点： 科学记数法—表示较大的数．
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专题： 应用题．
分析： 把一个大于10的数写成科学记数法a×10n的形式时，将小数点放到左边第一个不为0的数位后作为
a，把整数位数减1作为n，从而确定它的科学记数法形式．解答： 解：根据题意1 370 000=1.37×106．
点评： 本题考查用科学记数法表示较大的数．科学记数法在实际生活中有着广泛的应用，给我们记数带来方
便，考查科学记数法就是考查我们应用数学的能力．将一个绝对值较大的数写成科学记数法a×10n的
形式时，其中1≤|a|＜10，n为比整数位数少1的数．
9．（2分）（2010•郴州）不等式3x+1＜﹣2的解集是 x ＜﹣ 1 ．
考点： 解一元一次不等式．
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分析： 利用不等式的基本性质，将两边不等式同时减去1再除以3，不等号的方向不变．得到不等式的解集为：x＜
﹣1．
解答：
解：解不等式 本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．
3x+1＜﹣2，得 解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；
3x＜﹣3，解得x 在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负
＜﹣1． 数不等号的方向改变．
点评：
10．（2分）（2008•吉林）方程 的解x= 1 ．
考点： 解分式方程．
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专题： 计算题；压轴题．
分析：
本题比较容易，分式方程 方程两边同乘以x（x+3）化为整式方程求解．
解答： 解：方程两边同乘以x（x+3），
得x+3=4x，
移项得3=4x﹣x，
合并同类项得3x=3．
方程两边同除以3得x=1．
经检验x=1是原分式方程的解．
点评： 解分式方程的关键是两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，易错点是忽视检验．
11．（2分）（2008•吉林）反比例函数y= 在第二象限内的图象如图所示，则k= ﹣ 2 ．
考点： 待定系数法求反比例函数解析式．
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专题： 计算题；待定系数法．
分析：
先设y= ，再把已知点的坐标代入可求出k值，即得到反比例函数的解析式．
解答： 解：根据图象可知，点（﹣2，1）在函数图象上，所以将点（﹣2，1）代入解析式可得k=﹣2．
故答案为：﹣2．
点评： 本题比较简单，考查的是用待定系数法求反比例函数的比例系数，是中学阶段的重点内容．
12．（2分）（2008•吉林）如图，点D，B，C点在同一条直线上，∠A=60°，∠C=50°，∠D=25°，则∠1= 4 5 度．考点： 三角形的外角性质；三角形内角和定理．
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分析： 根据三角形的外角的性质及三角形的内角和定理可求得．
解答： 解：∵∠ABD是△ABC的外角，∴∠ABD=∠A+∠C=60°+50°=110°，
∴∠1=180°﹣∠ABD﹣∠D=180°﹣110°﹣25°=45°．
点评： 本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，比较简单．
13．（2分）（2008•吉林）如图，在△ABC中，D，E，F，分别时AB，BC，AC，的中点，若平移△ADF平移，则图中能与它
重合的三角形是 △ DBE （或△ FEC ） ．（写出一个即可）
考点： 平移的性质．
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专题： 操作型．
分析： 根据平移的性质，结合图形对图中三角形进行分析，得到正确结果．
解答： 解：△DBE形状和大小没有变化，属于平移得到；
△DEF方向发生了变化，不属于平移得到；
△FEC形状和大小没有变化，属于平移得到．
∴图中能与它重合的三角形是△DBE（或△FEC）．
点评： 本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且
相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
