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2025年中考数学一轮复习
第10讲 一元二次方程
一．选择题（共10小题）
1．下列方程中，无实数根的方程是（ ）
A．x2+3x＝0 B．x2+2x﹣1＝0 C．x2+2x+1＝0 D．x2﹣x+3＝0
2．某药品加工厂两年前生产1tⅠ型药品的成本是6400元，现在生产1tⅠ型药品的成本是3600元．则Ⅰ
型药品的年平均下降率为（ ）
A．75% B．56.25% C．25% D．20%
3．关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的最小整数值是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
4．用配方法解方程x2﹣6x+1＝0时，将方程化为（x﹣3）2＝a的形式，则a的值是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
5．中考将至，九（1）班全体学生互赠“祝福卡”，共赠“祝福卡”1640张，问九（1）班共有多少名学
生？设九（1）班共有x名学生，那么所列方程为（ ）
A．x2＝1640 B．x（x﹣1）＝1640
1
C．x（x+1）＝1640 D． x(x−1)=1640
2
6．一元二次方程x2﹣5x+3＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．有一个实数根
D．没有实数根
7．关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个实根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥1 B．k≥﹣1 C．k＞1 D．k＞﹣1
8．根据福建省统计局数据，福建省2020年的出生人数为38.2万人，2022年的出生人数为29.6万人．设
这两年福建省出生人数的年平均下降率为x，根据题意可列方程（ ）
A．38.2（1﹣x）＝29.6 B．38.2（1﹣x）2＝29.6
C．38.2x2＝29.6 D．38.2（1﹣x2）＝29.6
9．某市商品房的均价原为18150元/m2，经过连续两次降价后均价为15000元/m2．设平均每次降价的百
分率为x，根据题意所列方程正确的是（ ）A．18150（1﹣x）2＝18150﹣15000
B．18150（1﹣x2）＝15000
C．18150（1﹣2x）＝15000
D．18150（1﹣x）2＝15000
10．一个三角形的两边长为3和6，第三边的长是方程（x﹣3）（x﹣4）＝0的根，则这个三角形第三边
的长是（ ）
A．3 B．4 C．3或4 D．3和4
二．填空题（共5小题）
11．已知，实数m，n是方程x2+2x﹣3＝0的两根，则代数式m2+3m+n的值为 ．
12．一元二次方程x2+x﹣1＝0的解是 ．
13．已知关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣（2k﹣3）x+k+3＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值
范围是 ．
14．设x 、x 是方程x2+mx﹣2＝0的两个根，且x +x ＝3x x ，则m＝ ．
1 2 1 2 1 2
15．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a+b+c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．
已知x2+mx+n＝0是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则mn＝ ．
三．解答题（共5小题）
16．“阳光玫瑰”是一种优质的葡萄品种．某葡萄种植基地2021年年底已经种植“阳光玫瑰”300亩，
到2023年年底“阳光玫瑰”的种植面积达到432亩．
（1）求该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率．
（2）市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为 20元/kg时，每天能售出300kg；销售单价每降低1元，
每天可多售出50kg．为了减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本为10
元/kg，若要使销售“阳光玫瑰”每天获利3150元，并且使消费者尽可能获得实惠，则销售单价应定
为多少元？
17．关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个实数根x ，x ，并且x ≠x ．
1 2 1 2
（1）求实数m的取值范围；
（2）满足x x +x +x =m2+6，求m的值．
1 2 1 2
18．为了加强劳动教育，我校在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度
为28米），用长为39米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端及中间篱笆上设
计了三个宽1米的小门，便于同学们进入．
（1）若围成的菜地面积为120平方米，求此时边AB的长；（2）若每平方米可收获2千克的菜，问该片菜地最多可收获多少千克的菜？
19．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌
头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份
销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在
此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让
顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣5mx+4m2＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程两个实数根的差为2，求m的值．2025年中考数学一轮复习之一元二次方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列方程中，无实数根的方程是（ ）
A．x2+3x＝0 B．x2+2x﹣1＝0 C．x2+2x+1＝0 D．x2﹣x+3＝0
【考点】根的判别式．
【专题】判别式法；推理能力．
【答案】D
【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，可分别找出四个选项中方程的根的判别式△的
值，取Δ＜0的选项即可得出结论．
【解答】解：A、∵Δ＝32﹣4×1×0＝9＞0，
∴方程x2+3x＝0有两个不相等的实数根，选项A不符合题意；
B、∵Δ＝22﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，
∴方程x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，选项B不符合题意；
C、∵Δ＝22﹣4×1×1＝0，
∴方程x2+2x+1＝0有两个相等的实数根，选项C不符合题意；
