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2024 年中考押题预测卷 01【北京卷】
数 学
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1 2 3 4 5 6 7 8
B C A A C A D C
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
9．x≠-3 10． 11． 3（答案不唯一） 12．
13．200 14. 15．30 16．
三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每题6分，第
25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．解：原式= （3分）
（4分）
．（5分）
18解： （2分）
解不等式①，得 ，（3分）
解不等式②，得 ，（4分）
∴原不等式组的解集是 ．（5分）
19．解： 根据题意得： ， ， （3分）
∴原式 ．（5分）
20．解：（1）（1）证明： 四边形 是平行四边形，
， ，
，
点 是 的中点，
，
在 和 中，，
，
；（2分）
（2）（2）解：四边形 是菱形，理由如下：
由（1）可知， ，
，
，
四边形 是平行四边形，
平分 ，
，
，
，
，
，
平行四边形 是菱形．（5分）
21．解：(1)设购买A型污水处理设备x台，则购买B型污水处理设备(10－x)台．
根据题意可列方程12x＋10(10－x)＝102.
解得x＝1.（3分）
于是10－x＝10－1＝9.(4分)
答：购买A，B型设备分别为1台、9台；（5分）
(2)能．因为240×1＋200×9＝2 040(吨)>2 000(吨)，
所以所购设备每月能处理完这些污水．（6分）
22．解：（1）解：由题意得， ，
将 代入 得， ，
解得 ，
∴反比例函数解析式为 ；
将 代入 得， ，
解得 ，
∴直线BD的解析式 ；（2分）（2）解∵直线BD与反比例函数 的图象交于点E，
∴ ，
解得 或 ，
∴ ， ．
∴由函数的图象可知： ，即： 的解集为 或 ．（5分）
23．（1）解：甲班90分出现的次数最多，为15次，那么甲班的众数是90（分）．乙班70分出现的次数
最多，为15次，那么乙班的众数是70（分）．从众数看成绩较好的是甲班．
故答案为90，70，甲．（1分）
（2）甲乙两班都是50人，50个数据，中位数应是第25个和第26个数据的平均数；中位数都是80；
故答案为80，80．（2分）
（3）甲班优秀的有11+15+5=31人，乙班优秀的有3+13+11=27人，所有甲班成绩较好；
故答案为甲；（4分）
（4）甲班平均成绩= =79.6，
乙班平均成绩= =80.2，
所以从平均分看成绩较好的是乙班。
故答案为79.6；80.2；乙。（6分）
24．解：（1）（1）证明：如图：连接OD．
∵ ，
∴ ．
∵ 是直径，
∴ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ．
∵OD是半径，
∴直线 是 的切线．（3分）
（2）解：①∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ 与 都是 所对的圆周角，
∴ ；
②∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
在 中，根据勾股定理可得 ，
∴当 达到最大长度时， 达到最大长度．
∵ 的最大长度为2，
∴ 的最大长度为 ．（6分）
25．解：（1）（1）解：由图象可得，
点 上 ，此时两人相遇，
点N之后，两人的距离增加速度减少，此时乙先到达终点，
点P表示两人距离为 ，此时甲到达终点
故答案为：P ，M，N；（2分）
（2）解：设第一段解析式为： ，
将点 ， 代入得，
，解得： ，
∴ ，
当 时， ，
解得： ，
设第三段解析式为：： ，将点 ， 代入得，
，解得： ，
∴ ，
当 时， ，
解得： ，
综上所述：甲出发 或 小时后，甲、乙两人相距 ．（5分）
26．解：（1）（1） 抛物线 经过坐标原点和点 ，
抛物线 的对称轴为直线 ．
顶点 的纵坐标为 ，
抛物线 的顶点 的坐标为 ．
设抛物线的解析式为 ．
抛物线 经过坐标原点，
．
．
抛物线 的表达式为： ．（1分）
（2） 点 为旋转中心，
， ．
四边形 为平行四边形．
过点 作 轴于 ，过点 作 轴于 ，如图，
， ，
．
， ．
，
， ．
．点 的坐标为 ，
．
．
．
．
．
将抛物线 绕点 旋转 得到抛物线 ，
抛物线 的解析式为： （3分）
（3） 直线 为常数 是与 轴平行的直线，
当直线 为常数 在点 与点 之间运动时，与抛物线 、 均有交点．
点的纵坐标为 ， 点的纵坐标为 ，
的取值范围为 ．（6分）
27．（1）证明：∵在等边△ABC中，D是AC的中点，
∴BD为∠ABC的角平分线，∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴
∵CD＝CE，
∴∠CDE＝∠CED，
∵∠CDE+∠CED＝∠ACB，
∴
∴∠CBD＝∠CED＝30°，
∴BD＝DE；（2分）
（2）过D作EF∥DG交AB，交BC于G
∴∠DGC＝∠ABC＝60°，又∠DCG＝60°，
∴△DGC为等边三角形，
∴DG＝GC＝CD，
∴BC﹣GC＝AC﹣AD，即AD＝BG，
∵AD＝CE，∴BG＝CE，
∴BC＝GE，
在△BDC和△EDG中，
，
∴△BDC≌△EDG（SAS）
∴BD＝DE；（4分）
（3）延长AF至H，使FH＝AF，连接DH，
在△ABF和△HDF中，
，
∴△ABF≌△HDF（SAS）
∴AB＝HD，∠ABF＝∠HDF，
∴AC＝HD，AB∥DH，
∴∠ADH＝180°﹣∠BAC＝120°，
在△ADH和△ECA中，
∴△ADH≌△ECA（SAS）
∴AE＝AH，
∵AH＝2AF，
∴AE＝2AF．（7分）
28．解：（1）解：378是“九九归一数”； 297不是“九九归一数”；理由如下：
∵ ， ， ，
∴378是“九九归一数”；
∵ ， ， ，
∴297不是“九九归一数”（3分）（2）解：设 ，则： ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 能被5整除，
∴ 是5的倍数，
∵ 为小于 的正整数，
∴当 ， 时， ，符合题意；此时： ， ；
当 ， 时： ，符合题意；此时： ， ；
当 ， 时： ，符合题意；此时： ， ；
当 ， 时： ，符合题意；此时： ， ；
综上，满足题意的条件的自然数为： 。（7分）