14．（2分）（2009•西宁）如图，如将飞镖投中一个被平均分成6份的靶子，则落在阴影部分的概率是 ．
考点： 几何概率．
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分析： 先求出阴影部分面积占整个转盘面积的比例，再根据这个比例即可求解．
解答：
解：因为阴影部分占图形靶子的 ，所以飞镖落在阴影部分的概率是 ．
点评： 本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事
件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
15．（2分）（2008•吉林）如图，点C，D点在以AB为直径的⊙O上，若∠BDC=28°，则∠ABC= 6 2 度．
考点： 圆周角定理．
菁优网版权所有专题： 压轴题．
分析： 根据圆周角定理可证∠CAB=∠BCD=28°，∠ACB=90°，即可求∠ABC=180°﹣∠ACB﹣∠CAB=180°﹣
90°﹣28°=62°．
解答： 解：∵点C、D点在以AB为直径的⊙O上，∠BDC=28°，∴∠CAB=∠BCD=28°，∠ACB=90°，
∴∠ABC=180°﹣∠ACB﹣∠CAB=180°﹣90°﹣28°=62°．
点评： 本题重点考查了同弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角为直角及解直角三角形的知识，本题是一
道较难的题目．
16．（2分）（2008•吉林）如图，在 ▱ABCD中，BC=4m，E为AD的中点，F、G分别为BE、CD的中点，则FG= 3 m．
考点： 梯形中位线定理；平行四边形的性质．
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专题： 压轴题．
分析： 首先根据平行四边形的性质，求得ED的长；
再根据梯形的中位线定理求得FG的长．
解答：
解：∵在 ▱ABCD中，BC=4m，E为AD的中点，∴ED= ×4=2m；
又∵F、G分别为BE、CD的中点，∴FG= （BC+ED）= ×（4+2）=3（m）．
点评： 本题考查的是平行四边形的性质及梯形的中位线定理．
三、解答题（共12小题，满分82分）
17．（5分）（2008•吉林）先化简，再求值 ，其中x=2，y=1．
考点： 分式的化简求值．
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专题： 计算题．
分析： 本题的关键是正确进行分式的通分、约分，并准确代值计算．
解答：
解：原式= • = ，
当x=2，y=1时，原式= =6．
点评： 此题所考查的内容“分式的运算”是数与式的核心内容，全面考查了有理数、整式、分式运算等多个
知识点，要合理寻求简单运算途径的能力及分式运算．
18．（5分）（2008•吉林）如图所示，小强和小红一起搭积木，小强所搭的小塔高度为23cm，小红所搭的小树高度为
22cm，设每块A型积木的高为x cm，每块B型积木高y cm，请求出x和y的值．
考点： 二元一次方程组的应用．
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专题： 应用题．
分析： 小强搭的积木的高度=A的高度×2+B的高度×3，小红搭的积木的高度=A的高度×3+B的高度×2，依两个等量关系列出方程组，再求解．
解答：
解：根据题意，得 ．（3分）
解得 ．（2分）
点评： 解题关键是看清图形的意思，找出等量关系列方程组求解．
19．（5分）（2008•吉林）将图中的三张扑克背面朝上放到桌面上，从中随机摸出两张，并用这两张扑克上的数字组成
一个两位数，请你用画树状图或列表的方法求：
（1）组成的两位数是偶数的概率；
（2）组成的两位数是6的倍数的概率．
考点： 列表法与树状图法．
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分析： 依据题意先用画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．
解答： 解：
∴两位数有：23，24，32，34，42，43．
（1）两位数是偶数的概率为 = ．
（2）两位数是6的倍数的概率为 = ．
点评： 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可
能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20．（5分）（2008•吉林）在5×5的正方形网络①中，用三张长为3，宽为1的矩形纸片拼接成阴影部分．