D、∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×3＝﹣11＜0，
∴方程x2﹣x+3＝0没有实数根，选项D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程
有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根”是解题的关键．
2．某药品加工厂两年前生产1tⅠ型药品的成本是6400元，现在生产1tⅠ型药品的成本是3600元．则Ⅰ
型药品的年平均下降率为（ ）
A．75% B．56.25% C．25% D．20%
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】C
【分析】设Ⅰ型药品的年平均下降率为x，利用现在生产1tⅠ型药品的成本＝两年前生产1tⅠ型药品
的成本×（1﹣Ⅰ型药品的年平均下降率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，
即可得出结论．【解答】解：设Ⅰ型药品的年平均下降率为x，
根据题意得：6400（1﹣x）2＝3600，
解得：x ＝0.25＝25%，x ＝1.75（不符合题意，舍去），
1 2
∴Ⅰ型药品的年平均下降率为25%．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
3．关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的最小整数值是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到m≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4m×（﹣1）＞0，
再解两个不等式得到m的取值范围，然后找出m的最小整数即可．
【解答】解：根据题意得m≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4m×（﹣1）＞0，
解得m＞﹣1且m≠0，
所以m的最小整数值为1．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：
当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程
无实数根．
4．用配方法解方程x2﹣6x+1＝0时，将方程化为（x﹣3）2＝a的形式，则a的值是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【专题】一元二次方程及应用．
【答案】A
【分析】先把方程中的常数项移到等号右边，再把方程两边同时加9，进行配方，然后根据配方结果
求出a即可．
【解答】解：x2﹣6x+1＝0，
x2﹣6x＝﹣1，
x2﹣6x+9＝﹣1+9，
（x﹣3）2＝8，∴a＝8，
故选：A．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程，解题关键是熟练掌握利用配方法解一元二次方程．
5．中考将至，九（1）班全体学生互赠“祝福卡”，共赠“祝福卡”1640张，问九（1）班共有多少名学
生？设九（1）班共有x名学生，那么所列方程为（ ）
A．x2＝1640 B．x（x﹣1）＝1640
1
C．x（x+1）＝1640 D． x(x−1)=1640
2
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】B
【分析】根据题意得：每人要赠送（x﹣1）张贺卡，有x个人，然后根据题意可列出方程：（x﹣1）x
＝1640．
【解答】解：根据题意得：每人要赠送（x﹣1）张贺卡，有x个人，
列方程为x（x﹣1）＝1640，
故选：B．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，本题要注意读清题意，弄清楚每人要赠送
x﹣1张贺卡，有x个人是解决问题的关键．
6．一元二次方程x2﹣5x+3＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．有一个实数根
D．没有实数根
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】根据根的判别式进行判断即可．
【解答】解：∵Δ＝（﹣5）2﹣4×1×3＝13＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：
当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
7．关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个实根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥1 B．k≥﹣1 C．k＞1 D．k＞﹣1
【考点】根的判别式．
【专题】探究型．
【答案】B
【分析】先根据方程有两个实根列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个实根，
∴Δ＝22+4k≥0，
解得k≥﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查的是根的判别式，即一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下
关系：
①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根．
8．根据福建省统计局数据，福建省2020年的出生人数为38.2万人，2022年的出生人数为29.6万人．设
这两年福建省出生人数的年平均下降率为x，根据题意可列方程（ ）
A．38.2（1﹣x）＝29.6 B．38.2（1﹣x）2＝29.6
C．38.2x2＝29.6 D．38.2（1﹣x2）＝29.6
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】B
【分析】根据2020年的出生人数及2022年的出生人数，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：38.2（1﹣x）2＝29.6．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题
的关键．
9．某市商品房的均价原为18150元/m2，经过连续两次降价后均价为15000元/m2．设平均每次降价的百
分率为x，根据题意所列方程正确的是（ ）
A．18150（1﹣x）2＝18150﹣15000
B．18150（1﹣x2）＝15000C．18150（1﹣2x）＝15000
D．18150（1﹣x）2＝15000
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】增长率问题．
【答案】D
【分析】此题利用基本数量关系：商品原价×（1﹣平均每次降价的百分率）＝现在的价格，列方程即
可．
【解答】解：由题意可列方程是：18150（1﹣x）2＝15000．
故选：D．
【点评】此题考查一元二次方程的应用最基本数量关系：商品原价×（1﹣平均每次降价的百分率）＝
现在的价格．
10．一个三角形的两边长为3和6，第三边的长是方程（x﹣3）（x﹣4）＝0的根，则这个三角形第三边
的长是（ ）
A．3 B．4 C．3或4 D．3和4