（1）阴影部分的周长为多少；
（2）请用三张纸再拼接两种，（全等的属于同一种）与阴影部分周长相等，但不全等的图形，分别画在网格②，③中．
考点： 作图—应用与设计作图．
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专题： 网格型．
分析： （1）由图可知，阴影部分的周长=3×8﹣4=20；
（2）始终使宽为1的部分有两次重合的机会即可．
解答：
解：
（1）20（1分）；
（2）画对一种的（2分）共（4分）．
点评： 此题主要考查学生在网格中的计算能力和创作能力．21．（6分）（2008•吉林）某同学根据图①所示的程序计算后，画出了图②中y与x之间的函数图象．
（1）当0≤x≤3时，y与x之间的函数关系式为 y=5x+ 3 ；
（2）当x＞3时，求出y与x之间的函数关系式．
考点： 函数的图象．
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专题： 数形结合．
分析： （1）易得0≤x≤3时函数解析式应为一次函数，所求的关系式为乘5后加3．
（2）当x＞3时，函数解析式为二次函数，所求的关系式为：自变量减7后平方，再加m，把图象上的
（10，11）代入即可求得m．
解答： 解：（1）根据题意，可知该函数解析式应为一次函数，得出该解析式为y=5x+3；
（2）根据题意，得y=（x﹣7）2+m
把（10，11）代入，得9+m=11．
∴m=2．
∴y与x之间的函数关系式为y=（x﹣7）2+2
点评： 解决本题的关键是读懂图意，得到不同取值范围内的解析式．
22．（6分）（2008•吉林）如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=45°，AB=BC．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）设阴影部分的面积分别为，a，b，⊙O的面积为S，请直接写出S与a，b的关系式．
（答案不唯一）
考点： 切线的判定；扇形面积的计算．
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专题： 几何综合题．
分析： （1）AB是⊙O的直径，那么求得∠ABC为90°即可；
（2）设AC圆交于点D，连接BD，因为AD=BD，那么a可转移到弧BD与弦BD围成的面积，即
△BCD的面积=a+b，易得△ADB的面积=△BCD的面积，那么半圆的面积=2a+a+b=3a+b，从而得
到三者的关系．
解答： （1）证明：∵AB=BC，
∴∠CAB=∠ACB=45°．（1分）
∵在△ABC中，∠ABC=180°﹣45°﹣45°=90°，
∴AB⊥BC．（2分）
又∵AB是⊙O的直径，
∴BC是⊙O的切线．（1分）
（2）解：设AC圆交于点D，连接BD，
∵AD=BD，∴△BCD的面积=a+b，
∵△ADB的面积=△BCD的面积，∴半圆的面积=2a+a+b=3a+b，
∴S=6a+2b．（2分）
点评： 过圆心且与半径垂直的直线是圆的切线；求阴影部分面积，转移也是常用的方法．
23．（6分）（2008•吉林）在甲，乙两城市中个抽取300户家庭，进行家庭住房状况是否满意的问卷调查，根据甲城市的
统计数据绘制成扇形统计图①，根据乙城市的统计数据绘制成条形统计图②．
（1）补全扇形统计图和条形统计图；
（2）甲城市中满意家庭数是 4 8 ；满意家庭数在图①占得圆心角是多少度？
考点： 条形统计图；扇形统计图．
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专题： 图表型．
分析： （1）由统计图求得甲城市中满意的家庭数占的百分比；乙城市中非常满意的家庭数；补全图形即可；
（2）甲城市中满意家庭数是300×16%=48户，占得圆心角是360°×16%=57.6°．
解答： 解：
（1）甲城市中满意的家庭数占的百分比为1﹣35%﹣31%﹣8%﹣10%=16%；
乙城市中非常满意的家庭数为300﹣21﹣99﹣80﹣64=36户；
补全图形，如图：
（2）甲城市中满意家庭数是：300×16%=48户，
占得圆心角是360°×16%=57.6°．点评： 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息
是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的
百分比大小．
24．（8分）（2008•吉林）如图，在△ABC中，AB=AC，DE=EC，DH∥BC，EF∥AB，HE的延长线与BC的延长线相交于
点M，点G在BC上，且∠1=∠2，不添加辅助线，解答下列问题：
（1）找出一个等腰三角形；（不包括△ABC）
（2）找出三对相似三角形；（不包括全等三角形）
（3）找出两对全等三角形，并选出一对进行证明．
考点： 等腰三角形的判定；全等三角形的判定；相似三角形的判定．
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专题： 几何图形问题；开放型．
分析： 根据等腰三角形判定即等边对等角或等角对等边、全等三角形判定及相似三角形判定解答即可．注
意：要灵活运用已知条件．
解答： 解：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵DH∥BC，
∴∠AHD=∠B，∠ADH=∠ACB，
∴∠AHD=∠ADH，
∴△AHD是等腰三角形；
∵DH∥BC，
∴∠2=∠M又∠1=∠2，
∴∠1=∠M，
∴△EGM是等腰三角形；
∵AB=AC，
∴∠B=ACB，
∵EF∥AB，∠B=∠EFC，
∴∠ACB=∠EFC
∴△EFC是等腰三角形；
（2）△AHD∽△ABC，△EFC∽△ABC，△EFM∽△HBM，△AHD∽△EFC，△BMH∽△CGE（写出其中三
对即可）．（3分）
∵HD∥BC，
∴△AHD∽△ABC，
∵EF∥AB，
∴△EFC∽△ABC，△EFM∽△HBM；
（3）△DHE≌△FGE，△DHE≌△CME，△FGE≌△CME，△EGC≌△EMF（写出其中两对即可）（2分）
选择△DHE≌△CME．
证明：∵DH∥CM，
∴∠2=∠M，
又∵∠DEH=∠CEM，DE=EC，
∴△DHE≌△CME（2分）
∵HD∥BC，EF∥AB，
∴∠2=∠M，∠B=∠EFC又∠B=∠ACB，∠1=∠2，
∴∠1=∠M，∠EFC=∠ECF，
∴∠EFG=∠ECM，
∴△EFG≌△ECM．说明：选任何一对全等三角形，只要证明正确均得分．
点评： 此题难度中等，考查等腰三角形判定、全等三角形判定及相似三角形判定的综合运用．
25．（8分）（2008•吉林）如图所示，张伯伯利用假日在某钓鱼场钓鱼，风平浪静时，鱼漂露出水面部分AB=6cm，微风
吹来，假设铅垂P不动，鱼漂移动了一段距离BC，且顶端恰好与水面齐平，（即PA=PC）水平l与OC的夹角α为8°
（点A在OC上），求铅锤P处的水深h．（参考数据：sin8°≈ ，cos8°≈ ，tan8°≈ ）
考点： 解直角三角形的应用．
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专题： 计算题；压轴题．
分析： 在Rt△ABC中，已知∠ACB=α=8°，AB=6，根据三角函数就可以求出BC的长；在直角△ABC中，根据
已知条件，利用勾股定理就可以求出水深h．
解答： 解：∵l∥BC，∴∠ACB=α=8°，
在Rt△ABC中，∵tanα= ，
∴BC= = =42（cm），
根据题意，得h2+422=（h+6）2，
∴h=144（cm）．
答：铅锤P处的水深约为144cm．
点评： 本题考查了学生运用三角函数知识解决实际问题的能力，又让学生感受到生活处处有数学，数学在生
产生活中有着广泛的作用．
26．（8分）（2008•吉林）如图，某花园的护栏是用直径80cm的条形刚组制而成，且每增加一个半圆形条钢，半圆护栏
长度增加acm，（a＞0）设半圆形条钢的个数为x（x为正整数），护栏总长为ycm
（1）当a=60时，y与x之间的函数关系式为 y=60x+2 0 ；
（2）若护栏总长度为3380cm，则当a=50时，所用半圆形条钢的个数为 6 7 ；
（3）若护栏总长度不变，则当a=60时，用了n个半圆形条钢，当a=50时用了（n+k）个半圆形条钢，请求出n，k之间的
关系式．
考点： 一次函数的应用．
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分析： （1）由图象可知y=80+（x﹣1）a，整理就可得到．
（2）根据y=80+（x﹣1）a，当a=50，y=3380时，x=56．
（3）可根据a的不同取值，得出n与k的关于护栏总长度的不同的表达式，然后根据护栏长度不变．得
出n，k之间的关系式．解答： 解：（1）y=80+60（x﹣1）=60x+20；
（2）把a=50，y=3380．代入3380=80+50（x﹣1）．解得：x=67
（3）当a=60时，n个条钢做成护栏长度为60n+20
当a=50时，（n+k）个条钢做成护栏长度为50（n+k）+30
根据题意，得60n+20=50（n+k）+30
∴n=5k+1．
点评： 借助函数图象表达题目中的信息，读懂图象是关键．要注意图片中给出的规律．