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；三角形三边关系．
【答案】B
【分析】先解方程，求出x的值，再根据三角形三边关系舍去不合题意的解．
【解答】解：∵（x﹣3）（x﹣4）＝0，
∴x ＝3，x ＝4，
1 2
当x＝3时，3+3＝6（不合题意，舍去），
∴x＝4，即这个三角形第三边的长是4．
故选：B．
【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形三边关系，此题比较简单，易于掌握．
二．填空题（共5小题）
11．已知，实数m，n是方程x2+2x﹣3＝0的两根，则代数式m2+3m+n的值为 1 ．
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】1．
【分析】先根据一元二次方程根的定义得到m2+2m＝3，再根据根与系数的关系得到m+n＝﹣2，然后
利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵m是方程x2+2x﹣3＝0的根，∴m2+2m＝3，
∵m，n是方程x2+2x﹣3＝0的两根，
∴m+n＝﹣2，
∴m2+3m+n
＝m2+2m+m+n
＝3﹣2
＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解的定义，熟练掌握一元二次
方程根与系数的关系、一元二次方程的解的定义是解决本题的关键．
−1+√5 −1−√5
12．一元二次方程x2+x﹣1＝0的解是 x = ， x = ．
1 2
2 2
【考点】解一元二次方程﹣公式法．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】a＝1，b＝1，c＝﹣1，△＝12﹣4×1×（﹣1）＝5，然后代入求根公式进行计算即可．
【解答】解：∵a＝1，b＝1，c＝﹣1，
∴△＝12﹣4×1×（﹣1）＝5，
−1±√5
∴x= ，
2×1
−1+√5 −1−√5
所以x = ，x = ．
1 2
2 2
−1+√5 −1−√5
故答案为x = ，x = ．
1 2
2 2
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的解法．可以直接利用它的
求根公式求解，它的求根公式为：x −b±√b2−4ac（b2﹣4ac≥0）；用求根公式求解时，先要把方
=
2a
程化为一般式，确定a，b，c的值，计算出Δ＝b2﹣4ac，然后代入公式．
13．已知关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣（2k﹣3）x+k+3＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值
3
范围是 k＜ 且 k ≠﹣ 1 ．
28【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
3
【答案】k＜ 且k≠﹣1．
28
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到 k+1≠0且Δ＝（2k﹣3）2﹣4（k+1）
（k+3）＞0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得k+1≠0且Δ＝（2k﹣3）2﹣4（k+1）（k+3）＞0，
3
解得k＜ 且k≠﹣1，
28
3
所以实数k的取值范围是k＜ 且k≠﹣1．
28
3
故答案为：k＜ 且k≠﹣1．
28
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：
当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程
无实数根．
14．设x 、x 是方程x2+mx﹣2＝0的两个根，且x +x ＝3x x ，则m＝ 6 ．
1 2 1 2 1 2
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】6．
【分析】先利用根与系数的关系得到x +x ＝﹣m，x x ＝﹣2，再利用x +x ＝3x x 得到﹣m＝3×（﹣
1 2 1 2 1 2 1 2
2），然后解一次方程即可．
【解答】解：根据根与系数的关系得到x +x ＝﹣m，x x ＝﹣2，
1 2 1 2
∵x +x ＝3x x ，
1 2 1 2
∴﹣m＝3×（﹣2）＝﹣6，
解得m＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x ，x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则
1 2
b c
x +x =− ，x x = ．
1 2 1 2
a a
15．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a+b+c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．
已知x2+mx+n＝0是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则mn＝ ﹣ 2 ．【考点】根的判别式；一元二次方程的解．
【答案】见试题解答内容
【分析】由x2+mx+n＝0是“凤凰”方程，可得1+m+n＝0，即n＝﹣m﹣1，又因为方程有两个相等的
实数根，所以根的判别式Δ＝m2﹣4n＝0，将n＝﹣m﹣1代入，求出m＝﹣2，再求出n＝1，则mn可
求．
【解答】解：∵x2+mx+n＝0是“凤凰”方程，
∴1+m+n＝0，即n＝﹣m﹣1．
又∵方程x2+mx+n＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝m2﹣4n＝0，
将n＝﹣m﹣1代入，得m2﹣4（﹣m﹣1）＝0，
解得m＝﹣2，
∴n＝1，
∴mn＝﹣2×1＝﹣2．
故答案为﹣2．
【点评】此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系，关键是熟练掌握：（1）Δ＞0
方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0 方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0 方程没有实数根⇔．
同时考查了学生的阅读理解能力． ⇔ ⇔
三．解答题（共5小题）
16．“阳光玫瑰”是一种优质的葡萄品种．某葡萄种植基地2021年年底已经种植“阳光玫瑰”300亩，
到2023年年底“阳光玫瑰”的种植面积达到432亩．
（1）求该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率．
（2）市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为 20元/kg时，每天能售出300kg；销售单价每降低1元，
每天可多售出50kg．为了减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本为10
元/kg，若要使销售“阳光玫瑰”每天获利3150元，并且使消费者尽可能获得实惠，则销售单价应定
为多少元？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为20%；
（2）销售单价应定为17元．
【分析】（1）设该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为x，利用该基地2023年年底“阳光玫
瑰”的种植面积＝该基地2021年年底“阳光玫瑰”的种植面积乘上（1+该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率）的平方，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）设销售单价应降低y元，则每千克的销售利润为（20﹣y﹣10）元，每天能售出（300+50y）千克，
利用总利润＝每千克的销售利润×日销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为x，
根据题意得：300（1+x）2＝432，
解得：x ＝0.2＝20%，x ＝﹣2.2（不符合题意，舍去）．
1 2
答：该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为20%；
（2）设销售单价应降低y元，则每千克的销售利润为（20﹣y﹣10）元，每天能售出（300+50y）千克，
根据题意得：（20﹣y﹣10）（300+50y）＝3150，
整理得：y2﹣4y+3＝0，
解得：y ＝1，y ＝3，
1 2
∵“阳光玫瑰”的售价为20元/kg，使消费者尽可能获得实惠．
∴销售单价应定为17元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
17．关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个实数根x ，x ，并且x ≠x ．
1 2 1 2
（1）求实数m的取值范围；
（2）满足 ，求m的值．
x x +x +x =m2+6
1 2 1 2
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；推理能力．
1
【答案】（1）m＞ ；
2
（2）m＝1．
【分析】（1）根据判别式的意义得到（﹣4）2﹣4×1×（﹣2m+5）＞0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x +x ＝4，x x ＝﹣2m+5，代入已知等式中，求出m值即可．
1 2 1 2
【解答】解：（1）∵方程有两个实数根x ，x ，并且x ≠x ，
1 2 1 2
∴（﹣4）2﹣4×1×（﹣2m+5）＞0，
1
∴m＞ ；
2
（2）∵x ，x 是该方程的两个根，
1 2
∴x +x ＝4，x x ＝﹣2m+5，
1 2 1 2
∵ ，
x x +x +x =m2+6
1 2 1 2∴﹣2m+5+4＝m2+6，
解得：m＝﹣3或m＝1，
1
∵m＞ ，
2
∴m＝1．
【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系，当Δ＞0，方程有两个不相等的实
数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与
系数的关系．
18．为了加强劳动教育，我校在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度
为28米），用长为39米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端及中间篱笆上设
计了三个宽1米的小门，便于同学们进入．
（1）若围成的菜地面积为120平方米，求此时边AB的长；
（2）若每平方米可收获2千克的菜，问该片菜地最多可收获多少千克的菜？
【考点】一元二次方程的应用；二次函数的应用．
【专题】一元二次方程及应用；二次函数的应用；应用意识．
【答案】（1）10米；
（2）294千克．
【分析】（1）设AB的长为x米，则BC的长为（39+3﹣3x）米，根据围成的菜地面积为120平方米，
可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合墙的最大可用长度为28米，即可确定结论；
（2）设AB的长为m米，围成的菜地面积为n平方米，则BC的长为（39+3﹣3m）米，利用矩形的面
积＝长×宽，可找出n关于m的函数关系式，结合BC的长大于2米且不超过28米，可求出m的取值
范围，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设AB的长为x米，则BC的长为（39+3﹣3x）米，
根据题意得：x（39+3﹣3x）＝120，
整理得：x2﹣14x+40＝0，
解得：x ＝4，x ＝10，
1 2
当x＝4时，39+3﹣3x＝39+3﹣3×4＝30＞28，不符合题意，舍去；
当x＝10时，39+3﹣3x＝39+3﹣3×10＝12＜28，符合题意．答：此时边AB的长为10米；
（2）设AB的长为m米，围成的菜地面积为n平方米，则BC的长为（39+3﹣3m）米，
根据题意得：n＝m（39+3﹣3m）＝﹣3m2+42m，
即n＝﹣3（m﹣7）2+147．
{39+3−3m＞2
∵ ，
39+3−3m≤28
14 40
∴ ≤m＜ ，
3 3
∵﹣3＜0，
∴当m＝7时，n取得最大值，最大值为147，此时可收获2×147＝294（千克）的菜．
答：该片菜地最多可收获294千克的菜．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，
正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，找出n关于m的函数关系式．
19．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌
头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份
销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在
此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让
顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，即
可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据月销售利润＝每个头盔的利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值
即可求出结论．
【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得：150（1+x）2＝216，
解得：x ＝0.2＝20%，x ＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
1 2
答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%．
（2）设该品牌头盔的实际售价为y元，依题意，得：（y﹣30）[600﹣10（y﹣40）]＝10000，
整理，得：y2﹣130y+4000＝0，
解得：y ＝80（不合题意，舍去），y ＝50，
1 2
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣5mx+4m2＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程两个实数根的差为2，求m的值．