27．（10分）（2008•吉林）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（0，3），C（﹣1，0），将矩形OABC绕原点
O顺时针方向旋转90度，得矩形OA′B′C′矩形设直线BB’与x轴交于点M，与y轴交于点N，抛物线经过点C，M，N
点．
解答下列问题：
（1）设直线BB′表示的函数解析式为y=mx+n，求m，n；
（2）求抛物线表示的二次函数的解析式；
（3）在抛物线上求出使S
△PB′C′
=S矩形OABC 的所有点P的坐标．
考点： 二次函数综合题．
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专题： 综合题；压轴题．
分析： （1）已知A（0，3），C（﹣1，0），就可以得到OA=3，OC=1，就可以得到B、B′的坐标，根据待定系数法就
可以求出直线BB′，的解析式；得到m、n的值．
（2）已知直线BB′的解析式，可以求得与x轴，y轴的交点M、N的坐标，根据待定系数法就可以求出
二次函数的解析式．
（3）矩形OABC的面积容易求得，△PB'C'的底边B'C'的边长可以得到，B'C'边上的高线长就是P点的
纵坐标﹣1的绝对值．设P的纵坐标是y，根据三角形的面积就可以得到一个关于y的方程，就可以解
得y的值．进而就可以求出P的坐标．
解答： 解：（1）∵四边形OABC是矩形，
∴B（﹣1，3）（1分）
根据题意，得B′（3，1）
把B（﹣1，3），B′（3，1）代入y=mx+n中， （1分）
解得
∴m=﹣ ，n=
（2）由（1）得y=﹣ x+ ，
∴N（0， ），M（5，0）（2分）
设二次函数解析式为y=ax2+bx+c，把C（﹣1，0），N（0， ），M（5，0）代入得： ，
解得 （1分）
∴二次函数的解析式为y=﹣ x2+2x+ （1分）
（3）∵S矩形OABC =3×1=3
∴S =3
△PB‘C′
又∵由（1）（2）知B'C'=BC=3，
∴点P到B'C'的距离为2，则P点的纵坐标为3或﹣1
当y=3时，3=﹣ x2+2x+ ，即x2﹣4x+1=0
解得x=2±
∴P （2+ ，3），P （2﹣ ，3），（2分）
1 2
当y=﹣1时，﹣1=﹣ x2+2x+ ，即x2﹣4x﹣7=0
解得x=2±
∴P （2+ ，﹣1），P （2﹣ ，﹣1）（2分）
3 4
∴P点坐标（2+ ，3），（2﹣ ，3），（2+ ，﹣1），（2﹣ ，﹣1）．
点评： 本题主要考查了待定系数法求函数的解析式，注意数形结合是解决本题的关键．
28．（10分）（2008•吉林）如图①，在长为6厘米，宽为3厘米的矩形PQMN中，有两张边长分别为二厘米和一厘米的
正方形纸片ABCD和EFGH，且BC且在PQ上，PB=1厘米，PF= 厘米，从初始时刻开始，纸片ABCD沿PQ以2厘
米每秒的速度向右平移，同时纸片EFGH沿PN以1厘米每秒的速度向上平移，当C点与Q点重合时，两张图片同时
停止移动，设平移时间为t秒时，（如图②），纸片ABCD扫过的面积为S ，纸片EFGH扫过的面积为S ，AP，PG，GA
1 2
所围成的图形面积为S（这里规定线段面积为零，扫过的面积含纸片面积）．解答下列问题：
（1）当t= 时，PG= ，PA= 2 时，PA = PG+GA（填=或≠）；
（2）求S与t之间的关系式；
（3）请探索是否存在t值（t＞ ），使S +S =4S+5．若存在，求出t值；若不存在，说明理由．
1 2
考点： 矩形的性质；正方形的性质．
菁优网版权所有专题： 压轴题．
分析： （1）PG= = ，PA= =2 ，AG= = ，∴PA=PG+GA．
（2）由（1）得当t=0.5时，G在AP上，那么可分G在△APB内和△APB外两种情况进行解答．
（3）按等量关系列出等式，根据t的取值范围得到所求．
解答：
解：（1）当t= 时，PG= ，PA=2 ，此时PA=PG+GA；（各1分）
（2）①当0≤t≤0.5时，连接GB
S =S ﹣S ﹣S ，
△APG △APB △PGB △AGB
= ×2（2t+1）﹣ （2t+1）（t+0.5）﹣ ×2×2t，
=﹣t2﹣t+ （2分）
②当0.5＜t≤1.5时，过A作AK⊥PN于K，连接KG
S =S ﹣S ﹣S
△APG △APK △PGK △AGK
= ×2（2t+1）﹣ （2t+1）（1.5﹣t）﹣ ×1×2
=t2+t﹣ （2分）
（3）存在
S =2（2t+2）=4t+4，S =t+1（1分）
1 2
若S +S =4S+5，则
1 2
4t+4+t+1=4（t2+t﹣ ）+5，即4t2﹣t﹣3=0（1分）
∴t = （舍去），t =1（1分）
1 2
即当t=1时，S +S =4S+5．
1 2
点评： 本题考查运动过程中面积的变化形式．注意扫过的面积应是原来正方形的面积+扫过矩形的面积．