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
2 2
【答案】（1）证明见解答；（2） 或− ．
3 3
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式可得出Δ＝（﹣5m）2﹣4×1×4m2＝25m2﹣16m2＝9m2，
结合偶次方的非负性可得出Δ≥0，进而可证出：无论m为何实数，方程总有两个实数根；
（2）根据根与系数的关系可得出x +x ＝5m，x x ＝4m2，结合（x ﹣x ）2＝4，即可得出关于m的方
1 2 1 2 1 2
程，解之即可得出结论．
【解答】（1）证明：Δ＝（﹣5m）2﹣4×1×4m2＝25m2﹣16m2＝9m2，
∵m2≥0，
∴Δ≥0，
∴无论m为何实数，方程总有两个实数根；
（2）解：设x ，x 是关于x的一元二次方程x2﹣5mx+4m2＝0的两个实数根，
1 2
∴x +x ＝5m，x x ＝4m2，
1 2 1 2
∵x ﹣x ＝2，
1 2
∴（x ﹣x ）2＝4，
1 2
∴ 2x x ＝（x +x ）2﹣4x x ＝4，即（5m）2﹣4×4m2＝4，
x2+x2− 1 2 1 2 1 2
1 2
∴9m2＝4，
2 2
解得：m = ，m =− ，
1 2
3 3
2 2
∴m的值为 或− ．
3 3
【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，一元二次方程有两个实数根”；（2）利用根与系数的关系结合（x ﹣x ）2＝4，找出关于m的方程．
1 2考点卡片
1．一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数
的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
2．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的
解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这 x ，x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0
1 2
（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax 2+bx +c＝0（a≠0），ax 2+bx +c＝0（a≠0）．
1 1 2 2
3．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法
叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此
方程无实数解．
4．解一元二次方程-公式法（1）把x −b±√b2−4ac（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．
=
2a
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
5．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方
法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两
个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一
元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，
得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
6．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
7．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x ，x 是方程x2+px+q＝0的两根时，x +x ＝﹣p，x x ＝q，反过
1 2 1 2 1 2
来可得p＝﹣（x +x ），q＝x x ，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系
1 2 1 2
数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x ，x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，
1 2b c b c
x +x =− ，x x = ，反过来也成立，即 =−（x +x ）， =x x ．
1 2 1 2 1 2 1 2
a a a a
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未
知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x 2+x 2等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥
1 2
由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同
时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
8．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表
示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
9．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检
验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一
次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱
形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例
关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角
形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
10．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二
次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函
数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值
的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实
到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问
题．
11．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短
的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，
容易忽略．
